Pemodelan Data Curah Hujan di Kabupaten Simalungun Dengan Metode Arima Box-Jenkins
7
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Iklim
Iklim ialah suatu keadaan rata-rata dari cuaca di suatu daerah dalam periode
tertentu. Curah hujan ialah suatu jumlah hujan yang jatuh di suatu daerah pada
kurun waktu tertentu. Untuk mengetahui besarnya curah hujan digunakan alat
pengukur curah hujan yang disebut dengan penakar hujan (Rain Gauge).
2.2 Data
Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori, misalnya:
rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal dan sebagainya, atau bisa berbentuk
bilangan. Kesemuanya ini dinamakan data atau lengkapnya data statistik,
(Sudjana, 2000).
Menurut sifatnya, data dapat digolongkan menjadi dua, yaitu:
1. Data kualitatif, yaitu data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang
mengandung makna (tidak berbentuk angka)
2. Data kuantitatif, yaitu data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka
Berdasarkan cara memperolehnya, data dapat dibagi menjadi dua, yaitu:
1. Data primer, yaitu data yang dikumpulkan sendiri oleh perorangan atau suatu
organisasi secara langsung dari objek yang diteliti dan untuk kepentingan study
yang bersangkutan yang dapat berupa interview atau observasi.
2. Data sekunder, yaitu data yang diperoleh/dikumpulkan dan disatukan oleh
study-study sebelumnya data yang diterbitkan oleh instansi lain.
3. Data sekunder, yaitu data yang diperoleh secara tidak langsung dari objek yang
diteliti, biasanya data tersebut diperoleh dari pihak ketiga baik dari objek
secara individual (responden) maupun dari suatu badan yang secara sengaja
mengungkapkan fakta kepada pihak kedua untuk kemudian pihak kedua
Universitas Sumatera Utara
8
tersebut mengeksploitasi fakta dimaksud pada media massa atau media lainnya,
untuk kemudian data (fakta) tersebut digunakan kembali oleh peneliti sebagai
acuan dalam penulisannya.
Berdasarkan teknik pengumpulannya, data digolongkan menjadi dua, yaitu:
1. Data cross section, adalah datang yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu
untuk menggambarkan keadaan dan kegiatan pada waktu tersebut. Misalnya
data penelitian yang menggunakan kuesioner
2. Data time series/berkala, adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu
untuk melihat perkembangan suatu kejadian/kegiatan selama periode tersebut,
misalnya perkembangan yang beredar.
Data menurut sumbernya dibagai menjadi dua, yaitu:
1. Data Internal, yaitu data yang menggambarkan keadaan dalam suatu organisasi
(suatu badan) yang digunakan untuk keperluan sendiri.
2. Data eksternal, yaitu data yang diperoleh dari luar untuk keperluan suatu
instansi (lembaga) tersebut, (Andi S,2007)
2.3 Peramalan
Peramalan merupakan teknik untuk memprediksi keadaan di masa yang akan
datang berdasarkan kondisi di masa lalu maupun kondisi saat ini. Berdasarkan
periodenya, peramalan dibagi menjadi 3 bentuk (Montgomery, dkk, 2008):
1. Jangka Pendek (Short Term)
Peramalan jangka pendek meliputi kurun waktu mulai dari hari, minggu,
sampai bulan. Data historis sangat relevan dalam peramalan ini, karena jangka
waktu peramalan sangat singkat. Contoh peramalan jangka pendek adalah
peramalan penjualan produk satu bulan ke depan.
2. Jangka Menengah (Medium Term)
Peramalan jangka menengah meliputi kurun waktu mulai dari satu musim
(triwulan, kuartal, atau lainnya) sampai dua tahun ke depan. Dalam peramalan
Universitas Sumatera Utara
9
jangka menengah, data historis masih dianggap relevan. Salah satu contoh
peramalan jangka menengah adalah peramalan anggaran produksi.
