Soal Fungsi Komposisi&Invers Penyelesaian by fendi alfi fauzi soalujian.net
SOAL-SOAL PEMBAHASAN FUNGSI KOMPOSISI &
INVERS FUNGSI
Fendi Alfi Fauzi∗
16 April 2014
1. Jika f (x) =
Jawab:
px ,
f x2 + x
= ······
p konstanta positif, maka
f (x + 1)
f (x) = px
2
f x2 + x = px +x
f (x + 1) = px+1
2
f x2 + x
px +x
=
f (x + 1)
px+1
2
=
=
p x · px
px · p
px
p
2
2
f x2 + x
f (x + 1)
= px · p−1
= p( x
2 −1
)
f x2 + x
x2 −1)
x
(
=
Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p
. Karena f (x) = p maka
f (x + 1)
f x2 − 1
r
x2 − 2x + 1
2. Fungsi f (x) =
terdefenisi untuk ......
16 − x2
Jawab:
r
x2 − 2x + 1
x2 − 2x + 1
Fungsi f (x) =
terdefenisi
jika
≥ 0. Perhatikan pada bagian pembi16 − x2
16 − x2
lang yaitu x2 − 2x + 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x − 1)2 . Karena fungsi kuadrat selalu
bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16 − x2 > 0. Perlu diketax2 − 2x + 1
hui juga bahwa
tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan
16 − x2
menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
16 − x2 > 0
(4 − x) (4 + x) > 0
∗
http://alfysta.blogspot.com
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
1
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Dengan menguji pada garis bilangan, kita
r mendapatkan batas-batas nilai x yaitu −4 < x < 4.
x2 − 2x + 1
terdefenisi pada −4 < x < 4
Jadi disimpulkan bahwa Fungsi f (x) =
16 − x2
f (x + 3) 2
x
3. Jika fungsi f di defenisikan sebagai f (x) = 2 maka nilai
=......
f (x − 1)
Jawab :
Diketahui : f (x) = 2x , f (x + 3) = 2x+3 dan f (x − 1) = 2x−1 .
2x+3
f (x + 3)
=
f (x − 1)
2x−1
x+3 2
2
f (x + 3) 2
=
f (x − 1)
2x−1
2x+6
2
=
22x−2
22x · 26
=
22x · (2)−2
26
=
2−2
= 26 · 22
f (x + 3)
f (x − 1)
2
= 64 × 4
= 256
4. Jika f (x) = −x + 3 maka f x2 + f 2 (x) − 2f (x) =......
Jawab :
f (x) = −x + 3
f x2 = −x2 + 3
f 2 (x) = (−x + 3) (−x + 3) = x2 − 6x + 9
2f (x) = −2x + 6
f x2 + f 2 (x) − 2f (x) = −x2 + 3 + x2 − 6x + 9 − (−2x + 6)
= −6x + 12 + 2x − 6
= −4x + 6
5. Diketahui f (x + 1) = x2 − 1 dan g (x) = 2x maka (g ◦ f ) (x) =......
Jawab :
Diketahui f (x + 1) = x2 − 1. Kita misalkan t = x + 1 → x = t − 1 sehingga
f (t) = (t − 1)2 − 1
= t2 − 2t + 1 − 1
f (t) = t2 − 2t
f (x) = x2 − 2x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
2
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
= 2 x2 − 2x
= 2x2 − 4x
6. Jika f (x) = x3 + 2 dan g (x) =
Jawab :
2
: x 6= 1 maka (g ◦ f ) (x) adalah .....
x−1
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
2
=
3
x +2−1
2
(g ◦ f ) (x) =
x3 + 1
7. Jika f (x) =
Jawab :
√
2x
dan g (x) = 2x maka (f ◦ g) (x) adalah .....
−4
x2
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
√
2 2x
= √ 2
2x − 4
√
2 2x
=
2x − 4
√
2 2x
=
2 (x − 2)
√
2x
(f ◦ g) (x) =
x−2
8. Jika f (x) = −4x dan f (g (x)) = − x2 + 1 maka g (x) =......
Jawab :
x
+1
2
x
− +1
2
− x2 + 1
−4
− x+2
2
−4
−x + 2
1
×
2
−4
1
− (−x + 2)
8
1
(x − 2)
8
f (g (x)) = −
−4 (g (x)) =
g (x) =
=
=
=
g (x) =
9. Diketahui (f ◦ g) (x) =
2x − 3
: x 6= −4 dan g (x) = (1 − x). Maka f (x) adalah ....
x+4
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
3
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(f ◦ g) (x) =
f (g (x)) =
f (1 − x) =
2x − 3
x+4
2x − 3
x+4
2x − 3
x+4
Misalkan u = 1 − x maka x = 1 − u sehingga
f (u) =
=
f (u) =
f (x) =
2 (1 − u) − 3
(1 − u) + 4
2 − 2u − 3
5−u
−2u − 1
5−u
−2x − 1
5−x
10. Fungsi f : R → R dan g : R → R dinyatakan oleh f (x) = x + 2 dan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1
maka g (2x) =......
