PENGAJAR : Citra Noviyasari, S.Si, MT

MATERI PERKULIAHAN

  (Lingkungan Internal MI – UNIKOM) UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA JURUSAN MANAJEMEN INFORMATIKA DISAJIKAN PADA SEMESTER V

PENGAJAR : Citra Noviyasari, S.Si, MT

• 2 08 09

  9 19 11 Fungsi & Relasi

  15 31 12 Kuis

  Implementasi Algoritma Floyd dan Djikstra

  14 24 12 Mencari Jarak Terpendek

  13 17 12 Lintasan Tugas

  12 10 12 Graf

  11 3 12 Pengantar Graf

  10 26 11 Sifat Relasi Biner Tugas

  8 UTS

  Rencana Perkuliahan Minggu Materi Tugas

  7 27 10 Kombinatorial Tugas

  6 20 10 Induksi Matematika Tugas

  5 13 10 Preposisi Tugas

  4 22 09 Prinsip Inklusi & Eksklusi Tugas

  3 15 09 Himpunan Tugas

  Silabi

  1 03 09 Kosong (PMB, Wisudda)

  16 UAS Ketentuan Perkuliahan :

  1. Mengikuti edaran Ketua Jurusan MI 2. Tidak ada susulan untuk nilai tugas atau yang lainnya, selain UTS dan UAS.

  Ketentuan Penilaian : UTS : 35 % UAS : 35 % Tugas Individu : 30 % Daftar Pustaka :

  1. Liu, C. L, 1995, Dasar-Dasar Matematika Diskret, Gramedia, Jakarta

  2. Munir, Rinaldi, 2003, Matematika Diskret, Informatika, Bandung

  

PREPOSISI

  Ilmu logika berkaitan dengan kalimat-kalimat berupa argumen dan hubungan yang ada di antara kalimat tersebut. Ilmu Logika lebih mengarah pada bentuk kalimat (sintaks

  ) daripada arti kalimat (semantiks).

  Preposisi atau kalimat deklaratif adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi bukan keduanya Contoh : 2 + 3 = 5

  OPERATOR PREPOSISI Satu atau lebih preposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan preposisi baru.

  Preposisi yang diperoleh dari kombinasi tersebut dinamakan preposisi majemuk. Preposisi yang hanya terdiri dari 1 operator dikatakan preposisi atomic. Operator preposisi terdiri dari :

  „ Negasi (Ingkaran) : ~ „ Konjungsi (Dan) :

  Λ

  „ Disjungsi (Atau) : V „

  Implikasi (Jika.. Maka..) : Æ

  „ Bi-Implikasi (..Jika hanya jika..) : ↔

  Untuk menghindari konotasi berbeda dari preposisi majemuk, maka ditentukan table

  n

  kebenaran dari preposisi tersebut. Suatu table kebenaran akan memuat 2 kombinasi preposisi.

  Tabel Kebenaran

  p q ~ p p p V q p Æ q p Λ q ↔ q

  B B S S B B B B S S S B S S S B B S B B S S S B B S B B Dalam programming, nilai untuk B (True) = 1, dan S (False) = 0.

  Soal :

  e) ((~p V q) Λ ~r) Æ (r Λ ~s)

  e) ~(p Æ q) Æ p ⇔ p

  d) (p Λ q) Æ (p V q) ⇔ ~(p Λ q) V (p V q)

  c) p V (q V r) ⇔ (p V q) V r

  b) (q V r) ⇔ (p Λ q) V (p Λ r)

  a) p Λ q ⇔ ~p V ~q

  1. Dengan menggunakan tabel kebenaran periksalah ekuivalensi dari preposisi berikut :

  „ Kontingensi Ækalimat yang dapat bernilai benar dan salah Soal :

  Kontradiksi Æ kalimat yang selalu salah

  „ Tautologi Æ kalimat yang selalu benar „

  Dua preposisi majemuk disebut ekuivalen secara logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yang sama. (notasi : ⇔)

  EKUIVALENSI

  d) ~(p V q) Λ ~(s V r)

  1. Buatlah table kebenaran dari pernyataan berikut :

  c) (~(p Λ q) V ~ r ) V (((~p Λ q) V ~ r) Λ s)

  b) ( p Λ q Λ r) V ~ ((p V q) Λ (r V s)

  a) p V ( q Λ r)

  2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut : (nilai p dan q = True, r dan s = False)

  g) (p Λ q) V (~ q Λ r)

  f) (~p Λ (~ q Λ r)) V (q Λ r) V (p Λ r)

  e) (p Æ q) Λ (~ p V q)

  d) p Æ( q Λ ~ p) V q)

  c) (p Æ q) Λ ~ (p V q)

  ↔ q)

  b) ~ (~p

  a) ~ (~ p V~ q)

  2. Buktikan bahwa pernyataan berikut adalah tautology dengan menggunakan tabel kebenaran : (p ∨ (p → q)) → (¬q→ (p ∧ r))

HUKUM PREPOSISI

  1. Hukum Identitas p V S ⇔ p p

  Λ B ⇔ p

  2. Hukum Dominasi / Null p Λ S ⇔ S p V B ⇔ B

  3. Hukum Negasi p V ~p ⇔ B p

  Λ ~p ⇔ S

  4. Hukum Idempotent ⇔ p p V p p

  Λ p ⇔ p

  5. Hukum Involusi ⇔ p

  ~(~p)

  6. Hukum Absorpsi p V (p Λ q) ⇔ p p Λ (p V q) ⇔ p

  7. Hukum Komutatif p V q ⇔ q V p p

  Λ q ⇔ q Λ p

  8. Hukum Asosiatif p V (q V r) ⇔ (p V q) V r p

  Λ (q Λ r) ⇔ (p Λ q) Λ r

  9. Hukum Distributif p V (q Λ r) ⇔ (p V q) Λ (p V r) p

  Λ (q V r) ⇔ (p Λ q) V(p Λ r)