3. Jangka Panjang (Long Term)
Data di masa lalu kurang relevan dalam peramalan jangka panjang. Hal ini
disebabkan oleh peramalan jangka panjang meliputi kurun waktu dua tahun ke
depan atau lebih. Dalam peramalan harga saham, peramalan jangka panjang
biasanya menggunakan analisis fundamental dan intuisi.
Jenis-jenis Peramalan
Peramalan dapat dibedakan atas peramalan kuantitatif dan peramalan kualitatif.
Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas:
a. Metode Regresi (kausal)
Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola
hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang
mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa
faktor-faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat
dengan satu atau lebih variabel bebas.
Metode regresi ini terdiri dari:
1. Metode regresi dan korelasi
2. Metode ekonometrika
3. Metode input dan output.
b. Runtun Waktu
Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan
analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu,
yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data
historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa
pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data
yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh peramalan pada masa
yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha
Universitas Sumatera Utara
10
menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa.
Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari:
1. Metode Smoothing
2. Metode Box-Jenkins
3. Metode Trend dan regresi
2.4 Beberapa Uji yang Digunakan
2.4.1 Uji Musiman
Untuk mengetahui adanya komponen musiman, dilakukan uji musiman. Hipotesa
ujinya adalah sebagai berikut:
: Data tidak dipengaruhi musiman
: Data dipengaruhi musiman
Untuk mencari jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata digunakan rumus sebagai
berikut:
dengan:
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah nilai pengamatan
= Ukuran sampel percobaan
dengan:
= Jumlah kuadrat (JK) antar kelompok
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah nilai pengamatan
= Ukuran sampel percobaan
Universitas Sumatera Utara
11
dengan:
dengan:
= Jumlah kuadrat data aktual
= Jumlah kuadrat (JK) dalam kelompok
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah kuadrat (JK) antar kelompok
Jadi,
Kemudian disusun dalam tabel ANAVA
Tabel 2.2 Perhitungan Anava Uji Musiman
Sumber
Derajat
Jumlah
Jumlah Kuadrat
Variasi
Bebas
Kuadrat
Rata-rata
Statistik Uji
Antar
Musiman
Dalam
Musiman
Total
dengan:
= Menyatakan musiman
n = Periode musiman
Maka kriteria pengujiannya adalah:
: Diterima jika Fhitung >
: Ditolak jika Fhitung ≤
Universitas Sumatera Utara
12
2.5 Klasifikasi Model Box–Jenkins
Model Box–Jenkins dikelompokkan kedalam tiga kelompok, yaitu:
1. Model Autoregressive (AR)
2. Model Rataan Bergerak/Moving Average (MA)
3. Model Campuran Autoregressive Moving Average (ARMA)
4. Model Autoregressive Integrate Moving Average (ARIMA)
2.5.1 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan
kemudian dikembangkan oleh Walker (1931) Model AR (Autoregressive) pada
orde p menyatakan pengamatan pada waktu ke-t berhubungan linier dengan
pengamatan waktu sebelumnya (t – 1), (t – 2) ,…, (t – p). Bentuk fungsi
persamaan untuk model AR pada orde p dinyatakan sebagai berikut:
Persamaan umum dari model ARIMA (p, 0, 0):
dengan:
= Nilai data pada suatu periode t
= Nilai Konstanta
= Parameter Autoregressive ke – 1
= Nilai galat pada saat t
2.5.2 Model Rataan Bergerak/ Moving Average (MA)
Model Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan
tetapi Wold (1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dan proses kombinasi
ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arahidentifikasi efisien dan prosedur penaksiran (untuk proses AR,MA dan ARMA
campuran), perluasan dari hasil tersebut untuk mencakup deret berkala musiman
(seasonal time series) dan pengembangan sederhana yang mencakup prosesproses non stasioner (non-stasionary processes) dan berguna untuk menjelaskan
suatu pengamatan pada waktu t dinyatakan sebagai kombinasi linier dari sejumlah
residual. Bentuk fungsi persamaan umtuk model MA pada orde q dinyatakan
sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
13
ARIMA (0, 0, q) :
dengan:
: Parameter-parameter Moving Average
: nilai galat pada saat t-q
2.5.3 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ARMA merupakan model gabungan antara model AR (Autoregressive)
dan MA (Moving Average) yang kadang ditulis dengan notasi ARMA (p, q).
