149100981 Matematika SMA Kelas 1 X

Matematika Aplikasi
Jilid 1
untuk

SMA Kelas X

Literatur Media Sukses
Jl. Madrasah No. 38, Pekayon
Pasar Rebo, Jakarta Timur

Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Matematika Aplikasi, disusun oleh Pesta E. S., Alfarabi, Editor, Christiani S.
Napitupulu, -- Jakarta: Literatur Media Sukses

Penulis
Pesta E. S.
Alfarabi

Matematika Aplikasi

Editor

Christiani S. Napitupulu, S.Si
Desain Sampul
Tim Literatur Media Sukses
Setting/Tata Letak
Tim Literatur Media Sukses
Ilustrator
Andie Anakota

Jilid 1
Untuk SMA Kelas X
Kurikulum 2004 Standar Kompetensi
Hak cipta  2005 pada Penulis
Hak penerbitan pada Penerbit Literatur Media Sukses

Cetakan Pertama, 2005

Hak cipta dilindungi oleh undang-undang. Tidak diperkenankan memperbanyak
isi buku ini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit Literatur
Media Sukses.

KATA Pengantar
Kebijakan pemerintah dengan memberlakukan Kurikulum 2004 yang berbasis
kompetensi merupakan upaya menyeluruh untuk meningkatkan mutu pendidikan. Upaya
ini meliputi aspek-aspek pengetahuan, ketrampilan, sikap, dan nilai-nilai. Pengembangan
aspek-aspek tersebut dilakukan untuk meningkatkan dan mengembangkan kecakapan
hidup (life-skills) melalui seperangkat kempetensi agar siswa dapat bertahan hidup,
menyesuaikan diri, dan berhasil di masa datang.
Kebijakan pemerintah ini telah menyulut pemikiran penulis untuk ikut meningkatkan
mutu pendidikan. Upaya yang penulis lakukan adalah dengan menyusun perangkat
buku pelajaran Matematika Aplikasi untuk siswa SMA. Buku ini berbalur ungkapan
santun dengan bahasa yang komunikatif sehingga mudah dipahami oleh siswa. Selain
itu, buku ini juga didukung dengan tampilan tata letak yang baik, disain dan ilustrasi
yang menarik dengan memperhatikan tingkat pemahaman siswa.
Dengan mengusung pendekatan induktif-dedukatif konstruktif, konsep dalam buku
ini mengakar ke dalam pemikiran siswa karena pengenalan konsep-konsep ini disajikan
dengan memberikan masalah yang memiliki makna dalam kehidupan sehari-hari.
Kebermaknaan ini dapat dirasakan dari awal mempelajari setiap pelajaran dalam buku
ini.
Sebagai buku siswa, buku ini dilengkapi dengan bagian pelatihan yang terdiri atas
dua kelompok soal. Masing-masing diberi nama Asah Kompetensi dan Alfarabi Mengujimu.

Bagian pelatihan ini dimaksudkan untuk mengukur penguasaan siswa terhadap konsep
yang diberikan. Melalui pelatihan ini, diharapkan siswa mampu mencapai kompetensi
belajar yang diinginkan dalam Kurikulum 2004.
Dalam buku ini, siswa juga dapat menemukan bagian pengayaan seperti Aktivitas di
Kelas yang berisi kegiatan untuk dilakukan oleh siswa, Sahabat Alfarabi yang berisi
informasi tentang tokoh matematika, GameMath yang berisi pemainan matematika, dan
Siapa Berani yang berisi soal-soal menantang khusus diberikan bagi siswa penggemar
matematika.
Terbitnya buku ini diharapkan seperti matahari yang mampu menjadi energi dan
penerang dalam pendidikan bangsa kita.
Buku ini masih jauh dari sempurna, kritik dan saran yang ada hubungannya dengan
penyempurnaan buku ini sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi berikutnya.
Jakarta, April 2005

Penulis

Pada setiap awal bab terdapat tujuan pembelajaran
untuk mengetahui isi dan manfaat setelah mempelajari
bab tersebut dan diberikan juga pengantar bab berupa
uraian singkat dan gambar yang berhubungan dengan

kehidupan sehari-hari.

B
A
B

Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma

1
TUJUAN
PEMBELAJARAN
♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat
negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat mengubah bentuk akar ke
bentuk pangkat dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat
ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat melakukan operasi aljabar
pada bentuk pangkat, akar, dan

logaritma.
♦ Kamu dapat menyederhanakan bentuk
aljabar yang memuat pangkat.
♦ Kamu dapat merasionalkan bentuk
pangkat.

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton.
Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini
sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.
Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.
Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

♦ Kamu dapat membuktikan sifat-sifat
yang sederhana tentang bentuk
pangkat, akar, dan logaritma.

A. Sistem Persamaan Linear
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Di kelas VIII SMP telah dipelajari persamaan-persamaan linear seperti
berikut:

a. x − y = 1
b. x + y = 3
Jika kedua persamaan tersebut digabung maka akan terbentuk sebuah
sistem persamaan, yaitu sistem persamaan linear. Perhatikan sistem
persamaan tersebut.
Sistem persamaan tersebut melibatkan dua variabel, yaitu x dan y,
sehingga dikatakan sebagai sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk
umum sistem persamaan linear dua variabel:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
di mana a1, b1, c1, a2, b2 dan c2 bilangan real.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini, dapat digunakan
empat cara, yaitu:
a. Metode Grafik
b. Metode Substitusi
c. Metode Eliminasi
d. Gabungan Metode Eliminasi dan Substitusi
a. Metode Grafik
Di kelas VIII SMP telah dipelajari cara menggambar grafik persamaan
linear. Sekarang, lakukanlah aktivitas berikut dengan menggunakan

kemahiran yang telah kamu miliki tersebut.

A
1.
2.

ktivitas di

K

elas

Gambarlah garis x − 3y = −3 dan x + y = 1 pada satu sistem koordinat!
Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah
titik potongnya!

3.

Gambarkan pula garis x + y = −1 dan x + y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain.

4.

Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah
titik potongnya!

5.

Sekarang, gambarlah garis x − y = 1 dan 3x − 3y = 3 pada satu sistem koordinat yang lain!

6.

Apakah kedua garis tersebut berpotongan? sejajar? atau berimpit? Jika berpotongan, tentukanlah
titik potongnya!

48

1

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

Ada Aktivitas di Kelas yang merupakan kegiatan di
mana kamu dapat mengembangkan ketrampilan dalam
merencanakan melaksanakan dan menyimpulkan
aktivitas.

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

A. Pertidaksamaan Linear
Suatu pertidaksamaan linear dapat kamu selesaikan dengan membentuk
pertidaksamaan lain yang ekuivalen dengan pertidaksamaan tersebut.

DEFINISI

Catatan disajikan berupa informasi yang berguna
untuk memperjelas konsep Matematika.

Pertidaksamaan linear adalah suatu persamaan di mana ruas kiri dan
ruas kanan dihubungakn oleh salah satu dari tanda ketidaksamaan
”, ≥ ” atau ”≠”

Untuk membentuk pertidaksamaan yang ekuivalen, kamu
membutuhkan sifat-sifat berikut:

Catatan

1.

Notasi pada pertidaksamaan:
• < : kurang dari
• ≤ : kurang dari atau
sama
dengan
(tidak kurang dari)
• > : lebih dari

• ≥:

Sifat penjumlahan dan pengurangan
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi
dengan bilangan yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.