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1
g (f (x)) = 2x2 + 4x + 1
g (x + 2) = 2x2 + 4x + 1
Misalkan x + 2 = y maka x = y − 2 sehingga
g (y) = 2 (y − 2)2 + 4 (y − 2) + 1
= 2 y 2 − 4x + 4 + 4y − 8 + 1
= 2y 2 − 8y + 8 + 4y − 8 + 1
g (y) = 2y 2 − 4y + 1
g (x) = 2x2 − 4x + 1
g (2x) = 2 (2x)2 − 4 (2x) + 1
= 2 4x2 − 8x + 1
g (2x) = 8x2 − 8x + 1
11. Bila f (x) =
x+2
dengan x 6= 3 maka invers dari f (x) adalah f −1 (x) = .....
3−x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
4
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
x+2
3−x
x+2
y =
3−x
3y − xy = x + 2
f (x) =
3y − 2 = x + xy
3y − 2 = x (1 + y)
3y − 2
x =
1+y
3x
−2
f −1 (x) =
, x 6= −1
1+x
12. Invers dari f (x) = 1 − x3
Jawab:
1
5
+ 2 adalah....
f (x) =
y =
y−2 =
1 − x3
1 − x3
1−x
(y − 2)5 = 1 − x3
1
5
1
5
+2
+2
1
3
5
x3 = 1 − (y − 2)5
q
3
1 − (y − 2)5
x =
1
5 3
x =
1 − (y − 2)
1
5 3
−1
f (x) =
1 − (x − 2)
13. Jika f (x) = 3x−1 maka f −1 (81) =.....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
5
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
f (x) = 3x−1
y = 3x−1
y = 3x · 3−1
1
y = 3x ·
3
3y = 3x
x =
3
log (3y)
f −1 (x) =
3
log (3x)
−1
(81) =
3
=
3
log (3 · 81)
f
log (243)
= 3 log 35
= 5 ·3 log 3
= 5×1
f −1 (81) = 5
14. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f (x) =
(g ◦ f )−1 (10) adalah ....
1
x − 1 dan g (x) = 2x + 4 maka
2
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
1
= 2
x−1 +4
2
= x−2+4
= x+2
(g ◦ f ) (x) = y
y = x+2
x = y−2
(g ◦ f )−1 (x) = x − 2
(g ◦ f )−1 (10) = 10 − 2
= 8
15. Jika f −1 (x) =
3−x
x−1
dan g −1 (x) =
maka (f ◦ g)−1 (6) = ....
5
2
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
6
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
(f ◦ g)−1 (x) =
=
=
=
(f ◦ g)−1 (x) =
(f ◦ g)−1 (6) =
=
=
16. Jika f (x) =
Jawab :
f −1 ◦ g −1 (x)
3−x
−1
2
5
3−x
2
−
2
2
5
1−x
2
5
1−x
10
1−6
10
−5
10
1
−
2
1
dan g (x) = x − 2 maka (g ◦ f )−1 (x)= .......
x−1
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
1
=
−2
x−1
2 (x − 1)
1
−
=
x−1
x−1
2x + 2
1
−
=
x−1
x−1
−2x + 3
(g ◦ f ) (x) =
x−1
(g ◦ f ) (x) = y
−2x + 3
y =
x−1
xy − y = −2x + 3
xy + 2x = y + 3
x (y + 2) = y + 3
y+3
x =
y+2
x
+3
, x 6= −2
(g ◦ f )−1 (x) =
x+2
17. Diketahui f (x) =5 log x dan g (x) =
x+3
maka (f ◦ g)−1 (x) = .......
3x − 4
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
7
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
x+3
5
(f ◦ g) (x) =
log
3x − 4
(f ◦ g) (x) = y
x+3
5
y =
log
3x − 4
x
+
3
5y =
3x − 4
3x · 5y − 4 · 5y = x + 3
3x · 5y − x = 4 · 5y + 3
x (3 · 5y − 1) = 4 · 5y + 3
4 · 5y + 3
x =
3 · 5y − 1
4 · 5x + 3
(f ◦ g)−1 (x) =
3 · 5x − 1
18. Jika (f ◦ g) (x) = 4x2 + 8x − 3 dan g (x) = 2x + 4 maka f −1 (x) =......
Jawab :
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
f (g (x)) = 4x2 + 8x − 3
f (2x + 4) = 4x2 + 8x − 3
Misalkan u = 2x + 4 maka 2x = u − 4 ⇒ x =
u−4
2
u−4
u−4 2
−3
+8
f (u) = 4
2
2
1 2
= 4
u − 8u + 16 + 4u − 16 − 3
4
= u2 − 8u + 16 + 4u − 16 − 3
= u2 − 4u − 3
f (x) = x2 − 4x − 3
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
8
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Misalkan f (x) = y maka
y = x2 − 4x − 3
y = x2 − 4x + 4 − 7
y = (x − 2)2 − 7
y + 7 = (x − 2)2
p
y+7
x−2 =
p
y+7+2
x =
√
−1
f (x) =
x+7+2
2x + 5
dan h (x) =
19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f (x) = 2x + 4, g (x) =
x−4
g ◦ f −1 (x) dengan f −1 adalah fungsi invers dari f dan h−1 adalah invers dari h. Rumus
fungsi h−1 (x) adalah ....