Bentuk fungsi model ARMA pada orde p dan q dinotasikan sebagai berikut:
ARIMA (1, 0, 1)
2.5.4
Model Autoregressive Integrate Moving Avegare (ARIMA)
Model ARIMA (p, d, q) yang dikenalkan oleh Box dan Jenkins (1976) dengan p
sebagai orde operator dari AR, d merupakan orde differencing dan q sebagai orde
operator dari MA. Model ini digunakan untuk data time series yang telah stasioner
setelah dilakukan differencing sebanyak d kali yaitu dengan menghitung selisih
pengamatan dengan pengamatan sebelumnya dimana bentuk persamaan untuk
model ARIMA adalah sebagai berikut:
ARIMA (1, 1, 1)
dengan:
: Pembedaan Pertama
: AR(1)
: MA(1)
atau bisa juga dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
14
2.6 Kestasioneran Data
Menurut Lerbin R, dkk (2002) kestasioneran data diperiksa dengan analisis
autokorelasi dan autokorelasi parsial. Data yang dianalisis dalam ARIMA adalah
data yang bersifat stasioner, yaitu data yang rata-rata dan variansinya relatif
konstan dari periode ke periode.
Pemeriksaan kestasioneran suatu data lazim juga dilakukan dengan
menggambarkan data tersebut untuk setiap periode sehingga dapat diamati apakah
secara rata-rata nilai datanya relative konstan atau tidak, dan apakah
penyebarannya (variansinya) relatif konstan atau tidak. Jika rata-rata dan
variansinya relatif konstan, berarti data tersebut tergolong stasioner, dan
sebaliknya.
2.7 White Noise
Proses White noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada
analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya
korelasi residual antar lag. Statistik uji yang digunakan yaitu uji Ljung BoxPierce.
2.8 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
2.8.1 Fungsi Autokorelasi
Koefisien Autokorelasi merupakan derajat hubungan antara
dan
.
dengan:
= Koefisien Autokorelasi
= Data aktual pada periode t
= Nilai tengah mean dari data aktual
= Data aktual pada periode t dengan time lag (ketinggalan) k
2.8.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara
dan
, apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,...,k dianggap terpisah. Dalam
Universitas Sumatera Utara
15
analisa deret berkala koefisien autokorelasi persial digunakan untuk membentuk
menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.
Koefisien autokorelasi parsial berorde m didefinisikan sebagai koefisien
autoregressive terakhir dari model AR(m). Nilai koefisien autokorelasi parsial
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
dengan:
= Data aktual
= Parameter autoregressive ke-k
= Nilai keterlambatan pada saat k periode
= Kesalahan ramalan
2.9 Pemeriksaan Ketepatan Model
Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah
menguji apakah model yang didefinisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan
pemeriksaan terhadap:
2.9.1
Nilai Sisaan Residual
Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau
kesalahan antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model
sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan
berikut:
dengan:
= Kesalahan ramalan
= Data aktual
= Nilai ramalan
Universitas Sumatera Utara
16
2.9.2
Statistik Box-Pierce
Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisaan (residu) berpola acakan
(bersifat white noise), digunakan statistik box-pierce dengan rumus sebagai
berikut:
dengan:
T : banyaknya data
K : banyaknya lag yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
2.10
Peramalan Dengan Model ARIMA Box–Jenkins
Setelah parameter-parameter model ARIMA diestimasi, maka langkah selanjutnya
adalah menggunakan model tersebut untuk peramalan. Agar model yang telah
didapat dapat diramalkan, maka model tersebut harus dikembangkan dalam
bentuk persaman regresi biasa, yaitu:
dengan:
= Data aktual
= Nilai keterlambatan pertama
= Parameter autoregressive ke-i
= Konstanta
= Nilia rata-rata bergerak Moving Average
= Sisaan (residu) ke-t
Untuk meramalkan satu periode ke depan yaitu
(1), maka ditambahkan satu
angka indeks yang menunjukkan waktu, yaitu:
dengan:
= Nilai peramalan satu periode ke depan
= Data aktual
= Nilai keterlambatan pertama
= Parameter autoregressive ke-i
Universitas Sumatera Utara
17
= Konstanta
= Nilia rata-rata bergerak Moving Average
= Sisaan (residu) ke-t
Untuk mengetahui ketepatan ramalan dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang
merupakan ukuran ketepatan ramalan.