  10. Hukum De Morgan ~(p Λ q) ⇔ ~p V ~q ~(p V q)

  ⇔ ~p Λ ~q

  Varians Preposisi

  Variasi preposisi terdapat 3 bentuk, yaitu : konvers, invers dan kontraposisi. Variasi preposisi merupakan variasi dari bentuk : p Æ q

  „ Konvers : q Æ p „ Invers : ~p Æ ~q „ Kontraposisi : ~q Æ ~p

  p q ~ p ~ q p Æ q q Æ p ~p Æ ~q ~q Æ ~p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B

  Contoh : p : A merupakan bujursangkar q : A merupakan empat persegi panjang p Æ q : Jika A merupakan bujursangkar maka A merupakan empat persegi panjang q Æ p : Jika A merupakan empat persegi panjang maka A merupakan bukan bujursangkar ~p Æ ~q : Jika A merupakan bujursangkar maka A merupakan bukan empat persegi panjang ~q Æ ~p : Jika A merupakan bukan empat persegi panjang maka A merupakan bukan bujursangkar

  Soal

  Misalkan : p : David sedang berada di taman q : David ada di dalam rumah r : David sedang mengerjakan PR s : David sedang mendengarkan radio

  1. Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk preposisi :

  a) Jika David ada di dalam rumah dan tidak mengerjakan PR, ia pasti mendengarkan radio b) Jika David tidak ada di dalam rumah, maka ia sedang mengerjakan PR di taman

  c) Jika David tidak ada di dalam rumah, maka ia pasti tidak sedang mendengarkan radio, tetapi sedang berada di taman.

  2. Nyatakan preposisi berikut dalam bentuk kalimat :

  a) (p Æ ~r) V (q Æ s)

  b) (p Λ r ) Æ ~q

  c) (p Λ r) V (q Æ ~s)

  

HIMPUNAN

  Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Penulisan anggota himpunan dapat dilakukan dengan :

  a) Menuliskan semua anggota himpunan di dalam kurung kurawal Contoh: A = {1, 2, 3, 5, 7}

  B = {a, i, u, e, o} b) Menuliskan notasi pembentuk himpunan yang mencakup karakteristik himpunan. Contoh : A = {x | x semua bilangan prima bernilai kurang dari 10}

  B = { x | x merupakan huruf vokal}

  Diargram Venn

  Diagram Venn adalah grafis yang menyatakan keadaan himpunan. Diperkenalkan oleh John Venn.

  S N R Q Z N C N : himpunan bilangan asli Z : himpunan bilangan bulat Q : himpunan bilangan rasional R : himpunan bilangan real C : himpunan bilangan kompleks S : himpunan semesta

MACAM HIMPUNAN

  1. Himpunan Kosong : { } atau ∅ Himpunan Kosong merupakan himpunan yang tidak memiliki satupun anggota (null set)

  2. Himpunan Bagian : ⊆

  Himpunan Bagian merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari himpunan yang lain. Teorema :

  a) Suatu himpunan memiliki satu himpunan bagian yang merupakan himpunan itu sendiri b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan

  c) Berlaku sifat transitif

  3. Himpunan Sama : = Himpunan (yang) sama merupakan himpunan yang memiliki jumlah anggota dan jenis anggota yang tepat sama, walau tidak berurutan.

  A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

  4. Himpunan Kuasa : ℘

  Himpunan Kuasa merupakan himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari himpunan tersebut, termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri.

  n Jumlah banyaknya anggota himpunan kuasa = 2 .

  Jumlah dan banyaknya suatu elemen dinyatakan dalam kardinalitas (| |)

5. Himpunan Semesta : S atau U(nion) Himpunan semesta adalah himpunan semua objek yang dibicarakan.

  Soal 1. Diketahui A suatu himpunan, dengan anggota semua bilangan prima antara 4 hingga 15.

  Sebutkan ℘ (A).

  2. Diketahui : B = { ∅ ,{ ∅}}. Sebutkan ℘(B).

  OPERASI HIMPUNAN Operasi Himpunan Penyelesaian Visualisasi

  Irisan A

  ∩ B = {x | x∈A dan x∈B} S A B

  Gabungan A U B = {x | x ∈A atau x∈B}

  S A B

  c

  Komplemen A = {x | x ∈ S, x∉ A}

  S A Selisih (Difference

  A - B = {x |x ∈A atau x∉B} S A B

  Beda Setangkup A ⊕ B = {x | x

  ∈(AUB), x∉ (A∩B)} (Symmetric

  S A B Difference)

• – A =

  ⊕ B ∪ A

  7. Hukum Komutatif A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

  6. Hukum Absorpsi A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A

  5. Hukum Involusi ~(~A) = A

  4. Hukum Idempotent A ∪ A = A A ∩ A = A

  3. Hukum Komplemen A ∪ ~A = S A ∩ ~A = ∅

  2. Hukum Dominasi / Null A ∩ ∅ = ∅ A ∪ S = S

  1. Hukum Identitas A ∪ ∅ = A A ∩ S = A

  =

  c

  c

  Soal

  5. C

  =

  c

  4. C – (A – B)

  3. D ⊕ A – (B ∩ A) =

  c

  ∩ D = 2. (B ⊕ C)

  c

  1. A ∪ B

  Diketahui : S = {x | semua bilangan antara 1 s/d 21} A= {x | semua bilangan prima lebih kecil dari 20} B = {x | semua bilangan ganjil antara 6 s/d 17} C = {2, 4, 7, 9, 13, 15} D = {1, 9, 12, 14, 16, 18}

HUKUM HIMPUNAN

  8. Hukum Asosiatif A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

  9. Hukum Distributif A ∪ (B ∩ C) ⇔ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) ⇔ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