Jawab :
f (x) = 2x + 4
y = 2x + 4
2x = y − 4
y−4
x =
2
x
−
4
f −1 (x) =
2
g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x)
x−4
+5
2
2
=
x−4
−4
2
x−4+5
=
x−4 8
−
2
2
x+1
=
x − 12
2
2x + 2
h (x) =
x − 12
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
9
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Misalkan h (x) = y maka
2x + 2
x − 12
xy − 12y = 2x + 2
y =
xy − 2x = 12y + 2
x (y − 2) = 12y + 2
12y + 2
x =
y−2
12x + 2
h−1 (x) =
x−2
20. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x + 2 dan g (x) = 2x. Jumlah akar-akar
persamaan (g ◦ f ) x2 − 24x = 0 adalah ....
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
= 2 (x + 2)
(g ◦ f ) (x) = 2x + 4
y = 2x + 4
2x = y − 4
y−4
x =
2
x
−
4
(g ◦ f )−1 (x) =
2
x2 − 24x − 4
(g ◦ f )
x − 24x =
2
x2 − 24x − 4
0 =
2
x2 − 24x − 4 = 0
2
−1
Berdasarkan teorema Vieta diperoleh
b
a
(−24)
= −
1
= 24
x1 + x2 = −
21. Ditentukan g (f (x)) = f (g (x)), jika f (x) = 2x + p dan g (x) = 3x + 120, maka nilai p adalah
....
Jawab :
g (f (x)) = 3 (2x + p) + 120
= 6x + 3p + 120
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
10
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
f (g (x)) = 2 (3x + 120) + p
= 6x + 240 + p
Karena g (f (x)) = f (g (x)) maka
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
2p = 120
p = 60
22. Jika f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 , maka f (1) = .....
Jawab :
Diketahui : f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 .
Misalkan
y = 3 + 2x
y−3
x =
2
f (y) =
=
=
=
=
f (x) =
f (1) =
=
f (1) =
y−3 2
y−3
+
4−2
2
2
1 2
y − 6y + 9
4−y+3+
4
y 2 6y 9
−
+
7−y+
4
4
4
28 4y y 2 6y 9
−
+
−
+
4
4
4
4
4
y 2 10y 37
−
+
4
4
4
x2 10x 37
−
+
4
4
4
1 10 37
−
+
4
4
4
28
4
7
23. Dari fungsi f : R → R dan g : R → R diketahui bahwa f (x) = x + 3 dan (f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7
maka g (−1) =. ....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
11
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7
f (g (x)) = x2 + 6x + 7
g (x) + 3 = x2 + 6x + 7
g (x) = x2 + 6x + 4
g (−1) = 1 − 6 + 4
g (−1) = −1
24. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh g (x) = x2 − 3x + 1. Jika (f ◦ g) (x) =
2x2 − 6x − 1 maka f (x) = ....
Jawab :
f (g (x)) = 2x2 − 6x − 1
f x2 − 3x + 1 = 2x2 − 6x − 1
Misalkan
y = x2 − 3x + 1
y = (x − 1, 5) (x − 1, 5) − 1, 25
y = (x − 1, 5)2 − 1, 25
p
y + 1, 25 = (x − 1, 5)2
y + 1, 25 = x − 1, 5
p
x =
y + 1, 25 + 1, 5
p
2
y + 1, 25 + 1, 5 − 6
y + 1, 25 + 1, 5 − 1
p
p
= 2 y + 1, 25 + 3 y + 1, 25 + 2, 25 − 6
y + 1, 25 + 1, 5 − 1
p
p
= 2y + 2, 5 + 6 y + 1, 25 + 4, 5 − 6 y + 1, 25 − 9 − 1
f (y) = 2
p
= 2y + 7 − 9 − 1
f (y) = 2y − 3
f (x) = 2x − 3
25. Suatu pemetaan f : R → R dengan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 5 dan g (x) = 2x + 3 maka f (x) =.....
Jawab :
g (f (x)) = 2x2 + 4x + 5
2f (x) + 3 = 2x2 + 4x + 5
2f (x) = 2x2 + 4x + 2
f (x) = x2 + 2x + 1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
12
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
2
2
26. Jika fungsi f dan g adalah f : x → 2x 3 dan g : x → x 3 maka g ◦ f −1
Jawab :
√
2 adalah ....
2
f (x) = 2x 3
2
y = 2x 3
y 3 = 2x2
y3
x2 =
2
r
y3
x =
r2
x3
f −1 (x) =
2
g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x)
r ! 23
x3
=
2
3 21 ! 32
x
=
2
3 31
x
=
2
x
−1
g◦f
(x) =
1
23
1
g ◦ f −1 (x) = x · 2− 3
√
1
1
g ◦ f −1
2
= 2 2 · 2− 3
1
1
= 22−3
√
1
2
= 26
g ◦ f −1
27. Dari fungsi f dan g diketahui f (x) = 2x2 + 3x − 5 dan g (x) = 3x − 2. Agar (g ◦ f ) (a) = −11
maka nilai a yang positif adalah ....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
13
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(g ◦ f ) (x)
=
g (f (x))
=
3 2x2 + 3x − 5 − 2
=
=
6x2 + 9x − 15 − 2
6x2 + 9x − 17
6a2 + 9a − 17
(g ◦ f ) (a)
=
−11
=
6a2 + 9a − 17
=
0
=
0
6a2 + 9a − 6
2a2 + 3a − 2
(2a − 1) (a + 2) = 0
1
a=
atau a = −2
2
Jadi a positif adalah a =
1
2
1−x
untuk setiap bilangan Real x 6= 1. Jika g : R → R adalah suatu fungsi
x
sehingga (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2x + 1 maka fungsi invers g −1 (x) =....