1. MSE (Mean Square Error)
dengan:
= Data aktual
= Data hasil ramalan
= Banyak sistem (residu)
2. RMSE (Root Mean Square Error)
RMSE merupakan hasil akar dari nilai MSE
3. MAPE (Mean Absolute Presentase Error)
dengan:
= Data aktual
= Data hasil ramalan
= Banyak periode ramalan
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Iklim
Iklim ialah suatu keadaan rata-rata dari cuaca di suatu daerah dalam periode
tertentu. Curah hujan ialah suatu jumlah hujan yang jatuh di suatu daerah pada
kurun waktu tertentu. Untuk mengetahui besarnya curah hujan digunakan alat
pengukur curah hujan yang disebut dengan penakar hujan (Rain Gauge).
2.2 Data
Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori, misalnya:
rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal dan sebagainya, atau bisa berbentuk
bilangan. Kesemuanya ini dinamakan data atau lengkapnya data statistik,
(Sudjana, 2000).
Menurut sifatnya, data dapat digolongkan menjadi dua, yaitu:
1. Data kualitatif, yaitu data yang disajikan dalam bentuk kata-kata yang
mengandung makna (tidak berbentuk angka)
2. Data kuantitatif, yaitu data yang dipaparkan dalam bentuk angka-angka
Berdasarkan cara memperolehnya, data dapat dibagi menjadi dua, yaitu:
1. Data primer, yaitu data yang dikumpulkan sendiri oleh perorangan atau suatu
organisasi secara langsung dari objek yang diteliti dan untuk kepentingan study
yang bersangkutan yang dapat berupa interview atau observasi.
2. Data sekunder, yaitu data yang diperoleh/dikumpulkan dan disatukan oleh
study-study sebelumnya data yang diterbitkan oleh instansi lain.
3. Data sekunder, yaitu data yang diperoleh secara tidak langsung dari objek yang
diteliti, biasanya data tersebut diperoleh dari pihak ketiga baik dari objek
secara individual (responden) maupun dari suatu badan yang secara sengaja
mengungkapkan fakta kepada pihak kedua untuk kemudian pihak kedua
Universitas Sumatera Utara
8
tersebut mengeksploitasi fakta dimaksud pada media massa atau media lainnya,
untuk kemudian data (fakta) tersebut digunakan kembali oleh peneliti sebagai
acuan dalam penulisannya.
Berdasarkan teknik pengumpulannya, data digolongkan menjadi dua, yaitu:
1. Data cross section, adalah datang yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu
untuk menggambarkan keadaan dan kegiatan pada waktu tersebut. Misalnya
data penelitian yang menggunakan kuesioner
2. Data time series/berkala, adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu
untuk melihat perkembangan suatu kejadian/kegiatan selama periode tersebut,
misalnya perkembangan yang beredar.
Data menurut sumbernya dibagai menjadi dua, yaitu:
1. Data Internal, yaitu data yang menggambarkan keadaan dalam suatu organisasi
(suatu badan) yang digunakan untuk keperluan sendiri.