• x < y⇒ x±z < y±z
• x < y⇒ x±z < y±z

2.

lebih dari atau

Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan
bilangan positif yang sama maka tanda ketidaksamaan tetap.
x

y

x

y

<
• x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan
z
z

sama dengan (tidak
lebih dari)

<
• x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan
z
z

3.

1.

CONTOH

CONTOH

Jawab:

Asah Kompetensi
1.

1.

2. x − 1 + 3 ≥ x + 2 − 4
2

3

3. x − 5 < 2x − 3 < x + 4

70

−3x + 4 < x + 8
Kedua ruas dikurang 4, tanda ketidaksamaan tetap.
−3x + 4 − 4 < x + 8 − 4
−3x < x + 4
Matematika Aplikasi SMA Kelas X

4
1
3

Jika θ di kuadran IV dan sin θ = − , tentukanlah nilai cos θ dan tan θ !
2pq sin A, tentukanlah p2 + q 2 !

2.

Jika p − q = cos A dan =

3.

Jika tan B =

4.

Buktikan bahwa

tan 2 θ − sin 2 θ
= tan 4 θ !
1 − sin 2 θ

5.

Buktikan bahwa

tan θ − 1 sin θ + cos θ
×
= 1!
tan θ + 1 sin θ − cos θ

3
14 sin B − 3 cos B
, tentukan
!
7
7 sin B − 5 cos B

Info sains disisipkan sebagai informasi untuk
membuka wawasan sehingga tidak buta terhadap
informasi Matematika dan perkembangan teknologi.

Info sains
Trigonometri pertama sekali diperkenalkan oleh bangsa
Yunani Kuno. Tetapi bukti sejarah menunjukkan bahwa
kebudayaan Mesir Kuno telah menggunakan trigonometri
dalam membangun piramida.

122

−3x + 4 < x + 8

Jawab:

Buktikan bahwa 3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 + 3 sin4θ !
Jawab:
3 cos4θ + 6 sin2θ = 3 (cos2θ)2 + 6 sin2θ
= 3 (1 − sin2θ)2 + 6 sin2θ
= 3 (1 − 2 sin2θ + sin4θ) + 6 sin2θ
= 3 − 6 sin2θ + 3 sin4θ + 6 sin2θ
= 3 + 3 sin4θ

y

Tentukanlah penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut di
mana x adalah bilangan real!
1.

sin2 25° + sin2 65° = sin2 25° + sin2 (90° − 25°)
= sin2 25° + cos2 25°
=1
2.

y

x

<
• x < y dan z < 0 ⇒ xz < yz dan
z
z

sin θ
cosθ

Tentukanlah nilai dari sin2 25° + sin2 65°!

x

<
• x < y dan z < 0 ⇒ xz < yz dan
z
z

Identitas trigonometri untuk setiap sudut adalah sebagai berikut.
• sin2 θ + cos2 θ = 1
• tan θ =

Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan negatif
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama maka tanda ketidaksamaan berubah.

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Sahabat Alfarabi merupakan informasi latar belakang
matematikawan yang telah berjasa dengan menemukan
berbagai macam teori yang sekarang ini digunakan
dan dirasakan manfaatnya.

Sahabat Alfarabi
Siapakah orang yang pertama kali memperkenalkan penggunaan simbolsimbol aljabar dalam penarikan sebuah kesimpulan?
Dia adalah George Boole, Matematikawan Inggris yang lahir pada tahun 1815.
Dalam teorinya, Boole menyatakan bahwa premis-premis dan kesimpulan
dalam sebuah argumen dapat diwakili oleh simbol-simbol aljabar dan
dihubungkan oleh simbol-simbol lain untuk membentuk sebuah argumen
logis. Teori Boole ini sering digunakan para ahli untuk memecahkan sebuah
teka-teki sains. Boole meninggal tahun 1864.
Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia

K. Bukti dalam Matematika
1. Bukti Langsung
Bukti langsung dilakukan dengan memperlihatkan suatu kebenaran
sebagai akibat pernyataan lain yang telah diterima sebagai hal yang benar,
seperti definisi, aksioma, dan dalil-dalil yang telah dibuktikan.
Buktikan bahwa jika p > 0, p ≠ 1, a,b > 0 berlaku plog (ab) = plog a + plog b!

CONTOH

Jawab:
Misalkan, x = plog a maka a = px
y = plog b maka b = py
p
log (ab) = plog px. py
)Gunakan sifat perkalian bilangan berpangkat
= plog px + y
Dengan menggunakan definisi logaritma, kamu akan memperoleh
p
log (ab) = x + y = plog a + plog b
Jadi, plog (ab) = plog a + plog b

2. Bukti Tak Langsung
a. Bukti Tak Langsung dengan Kontrapositif
Misalkan, harus dibuktikan p → q benar. Andaikanlah ∼q benar, kemudian
dengan langkah logis turunkanlah supaya ∼p benar sehingga ∼q → ∼p benar.
Oleh karena p → q ≡ ∼q → ∼p dan ∼q → ∼p benar maka p → q benar.
Untuk setiap n bilangan bulat, buktikanlah bahwa jika n2 bilangan ganjil
maka n + 1 bilangan genap!

Dari gambar berikut dapat diketahui besar dua sudut dan panjang sisi
yang diapitnya.
∠ CAB = 40° dan ∠ ABC = 180° − 60° = 120°
C
Jadi, ∠ ACB = 180° − 40° − 120° = 20°.
Panjang sisi AB = 100 m.
Dengan menggunakan aturan sinus diperoleh

105

Bab 5 Logika Matematika

BC
AB
Sin A° = Sin C

40 0
A

BC
100
Sin A° = Sin 20°

60 0
100

B

D
C
20 0

Sin 40D

BC = 100 × Sin 20D

" Persamaan 1

Tinggi bangunan, yaitu CD dapat dihitung
menggunakan perbandingan trigonometri.
Sin 60° =

CONTOH

Bukti:
Misalkan, n + 1 bilangan ganjil. Ini mengakibatkan n bilangan genap
sehingga n dapat ditulis sebagai n = 2a.
Akibatnya, n2 = (2a)2 = 4a2 = 2.(2 a2)
Ini berarti, n2 bilangan genap.
Jadi, “jika n + 1 bilangan ganjil maka n2 bilangan genap.” Pernyataan ini
ekuivalen dengan pernyataan,”jika n2 bilangan ganjil maka n + 1 bilangan
genap.”

Jawab:

CD
BC

40 0

A

120 0

100

B
C

CD = BC × Sin 60° " Persamaan 2
Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
Sin 40D

CD = 100 × Sin 20D × Sin 60°

Siapa Berani merupakan soal-soal yang menantang.
Soal-soal ini khusus diberikan buat kamu yang gemar
Matematika dan telah memahami materi.

60 0

Sin 40D

= 100 × Sin 20D ×

1
3
2

B

D

= 162,76 m
Jadi, tinggi bangunan adalah 162,76 m

Salah satu ujung dari batang sepanjang 8 kaki dihubungkan ke
piston yang bergerak naik dan turun. Ujung lainnya dihubungkan
ke roda dengan cara lengan horizontalnya disesuaikan dengan
pegas P. Dimulai pada posisi awal θ =

π
, roda dengan jari-jari 2
4

kaki berputar 3 radian per detik. Temukan rumus untuk d, jarak
vertikal dari piston ke roda, setelah t detik.

d=y+8

8 p(x,y)
Y

θ

x

131
Bab 6 Trigonometri

Asah Kompetensi
1.

