EKSPRESI REGULAR EKSPRESI REGULAR MATERI (1)

EKSPRESI REGULAR
MATERI MINGGU KE
KE--4

•
•
•
•

EKSPRESI REGULAR

Bahasa disebut reguler jika terdapat FSA yang dapat menerimanya.
Bahasa reguler dinyatakan secara sederhana dengan ekspresi reguler/regular
expression (RE).
Contoh penerapan : searching string pada file
RE -> NFA dengan e Move -> DFA

Definisi ekspresi reguler
1. Ø = {} = (himpunan kosong) adalah sebuah ekspresi regular
2. { ɛ } =string kosong adalah ekspresi regular
3. Untuk setiap a ϵ ∑, maka a adalah ekspresi regular

4. Jika a dan b adalah ekspresi regular maka a ∪ b , ab dan a* adalah ekspresi
regular.
“Ø yang melambangkan himpunan kosong, atau tidak punya anggota, sedangkan
{ ɛ } adalah himpunan yang memiliki satu anggota , yaitu string kosong.”

2
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Notasi a ∪ b , ab dan a* adalah penyederhanaan notasi yang diperoleh dari notasi
asli sebagai berikut : Jika dimiliki himpunan A,B sebagai himpunan berikut :
• Ekspresi a ∪ b maksudnya :
A={a} dan B={b}
A ∪ B = gabungan/union antara himpunan A dengan himpunan B = {a,b}
Dinotasikan secara singkat sebagai : a ∪ b
• Ekspresi ab maksudnya :
A={a} dan B={b}
AB = CONCATENATION antara himpunan A dengan himpunan B = {ab}
Dinotasikan secara singkat sebagai : ab

• Ekspresi a* maksudnya :
A={a}
A* = CLEENE closure dari himpunan A, didefinisikan : A0 ∪ A1 ∪ A2 ∪....∪ A∞, yang
menghasilkan suatu himpunan : { ɛ , a, aa, aaa, aaaa, ….}, dinotasikan sebagai a*

3

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Akibat Logis Ekspresi Reguler
Reguler,, berdasarkan Aturan
Aturan--Aturan dalam
Teori Himpunan
Himpunan,,
1.
2.
3.

4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
8 April 2015

a∪b=b∪a
a∪Ø=Ø∪a
a∪a=a
(a ∪ b) ∪ c = a ∪(b ∪ c)
aɛ = ɛa = a
aØ = Øa = Ø
(ab)c=a(bc)
a(b ∪ c)=ab ∪ ac = dan (a ∪ b)c = ac ∪ bc
a* = a** = a*a* = (ɛ ∪ a)*=a*(a ∪ ɛ) = (a ∪ ɛ)a* = ɛ ∪ aa*
aa*= a*a
Teori Bahasa dan Otomata

4

CONTOH

Ekspresikan dalam bentuk ekspresi reguler kalimat-kalimat berikut :
•
Sederatan NOL minimal nol buah
Ekspresinya : 0*
•
Sederatan NOL minimal satu buah
Ekspresinya : 00*
•
Sederetan NOL minimal satu buah diikuti sederetan SATU sebanyak satu buah
atau lebih
Ekspresinya : 00*11*
•
Sederetan bit NOL dan SATU sembarang yang diawali dengan NOL dan
diakhiri dengan SATU
Ekspresinya : 0(0,1)*1 atau ditulis : 0(0 ∪ 1)*1

•
Sederetan SATU dengan jumlah GENAP
Ekspresinya : 11(11)*
•
Sederetan NOL dengan jumlah GENAP diikuti sederetan SATU dengan jumlah
GANJIL
Ekspresinya : 00(00)*1(11)*

5

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH

String apakah ekspresi-ekspresi regular berikut :
a. Ekspresi : (1,0)* → Sederetan bit NOL dan SATU dengan
jumlah sembarang dan susunan sembarang.

b. Ekspresi : (0,1)*1* → Sederetan bit NOL dan SATU dengan
jumlah sembarang urutan sembarang diikuti dengan deretan
bit SATU dengan jumlah nol atau lebih.

c. Ekspresi : (00)*(11)* → Deretan NOL kosong atau Genap
diikuti deretan SATU kosong atau genap.

a. Ekspresi : (11)* ∪ (00)* → String kosong atau berisi bit NOL
genap atau bit SATU genap dengan posisi sembarang
6

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Bahasa Reguler
Apabila r adalah RE, maka L(r) adalah bahasa reguler yang dibentuk
menggunakan ekspressi reguler r.
Contoh :
Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r=(aa)*