2. Data eksternal, yaitu data yang diperoleh dari luar untuk keperluan suatu
instansi (lembaga) tersebut, (Andi S,2007)
2.3 Peramalan
Peramalan merupakan teknik untuk memprediksi keadaan di masa yang akan
datang berdasarkan kondisi di masa lalu maupun kondisi saat ini. Berdasarkan
periodenya, peramalan dibagi menjadi 3 bentuk (Montgomery, dkk, 2008):
1. Jangka Pendek (Short Term)
Peramalan jangka pendek meliputi kurun waktu mulai dari hari, minggu,
sampai bulan. Data historis sangat relevan dalam peramalan ini, karena jangka
waktu peramalan sangat singkat. Contoh peramalan jangka pendek adalah
peramalan penjualan produk satu bulan ke depan.
2. Jangka Menengah (Medium Term)
Peramalan jangka menengah meliputi kurun waktu mulai dari satu musim
(triwulan, kuartal, atau lainnya) sampai dua tahun ke depan. Dalam peramalan
Universitas Sumatera Utara
9
jangka menengah, data historis masih dianggap relevan. Salah satu contoh
peramalan jangka menengah adalah peramalan anggaran produksi.
3. Jangka Panjang (Long Term)
Data di masa lalu kurang relevan dalam peramalan jangka panjang. Hal ini
disebabkan oleh peramalan jangka panjang meliputi kurun waktu dua tahun ke
depan atau lebih. Dalam peramalan harga saham, peramalan jangka panjang
biasanya menggunakan analisis fundamental dan intuisi.
Jenis-jenis Peramalan
Peramalan dapat dibedakan atas peramalan kuantitatif dan peramalan kualitatif.
Pada dasarnya metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas:
a. Metode Regresi (kausal)
Metode peramalan kausal ini didasarkan atas penggunaan analisa pola
hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang
mempengaruhinya, yang bukan waktu. Metode ini mengasumsikan bahwa
faktor-faktor yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat
dengan satu atau lebih variabel bebas.
Metode regresi ini terdiri dari:
1. Metode regresi dan korelasi
2. Metode ekonometrika
3. Metode input dan output.
b. Runtun Waktu
Metode peramalan deret berkala (time series) didasarkan atas penggunaan
analisa pola hubungan antar variabel yang diperkirakan dengan variabel waktu,
yang merupakan deret waktu (time series). Metode peramalan deret waktu data
historis dianalisa untuk mengidentifikasi pola data dan diasumsikan bahwa
pola data tersebut akan terus berlanjut pada masa yang akan datang. Pola data
yang diperoleh kemudian dianalisa untuk memperoleh peramalan pada masa
yang akan datang. Dalam model peramalan deret waktu tidak ada usaha
Universitas Sumatera Utara
10
menemukan faktor yang mempengaruhi terhadap data historis yang dianalisa.