28. Diketahui f (x) =
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = 2x + 1
g (f (x)) = 2x + 1
1−x
= 2x + 2
f
x
Misalkan
1−x
x
tx = 1 − x
t =
tx + x = 1
x (t + 1) = 1
x =
1
t+1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
14
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
g (t) = 2
=
=
g (x) =
y =
xy + y =
1
t+1
+1
t+1
2
+
t+1 t+1
t+3
t+1
x+3
x+1
x+3
x+1
x+3
x − xy = y − 3
x (1 − y) = y − 3
y−3
x =
1−y
x
−3
, x 6= 1
g −1 (x) =
1−x
29. Jika f (x) =
Jawab :
2
1
dan g (x) =
, x 6= 3 maka (f ◦ g)−1 (x) = .....
x+1
3−x
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
1
=
2
+1
3−x
1
=
2
(3 − x)
+
3−x
3−x
1
=
5−x
3−x
3−x
(f ◦ g) (x) =
5−x
3−x
y =
5−x
5y − xy = 3 − x
5y − 3 = xy − x
5y − 3 = x (y − 1)
5y − 3
x =
y−1
5x
−3
(f ◦ g)−1 (x) =
, x 6= 1
x−1
30. Jika f (x) =
√
x, x ≥ 0, dan g (x) =
x
, x 6= 1 maka (g ◦ f ) (2) =......
x+1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
15
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
√
x
(g ◦ f ) (x) = √
x+1
√
x
y = √
x+1
√
√
x
y x+y =
√
√
x−y x = y
√
x (1 − y) = y
√
y
x =
1−y
2
√ 2
y
x
=
1−y
2
y
x =
1−y
2
x
−1
(g ◦ f ) (x) =
1−x
2
2
−1
(g ◦ f ) (2) =
1−2
= (−2)2
(g ◦ f )−1 (2) = 4
31. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x3 dan g (x) = 3x − 4. Jika
a = g −1 ◦ f −1 (8) maka nilai dari f −1 ◦ g −1 (10a) adalah ....
Jawab :
g (x) = 3x − 4
y = 3x − 4
y+4
x =
3
x+4
−1
g (x) =
3
f (x) = x3
y = x3
√
x = 3y
√
f −1 (x) = 3 x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
16
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
g −1 ◦ f −1 (x) = g −1 f −1 (x)
√
3
x+4
−1
−1
g ◦f
(x) =
3
√
3
8
+4
g −1 ◦ f −1 (8) =
3
2+4
a =
3
a = 2
f −1 ◦ g −1 (x) = f −1 g −1 (x)
r
3 x + 4
=
3
r
3 10a + 4
f −1 ◦ g −1 (10a) =
3
r
3 10 (2) + 4
=
3
r
3 20 + 4
=
3
√
3
=
8
f −1 ◦ g −1 (10a) = 2
1
4
32. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f (x) = 3x−1 dan g : R → R memenuhi (f ◦ g)−1 (x) = x −
6
3
maka g (x) =....
Jawab :
f (x) = 3x − 1
y = 3x − 1
y+1
x =
3
x+1
−1
f (x) =
3
(f ◦ g)−1 (x) = f −1 g −1 (x)
g −1 (x) + 1
1
4
=
x−
3
6
3
3
12
−1
g (x) + 1 =
x−
6
3
12
3
x−
−1
g −1 (x) =
6
3
3
15
g −1 (x) =
x−
6
3
Kita sudah mengetahui bahwa g −1
−1
(x) = g (x) sehingga tugas kita tinggal meng inverskan
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
17
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
saja fungsi g −1 (x) diatas menjadi
15
3
x−
6
3
3
15
y =
x−
6
3
3x − 30
y =
6
6y = 3x − 30
g −1 (x) =
3x = 6y + 30
6y + 30
x =
3
x = 2y + 10
g (x) = 2x + 10
Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian.
Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat
blog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepas
dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung
mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih
Minakarya, 9 Maret 2014
Penulis
Fendi Alfi Fauzi
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
18
INVERS FUNGSI
Fendi Alfi Fauzi∗
16 April 2014
1. Jika f (x) =
Jawab:
px ,
f x2 + x
= ······
p konstanta positif, maka
f (x + 1)
f (x) = px
2
f x2 + x = px +x
f (x + 1) = px+1
2
f x2 + x
px +x
=
f (x + 1)
px+1
2
=
=
p x · px
px · p
px
p
2
2
f x2 + x
f (x + 1)
= px · p−1
= p( x
2 −1
)
f x2 + x
x2 −1)
x
(
=
Perhatikan pada ruas kanan menghasilkan p
. Karena f (x) = p maka
f (x + 1)
f x2 − 1
r
x2 − 2x + 1
2. Fungsi f (x) =
terdefenisi untuk ......