Jawab
L(r) = L( (aa)* )
= { λ, aa, aaaa, aaaaaa, ... }
= {a2n | n ≥ 0 }
menyatakan himpunan string a dengan jumlah genap
7
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

•

•

•

CONTOH

Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r =(aa*)(bb)*b
Jawab :

L ( r ) = L((aa)*(bb)*b)
= { an b2m+1 | n, m ≥ 0}

Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada S = {0,1}, yaitu
L(r) = { w ϵ ∑* | w memiliki substring ‘00’ }
Jawab :
r = (0+1)*00(0+1)*

Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada ∑ = {a,b}, yaitu
L(r) = { abnw | n ≥ 3 , w ϵ {a , b}+ }
Jawab :
r = abbb(a+b)(a+b)*

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

8

Sifat Bahasa Reguler

•

•

Tertutup terhadap operasi himpunan sederhana
Jika L1 dan L2 adalah bahasa reguler, maka L1 U L2
L1 ∩ L2, L1L2, ~ (L1) dan L1* adalah bahasa reguler juga

Tertutup terhadap homomorphic image
Jika L1 adalah bahasa reguler, maka homomorphic image h(L1) adalah bahasa
reguler juga.

Dimisalkan ∑ dan ᴦ adalah alfabet, maka fungsi homomorphic dinyatakan denganh :
∑→ᴦ
jika w = a1 a2 ... an
maka h(w) = h(a1) h(a2 ) ... h(an)
Jika L adalah bahasa pada ∑ maka homomorphic image bahasa L adalah
h(L)= { h(w) | w ϵ L}

9

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH

•

•

•

Dimisalkan ∑ = {a,b} dan ᴦ = {a,b,c} dan didefinisikan h(a) = ab dan
h(b) =bbc homomorphic image bahasa L = {aa,aba } adalah
h(L)= { abab, abbbcab}
Dimisalkan ∑= {a,b} dan
h(b) =bdc

ᴦ = {b,c,d} dan didefinisikan h(a) = dbcc dan

homomorphic image bahasa L(r) yang dibentuk dari ekspresi reguler
r = (a+b*)(aa)* adalah h(L(r)) yang dibentuk dengan ekspresi reguler
r = (dbcc + (bdc)*) (dbccdbcc)*

10
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Hubungan RE dan NFA

11
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Hubungan RE dan NFA

12
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Ekuivalensi NFA, DFA, dan RG

• DFA bisa dibentuk dari NFA.
• RG bisa dibentuk dari DFA.
• NFA bisa dibentuk dari RG

NFA

DFA

RG

13
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Pembentukan DFA dari NFA
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Diberikan sebuah NFA F = (K, VT, M, S, Z). Akan dibentuk sebuah
DFA F’ = (K’, V ’, M’, S’, Z’) dari NFA F tersebut. Algoritma
pembentukannya adalah sbb. :
Tetapkan : S’ = S dan VT’ = VT
Copykan tabel NFA F sebagai tabel DFA F’. Mula-mula K’ = K dan
M’ = M
Setiap stata q yang merupakan nilai (atau peta) dari fungsi M
dan q  K, ditetapkan sebagai elemen baru dari K’. Tempatkan q
tersebut pada kolom Stata M’, lakukan pemetaan berdasarkan
fungsi M.
Ulangi langkah (3) sampai tidak diperoleh stata baru.
Elemen Z’ adalah semua stata yang mengandung stata elemen Z.

8 April 2015

14

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH

Berikut ini diberikan sebuah NFA F = (K, V , M, S, Z) dengan :
K = {A, B, C}, VT = {a, b}, S = A, Z = {C}, dan M didefinisikan sebagai
berikut :
STATA K NFA F

Input

a

b

A

[A,B]

C

B

A

B

C

B

[A,B]

Tentukan DFA hasil transformasinya !
15
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Jawab:
Berdasarkan algoritma di atas, maka :
1.
S’ = S = A, VT’ = VT = {a, b}.
2.
Hasil copy tabel NFA F menghasilkan tabel DFA F’ berikut :
STATA K’ NFA F’

3.