3

Tentukanlah konjungsi dari pernyataan-pernyataan tunggal berikut. Kemudian, tentukan
nilai kebenarannya!
p : Roda mobil berbentuk persegi
q : Petak-petak pada papan catur berbentuk lingkaran
b. r : a0 = 1 untuk a bilangan real
s : 1n = 1 untuk n bilangan real
a.

Asah Kompetensi digunakan untuk mengukur
kemampuan dalam menguasai materi yang telah
dibahas.

c.

6
2
merupakan bentuk lain dari
9
3

u:

2
6
merupakan bentuk sederhana dari
3
9

2.

Tentukanlah disjungsi dari pernyataan tunggal-pernyataan tunggal berikut. Kemudian,
tentukan nilai kebenarannya!
a. p : Bandara Soekarno-Hatta ada di Banten
q : Bandara Adi Sucipto ada di Semarang
b. r : Faktor dari suatu bilangan asli lebih besar daripada kelipatannya
s : Faktor dari suatu bilangan asli adalah bilangan yang dapat membagi habis bilangan itu
c. t : 11 merupakan faktor dari 6.161.617
u : 11 merupakan bilangan komposit
d. v : Imelda Fransisca adalah Miss Indonesia tahun 2005
w : Michael Jackson adalah seorang penyanyi

3.

Tentukanlah nilai x bilangan real sehingga konjungsi atau disjungsi berikut benar!
a. 269 dan x2 + x + 17 merupakan bilangan prima
b. 0 habis dibagi 2 atau x2 − 2 = 2x + 17
c. Soeharto adalah presiden Indonesia terlama atau ⏐x2 − 1⏐< 3
d. 930 cm + 7 dm = 10 m dan ⏐3x − 1⏐ < 2⏐x + 6⏐
e.

92

=

t:

d. v : Jakarta ibu kota Amerika
w : Jakarta terletak di pulau Jawa

Surabaya dijuluki kota buaya atau

x= 0

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

1
(k + 1)2(k + 2)2
4

⎛
⎞
= ⎜ ( k + 1)( k + 2) ⎟
1
⎝2

2

⎠

Pada ruas kanan persamaan, didapat ( 21 (k + 1) (k + 2))2.
Untuk n = k + 1, ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan bilangan yang
sama.
Jadi, 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( 21 n (n + 1))2 berlaku untuk n = k dan untuk
n = k + 1 atau untuk semua n bilangan asli.

5

Alfarabi Mengujimu digunakan untuk menguji kamu
dalam menyelesaikan soal-soal relatif lebih sulit yang
berkaitan dengan materi yang telah dibahas.

ASAH KEMAMPUAN

Waktu: 60 menit
1.

Dengan bukti langsung, buktikan bahwa akar-akar persamaan
kuadrat
ax2 + bx + c = 0 adalah x1 =

−b + b 2 − 4 ac
2a

atau x2 =

2.

Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa

3.

Buktikanlah bahwa:

1
tidak terdefinisi!
0

c. 12 + 22 + . . . + n2 =

Bobot soal: 30
Bobot soal: 40

a. 1 + 21 + 22 + . . . + 2n − 1 = 2n − 1
b. 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n

Bobot soal: 30

−b − b 2 − 4 ac
2a

2

1
n(n + 1)(2n + 1)
6

d. 2 + 4 + 6 + . . . + 2n = n(n + 1)

Buktikan bahwa 12001 + 2 2001 + 3 2001 + . . . + 20012001 adalah kelipatan 13!
Sumber: Olimpiade Matematika SMU

Bab 5 Logika Matematika

107

v
Apakah Keunggulan Buku ini??

GameMath berisi soal berupa permainan matematika.
Jawabannya dapat dicari dengan menggunakan logika
sehingga dapat mengasah logika dan cara berpikir
kritis.

GaMeMath
Utut tersesat di sebuah hutan.
Di tengah hutan tersebut, ia menemukan pohon-pohon yang
bertuliskan perbandingan trigonometri. Ia bingung. Namun
kemudian, ia menemukan batu yang bertuliskan petunjuk
untuk keluar dari hutan itu, yaitu harus melewati pohonpohon yang nilai perbandingan trigonometrinya 1. Bantulah
Utut menemukan jalan pulang tersebut!
Pohon-pohon tersebut bertuliskan seperti pohon berikut ini.
pohon mana sajakah yang sama dengan 1?
1
,
sin 30D

sin 90°

1
,
sin 0D

tan 45

1
cos 0D

1
tan 45D

sin 60°

cos 90°

tan 90°

cos 0°

Sumber: New Syllabus Mathematics 3

E. Identitas Trigonometri
Perhatikan Gambar 6.7!
Telah diketahui bahwa sin θ =
Dari sin θ =
Dari cos θ =

y
⇒ y = r sin θ.
r
x
⇒ x = r cos θ.
r

y
x
dan cos θ =
.
r
r

r

Pada segitiga siku–siku, berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
x2 + y2 = r2
(r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r2
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = r2
r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2
2
cos θ + sin2θ = 1 atau sin2 θ + cos2 θ = 1
Perhatikan kembali segitiga di atas!

y

θ
x
Gambar 6.7 Segitiga sikusiku.

y
Dari segitiga di atas diperoleh tan θ = .
x

Bagilah pembilang dan penyebut dengan r.

angkuman
Rangkuman
1.
2.

y
r

tan θ = x =
r

Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dengan pangkat tertinggi dan variabelnya satu.

Jadi, tan θ =

Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan:
a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan adalah
• xy±z
Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan positif:

•

b.

3.

•

x < y dan z > 0 ⇒ xz < yz dan

x y
<
z z

•

x > y dan z > 0 ⇒ xz > yz dan

x y
>
z z

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

•

ax 2 + bx + c < 0 atau ax 2 + bx + c > 0

•

ax 2 + bx + c ≤ 0 atau ax 2 + bx + c ≥ 0

4.

Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan yang memuat variabel pada
penyebutnya.

5.

Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

6.

Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real x adalah

f <

Rangkuman disajikan di akhir materi bab supaya kamu
dapat dengan cepat mengingat kembali materi-materi
yang telah dipelajari pada bab tersebut.

g

dengan syarat terdefinisi f ≥ 0 dan g ≥ 0

⎧x , jika x ≥ 0
x =⎨
⎩−x , jika x < 0
7.

Sifat-sifat nilai mutlak

p+q ≤ p + q

a.

p = p2

d.

b.

pq = p q

e.

x < p ⇔−p < x < p

c.

p
p
= , q≠0
q
q

f.

x > p ⇔ x < − p atau x > p

82

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Ulangan Bab 6
Ulangan Bab disajikan untuk mengukur
kemampuan kamu dalam menguasai semua materi
yang telah dibahas dalam bab tersebut.

I.
1.

2.

Pilihlah jawaban yang paling tepat!

4
5

b.

4
3

c.

5
4

3
4

e.

3
5

cos α
sin α ⋅ cos α sama dengan . . . .
1
sinα
b. cos2 α
c. sec2 α

4.

d.

Jika tan x = a, maka sin 2x sama
dengan . . . .
a.
b.
c.

7.

e.

cos α

Segitiga ABC siku-siku di A. Jika BC = p,
AD tegak lurus BC, DE tegak lurus AC, dan
sudut B = x, maka panjang DE = . . . .
a. p sin β cos2 β
b. p sin2 β cos β
c. p sin2 β cos β
d. p sin β tan β
e. p sin β cos β
Jika x + y = 270º maka . . . .
a. cos x + sin y = 0
b. cos x − sin y = 0
c. cos x + cos y = 0
d. sin x − sin y = 0
e. sin x + sin y = 0

8.

5.

1.

2.