16 − x2
Jawab:
r
x2 − 2x + 1
x2 − 2x + 1
Fungsi f (x) =
terdefenisi
jika
≥ 0. Perhatikan pada bagian pembi16 − x2
16 − x2
lang yaitu x2 − 2x + 1 = 0 dapat difaktorkan menjadi (x − 1)2 . Karena fungsi kuadrat selalu
bernilai positif, maka kita hanya perlu meninjau penyebutnya yaitu 16 − x2 > 0. Perlu diketax2 − 2x + 1
hui juga bahwa
tidak boleh bernilai negatif karena akar dari bilangan negatif akan
16 − x2
menghasilkan bilangan imajiner. Kembali pada
16 − x2 > 0
(4 − x) (4 + x) > 0
∗
http://alfysta.blogspot.com
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
1
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Dengan menguji pada garis bilangan, kita
r mendapatkan batas-batas nilai x yaitu −4 < x < 4.
x2 − 2x + 1
terdefenisi pada −4 < x < 4
Jadi disimpulkan bahwa Fungsi f (x) =
16 − x2
f (x + 3) 2
x
3. Jika fungsi f di defenisikan sebagai f (x) = 2 maka nilai
=......
f (x − 1)
Jawab :
Diketahui : f (x) = 2x , f (x + 3) = 2x+3 dan f (x − 1) = 2x−1 .
2x+3
f (x + 3)
=
f (x − 1)
2x−1
x+3 2
2
f (x + 3) 2
=
f (x − 1)
2x−1
2x+6
2
=
22x−2
22x · 26
=
22x · (2)−2
26
=
2−2
= 26 · 22
f (x + 3)
f (x − 1)
2
= 64 × 4
= 256
4. Jika f (x) = −x + 3 maka f x2 + f 2 (x) − 2f (x) =......
Jawab :
f (x) = −x + 3
f x2 = −x2 + 3
f 2 (x) = (−x + 3) (−x + 3) = x2 − 6x + 9
2f (x) = −2x + 6
f x2 + f 2 (x) − 2f (x) = −x2 + 3 + x2 − 6x + 9 − (−2x + 6)
= −6x + 12 + 2x − 6
= −4x + 6
5. Diketahui f (x + 1) = x2 − 1 dan g (x) = 2x maka (g ◦ f ) (x) =......
Jawab :
Diketahui f (x + 1) = x2 − 1. Kita misalkan t = x + 1 → x = t − 1 sehingga
f (t) = (t − 1)2 − 1
= t2 − 2t + 1 − 1
f (t) = t2 − 2t
f (x) = x2 − 2x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
2
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
= 2 x2 − 2x
= 2x2 − 4x
6. Jika f (x) = x3 + 2 dan g (x) =
Jawab :
2
: x 6= 1 maka (g ◦ f ) (x) adalah .....
x−1
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
2
=
3
x +2−1
2
(g ◦ f ) (x) =
x3 + 1
7. Jika f (x) =
Jawab :
√
2x
dan g (x) = 2x maka (f ◦ g) (x) adalah .....
−4
x2
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
√
2 2x
= √ 2
2x − 4
√
2 2x
=
2x − 4
√
2 2x
=
2 (x − 2)
√
2x
(f ◦ g) (x) =
x−2
8. Jika f (x) = −4x dan f (g (x)) = − x2 + 1 maka g (x) =......
Jawab :
x
+1
2
x
− +1
2
− x2 + 1
−4
− x+2
2
−4
−x + 2
1
×
2
−4
1
− (−x + 2)
8
1
(x − 2)
8
f (g (x)) = −
−4 (g (x)) =
g (x) =
=
=
=
g (x) =
9. Diketahui (f ◦ g) (x) =
2x − 3
: x 6= −4 dan g (x) = (1 − x). Maka f (x) adalah ....
x+4
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
3
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(f ◦ g) (x) =
f (g (x)) =
f (1 − x) =
2x − 3
x+4
2x − 3
x+4
2x − 3
x+4
Misalkan u = 1 − x maka x = 1 − u sehingga
f (u) =
=
f (u) =
f (x) =
2 (1 − u) − 3
(1 − u) + 4
2 − 2u − 3
5−u
−2u − 1
5−u
−2x − 1
5−x
10. Fungsi f : R → R dan g : R → R dinyatakan oleh f (x) = x + 2 dan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1
maka g (2x) =......
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 1
g (f (x)) = 2x2 + 4x + 1
g (x + 2) = 2x2 + 4x + 1
Misalkan x + 2 = y maka x = y − 2 sehingga
g (y) = 2 (y − 2)2 + 4 (y − 2) + 1
= 2 y 2 − 4x + 4 + 4y − 8 + 1
= 2y 2 − 8y + 8 + 4y − 8 + 1
g (y) = 2y 2 − 4y + 1
g (x) = 2x2 − 4x + 1
g (2x) = 2 (2x)2 − 4 (2x) + 1
= 2 4x2 − 8x + 1
g (2x) = 8x2 − 8x + 1
11. Bila f (x) =
x+2
dengan x 6= 3 maka invers dari f (x) adalah f −1 (x) = .....