Metode peramalan deret waktu ini terdiri dari:
1. Metode Smoothing
2. Metode Box-Jenkins
3. Metode Trend dan regresi
2.4 Beberapa Uji yang Digunakan
2.4.1 Uji Musiman
Untuk mengetahui adanya komponen musiman, dilakukan uji musiman. Hipotesa
ujinya adalah sebagai berikut:
: Data tidak dipengaruhi musiman
: Data dipengaruhi musiman
Untuk mencari jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata digunakan rumus sebagai
berikut:
dengan:
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah nilai pengamatan
= Ukuran sampel percobaan
dengan:
= Jumlah kuadrat (JK) antar kelompok
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah nilai pengamatan
= Ukuran sampel percobaan
Universitas Sumatera Utara
11
dengan:
dengan:
= Jumlah kuadrat data aktual
= Jumlah kuadrat (JK) dalam kelompok
= Jumlah kuadrat (JK) untuk rata-rata
= Jumlah kuadrat (JK) antar kelompok
Jadi,
Kemudian disusun dalam tabel ANAVA
Tabel 2.2 Perhitungan Anava Uji Musiman
Sumber
Derajat
Jumlah
Jumlah Kuadrat
Variasi
Bebas
Kuadrat
Rata-rata
Statistik Uji
Antar
Musiman
Dalam
Musiman
Total
dengan:
= Menyatakan musiman
n = Periode musiman
Maka kriteria pengujiannya adalah:
: Diterima jika Fhitung >
: Ditolak jika Fhitung ≤
Universitas Sumatera Utara
12
2.5 Klasifikasi Model Box–Jenkins
Model Box–Jenkins dikelompokkan kedalam tiga kelompok, yaitu:
1. Model Autoregressive (AR)
2. Model Rataan Bergerak/Moving Average (MA)
3. Model Campuran Autoregressive Moving Average (ARMA)
4. Model Autoregressive Integrate Moving Average (ARIMA)
2.5.1 Model Autoregressive (AR)
Model Autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan
kemudian dikembangkan oleh Walker (1931) Model AR (Autoregressive) pada
orde p menyatakan pengamatan pada waktu ke-t berhubungan linier dengan
pengamatan waktu sebelumnya (t – 1), (t – 2) ,…, (t – p). Bentuk fungsi
persamaan untuk model AR pada orde p dinyatakan sebagai berikut:
Persamaan umum dari model ARIMA (p, 0, 0):
dengan:
= Nilai data pada suatu periode t
= Nilai Konstanta
= Parameter Autoregressive ke – 1
= Nilai galat pada saat t
2.5.2 Model Rataan Bergerak/ Moving Average (MA)
Model Moving Average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan
tetapi Wold (1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dan proses kombinasi
ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arahidentifikasi efisien dan prosedur penaksiran (untuk proses AR,MA dan ARMA
campuran), perluasan dari hasil tersebut untuk mencakup deret berkala musiman
(seasonal time series) dan pengembangan sederhana yang mencakup prosesproses non stasioner (non-stasionary processes) dan berguna untuk menjelaskan
suatu pengamatan pada waktu t dinyatakan sebagai kombinasi linier dari sejumlah
residual. Bentuk fungsi persamaan umtuk model MA pada orde q dinyatakan
sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
13
ARIMA (0, 0, q) :
dengan:
: Parameter-parameter Moving Average
: nilai galat pada saat t-q
2.5.3 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Model ARMA merupakan model gabungan antara model AR (Autoregressive)
dan MA (Moving Average) yang kadang ditulis dengan notasi ARMA (p, q).
Bentuk fungsi model ARMA pada orde p dan q dinotasikan sebagai berikut:
ARIMA (1, 0, 1)
2.5.4
Model Autoregressive Integrate Moving Avegare (ARIMA)
Model ARIMA (p, d, q) yang dikenalkan oleh Box dan Jenkins (1976) dengan p
sebagai orde operator dari AR, d merupakan orde differencing dan q sebagai orde
operator dari MA. Model ini digunakan untuk data time series yang telah stasioner
setelah dilakukan differencing sebanyak d kali yaitu dengan menghitung selisih
pengamatan dengan pengamatan sebelumnya dimana bentuk persamaan untuk
model ARIMA adalah sebagai berikut:
ARIMA (1, 1, 1)
dengan:
: Pembedaan Pertama
: AR(1)
: MA(1)
atau bisa juga dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
14
2.6 Kestasioneran Data
Menurut Lerbin R, dkk (2002) kestasioneran data diperiksa dengan analisis
autokorelasi dan autokorelasi parsial. Data yang dianalisis dalam ARIMA adalah
data yang bersifat stasioner, yaitu data yang rata-rata dan variansinya relatif
konstan dari periode ke periode.
Pemeriksaan kestasioneran suatu data lazim juga dilakukan dengan
menggambarkan data tersebut untuk setiap periode sehingga dapat diamati apakah
secara rata-rata nilai datanya relative konstan atau tidak, dan apakah
penyebarannya (variansinya) relatif konstan atau tidak. Jika rata-rata dan
variansinya relatif konstan, berarti data tersebut tergolong stasioner, dan
sebaliknya.