  10. Hukum De Morgan ~(A ∩ B) ⇔ ~A ∪ ~B ~(A ∪ B) ⇔ ~A ∩ ~B

  PRINSIP INKLUSI & EKSLUSI

  Jika terdapat dua atau lebih himpunan yang akan digabungkan, maka harus diperhatikan apakah himpunan tersebut saling beririsan atau tidak, jika beririsan maka gabungan himpunan tersebut harus dikurangi dengan irisannya.

  a) Jika Saling Lepas n(A ∪ B) = |A| + |B| n(A ∪ B∪ C) = |A| + |B| + |C| b) Jika saling Beririsan n(A ∪ B) = |A| + |B| - |A

  ∩ B| n(A ∪ B∪ C) = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A∩ C| - |B∩ C| + |A∩ B∩ C| Bentuk Umum : |A1 ∪ A2∪.. ∪ An| = Σ | Ai| - Σ |Ai ∩ Aj| + (-1)

  n-1

  |A1 ∩ A2 ∩.. ∩ An|

  i 1 ≤ I≤ j≤ n

  Contoh :

  1. Pada suatu pertemuan, yang dihadiri 30 wanita, 17 orang keturunan Jawa, 16 orang keturunan Sunda dan 5 orang bukan keturunan Jawa maupun sunda. Berapa banyak yang merupakan keturuan Jawa dan Sunda. Misal :

  A = himpunan wanita keturunan Jawa B = himpunan wanita keturunan Sunda c

  = 5 n(A) = 17, n(B) = 16, n(A ∪ B)

  c

  n(A ∪ B) = n(S) - n(A∪ B) n(A ∪ B) = |A| + |B| - |A ∩ B| S A (30 – 5) = 17 + 16 - x

  B

  8

  9 25 = 33 – x 8 x = 33 – 25 x =

  8

  5

  2. Banyaknya bilangan antara 1 s/d 300 yang tidak habis dibagi oleh 2, 3, 5 Misal : A = himpunan bilangan yang habis dibagi 2

  B = himpunan bilangan yang habis dibagi 3 C = himpunan bilangan yang habis dibagi 5 n(A) = 300/2 = 150, n(A ∩ B) = 300/(2 . 3) = 50 n(B) = 300/3 = 100, n(A ∩ C) = 300/(2 . 5) = 30 n(C) = 300/5 = 60 n(B ∩ C) = 300/(3 . 5) = 20 n(A

  ∩ B∩C )= 300/(2 . 3 . 5) = 10 Bilangan yang tidak habis dibagi 2, 3, 5 =

  = n(S) – n(A ∪ B∪ C) = n(S) – (n|A| + n|B| + n|C| - n |A ∩ B| - n |A∩ C| - n |B∩ C| +n|A∩ B∩ C|)

  = 300 – (150 + 100 + 60 – 50 – 30 – 20 + 10) = 300 – 220

  =

  80 S A

  40

  80 B

  40

  10

  20

  10

  20 C

  80

  3. Terdapat 1232 mahasiswa mengambil kuliah bahasa Inggris, 879 mengambil kuliah bahasa Perancis, dan 114 mengambil kuliah bahasa Jerman. 103 mengambil bahasa Inggris dan Perancis, 23 orang mengambil kuliah Inggris dan Jerman, 14 orang kuliah Perancis dan Jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu kuliah bahasa saja, berapa banyak mahasiswa yang mengambil ketiga bahasa tersebut, dan gambarkan diagram Venn-nya.

  Misal : A = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Inggris B = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Perancis C = himpunan mahasiswa mengambil kuliah bahasa Jerman n(A) = 1232 n(A ∩ B) = 103 n(A ∪ B∪ C) = 2092 n(B) = 879 n(A ∩ C) = 23 n(C) = 114 n(B

  ∩ C) = 14 n(A ∪ B∪ C) = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A∩ C| - |B∩ C| + |A∩ B∩ C| 2092 = 1232 + 879 + 114 – 103 – 23 – 14 + x x = 2092 – 2225 + 140 x = 7

  Soal

  1. Diantara 130 mahasiswa, 60 memakai topi di dalam kelas, 51 memakai syal, dan 30 memakai topi dan syal, Diantara 54 orang yang memakai sweater, 26 memakai topi, 21 memakai syal dan 12 memakai syal dan topi. Berapa mahasiswa yang tidak memakai sweater dan syal, namun memakai topi?, Gambarkan diagram Venn-nya.

  7 S 1113

  16

  96 769

  7

  84 A

  B C

  90

  2. Diantara 100 mahasiswa, 32 mempelajari matematika, 20 mempelajari fisika, 45 mempelajari biologi, 15 mempelajari matematika dan biologi, 7 mempelajari matematika dan fisika, 10 mempelajari fisika dan biolagi, dan 30 tidak mempelajari satu pun diantara ketiga bidang tersebut. Berapa mahasiswa yang mempelajari hanya satu diantara ketiga bidang tersebut ?, Gambarkan diagram Venn-nya. 3. 30 Mobil dirakit disebuah pabrik. Pilihan yang tersedia adalah radio, AC dan Power

  Window. Diketahui bahwa 15 mobil mempunyai radio, 8 mobil mempunyai AC dan 6 mobil mempunyai power window. Selain itu 3 diantaranya mempunyai ketiga pilihan. Berapa mobil yang tidak memiliki pilihan sama sekali.

  

KOMBINATORIAL

  Ilmu kombinatorik ditujukan untuk mengetahui perkiraan jumlah operasi komputasi untuk mengetahui waktu proses dan besar kapasitas data. Kombinatorial adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek.

  Kaidah Dasar perhitungan kombinatorial, adalah sebagai berikut :

  1. Perhitungan Secara Langsung

  a. Kaidah Penjumlahan (m + n) “Bila percobaan kesatu mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan kedua mempunyai n hasil percobaan yang mungkin terjadi. Maka bila hanya satu percobaan yang dilakukan akan terdapat m + n kemungkinan hasil percobaan.” Contoh : Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 pria dan 3 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili kelompok tersebut.