3−x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
4
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
x+2
3−x
x+2
y =
3−x
3y − xy = x + 2
f (x) =
3y − 2 = x + xy
3y − 2 = x (1 + y)
3y − 2
x =
1+y
3x
−2
f −1 (x) =
, x 6= −1
1+x
12. Invers dari f (x) = 1 − x3
Jawab:
1
5
+ 2 adalah....
f (x) =
y =
y−2 =
1 − x3
1 − x3
1−x
(y − 2)5 = 1 − x3
1
5
1
5
+2
+2
1
3
5
x3 = 1 − (y − 2)5
q
3
1 − (y − 2)5
x =
1
5 3
x =
1 − (y − 2)
1
5 3
−1
f (x) =
1 − (x − 2)
13. Jika f (x) = 3x−1 maka f −1 (81) =.....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
5
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
f (x) = 3x−1
y = 3x−1
y = 3x · 3−1
1
y = 3x ·
3
3y = 3x
x =
3
log (3y)
f −1 (x) =
3
log (3x)
−1
(81) =
3
=
3
log (3 · 81)
f
log (243)
= 3 log 35
= 5 ·3 log 3
= 5×1
f −1 (81) = 5
14. Fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f (x) =
(g ◦ f )−1 (10) adalah ....
1
x − 1 dan g (x) = 2x + 4 maka
2
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
1
= 2
x−1 +4
2
= x−2+4
= x+2
(g ◦ f ) (x) = y
y = x+2
x = y−2
(g ◦ f )−1 (x) = x − 2
(g ◦ f )−1 (10) = 10 − 2
= 8
15. Jika f −1 (x) =
3−x
x−1
dan g −1 (x) =
maka (f ◦ g)−1 (6) = ....
5
2
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
6
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
(f ◦ g)−1 (x) =
=
=
=
(f ◦ g)−1 (x) =
(f ◦ g)−1 (6) =
=
=
16. Jika f (x) =
Jawab :
f −1 ◦ g −1 (x)
3−x
−1
2
5
3−x
2
−
2
2
5
1−x
2
5
1−x
10
1−6
10
−5
10
1
−
2
1
dan g (x) = x − 2 maka (g ◦ f )−1 (x)= .......
x−1
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
1
=
−2
x−1
2 (x − 1)
1
−
=
x−1
x−1
2x + 2
1
−
=
x−1
x−1
−2x + 3
(g ◦ f ) (x) =
x−1
(g ◦ f ) (x) = y
−2x + 3
y =
x−1
xy − y = −2x + 3
xy + 2x = y + 3
x (y + 2) = y + 3
y+3
x =
y+2
x
+3
, x 6= −2
(g ◦ f )−1 (x) =
x+2
17. Diketahui f (x) =5 log x dan g (x) =
x+3
maka (f ◦ g)−1 (x) = .......
3x − 4
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
7
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab:
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
x+3
5
(f ◦ g) (x) =
log
3x − 4
(f ◦ g) (x) = y
x+3
5
y =
log
3x − 4
x
+
3
5y =
3x − 4
3x · 5y − 4 · 5y = x + 3
3x · 5y − x = 4 · 5y + 3
x (3 · 5y − 1) = 4 · 5y + 3
4 · 5y + 3
x =
3 · 5y − 1
4 · 5x + 3
(f ◦ g)−1 (x) =
3 · 5x − 1
18. Jika (f ◦ g) (x) = 4x2 + 8x − 3 dan g (x) = 2x + 4 maka f −1 (x) =......
Jawab :
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
f (g (x)) = 4x2 + 8x − 3
f (2x + 4) = 4x2 + 8x − 3
Misalkan u = 2x + 4 maka 2x = u − 4 ⇒ x =
u−4
2
u−4
u−4 2
−3
+8
f (u) = 4
2
2
1 2
= 4
u − 8u + 16 + 4u − 16 − 3
4
= u2 − 8u + 16 + 4u − 16 − 3
= u2 − 4u − 3
f (x) = x2 − 4x − 3
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
8
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Misalkan f (x) = y maka
y = x2 − 4x − 3
y = x2 − 4x + 4 − 7
y = (x − 2)2 − 7
y + 7 = (x − 2)2
p
y+7
x−2 =
p
y+7+2
x =
√
−1
f (x) =
x+7+2
2x + 5
dan h (x) =
19. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dengan f (x) = 2x + 4, g (x) =
x−4
g ◦ f −1 (x) dengan f −1 adalah fungsi invers dari f dan h−1 adalah invers dari h. Rumus
fungsi h−1 (x) adalah ....
Jawab :
f (x) = 2x + 4
y = 2x + 4
2x = y − 4
y−4
x =
2
x
−
4
f −1 (x) =
2
g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x)
x−4
+5
2
2
=
x−4
−4
2
x−4+5
=
x−4 8
−
2
2
x+1
=
x − 12
2
2x + 2
h (x) =
x − 12
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
9
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Misalkan h (x) = y maka
2x + 2
x − 12
xy − 12y = 2x + 2
y =
xy − 2x = 12y + 2
x (y − 2) = 12y + 2
12y + 2
x =
y−2
12x + 2
h−1 (x) =
x−2
20. Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x + 2 dan g (x) = 2x. Jumlah akar-akar
persamaan (g ◦ f ) x2 − 24x = 0 adalah ....