Nilai dari (0,04)−0,05 + (0,25)0,5 adalah . . . .
a. 0,5
d. 4,5
b. 0,7
e. 5,5
c. 2,5
Bentuk (p−1 + q−1)−1 identik dengan . . .
a.

p+q

d.

b. p

e.

pq
p+q

c.
3.

p+q
pq
1
pq

Jika a = 25 dan b = 81, dan c = 8 maka nilai
1

1

2

a 2 , b 4 , c 3 adalah . . . .
a. 3
b. 5
c. 20
4.

Nilai dari
a. 3
b. 6
c. 3 2

5.

Nilai dari
a. 1
b. 2
c. 3

6.

7.

d. 40
e. 60

48 + 45
7 + 2 10

32 + 90
7 + 2 10

adalah . . .
d.
e.

2 3
2 6

adalah . . . .
d. 4
e. 16

Bentuk sederhana dari 10 + 2 21 adalah . . . .
d.
a.
7+ 3
3− 7
b.
e. 7 + 3
7− 3
c.
5− 3
Diketahui log 2 = p dan log 3 = q nilai
log 3 152 sama dengan . . . .
2 (p + q)
2 (1 + p − q )
d.
3
3
2 (p − q)
3 (1 − p + q )
b.
e.
3
3
2 (1 − p + q )
c.
3

a.

8.

Nilai dari
..
a.
b.
c.

..
0
1
log 18

30 +

1
−
16
log 10

1
48
log 10

adalah

Nilai dari 1 + tan 2 q = . . . .
a. 2 sin q cos q
b. sin q cos q
c. 2 sin q − 1

d. 1 − 2 sin q
e. 2 sin q

d.

1 + a2

e.

2 a2

1 − a2
1 + a2
1 + a2
1 − a2

1 − a2
2 a2

a.

2 tan y
1 + tan y

d.

1 − tan y
1 + tan y

b.

1 + tan y
1 − tan y

e.

2 tan y
1 − tan y

c.

1 + 2 tan y
1 + tan y

Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku
cos A cos B =

1
2

maka cos (A − B) sama

dengan . . . .
a.

9.

−1

b.

−

c.

2

1
2

d.

1
2

e.

1

Bila x memenuhi persamaan
2(sin x)2 + 3 sin x − 2 = 0
dan −

2 tan q

Tugas Akhir

2a
1 + a2

π
Jika x + y = , maka tan x adalah . . . .
4

d. cosec2 α

a.

3.

6.

Jika sin α = 45 dan 0º < α < 90º, maka nilai
tan α adalah . . . .
a.

a.
b.
c.

π
π
< x < , maka cos x adalah . . . .
2
2

1
2
1
−
2
1
2
2

c.

1
3
2

d.

−

1
3
2

d. log 60
e. 10

135
Bab 6 Trigonometri

x
Jika a log y = 3 dan 3a log x = 3 nilai y sama
dengan . . . . .
a. 1
d. 27
b. 3
e. 81
c. 9
10. Persamaan (p − 1)x2− 4px + 4p + 7 = 0
mempunyai akar-akar positif. Akar-akar
positif itu adalah . . . .
7
7
dan
a. 3 dan 5
d.
3
2
7
7
dan 3
b. 3 dan
e.
2
2
7
dan 5
c.
2

9.

11. Selisih akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +
px + 16 = 0 adalah 4. Nilai p yang positif
adalah . . . .
d. 8 3
a. 2 3
b. 3 3
e. 12 3
c. 6 3
12. Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + 5x + a = 0
adalah α 2 + β 2 = 5 α dan β. Jika α 2 + β 2 = 5
maka nilai a sama dengan . . . .
2
1
d. 3
a. −6
3
3
2
2
b. −3
e. 6
3
3
1
c. −3
3
⎧2 x − y = 1
13. Himpunan penyelesaian dari ⎨
⎩ 4 x + 5 y = 23
adalah . . . .
a. {2,3}
d.
{4,2}
b. {3,2}
e.
{3,4}
c. {2,4}
⎧1 2
⎪ − =8
14. Himpinan penyelesaian dari ⎪⎨ a b
⎪2 + 1 = 1
adalah . . . .
⎪⎩ a b

Tugas Akhir digunakan untuk mengukur kemampuan
kamu mengingat dan menguasai semua materi yang
telah dipelajari selama dua semester.

159
Tugas Akhir

vi

vi

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

DAFTAR ISI
Kata Pengantar

...................................................................................................................

iii

Apakah Keunggulan Buku Ini?? ..............................................................................................

iv

BAB 1

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA ............................

1

A.

Bentuk Pangkat ..........................................................................................

2

B.

Bentuk Akar ...............................................................................................

10

C.

Logaritma ...................................................................................................

16

D.

Aplikasi Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma ...........................................

19

Rangkuman ........................................................................................................

21

Ulangan Bab 1 ...................................................................................................

22

BAB 2

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT................................

25

A.

Persamaan Kuadrat ..................................................................................

26

B.

Fungsi Kuadrat ..........................................................................................

38

Rangkuman ........................................................................................................

44

Ulangan Bab 2 ...................................................................................................

45

BAB 3

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT ....................................

47

A.

Sistem Persamaan Linear .........................................................................

48

B.

Sistem Persamaan Non - Linear ...............................................................

62

Rangkuman ........................................................................................................

65

Ulangan Bab 3 ...................................................................................................

67

BAB 4

PERTIDAKSAMAAN .................................................................................

69

A.

Pertidaksamaan Linear ..............................................................................

70

B.

Pertidaksamaan Kuadrat ...........................................................................

73

C.

Pertidaksamaan Pecahan .........................................................................

75

D.

Pertidaksamaan Bentuk Akar ....................................................................

78

E.

Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak ..........................................................

79

F.

Aplikasi Pertidaksamaan ............................................................................

81

Rangkuman ........................................................................................................

80

Ulangan Bab 4 ...................................................................................................

82

BAB 5

LOGIKA MATEMATIKA ............................................................................

85

A.

Pernyataan dan Kalimat Terbuka ...............................................................

86

B.

Ingkaran (Negasi) .......................................................................................

88

C.

Pernyataan Majemuk .................................................................................

89

D.

Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ........................................................

97

E.

Ingkaran dari Pernyataan Majemuk ............................................................

97

F.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor ...............................................................

100

G.

Penarikan Kesimpulan ...............................................................................

101

H.

Bukti dalam Matematika .............................................................................

104

Rangkuman ........................................................................................................

108

Ulangan Bab 5 ...................................................................................................

109

BAB 6

TRIGONOMETRI ....................................................................................

111

A.

Ukuran Sudut dalam Radian ......................................................................

112

B.

Perbandingan Trigonometri Sudut Segitiga Siku-Siku ................................

113

0

0

0

0

0

C.

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istmewa (0 ,30 ,45 ,60 ,90 ) .....

116

D.

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi ...............................................

118

E.

Identitas Trigonometri ................................................................................

120

F.

Grafik Fungsi Trigonometri .........................................................................

124

G.

Persamaan Trigonometri ...........................................................................

126

H.

Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga .....................................

127

I.

Aplikasi Trigonometri ..................................................................................

130

Rangkuman ........................................................................................................

133

Ulangan Bab 1 ...................................................................................................

135

BAB 7

DIMENSI TIGA ..........................................................................................

137

A.

Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang. ....................................

138

B.

Menggambarkan Bangun Ruang ...............................................................

141

C.

Volume Bangun Ruang ..............................................................................

142

D.

Irisan Bangun Ruang ................................................................................

151

E.

Jarak dan Sudut .........................................................................................