  Æ 4 + 3 = 7 cara

  b. Kaidah Perkalian (m x n) “Bila percobaan kesatu mempunyai m hasil percobaan yang mungkin terjadi, percobaan kedua mempunyai n hasil percobaan yang mungkin terjadi. Maka bila percobaan kesatu dan kedua akan terdapat m x n kemungkinan hasil percobaan. “

  Contoh : Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 pria dan 3 wanita. Berapa jumlah cara memilih satu wakil pria dan satu wakil wanita.

  Æ 4 x 3 = 12 cara

  c. Perluasan rumusan (a) dan (b) “Percobaan untuk nomor (a) dan (b) tidak terbatas hanya dua percobaan, tetapi lebih dari dua percobaan.”

  p 1 + p 2 + p 3 + .. + p n p x p x p x .. x p

  1

  2 3 n Contoh :

  1. Jika ada 10 pertanyaan yang dijawab B/S, berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat.

  Æ 5 x 9 x 10 = 450

  Ratusan (1. . 9) - 1 = 8

  dapat dipilih sebagai unsure kedua, terdapat (n-1) cara untuk memilih unsure kedua Satuan (1, 3, 5, 7, 9) = 5 puluhan (0. . 9) – 2 = 8

  Prinsip Dasar Penghitungan Permutasi : 1) Setiap unsure dari n unsure, dapat dipilih sebagai unsure pertama sehingga terdapat n cara untuk memilih unsure pertama

  PERMUTASI Permutasi adalah penyusunan objek-objek dalam suatu urutan tertentu.

  b. Kombinasi

  a. Permutasi

  2. Perhitungan dengan rumus

  Æ 5 x 8 x 8 = 320 b) Jika semua angka boleh berulang.

  Æ B/S terdapat 2 alternatif, n = 10

  3. Berapa banyak bilangan ganjil antara 100 dan 1000 a) Jika semua angka tidak berulang.

  Æ 6 + 3 + 10 = 18

  a) Berapa jumlah cara memilih 3 buku dengan bahasa berbeda? Æ 6 x 3 x 10 = 180 b) Berapa jumlah cara memilih 1 buku secara sembarang ?

  2. Terdapat 6 buku bahasa Inggris, 3 buku bahasa Perancis dan 10 buku bahasa Indonesia.

  = 1024

  10

  2

2) Jika unsure pertama itu sudah dipilih, maka setiap dari sisanya, yaitu (n-1) unsure

3) Untuk memilih unsure ketiga, yaitu (n-2) cara. Dan untuk menempatkan unsure kesatu

  dan kedua ada : n. (n-1) . (n-2), sehingga didapat : Pn = P (n,n) = n . (n-1) . (n-2) ... 3 . 2 . 1! = n!

  Teknik perhitungan permutasi :

  1. Permutasi dari keseluruhan n unsure “ Jika n bilangan bulat positif, maka hasil perkalian bilangan tersebut dari 1 s/d n disebut n

  faktorial“

  P(n,n) = n! 2. Permutasi dari sebagian objek berbeda, dimana tidak semua objek tersebut digunakan. “Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n objek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r objek tanpa pengulangan.“

  P(n,r) = n ! .

  (n-r)!

  3. Permutasi dengan pengulangan “Terdapat n pangkat r cara untuk menyusun r objek ke dalam n objek berbeda”.

  P(n,r) = n

  r KOMBINASI

  Kombinasi adalah suatu subset pilihan dari objek-objek tanpa menghiraukan urutan objek yang bersangkutan. Teknik Penghitungan Kombinasi :

  1. Kombinasi dari seluruh objek yang berbeda “Jumlah kombinasi dari suatu set yang terdiri dari n objek yang berbeda dan diambil sebanyak n objek, maka akan sama dengan 1.”

  C(n,r) = 1!

  2. Kombinasi dari n objek yang berbeda, dipilih r objek tanpa menghiraukan susunannya, dengan syarat : 0 < r < n C(n,r) = n ! . r!(n-r)!

  3. Kombinasi dengan pengulangan “Masalah pengambilan r objek dari i benda yang berbeda dengan membolehkan pengambilan berulang, dapat dipandang sebagai penggunaan r tanda yang sama untuk menandai n benda yang berbeda, dan setiap benda dapa ditandai lebih dari satu kali.

  C(n+r-1,r) = (n+r-1) ! r!(n-1)! Contoh : 1) Sebuah bioskop mempunyai jajaran kursi per baris. Tiap baris terdiri dari 6 kursi. Jika dua orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada satu baris? Æ P(6,2) = 6! = 6! = 6.5.4.3.2.1! = 6 . 5 = 30

  (6-2)! 4! 4 . 3 . 2 . 1! 2) Terdapat perlombaan lari dengan jumlah peserta tujuh orang. Berapa kemungkinan peserta mendapatkan medali.

  Æ P(7,3) = 7! = 7! = 7. 6.5.4.3.2.1! = 7 . 6 . 5 = 210 (7-3)! 4! 4 . 3 . 2 . 1!

  3) P(n,4) = 110. P(n-2,2) , n? Æ n ! = 110 . (n-2)! (n-4)! (n-4)! n.(n-1).(n-2)! = 110 . (n-2)!

  (n-4)! (n-4)! n(n-1)=110

  2

  n -n-110 = 0 (n-11)(n+10) = 0 n = 11, n = -10

  4) P(n,4) = 9 . P(n,3) Æ n ! = 9 . n ! (n-4)! (n-3)! n ! = 9 . n ! .