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
= 2 (x + 2)
(g ◦ f ) (x) = 2x + 4
y = 2x + 4
2x = y − 4
y−4
x =
2
x
−
4
(g ◦ f )−1 (x) =
2
x2 − 24x − 4
(g ◦ f )
x − 24x =
2
x2 − 24x − 4
0 =
2
x2 − 24x − 4 = 0
2
−1
Berdasarkan teorema Vieta diperoleh
b
a
(−24)
= −
1
= 24
x1 + x2 = −
21. Ditentukan g (f (x)) = f (g (x)), jika f (x) = 2x + p dan g (x) = 3x + 120, maka nilai p adalah
....
Jawab :
g (f (x)) = 3 (2x + p) + 120
= 6x + 3p + 120
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
10
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
f (g (x)) = 2 (3x + 120) + p
= 6x + 240 + p
Karena g (f (x)) = f (g (x)) maka
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
2p = 120
p = 60
22. Jika f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 , maka f (1) = .....
Jawab :
Diketahui : f (3 + 2x) = 4 − 2x + x2 .
Misalkan
y = 3 + 2x
y−3
x =
2
f (y) =
=
=
=
=
f (x) =
f (1) =
=
f (1) =
y−3 2
y−3
+
4−2
2
2
1 2
y − 6y + 9
4−y+3+
4
y 2 6y 9
−
+
7−y+
4
4
4
28 4y y 2 6y 9
−
+
−
+
4
4
4
4
4
y 2 10y 37
−
+
4
4
4
x2 10x 37
−
+
4
4
4
1 10 37
−
+
4
4
4
28
4
7
23. Dari fungsi f : R → R dan g : R → R diketahui bahwa f (x) = x + 3 dan (f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7
maka g (−1) =. ....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
11
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(f ◦ g) (x) = x2 + 6x + 7
f (g (x)) = x2 + 6x + 7
g (x) + 3 = x2 + 6x + 7
g (x) = x2 + 6x + 4
g (−1) = 1 − 6 + 4
g (−1) = −1
24. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh g (x) = x2 − 3x + 1. Jika (f ◦ g) (x) =
2x2 − 6x − 1 maka f (x) = ....
Jawab :
f (g (x)) = 2x2 − 6x − 1
f x2 − 3x + 1 = 2x2 − 6x − 1
Misalkan
y = x2 − 3x + 1
y = (x − 1, 5) (x − 1, 5) − 1, 25
y = (x − 1, 5)2 − 1, 25
p
y + 1, 25 = (x − 1, 5)2
y + 1, 25 = x − 1, 5
p
x =
y + 1, 25 + 1, 5
p
2
y + 1, 25 + 1, 5 − 6
y + 1, 25 + 1, 5 − 1
p
p
= 2 y + 1, 25 + 3 y + 1, 25 + 2, 25 − 6
y + 1, 25 + 1, 5 − 1
p
p
= 2y + 2, 5 + 6 y + 1, 25 + 4, 5 − 6 y + 1, 25 − 9 − 1
f (y) = 2
p
= 2y + 7 − 9 − 1
f (y) = 2y − 3
f (x) = 2x − 3
25. Suatu pemetaan f : R → R dengan (g ◦ f ) (x) = 2x2 + 4x + 5 dan g (x) = 2x + 3 maka f (x) =.....
Jawab :
g (f (x)) = 2x2 + 4x + 5
2f (x) + 3 = 2x2 + 4x + 5
2f (x) = 2x2 + 4x + 2
f (x) = x2 + 2x + 1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
12
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
2
2
26. Jika fungsi f dan g adalah f : x → 2x 3 dan g : x → x 3 maka g ◦ f −1
Jawab :
√
2 adalah ....
2
f (x) = 2x 3
2
y = 2x 3
y 3 = 2x2
y3
x2 =
2
r
y3
x =
r2
x3
f −1 (x) =
2
g ◦ f −1 (x) = g f −1 (x)
r ! 23
x3
=
2
3 21 ! 32
x
=
2
3 31
x
=
2
x
−1
g◦f
(x) =
1
23
1
g ◦ f −1 (x) = x · 2− 3
√
1
1
g ◦ f −1
2
= 2 2 · 2− 3
1
1
= 22−3
√
1
2
= 26
g ◦ f −1
27. Dari fungsi f dan g diketahui f (x) = 2x2 + 3x − 5 dan g (x) = 3x − 2. Agar (g ◦ f ) (a) = −11
maka nilai a yang positif adalah ....