152

Rangkuman ........................................................................................................

156

Ulangan Bab 7 ...................................................................................................

157

Tugas Akhir ........................................................................................................

159

Pustaka Acuan ...................................................................................................

162

viii

viii

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma

B
A
B

1
TUJUAN
PEMBELAJARAN
♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat
negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat mengubah bentuk akar ke
bentuk pangkat dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat mengubah bentuk pangkat
ke bentuk logaritma dan sebaliknya.
♦ Kamu dapat melakukan operasi aljabar
pada bentuk pangkat, akar, dan
logaritma.
♦ Kamu dapat menyederhanakan bentuk
aljabar yang memuat pangkat.
♦ Kamu dapat merasionalkan bentuk
pangkat.

Berapakah berat bumi kita ini? Berat bumi kita adalah 6 × 1021 ton.
Bentuk penulisan dengan menggunakan bilangan berpangkat ini
sangat membantu kamu dalam ketelitian melakukan perhitungan.
Bayangkan, jika bilangan tersebut ditulis dalam bentuk panjang.
Jangankan melakukan perhitungan, menuliskannya saja sulit.

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

♦ Kamu dapat membuktikan sifat-sifat
yang sederhana tentang bentuk
pangkat, akar, dan logaritma.

1

A. Bentuk Pangkat
1. Pangkat Bulat Positif, Negatif dan Nol
Di kelas VII SMP, telah dijelaskan bahwa 3n = 3 × 3 × … × 3.
n faktor

Bilangan 3 disebut bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat.
Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real maka an didefinisikan
sebagai perkalian n faktor bilangan a.
an = a × a × … × a
n faktor

Jika a ≠ 0, a bilangan real dan n bilangan bulat negatif maka
a−n didefinisikan sebagai berikut :
1
an
1 1 1
1
= × × ×...×
a
a a 


a

a−n =

n faktor

dan
a0 = 1

CONTOH

1.

Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!
3

a.

2 =....
5

c.

⎛1⎞
⎜ ⎟ =....
⎝5⎠

d.

⎛ 1⎞
⎜− ⎟ = . . . .
⎝ 5⎠

e.

n9 = . . . .

f.

(−r)7 = . . . .

3

b. (−5) = . . . .
5

Jawab:
a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
b. (−5)5 = (−5) × (−5) × (−5) × (−5) × (−5) = −3.125
3

c.

1
1
1
1
⎛1⎞
=
⎜ ⎟ = × ×
5
5
5
125
⎝5⎠

d.

1
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ = −
125
⎝ 5⎠
⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

e.
f.

n9 = n × n × n × n × n × n × n × n × n
(−r)7 = (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r) × (−r)

3

2

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

2.

Tuliskan dalam bentuk pangkat!
a. 5 × 5 × z × z × z = . . . .
b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = . . . .
c.

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ = . . . .
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

Jawab:
a. 5 × 5 × z × z × z = 52 × z3
b. (−1) × (−1) × (−1) × (−1) = (−1)4 = 1
4

c.
3.

1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ =
256
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

Tuliskan dalam bentuk perkalian berulang!
c. 140 = . . . .
a. 4−3 = . . . .
b.

⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝7⎠

−2

=....

d.

1
= ....
2 −3

Jawab:
a.

4-3 =

1
1
1
1
1
×
× =
3 =
64
4
4
4
4

−2

b.

c.
d.

1
1
1
1
⎛1⎞
=
×
=
= 49
⎜ ⎟ =
2
1
1
1
7
⎝ ⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟
7
7
49
⎝7⎠

140 = 1
1
1
= 1 = 23 = 2 × 2 × 2 = 8
2 −3
23

Asah Kompetensi
1.

2.

1

Nyatakan ke dalam bentuk perkalian berulang!
a. −36 = . . . .
c. (7 + 3)7 = . . . .
b. (−3)6 = . . . .
d. 77 + 37 = . . . .

e.
f.

3y3 = . . . .
(x − y)2 = . . . .

Tuliskan dalam bentuk pangkat!
a. 11 × 11 × 11 × 11 × 11 = . . . .
b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = . . . .
c. t × t × t × t × t × t = . . . .

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

3

3.

Hitunglah!
a.
b.

4.

10−8 = . . . .
1
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝5⎠

=....

−2

c.

0 −3 = . . . .

d.

( −5 ) 0 = . . . .

Nyatakan ke dalam bentuk pangkat!
a. 800 = . . . .
c. 200 = . . . .
b. 64 = . . . .
d. 450 = . . . .

Pada 1940, sebuah komputer dapat mengerjakan sekitar
100 operasi per detik. Sejak itu, kecepatan komputer telah
berlipat ganda 10 kali setiap 5 tahun. Sekitar berapa
operasi per detikkah yang dapat dikerjakan komputer
pada tahun 2005?
Sumber: Teaching Mathematics

A

ktivitas di

K

elas

1.

Buatlah pola bilangan 7t dari t = 1!

2.

Tentukan angka satuan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

3.

Tentukan angka puluhan 7t untuk setiap nilai t! Amati pola yang terbentuk!

4.

Berdasarkan pola yang kamu buat, tentukan angka satuan dan angka puluhan dari 71999!

2. Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat Bulat

Catatan

a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

Menentukan pangkat dari
bilangan bulat adalah
dengan menggunakan
pohon faktor.
Contoh:
452 452 = 2 × 2 × 113
= 22 × 113
226
2

a3 × a4 = (a × a × a) × (a × a × a × a)

2

4

113

Ambil a 5 sebarang bilangan real , kemudian hitung a3 × a4 = …

3 faktor

4 faktor

= a × a × a × a × a × a × a = a7
7 faktor

Jadi, a × a = a .
3

4

7

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Pangkat dari hasil perkalian merupakan penjumlahan pangkat kedua
bilangan, yaitu 7 = 3 + 4.
Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku
am × an = am +n

CONTOH

Hitunglah nilai pangkat berikut:
53 ×54

a.

b. 8n7 × n3

c.

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜ − ⎟×⎜− ⎟×⎜ − ⎟
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

3

Jawab:
a. 53 × 54 = 53 + 4 = 57 = 78.125
b. 8n7 × n3 = 8n7 + 3 = 8n10
3
1+1+ 3
5
1
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜− ⎟ ×⎜− ⎟ × ⎜− ⎟ = ⎜− ⎟
= ⎜− ⎟ = −
243
3
3
3
⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

c.

b. Sifat Pembagian dan Pangkat Nol Bilangan Berpangkat
Ambil a sebarang bilangan real, a ≠ 0 m dan n bilangan bulat positif
sebarang, kemudian hitunglah

a5
!
a3

5 faktor

5

a
=
a3



a× a × a × a × a
= a × a = a2
 

a× a× a
 

2 faktor
3 faktor

a5
Jadi, 3 = a2.
a
Pangkat dari hasil pembagian merupakan pengurangan pangkat
pembilang oleh penyebut kedua bilangan, yaitu 2 = 5 − 3.
Untuk setiap a bilangan real tak nol, m dan n bilangan bulat, berlaku

am
m−n
n =a
a

Dengan mengambil bilangan bulat m = n, buktikan bahwa a0 = 1! Hasil
dari pembuktian akan menghasilkan sifat berikut ini.

Untuk setiap a bilangan real tak nol, berlaku a0 = 1

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

5

CONTOH

Hitunglah nilai dari:
a.

( −3)3
( −3)2

b.

y6
y2

c.

(−123)0

Jawab:
a.
b.
c.