  (n-4)! (n-3).(n-4)! n-3 = 9 n = 12

  Soal

  1) Terdapat koleksi buku : 4 buku basis data, 3 buku matematika, dan 6 buku pemrograman

  a) Berapa kemungkinan dapat dipilih 2 buku dengan tema berbeda

  b) Berapa kemungkinan terambil 3 buku dengan salah satunya adalah buku permrograman 2) Berapa kemungkinan 5 digit angka genap dapat disusun, dengan syarat digit pertama adalah angka ganjil dan tidak terjadi pengulangan. 3) P(n,r) = 336

  C(n,r) = 56 , n?, r? 4) P (n,r) = 6720

  C(n,r) = 56, n?, r? 5) P(n,r) = 60

  C(n,r) =10, n?, r? 6) Diketahui himpunan bilangan {1, 2, 3, 5, 8, 9}. Berapa banyak kemungkinan bilangan terdiri dari 5 digit, dengan ketentuan digit ke-3 selalu ganjil 7) 2 . C (9,r) = 3. C(8,r), r?

INDUKSI MATEMATIKA

2 Maka untuk nilai basis :

  2 = k(k+1) + 2 . (k+1) 2 2 = (k

  2

  2 Misal : k = 1 Æ (1+1) . (1+2) = 3

  2 = (k+1) (k+2)

  2

  2 = k

  2

  2 n = k+1 Æ1 + 2 + . . + k + (k+1) = k(k+1) + (k+1)

  Serangkaian langkah-langkah perhitungan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika benar, dan berlaku untuk semua nilai n. (n adalah bilangan bulat positif) Langkah Pembuktian terbagi 2, yaitu :

  Æ 1 + 2 + . . + k = k (k+1)

  2 2) Langkah induksi n = k

  1) Nilai Basis no = 1 Æ 1 = 1. (1+1) 2 1 = 1 . 2 , Terbukti no = 1 bernilai benar

  Contoh : 1. 1 + 2 + .. + n = n ( n+1) , untuk n ≥ 1

  Jika p(k) benar untuk k ≥ no maka p(k+1) selalu benar

  2. Langkah Induksi Untuk pernyataan semua nilai benar sehingga jika nilai tersebut ditambah satu maka pernyataan tetap benar.

  P(no) selalu benar

  1. Basis Induksi Untuk pernyataan dengan nilai dasar bernilai benar.

• k) + (2k+2)
• 3k + 2
• k) + (2k+2) = k

• 3k + 2 = (k+1) (k+2)

• .. + 2
• – 1 Maka untuk nilai basis : 1) Nilai Basis no = 0 Æ 1 = 2
• 1) 1 = 2
• 1 1 = 1, Terbukti no = 0 bernilai benar

• .. + 2
• – 1 n = k+1 Æ1 + 2 + 2
• .. + 2
• 2
• – 1 + 2
• 1 Misal : k = 1 Æ 2

  = 2

  k+1

  2

  k

  k+1

  = 2

  k+1

  k+1

  = 2 . (2

  k+1

  ) - 1 = 2 . 2 k .

  . 2 - 1 = 2

  k+2

  1+2

  k

  2) Langkah induksi n = k Æ 1 + 2 + 2

  2

  2

  2. 2 + 4 + 6 + . . + 2n = n(n+1) Maka untuk nilai basis : 1) Nilai Basis no = 1 Æ 2 = 1. (1+1)

  1 = 1 . 2 , Terbukti no = 1 bernilai benar 2) Langkah induksi n = k

  Æ 2 + 4 + . . + 2k = k (k+1) n = k+1 Æ2 + 4 + . . + k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)

  = (k

  2

  Misal : k = 1 Æ (1+1) . (1+2) = 2. 3 = 6

  1

  3. 1 + 2 + 2

  2

  n

  = 2

  n+1

  0+1

  3

• – 1 = 2
• 1 = 2. 3 = 8 – 1 = 7

  Soal

  1. 4 + 8 + 12 + . . + 4 n = 2n(n+1) 2. 1 + 5 + 9 + . . + (4n-3) = n (2n-1)

  2

  2

  2

  2

  3. 1 + 3 + 5 + . . + (2n-1) = n (2n+1)(2n-1)

  3 4. 2 + 5 + 8 + . . + (3n-1) = n(3n+1)

  2 5. 5 + 10 + 15 + . . + 5n = 5n(n+1)

  2

  2

  2

  2

  2

  6. 1 + 2 + 3 + . . + n = n(n+1).(2n+1)

  2 7. 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . + n(n+1) = n(n+1)(n+2)

  3

  3

  3

  3

  3

  2

  2

  8. 1 + 2 + 3 + . . + n = n (n+1)

  4

  2 3 n n+1

  9. 2 + 2 + 2 + .. + 2 = 2 – 2

  2

  10. 1 + 2 + 3 + . . + n < 1/8 (2n+1) 11. 1 + 1 + 1 + . . + 1 = n . 1 . 2 2 . 3 3 . 4 n(n+1) n+1

  2

  2

  2

  12. 1 + 2 + . . + n = n(n+1) 1 . 3 3 . 5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 13. 1 + 2 + . . + 1 = n . 1 . 3 3 . 5 (2n-1)(2n+1) 2n+1 14. 1 + 1 + 1 + . . + 1 = n . 1 . 4 4 . 7 7 . 10 (3n-2)(3n+1) 2n+1

  FUNGSI Teorema 1 :

  Misal A dan B adalah himpunan suatu fungsi dari A ke B adalah pe nandaan tepat satu kali dari satu elemen dari himpunan A, ke setiap elemen dari himpunan B.

  Jika b unik dan elemen dari B ditandai oleh fungsi f dari elemen a di A

  F(a) = b f : A Æ B fungsi dari A ke B.

  Teorema 2 :

  Jika f adalah fungsi dari A ke B, disebut f memetakan A ke B, maka A adalah domain dari f , dan B adalah kodomain dari f. maka b adalah image (daerah bayangan) dari a,

  Jika f(a) = b dan a adalah pre-image (daerah bayangan awal) dari b.

  Range dari f adalah seluruh images dari A.