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
13
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(g ◦ f ) (x)
=
g (f (x))
=
3 2x2 + 3x − 5 − 2
=
=
6x2 + 9x − 15 − 2
6x2 + 9x − 17
6a2 + 9a − 17
(g ◦ f ) (a)
=
−11
=
6a2 + 9a − 17
=
0
=
0
6a2 + 9a − 6
2a2 + 3a − 2
(2a − 1) (a + 2) = 0
1
a=
atau a = −2
2
Jadi a positif adalah a =
1
2
1−x
untuk setiap bilangan Real x 6= 1. Jika g : R → R adalah suatu fungsi
x
sehingga (g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = 2x + 1 maka fungsi invers g −1 (x) =....
28. Diketahui f (x) =
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = 2x + 1
g (f (x)) = 2x + 1
1−x
= 2x + 2
f
x
Misalkan
1−x
x
tx = 1 − x
t =
tx + x = 1
x (t + 1) = 1
x =
1
t+1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
14
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
g (t) = 2
=
=
g (x) =
y =
xy + y =
1
t+1
+1
t+1
2
+
t+1 t+1
t+3
t+1
x+3
x+1
x+3
x+1
x+3
x − xy = y − 3
x (1 − y) = y − 3
y−3
x =
1−y
x
−3
, x 6= 1
g −1 (x) =
1−x
29. Jika f (x) =
Jawab :
2
1
dan g (x) =
, x 6= 3 maka (f ◦ g)−1 (x) = .....
x+1
3−x
(f ◦ g) (x) = f (g (x))
1
=
2
+1
3−x
1
=
2
(3 − x)
+
3−x
3−x
1
=
5−x
3−x
3−x
(f ◦ g) (x) =
5−x
3−x
y =
5−x
5y − xy = 3 − x
5y − 3 = xy − x
5y − 3 = x (y − 1)
5y − 3
x =
y−1
5x
−3
(f ◦ g)−1 (x) =
, x 6= 1
x−1
30. Jika f (x) =
√
x, x ≥ 0, dan g (x) =
x
, x 6= 1 maka (g ◦ f ) (2) =......
x+1
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
15
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
Jawab :
(g ◦ f ) (x) = g (f (x))
√
x
(g ◦ f ) (x) = √
x+1
√
x
y = √
x+1
√
√
x
y x+y =
√
√
x−y x = y
√
x (1 − y) = y
√
y
x =
1−y
2
√ 2
y
x
=
1−y
2
y
x =
1−y
2
x
−1
(g ◦ f ) (x) =
1−x
2
2
−1
(g ◦ f ) (2) =
1−2
= (−2)2
(g ◦ f )−1 (2) = 4
31. Diberikan fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh f (x) = x3 dan g (x) = 3x − 4. Jika
a = g −1 ◦ f −1 (8) maka nilai dari f −1 ◦ g −1 (10a) adalah ....
Jawab :
g (x) = 3x − 4
y = 3x − 4
y+4
x =
3
x+4
−1
g (x) =
3
f (x) = x3
y = x3
√
x = 3y
√
f −1 (x) = 3 x
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
16
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
g −1 ◦ f −1 (x) = g −1 f −1 (x)
√
3
x+4
−1
−1
g ◦f
(x) =
3
√
3
8
+4
g −1 ◦ f −1 (8) =
3
2+4
a =
3
a = 2
f −1 ◦ g −1 (x) = f −1 g −1 (x)
r
3 x + 4
=
3
r
3 10a + 4
f −1 ◦ g −1 (10a) =
3
r
3 10 (2) + 4
=
3
r
3 20 + 4
=
3
√
3
=
8
f −1 ◦ g −1 (10a) = 2
1
4
32. Fungsi f : R → R ditentukan oleh f (x) = 3x−1 dan g : R → R memenuhi (f ◦ g)−1 (x) = x −
6
3
maka g (x) =....
Jawab :
f (x) = 3x − 1
y = 3x − 1
y+1
x =
3
x+1
−1
f (x) =
3
(f ◦ g)−1 (x) = f −1 g −1 (x)
g −1 (x) + 1
1
4
=
x−
3
6
3
3
12
−1
g (x) + 1 =
x−
6
3
12
3
x−
−1
g −1 (x) =
6
3
3
15
g −1 (x) =
x−
6
3
Kita sudah mengetahui bahwa g −1
−1
(x) = g (x) sehingga tugas kita tinggal meng inverskan
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
17
Fendi Alfi Fauzi
http://alfysta.blogspot.com
saja fungsi g −1 (x) diatas menjadi
15
3
x−
6
3
3
15
y =
x−
6
3
3x − 30
y =
6
6y = 3x − 30
g −1 (x) =
3x = 6y + 30
6y + 30
x =
3
x = 2y + 10
g (x) = 2x + 10
Sekian dulu pembahasan yang dapat saya berikan. Mudah-mudahan dapat berguna bagi kita sekalian.
Jika pembahasan diatas terdapat kesalahan agar kiranya dapat langsung menghubungi penulis lewat
blog kami di http://alfysta.blogspot.com. Kesalahan penulisan maupun penger- jaan tidak terlepas
dari kodrat kita sebagai manusia biasa. Jika anda memiliki ide yang lebih sederhana dapat langsung
mengirimkannya juga di blog kami. Terima kasih
Minakarya, 9 Maret 2014
Penulis
Fendi Alfi Fauzi
Pembahasan Soal-Soal Fungsi Komposisi & Invers Fungsi
18