( −3)3
= (−3)3 − 2 = (−3)1 = −3
( −3)2
y6
= y6 − 2 = y 4
y2

(−123)0 = 1

c. Sifat Pemangkatan Bilangan Berpangkat
Ambil a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif. Kemudian hitunglah
(am)n!
(am)n = (am) × (am) × . . . × (am)
n faktor

= (a × a × … × a) × (a × a × … × a) × … × (a × a × … × a)
m faktor

m faktor

m faktor

n faktor

=a×a×…×a×a×a×…×a×…×a×a×…×a
m × n faktor

= amn
Jadi, (am)n = amn.

Untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku
(am)n = amn

CONTOH

1.

(r3)2 = r3 × 2 = r6

2.

(x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y)

d. Sifat Pemangkatan Bentuk dengan Beberapa Faktor
Misalkan a dan b bilangan real sebarang. Kemudian hitunglah (a × b)3!
(a × b)3 = (a × b) × (a × b) × (a × b)
3 faktor

= a×b×a×b×a×b
= a×a×a×b×b×b
3 faktor

=a ×b
3

"

Ayo, gunakan sifat asosiatif
perkalian, yaitu a × b = b × a

3 faktor

3

Jadi, (a × b) = a3 × b3.
3

6

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku
(a × b)n = an × bn
⎛a⎞
⎝b⎠

n

Dari sifat tersebut, coba buktikan bahwa ⎜ ⎟ =

an
, b ≠ 0!
bn

Untuk setiap a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif, berlaku:
n

an
⎛a⎞
⎜ ⎟ = n ,b≠0
b
⎝b⎠

1.

CONTOH

Hitunglah nilai (2a2)4!
Jawab:
(2a2)4 = 24 (a2)4 = 16a8

2.

Jika

y3
x
= 1, x dan y bilangan real tak nol, hitunglah
!
4x 3
y

Jawab:
y
x
= 1, maka
=1
x
y

Oleh karena
3

y3
1 ⎛y⎞
1
1
1
⋅ 13 =
⋅ 1=
⎜ ⎟ =
3 =
4 ⎝x⎠
4
4x
4
4

Asah Kompetensi
1.

2

Sederhanakanlah setiap perkalian berikut ini!
a.

3
3
3
=....
⋅
⋅
4
4
4

c.

b. 2 × 32 × 5 × 32 × 22 × 52 = . . . .
2.

d. a3 × 3a2b × 3ab2 × b3 = . . . .

Sederhanakanlah setiap pembagian berikut ini!
a.

b.
3.

4x7y7 × 4xy × 10 yx3 = . . . .

98
814

( −1)5
( −1)

4

=....

c.

4 xy 4
=....
2( xy )4

=....

d.

r 8 s 3t 4
=....
r 2 s2t

Tunjukkan bahwa untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat positif, berlaku
a−n =

1
!
an

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

7

4.

Mari sederhanakan!
a. 20050 = . . . .

c.

1

b.
5.

⎛− 1⎞
⎜
⎟
⎝ 5⎠

−3

=....

d.

Mari sederhanakan!
a. (65)−3 = . . . .

c.

(−1)−7 = . . . .

( −1)5
( −1)4

(7−2)−1 = . . . .

3

b.
6.

=....

3

⎡⎛ 3 ⎞ 2 ⎤
⎢⎜ − ⎟ ⎥ = . . . .
⎣⎝ 5 ⎠ ⎦

3 −1

d. (y )

⎛ 1 ⎞
− ⎜ −1 ⎟ = . . . .
⎝y ⎠

Mari sederhanakan!
2

a.

(−3a × 3b)5 = . . . .
−2 4

b. (x ⋅ y ) = . . . .
3

7.

c.

⎛ 2 ⎛ 3 ⎞⎞
⎜ a×⎜− b⎟⎟ = . . . .
⎝ 3 ⎝ 4 ⎠⎠

d.

⎡⎛ 1 ⎞ 2 2 ⎤
⎢⎜ ⎟ 2 ⎥
⎣⎝ 2 ⎠
⎦

−2

=....

Buktikan bahwa untuk setiap a bilangan real, m dan n bilangan bulat, berlaku am × an = am +n!

Coba pikirkan berapa banyak angka pada hasil perkalian 21999 × 52000!
Sumber: Olimpiade Matematika tingkat Kota/ Kabupaten, 2002

ASAH KEMAMPUAN

1

Waktu: 60 menit
1.

Tuliskanlah dalam perkalian berulang!
a. (−3a)5 = . . . .
c. (35)4 = . . . .
e.

(−1)12 = . . . .

Bobot soal: 6

3

b. −3a = . . . .
6

2.

d. (a ) =. . . .

f.

Tuliskan dalam bentuk pangkat!
a. 4r × 3r × 2r × r = . . . .
b. 9a × 6ab × 3abc = . . . .
c.

8

2 −7

⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝6⎠

−2

=....
Bobot soal: 6

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜ ⎟ × ⎜− ⎟ × ⎜ ⎟ = . . . .
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 32 ⎠

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

3.

Tentukanlah nilai a, b dan c dari bentuk berikut ini!

Bobot soal: 16

a. 13.475 = 5 × 7 × 11
c. 75.625 = 5 × 7 × 11
a
b
c
b. 15.125 = 5 × 7 × 11
d. 41.503 = 5a × 7b × 11c
Kemudian, tentukan pula FPB dan KPK dari bilangan-bilangan
tersebut!
a

4.

6.

c

a

c

Bobot soal: 12

9x2y-3 × y4x-1 = . . . .

c.

⎛ 1 −5 −3 ⎞
⎜ a b ⎟ × (5a5b3) = . . . .
⎝ 25
⎠

b. −2y-2 × (−2xy−1)2 = . . . .

d.

1
1
× ( −3 a) × a 2 b × ( −3 ab 2 ) = . . . .
3
3

Sederhanakanlah!

Bobot soal: 16

a.

125 a −3 × 3 a6 b 2
=....
5 ab 4

b.

16 a 2 b 6 × ab 4
8 ab 4

c.

9 x −2 y −3 z −4 9 x −2 y −3 z −4
=....
27 x −4 y −3 z −2 27 x −4 y −3 z −2

( 3x y )
2

=....

d.

2 −2

z4

:

xz −3
=....
yz −4

Untuk x dan y bilangan real tak nol, tentukanlah:
0

a.
7.

b

Sederhanakanlah!
a.

5.

b

⎛ 16x 2 y 6 + 8xy 4 ⎞
⎜
⎟ =....
8xy 4
⎝
⎠

b.

Bobot soal: 6

27 x 4 y 0 + 9 x 0 y 2
=....
2 x −3 y 2

Mari sederhanakan!
a.

⎡ ⎛ 3 ⎞−2 ⎤
⎢− ⎜ − ⎟ ⎥
⎣ ⎝ 4⎠ ⎦

Bobot soal: 12

−3

−1

c.

⎛ 8m−12 n−2 ⎞
⎜
−6 n ⎟
⎝ 32m
⎠

d.

⎛ a −4 b 2 c ⎞
⎜
−6 3 ⎟ = . . . .
⎝ ( ab ) c ⎠

4

b. −p ⎡⎣ − p ( − p
8.

−3

)⎤⎦

−3

=....

Jika k = 3, l = − 13 , dan m = 5, tentukanlah nilai dari:
a.

( 3k l m )
(2 k l m )
2 −2

4 3

−1 2

−3 2

b.