  Macam Fungsi Fungsi Visualisai

  one to one (injective) a 1 b 2 c 3 d 4 e onto (surjective)

  1 a 2 b 3 c 4 correspondence one to one

  1 (bijective) a

  2 b 3 c 4 d Into 1 a 2 b 3 c

  4 Contoh : Tentukan macam-macam fungsi berikut : 1) A = {1, 2, 3}, B = {u, v, w} dan R = {{1, u}, {2, v}, {3, w}} 2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {2, v}, {3, w}} 3) A = {1, 2, 3}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {1, v}, {2, v}, {3, w}} 4) A= {1, 2, 3}, B = {u, v, w}, dan R = {{1, u}, {2, u}, {3, w}}

  Soal

  Diketahui : A dan B adalah suatu himpunan, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {u, v, w, x} Jika R adalah himpunan pemetaan dari A ke B, maka tentukan macam fungsi berikut :

  1) R = {{1, v}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 2) R = {{1, x}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 3) R = {{1, u}, {2, u}, {3, v}, {4, w}} 4) R = {{1, u}, {1, v}, {2, w}, {3, x}, {4, x}}

  RELASI Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A X B.

  Notasi : R ⊆ (A X B)

   A X B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}

  Jika (a,b) ∈ R, maka dituliskan a R b, artinya a dihubungkan dengan b oleh R Jika (a,b) ∈ R, maka dituliskan a R b, artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh R.

  Representasi Relasi Jenis Visualisasi

  A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

  R = {(a,1), (b,2), (b,4), (c,3)} Diagram Panah

  1 a 2 b 3 c

  4 Tabel Relasi A B a 1 b 2 b 4 c 3

  A = {a, b, c, d} R = {(a,a), (a,d), (b,b), (b,c), (c,a), (c,c), (d,c)} Matriks

  1 0 0 1

  mij = 1 jika (ai, bj) ∈ R

  0 1 1 0 M =

   mij = 0 jika (ai, bj)

  ∉ R 1 0 1 0 0 0 1 0 Graf berarah a b Relasi yang dapat direpresentasikan dalam graf berarah adalah relasi pada satu himpunan dan bukan dari satu himpunan ke himpunan d c yang lain.

  In-degree dari suatu titik adalah jumlah anak a b c d panah yang masuk atau berakhir pada titik itu

  In-degree 2 1

  3

  1 Out-degree dari suatu titik adalah jumlah Out-degree 2 2 2 1 anak pannah yang keluar dari titik itu

SIFAT RELASI BINER

  1. Relasi Refleksif (Reflexif) Relasi R pada himpunan A disebut reflexif jika (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

  Irreflexif : Jika terdapat a

  ∈A sedemikian sehingga (a,a) ∉ A

  2. Relasi Setangkup (Symmetric) Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika terdapat (a,b)

  ∈ R, maka (b,a) ∈R, untuk semua a,b ∈ R.

  Not Symmetric : Jika (a,b)

  ∈ R sedemikian sehingga (b,a) ∉R untuk semua a,b ∈R

  3. Relasi Tolak Setangkup (Anti Symmetric) Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika (a,b)

  ∈R dan (b,a) ∈R, hanya jika a=b, untuk semua a,b ∈ R

  A symmetric : Jika a

  ≠ b untuk (a,b) ∈R sedemikian sehingga (b,a) ∈R

  4. Relasi Menghantar (Transitif) Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a,b)

  ∈ R dan (b,c) ∈R maka (a,c) ∈R untuk semua a,b,c ∈R.

  5. Relasi Equivalence Relasi R pada himpunan A disebut equivalensi, jika mempunyai sifat reflexif, simetrik dan transitif.

  6. Relasi Partisi Relasi partisi adalah cara membagi sesuatu hal menjadi beberapa kelas yang berbeda.

  f) R1

  3. Misal : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,5), (4,4), (5,3), (5,5), (6,6)}

  2. Misal : A = {1, 2, 3, 4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (3,3), (4,2), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4,3)} Sebutkan sifat relasi biner pada R1 dan R2.

  =

  c

  ⊕ R2 ∪ R1

  c

  e) R1 – R2 =

  Pembagian kelas yang berbeda disebut Partisi.

  d) R1 ∩ R2 =

  c) R1 x R2 =

  b) Gambarkan relasi R1 dalam bentuk matriks

  1. Misal : A = {1, 2, 3, 4} R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4,3)}

  Soal

  Kelas equivalensi dari a yang bersesuaian dengan R dinotasikan [a]/R

  7. Class Equivalence Relasi R pada himpunan A adalah relasi equivalensi. Himpunan dari semua elemen yang direlasikan atau berrelasi pada tiap elemen a dari A disebut class equivalensi dari a.

  Tentukan a/[R] .

  

GRAF

  Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices atau edge). Contoh :

  V4 V1 e2 e3 e1

  V3 e4 e5

  V2 V = {v

  1 , v 2 , v 3 , v 4 }

  E = {e

  1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 }

  E = {(v

  1 ,v 2 ), (v 1 ,v 2 ), (v 1 ,v 3 ), (v 2 ,v 3 ), (v 3 ,v 3 )}

  ISTILAH GRAF Gelang (loop) yaitu busur yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

  Busur ganda (multiple edge) yaitu suatu busur yang menghubungkan simpul yang sama Ketetanggaan (adjacent) : dua buah simpul dikatakan bertetangga, jika terdapat busur e dengan ujung awal dan akhir adalah v dan v

  1 2 . ( e=(v 1 ,v 2 ) )

  Kehadiran (incident) : suatu busur dikatakan hadir pada suatu simpul, jika busur tersebut menghubungkan simpul tersebut. Derajat (degree) yaitu banyaknya busur yang ada pada suatu simpul v. ( d(v) ) Simpul terminal adalah simpul yang berderajat 1 Simpul terpencil adalah simpul yang berderajat 0, dan tidak bertetangga dengan simpul lain. n = |V| = kardinalitas simpul m = |E| = kardinalitas busur

MACAM GRAF

  Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori, yaitu :

  1. Graf Kosong (Null graph) Graf kosong adalah graf dengan himpunan busur merupakan himpunan kosong.

  Contoh : ● ● ● ●

  N

  4

  2. Graf Sederhana (simple graph) Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai gelang (loop) dan/atau sisi ganda (multiple edge) Terdapat beberapa macam graf sederhana, yaitu :

  a) Graf lengkap (complete graph) Graf lengkap adalah graf dengan setiap pasang simpulnya saling bertetangga, dengan jumlah busur (m) = (n.(n-1))/2.