Input

a

b

A

[A,B]

C

B

A

B

C

B

[A,B]

Pada tabel DFA F’ di atas terdapat stata baru yaitu [A,B]. Pemetaan [A,B] adalah :
M([A,B],a) = M(A,a) ∪ M(B,a) = [A,B] ∪ A = [A,B], dan M([A,B],b) = M(A,b) ∪ M(B,b)
= C ∪ B = [B,C], sehingga diperoleh tabel berikut :
STATA K’ NFA F’

8 April 2015

Input

a

b

A

[A,B]

C

B

A

B

C

B

[A,B]

[A,B]

[A,B]

[B,C]
Teori Bahasa dan Otomata

16

4.

Langkah (3) di atas menghasilkan stata baru yaitu [B,C]. Setelah pemetaan terhadap
[B,C] diperoleh tabel berikut :
STATA K’ NFA F’

Input

a

b

A

[A,B]

C

B

A

B

C

B

[A,B]

[A,B]

[A,B]

[B,C]

[B,C]

[A,B]

[A,B]

5. Setelah langkah (4) di atas tidak terdapat lagi stata baru.
Dengan demikian DFA F’ yang dihasilkan adalah : DFA F’ = (K’, VT’, M’, S’, Z’), dimana : K’ =
{A, B, C, [A,B], [B,C]}, VT’ = {a, b}, S’ = A, Z’ = {C, [B,C]}. Fungsi transisi M’ serta Graf dari
DFA F’ adalah sebagai berikut :

17
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Pembentukan RG dari DFA
Diketahui sebuah DFA F = (K, VT, M, S, Z). Akan dibentuk
RG G = (VT’,VN, S’, Q).
Algoritma pembentukan RG dari DFA adalah sebagai berikut :
• Tetapkan VT’ = VT, S’ = S, VN = S
• Jika Ap, Aq ϵ K dan a ϵ VT, maka :

M(Ap, a) = A ekuivalen dengan produksi A p  aA q , jika A q  Z


 A p  a, jika A q  Z

18
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH

Diketahui sebuah DFA F dengan Z = {S} dan fungsi transisi M sebagai berikut :
Dengan algoritma di atas maka diperoleh Q(RG)sbb. :
M(S,0) = B  S  0B
STATA K DFA
INPUT
F
M(S,1) = A S  1A
0
1
M(A,0) = C  A  0C
S
B
A
M(A,1) = S A  1
A
C
S
M(B,0) = S  B  0
M(B,1) = C B 1C
B
S
C
M(C,0) = A  C  0A
C
A
B
M(C,1) = B C  1B

RG yang dihasilkan adalah G(VT’, VN, S’, Q), dengan VT’ = {0,1}, VN = {S, A, B, C},
S’ = S, dan Q = {S  0B, S  1A, A  0C, B 1C, C  0A, C  1B,
A  1, B  0}
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

19

Pembentukan NFA dari RG
Diketahui RG G = (VT, VN, S, Q). Akan dibentuk NFA F = (K, VT’, M, S’, Z).
Algoritma pembentukan NFA dari RG :
1. Tetapkan VT’ = VT, S’ = S, K = VN
2. Produksi Ap  a Aq ekuivalen dengan M(Ap, a) = Aq
Produksi Ap  a ekuivalen dengan M(Ap , a) = X, dimana X  V
3. K = K ∪ {X}
4. Z = {X}

20
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH
Diketahui RG G = (VT, VN , S, Q) dengan : VT = {a, b}, VN = {S, A, B}, S = S, dan Q = {S
 aS, S  bA, A  aA, A  aB, B  b}
Tabel M :

STATA K
NFA F

a

b

S

S

A

A

[A,B]

B

⌽

⌽

X

INPUT

⌽

X

⌽

Terapkan algoritma di atas untuk memperoleh NFA F sebagai berikut :
1. VT’ = VT = {a, b}, S’ = S, K = VN = {S, A, B}
2. S  aS  M(S,a) = S, S  bA  M(S,b) = A,
A  aA  M(A,a) = A, A  aB  M(A,a) = B,
B  b  M(B,b) = X
NFA yang diperoleh : F(K, VT’, M, S’, Z), dengan K = {S, A, B, X}, VT’ = {a, b}, S’ = S, Z
= {X},

21

8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

Ekuivalensi NFA
NFA-- Dengan ER (Ekspresi
(Ekspresi Regular)

22
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH

Tentukan NFA untuk ekspresi regular r = 0(1  23)*
Jawab :
r1 = 0 
r2 = 1 

r3= 23 
r4= r2 r3 = 1 23 
23
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

CONTOH
r5= r4* = (1 23)* 

r = r5= 0(1 23)* 
24
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata

TERIMAKASIH
Lilis Setyowati

25
8 April 2015

Teori Bahasa dan Otomata