⎛ −2 k − 3 l 3 + l 3 ( − m ) 5 ⎞
⎜
⎟
k −1 l −2 m −3
⎝
⎠

Bobot soal: 6
−2

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk (4r + 3)3.
a. Tentukanlah volume kubus tersebut!
b. Jika kubus tersebut dapat memuat 6 buah limas beraturan yang
masing-masing kongruen, tentukanlah volume limas!

Bobot soal: 10

10. Hambatan total R dari sebuah rangkaian seri-paralel diberikan oleh
persamaan

Bobot soal: 10

9.

−1

⎛ 1
1
1 ⎞
R = ⎜ R + R + R ⎟ + R4
2
3 ⎠
⎝ 1

Hitung nilai hambatan tersebut jika R1 = 5 Ω, R2 = 6,5 Ω, R3 = 5,5 Ω,
dan R4 = 6Ω!

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

9

Produksi semen tiga segitiga memenuhi persamaan
h = 5 × 2−4 × t2 × 106 di mana h dalam ton dan t bilangan
bulat yang menyatakan waktu. Jika keuntungan
perusahaan dinyatakan oleh u (dalam rupiah) dari
persamaan
u
= 2−5 × 105
h

Gambar suasana pabrik

Berapakah keuntungan perusahaan tersebut selama
5 tahun?

B. Bentuk Akar
Untuk memahami bentuk akar, lakukanlah aktivitas berikut ini.

A

ktivitas di

K

elas

1.

Gambarlah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-sikunya 1 cm!

2.

Ukurlah panjang sisi miringnya dengan menggunakan penggaris sentimeter. Berapa
sentimeterkah panjangnya? Catatlah hasil pengukuranmu!

3.

Sekarang, hitunglah panjang sisi miring tersebut dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Berapa sentimeterkah panjangnya?

Pada langkah ke-2 aktivitas tersebut, kamu akan mendapatkan panjang
sisi miring segitiga siku-siku samakaki 1,4 cm lebih. Dengan tingkat
ketelitian berapapun, kamu tidak akan dapat mengukur dengan tepat
panjang sisi miring ini.
Pada langkah ke-3, dengan menggunakan teorema Pythagoras yang
telah dipelajari di SMP kelas VII, kamu akan mendapatkan panjang sisi
miring tersebut 2 cm.
Cara memperolehnya:
h

1 cm

h2 = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2
h=

2 cm

1 cm
Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh

2 = 1,414213562…, suatu

bentuk desimal yang tidak berulang dan tanpa akhir. Bentuk seperti 2
ini disebut bilangan irasional dalam bentuk akar, karena tidak dapat
10

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat

a
, b ≠ 0. Bilangan
b

lain yang merupakan bilangan irasional bentuk akar, di antaranya
7 , 3 −16 , 4 9 , dan
3

−64 dan

5

32

5

−30 , sedangkan bilangan-bilangan seperti

9 , 36 ,

bukan bentuk akar karena:

9 = 3 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua

•

sempurna, yaitu 9 = 32

36 = 6 merupakan akar pangkat dua dari bilangan pangkat dua

•

sempurna, yaitu 36 = 62
−64

•

merupakan akar pangkat tiga dari bilangan pangkat tiga
sempurna, yaitu -64 = (-4)3

•

32 = 2 merupakan akar pangkat lima dari bilangan pangkat lima
sempurna, yaitu 32 = 25

3

5

Bentuk akar adalah akar pangkat m dari suatu bilangan yang bukan
pangkat m sempurna.

1.

15 adalah bentuk akar karena 15 bukan pangkat dua sempurna.

2.

−27 bukan bentuk akar karena −27 merupakan pangkat tiga
sempurna.

3.

10 adalah bentuk akar karena 10 bukan pangkat lima sempurna.

CONTOH

3

Buktikan bahwa

3 merupakan bilangan irasional!

Catatan

1. Sifat-Sifat Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, p, q bilangan real, m dan n bilangan asli, berlaku:
m

4.

n

ab = n a . n b

2. p n a + q n a = ( p + q ) n a

5.

n

a na
=
,b≠0
b nb

3. p n a − q n a = ( p − q ) n a

6.

m n

1.

n

am = a n

Dari sifat 1 diperoleh

a = mn a

Menyederhanakan akar
dari bilangan bulat
diselesaikan dengan
cara memfaktorkan
bilangan tersebut.
Contoh: 1800 = 23 ⋅ 52 ⋅ 32
= 23 ⋅2 ⋅ 52 ⋅ 32

1800

450

2
2

n

am = a

m
n

225
45

5

9

5
3

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

= 2 ⋅ 2 ⋅ 5⋅ 3
= 2 ⋅ 5⋅ 3⋅ 2
= 30 2

900

2

3

11

Jika m = n, maka

n

n

an = a n = a.

Nilai a ini lebih dari atau sama dengan nol untuk n bilangan genap dan semua
bilangan real untuk n bilangan ganjil.

CONTOH

3

81 =

2.

5

−160 a7 b 5 = 5 ( −2)5 ⋅ 5 ⋅ a 5 ⋅ a 2 ⋅ b 5 = 5 ( −2)5 ⋅ 5 a 5 ⋅ 5 b 5 ⋅ 5 5 a 2 = − 2 ab 5 5 a 2

3.

2 3 ⋅ − 15 = − 2 3

3

(

15
=
3

4.

25x 5 y

5.
6.

x2 y
3

3.

12

(

)

5 3 = −2

( 3)

2

5 = −2 ⋅ 3 5 = −6 5

15
= 5
3
=

25x 5 y
= 5 x 3 = 5 x 2 x = 5x x
x2 y

3

Manakah yang merupakan bentuk akar?
e. 3 300
a.
45

h.

15

b. − 3 −8

f.

16.807

i.

− 1, 21

c.

g.

0, 81

j.

2.025

3

d.
2.

)

x = 3.2 x = 6 x

Asah Kompetensi
1.

27 ⋅ 3 = 3 33 ⋅ 3 = 3 3 3

1.

0, 27

5

−1

2, 25

Kerjakan operasi hitung berikut ini!
f.
a. 3 40 + 6 3 5
3 − 27 + 81
b. 4 12 + 9 27
g.
375 + 192 − 648

(1 + 3 2 ) − ( 4 −

c.

4 x 7 + 3x 7 + 2 x 7

h.

d.

9 4 48 − 18 4 32

i.

e.

29 7 − 10 63

j.

3

5

)

50 + 243

9 x 2 y + 5 xy 2 − x 4 y − 12 x

x6 y 2 + 3

x3 y5 1 3 3 2
x y
−
27
2

Sederhanakanlah!
a.

72

e.

b.

250

f.
g.

c.

3

1.512

d.

3

80

8

54x 3 y 3

25.000

h.

x9 y 2

i.

3

1.458x 6 y 5

1 16 12
x y
8

j.

5

243x 20 y 100

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

4.

Sederhanakanlah!
128
2

a.

f.

5 128x 5
50x

g.

3

6

b.

6

128
1.458

x2 y

6
2 3

c.

d.

e.

4

⎛ 8
27 ⎞
xy ⎜ 10 + 13 ⎟
y ⎠
⎝x

h.

196
169

i.

0, 0625

j.

(

x 3 y2
5

x y

(

3

(

)

3

x+3y

)(

x− y

)(

x−y
3

x 2 − 3 xy + 3 y 2
y+ x

)

)

x−y

Sederhanakan bentuk akar berikut ini!
1.

2 + 2 + 2 + ...

2.

6 + 6 + 6 + ...

6 + 6 + 6 + ...

3

20 + 20 + 20 + ...

4.

42 + 42 + 42 + ...