  Contoh :

  b) Graf teratur (regular graph) Graf teratur adalah graf yang semua simpul dalam graf trsebut berderajat sama, dengan jumlah busur (m) = (n.r)/2, dan r adalah nilai derajat simpul.

  Contoh : K

  3 K

  4 K

  5 K

3 K K

  4

  5

  c) Graf Lintasan (paths) Graf lintasan adalah graf yang bentuknya menyerupai garis lurus, m=n-1.

  Contoh : P

  4

  d) Graf lingkaran (Cycles) Graf lingkaran adalah graf yang bentuknya menyerupai lingkaran, dengan m=n Dinotasikan dengan C

  n

  Contoh : C

  2

  e) Graf Roda (Wheels) Graf Roda adalah graf lingkaran yang setiap simpulnya dihubungkan dengan simpul di tengah lingkaran.

  Dinotasikan dengan W

  n

  Contoh : W

  6

  3. Graf tidak sederhana (unsimple graph) Graf tidak sederhana adalah graf yang mempunyai gelang (loop) dan/atau sisi ganda (multiple edge)

  1

  4 K

  6 K

  4 K

  , sedemikian sehingga K

  2

  dan V

  3. Graf Bipartite Graf bipartite adalah graf G dengan himpunan simpulnya dapat dibedakan dan dipisahkan menjadi dua himpunan bagian, yaitu V

  1. Graf Ganda (Multigraph) adalah graf yang mempunyai sisi ganda

  Contoh :

  2. Graf Planar Graf Planar adalah graf yang dapat digambarkan pada suatu bidang datar dengan busur-busur yang tidak saling memotong.

  Contoh :

  1. Graf Petersen Graf Petersen adalah graf teratur yang mempunyai derajat simpul 3 pada semua simpulnya.

  4. Graf dengan kekhususan tertentu

  2. Graf Semu (Pseudograph) adalah graf yang mempunyai gelang / loop Contoh :

  6 setiap busur di G menghubungkan ke satu simpul di V ke satu simpul di V , dengan

  1

  2

  kata lain setiap pasang simpul di V tidak bertetangga, dan setiap pasang simpul di V

  1 2 juga tidak bertetangga.

  Dinotasikan Sebagai G(V , V )

  1 2 ↔ K n,m

  Jika setiap simpul di V bertetangga dengan semua simpul di V , maka disebut graf

  1

  2

  bipartite lengkap (complete bipartite graph) Contoh :

  K

  2,3

  K

  2,3

  4. Graf Berarah (Directed graph) Graf berarah adalah graf yang semua busurnya mempunyai arah.

  Contoh :

  5. Graf Berbobot (Weighted graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah harga (bobot) tertentu.

  Contoh : c

  4

  7 b d

  6

  10

  4

  8 e a

  Graf Tidak Sederhana

  1. Graf Ganda (multigraph) Graf yang mempunyai sisi ganda

  2. Graf Semu (pseudograph) Graf yang mempunyai gelang/loop

  Representasi Graf dalam bentuk Matriks

  1. Matriks Adjacent M simpul x simpul

  2. Matriks Incident I simpul x busur

  Isomorfisma Isomorfik adalah dua buah benda yang sama tetapi secara geometri bersifat berbeda.

  Dua buah graf G1 dan G2 dikatakan mempunyai isomorfisma (isomorfiks), jika terdapat pemetaan satu-satu antara simpul-simpul di G1 dan simpul-simpul di G2, dan dipenuhinya syarat : (1) jumlah busur masing-masing graf sama, (2) jumlah node masing- masing graf sama, (3) terdapat kesesuaian antara busur-busur di dalam kedua graf tersebut

  Contoh : G

  G

  1

  5 G

  3 G

  2 G G

  4

  6

  Graf Komplemen c

  Komplemen graf (G ) adalah suatu graf sederhana dengan simpul yang sama dengan

  c

  himpunan simpul graf G, dan memenuhi syarat bahwa dua buah simpul di G bertetangga,

  c

  jika dan hanya jika kedua simpul tidak bertetangga di G, sehingga G dan G akan membentuk graf lengkap Contoh :

  K Komplemen K

  2,3 2,3

  K Komplemen K

  2,3 2,3 LINTASAN

  Sederetan busur atau simpul atau busur dan simpul secara berselang seling yang membentuk sambungan yang tidak putus pada graf G.

  Macam Lintasan

  1. Lintasan Sederhana Lintasan yang setiap simpul yang dilalui berbeda

  2. Lintasan Tertutup Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul yang sama

  3. Lintasan Terbuka Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul berbeda

  Jalan (walk) adalah sederetan busur-busur yang membentuk sambungan yang tidak putus di G

  Lintasan (path) adalah sederetan busur dan simpul berselang-seling dari simpul awal v ke simpul akhir v , sedemikian sehingga e

  n

1 = (v ,v

1 ), e 2 = (v 1 ,v 2 ), …, e n =(v n-1 ,v n ), adalah busur-busur dalam graf.

  Panjang suatu lintasan adalah banyaknya busur-busur pada jalan tersebut. Penulisan lintasan pada graf sederhana, hanya menuliskan simpul-simpul yang dilalui, sedangkan pada graf dengan sisi ganda, harus menuliskan urutan busur dan simpul secara berselang-seling sesuai dengan jalan yang dilalui. Lintasan sederhana adalah lintasan yang setiap simpul yang dilalui berbeda (atau setiap busur yang dilalui hanya satu kali).