2.7 White Noise
Proses White noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada
analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya
korelasi residual antar lag. Statistik uji yang digunakan yaitu uji Ljung BoxPierce.
2.8 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
2.8.1 Fungsi Autokorelasi
Koefisien Autokorelasi merupakan derajat hubungan antara
dan
.
dengan:
= Koefisien Autokorelasi
= Data aktual pada periode t
= Nilai tengah mean dari data aktual
= Data aktual pada periode t dengan time lag (ketinggalan) k
2.8.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Koefisien autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara
dan
, apabila pengaruh dari time lag 1,2,3,...,k dianggap terpisah. Dalam
Universitas Sumatera Utara
15
analisa deret berkala koefisien autokorelasi persial digunakan untuk membentuk
menetapkan model ARIMA yang tepat untuk peramalan.
Koefisien autokorelasi parsial berorde m didefinisikan sebagai koefisien
autoregressive terakhir dari model AR(m). Nilai koefisien autokorelasi parsial
dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
dengan:
= Data aktual
= Parameter autoregressive ke-k
= Nilai keterlambatan pada saat k periode
= Kesalahan ramalan
2.9 Pemeriksaan Ketepatan Model
Setelah berhasil menaksir nilai-nilai parameter, langkah selanjutnya adalah
menguji apakah model yang didefinisikan telah tepat. Untuk itu dilakukan
pemeriksaan terhadap:
2.9.1
Nilai Sisaan Residual
Model yang telah ditetapkan akan memperlihatkan perbedaan residu atau
kesalahan antara nilai-nilai data deret waktu dan nilai-nilai estimasi dari model
sangat kecil atau tidak berarti. Kesalahan ramalan dapat diperoleh dari persamaan
berikut:
dengan:
= Kesalahan ramalan
= Data aktual
= Nilai ramalan
Universitas Sumatera Utara
16
2.9.2
Statistik Box-Pierce
Untuk memeriksa apakah autokorelasi nilai-nilai sisaan (residu) berpola acakan
(bersifat white noise), digunakan statistik box-pierce dengan rumus sebagai
berikut:
dengan:
T : banyaknya data
K : banyaknya lag yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
2.10
Peramalan Dengan Model ARIMA Box–Jenkins
Setelah parameter-parameter model ARIMA diestimasi, maka langkah selanjutnya
adalah menggunakan model tersebut untuk peramalan. Agar model yang telah
didapat dapat diramalkan, maka model tersebut harus dikembangkan dalam
bentuk persaman regresi biasa, yaitu:
dengan:
= Data aktual
= Nilai keterlambatan pertama
= Parameter autoregressive ke-i
= Konstanta
= Nilia rata-rata bergerak Moving Average
= Sisaan (residu) ke-t
Untuk meramalkan satu periode ke depan yaitu
(1), maka ditambahkan satu
angka indeks yang menunjukkan waktu, yaitu:
dengan:
= Nilai peramalan satu periode ke depan
= Data aktual
= Nilai keterlambatan pertama
= Parameter autoregressive ke-i
Universitas Sumatera Utara
17
= Konstanta
= Nilia rata-rata bergerak Moving Average
= Sisaan (residu) ke-t
Untuk mengetahui ketepatan ramalan dapat dihitung nilai MSE dan MAPE yang
merupakan ukuran ketepatan ramalan.
1. MSE (Mean Square Error)
dengan:
= Data aktual
= Data hasil ramalan
= Banyak sistem (residu)
2. RMSE (Root Mean Square Error)
RMSE merupakan hasil akar dari nilai MSE
3. MAPE (Mean Absolute Presentase Error)
dengan:
= Data aktual
= Data hasil ramalan
= Banyak periode ramalan
Universitas Sumatera Utara