2. Merasionalkan Penyebut Pecahan
Merasionalkan penyebut pecahan artinya mengubah bentuk akar pada
penyebut pecahan menjadi bilangan rasional. Dapat dilakukan dengan cara
mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan akar sekawan dari
penyebutnya. Bentuk-bentuk akar sekawan tersebut adalah sebagai berikut:
•

a sekawan dengan

a

• ( a + b ) sekawan dengan ( a − b )
•

(

)

a + b sekawan dengan

(

a− b

)

Dalam buku ini hanya akan dibuktikan bahwa ( a + b ) sekawan dengan

( a − b ) . Untuk membuktikan pernyataan tersebut, kamu harus menunjukkan
bahwa hasil kali ( a + b ) dengan ( a − b ) merupakan bilangan rasional.
Bukti:

( a + b ) ( a − b ) = a2 − a

b+a b−

( b ) = a2 − b
2

a2 − b merupakan bilangan rasional sehingga

(a + b )

sekawan dengan

(a − b ) .
Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

13

Dengan cara yang sama, coba kamu buktikan bahwa
a dan

CONTOH

(

=

(

)

a− b .

"Perkalian dua bentuk akar sekawan

2 3
3

−3
−3
4+ 7
×
=
4− 7
4− 7
4+ 7

"Perkalian dua bentuk akar sekawan

4 1
−12 − 3 7
−3(4 + 7 )
=− −
7
=
9
3 3
16 − 7

=

3.

sekawan dengan

2
2
3
⋅
=
3
3 3

1.

2.

)

a+ b

a sekawan dengan

x+ 2
=
x− 3

=

=

Asah Kompetensi

x+ 2
×
x− 3

(
(

x+ 3
x+ 3

x+ 2

x+ 3

x−

)(
3 )(

x+

(

3+ 2

x+

)

"Perkalian dua bentuk akar sekawan

)
3)

x+ 6

x−3

4

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, nyatakan dalam bentuk sederhana!
1.

8
10

2.

7 −5
15

3.

4.

5 − 48
11

x2
2 x

Tunjukkan bahwa jika x =

14

5.

6.

3
x 2
3
4− 5

7.

8.

7− 2
7 −2
24 − 216
2 6 −9

9.

x+ y
x− y

1

10. x − x 2 − y 2

1
5 +1
maka (x2 + 2 ) merupakan bilangan irasional!
x
5 −1

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

2
Waktu: 60 menit
1.

Gambarlah garis yang panjangnya

2.

Kerjakan operasi hitung berikut ini!
a. 2 3 + 192
f. 3x + 12 x + 27 x + 48x
b.

567 − 11 7

g.

c.

125 + 50 − 175

h.

d. − 6 + 54 + 404
27 − 2 162

e.
3.

17 cm, dan 2 6 cm!

6 × 18

b. 2 3 ( 3 3 + 6 )

c.

(

2+ 3

)

3

e.

3

3

x2 5 x2 x2

3

24 x 4 + 3 3x 4 y 3 − 3 81xy 6

25 − 2 126 − 19 − 336

j.

Bobot soal: 20

f.

14
15
24
35

g.

42
35
56
15

2x2
3

i.

j.

x

3

x x2
x2 3 x

x
y
xy

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini. Kemudian, nyatakanlah
ke dalam bentuk yang lebih sederhana!
a.

30
20

c.

1
10 − 4

b.

9
2

d.

3
3−2 2

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

Bobot soal: 20

i. x 3 2 − x 2 3 128 + x 3 16

h.

d. 2 4 ( 3 2 + 16 )
3

Bobot soal: 18

3
9
18
3 +
x
x

3

Kerjakanlah operasi hitung berikut ini!

a.

4.

7 cm,

Bobot soal: 25

15

1

e.
f.

3 5

1
80

h.

5 ⎞
⎛ 1
−
⎜
⎟
⎝ 2 2 2⎠

−2

1

g.
5.

−

5

x

4

−2 + 2
2 2 −3

i.

2
3
+
3 −3 2+2 3

j.

4
5
2
+
−
7
7 +2 3+ 7

Aplikasi Geometri
Pada gambar segitiga ABC di samping, panjang

A

AE : EC = 2 : 3 . Jika DE sejajar dengan BC dan
luas segitiga ABC 400 cm2, hitunglah:
a. Perbandingan luas segitiga ADE dengan luas
segitiga ABC.
b. Luas segitiga ADE.

2

D

Bobot soal: 17

E
3

B

C

C. Logaritma

A

K

ktivitas di

elas

1.

Tuliskan persamaan y = 3x pada bukumu!

2.

Substitusilah nilai y = 1, y = 3, y = 27, dan y =

3.

Sekarang, substitusilah nilai y = 4 dan y = 10. Dapatkah kamu menentukan nilai x?

1
sehingga kamu mendapatkan nilai x!
3

Pada langkah ke−2 aktivitas di atas, dengan mencoba-coba mensubstitusi
nilai x, didapatkan nilai x sebagai berikut:
Pada persamaan y = 3 x tersebut, kamu dapat mencoba-coba mensubstitusi nilai x untuk memperoleh nilai y tertentu. Namun, tidak demikian
pada langkah ke−3.

y = 3x
y=1

x=0

y=3

x=1

y = 27

x=3

1

y= 3

16

x = –1

Matematika Aplikasi SMA Kelas X

Pada langkah ke−3, kamu akan kesulitan jika harus mencoba-coba
mensubstitusi nilai x yang memenuhi y = 3x. Untuk menyelesaikan masalah
tersebut, seorang Matematikawan asal Skotlandia, John Napier telah
menemukan suatu cara yang tepat, yaitu dengan logaritma. Logaritma
ditemukannya pada tahun 1614.
Untuk p > 0 dan p ≠ 1, berlaku plog a = n jika dan hanya jika pn = a,
dengan p adalah bilangan pokok.
a adalah numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya.
(a > 0)
n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p
Definisi ini sangat berguna untuk menentukan nilai x yang memenuhi
y = 3x, khususnya seperti permasalahan pada langkah ke-3 aktivitas 3.
Untuk y = 4, didapat 3x = 4. Akibatnya, x = 3log 4.
Untuk y = 10, didapat 3x = 10. Akibatnya, x= 3log 10.
1.

log 100 = 2 karena 100 = 102

2.

2

3.

3

4.

log 16 = 4 karena 16 = 24
log
6

3

2
9 = 3 karena

3

log 36 = 4 karena 36 =

2

9 = 33
4

( 6)

Pada contoh tersebut, kamu mudah menentukan logaritmanya karena
bilangan yang kamu hadapi tergolong istimewa. Bagaimana menentukan
6
log 50, 9log 2, atau 27 log 11?
Untuk memudahkanmu dalam menentukan logaritma seperti itu, kamu
harus mempelajari sifat-sifat berikut.

Untuk bilangan pokok positif, tidak sama dengan satu, dan numerus
positif, berlaku
log (ab) = plog a + plog b

1.

p

2.

p

3.

p

4.

a.

p

b.

p

⎛a⎞
⎝b⎠

log ⎜ ⎟ = plog a − plog b

log an = n ploga
q

log a =

q

log a =

a

log a
log p

c.

a

1
log p

d.

a

b.

p

b.

(p )

log a = 1

e.

log 1 = 0

p

logan = n

log a × alog q = plog q

5.

p

6.

a.

7.

a. p

pn

log am =
p

log a

=a

mp
log a
n

Bab 1 Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma

log a =
m

pn

log a

pn

log a n
m

= an

17

Pembuktian dalam buku ini hanya akan dijelaskan untuk s