  Lintasan tertutup (closed path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Lintasan terbuka (open path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang berbeda. Contoh :

  V e _{5 5} V ₄ V e _{5 5} V ₄ e e _{2 2} e e e e e e e e e _{1 3 6 7}

₁

_{3 6 7 8} V ^{1 e 8} V ¹ V ^{2 e 4} V ³ V ^{2 e 4} V ³ e ⁹ G G

  1

  2 Jalan antara v dan v di G : e 3 atau e 1 -e 2 -e

4 -e

7 atau e 1 -e 6 -e

  7

  1

  4

1 Lintasan v dan v di G : e atau e atau e

  1

  4

  1

  3 1 -e 2 -e 4 -e

  7 1 -e 6 -e

  7 Lintasan v dan v di G : e atau e -v -e -v -e -e -v -e atau e - v -e -v -e

  1

  4

  2

  3

  1

  5

  2

  2

  

4

  2

  3

  7

  1

  5

  6

  3

  7 Lintasan sederhana : v 1 - v 5 -v 3 -v

4 Lintasan tertutup : v - v -v -v -v -v

  1

  5

  2

  3

  4

  1 Lintasan terbuka : v 1 - v 5 -v 2 -v 3 -v

4 Definisi Keterhubungan dalam graf :

  Suatu graf G disebut terhubung (connected) apabila setiap pasang simpul sembarang, misal: u dan v, di G mempunyai suatu lintasan dari simpul u menuju simpul v. Lintasan tertutup adalah lintasan dengan simpul awal dan simpul akhir lintasan sama (u=v). Contoh:

  V e _{5 5} V ₄ V ₅ V ₄ e ^{2 e 2} e e e e e e _{1 3 6 7}

₁

₆ V ₁ V ₁ V e _{2 4} V ₃ V e _{2 4} V ₃ G

  1 G

  2 Graf G adalah graf terhubung, sedangkan G merupakan graf tidak terhubung (disconnected

  1

  2 graf) Graf Euler Lintasan Euler adalah lintasan yang melalui masing-masing busur dalam graf tepat satu kali.

  Bila lintasan tersebut kembali ke simpul asal, membentuk lintasan tertutup, maka lintasan itu dinamakan sirkuit Euler. Graf yang mempunyai sirkuit Euler dinamakan graf Euler, dan graf yang mempunyai lintaan Euler dinamakan graf semi-Euler.

  G G G

  1

  2

  3 Graf Hamilton Lintasan Hamilton adalah lintasan yang melalui setiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

  Bila lintasan itu kembali ke simpul awal dan membentuk lintasan tertutup maka disebut sirkuit Hamilton Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan graf yang memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi Hamilton.

  G G G

  1

  2

  3

APLIKASI GRAF

  Banyak permasalahan transportasi dimodelkan sebagai bentuk graf, yaitu graf yang mempunyai berat ( weighted graf). Kota digambarkan sebagai simpul, hubungan antar kota digambarkan sebagai busur, dan jarak antar kota sebagai berat dari gambar.

  Algoritma Djikstra

  Terdapat beberapa algoritma untuk mencari jalur terpendek, diantaranya adalah yang dikemukakan oleh E. Djikstra pada tahun 1959. Algoritma ini digunakan untuk mencari jalur terpendek yang menghubungkan dua buah simpul dalam suatu graf, sehingga sering disebut single pair’s shortest path. Langkah-langkah yang digunakan sebagai berikut : a) Iterasi pertama, simpul awal = v beri label untuk simpul yang lain, yaitu :

  i,

  1. Jika simpul v dengan j ∈ oleh suatu busur (v

  j { v 1 , v 2 , v 3 , .., v n }terhubung dengan v i i ,

  v j ), maka label untuk v j = d(v j )= panjang busur tersebut

  2. Jika v tidak terhubung dengan v maka d(v

  j i i ) =

  ∞

  b) Iterasi kedua, pilih simpul dengan label minimum dari hasil iterasi pertama sebagai simpul awal, label untuk setiap simpul lain ditentukan dengan membandingkan nilai labelnya dengan jumlah nilai label simpul awal ditambahkan dengan panjang busur antara simpul awal dengan simpul tersebut, atau : d’(v k ) = min{d(v k ), d(v j )+a(v j , v k )} dengan : simpul awal v j v k : simpul yang dicari labelnya

  : nilai label yang baru d’(v k) d(v k) : nilai label hasil iterasi sebelumnya d(v j ) : nilai label hasil iterasi sebelumnya a(v j ,v k ) : panjang busur c) Ulangi iterasi kedua sampai simpul tujuan dipilih sebagai simpul awal. Contoh : b d

  4

  4

  7

  2 a

  2

  3 5 f

  3 c e Penyelesaian :

  Iterasi 1 Posisi awal di simpul a. d(a) = 0, d(b) = 4, d(c) = 3, d(d) = 7, d(e) =

  ∞, d(f) = ∞, Minimum di c, maka jalur yang didapat (a,c)

  Iterasi 2 Posisi awal di c d(b) = min {d(b), d(c)+ a(c, b)} = min {4, 3+

  ∞} = 4 d(d) = min {d(d), d(c)+ a(c, d)} = min {7, 3+ ∞} = 7 d(e) = min {d(e), d(c)+ a(c, e)} = min {

  ∞, 3+3} = 6 d(f) = min {d(f), d(c)+ a(c, f)} = min { ∞, 3+∞} = ∞

  Minimum di b, jalur yang didapat (a, b) Iterasi 3

  Posisi awal di b d(d) = min {d(d), d(b)+ a(b, d)} = min {7, 4+4} = 7 d(e) = min {d(e), d(b)+ a(b, e)} = min {6, 4+2} = 6 d(f) = min {d(f), d(b)+ a(b, f)} = min {

  ∞, 4+∞} = ∞ Minimum di e, jalur yang didapat (b, e) atau (c, e)