FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
A. Fungsi Aljabar
Misal nya f dan g adalah dua buah fungsi yang terdefenisi pada himpunan D, dengan
Df adalah domain dari f dan D g adalah domain dari g❑ maka berlaku:
1. Pemjumlahan f dan g , dituliskan f + g , didefenisikan sebagai ,
Df
Dg .
( f + g )( x )=f ( X ) + g(x ) , dan x
∈
∩
B. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Komposisi dari fungsi g dilanjutkan fungsi f , ditulis ( f ο g ) ( x) di
defenisikan sebagai :
g(x )
( f ο g )( x )=f ¿
Dengan cara yang identik dapat didefenisikan komposisi dari fungsi f dlanjutkan
fungsi g sebagai berikut
f (x )
( g ο f )( x )=g ¿
2. Menetukan Komponen Pembentukan Fungsi Komposisi
Jika fungsi komposisi ( g ο f ) ( x) atau ( f ο g ) (x) diketahui dan sebuah fungsi
g( x) juga diketahui, maka fungsi f (x) dapat di tentukan.
C. Fungsi Invers
1. Pengertian Fungsi Invers
Jika suatu fungsi f : D f ⟶ R
adalah suatu fungsi bijektif, maka f mempunyai
invers yang didefenisikan sebagai : Rf ⟶ D
Secara umum dikatakan bahwa : suatu fungsi f : A ⟶ B mempunyai
invers
−1 :
:B ⟶ A , jika fungsi f merupakan fungsi yang bijektif.
F
f
f
Komposisi suatu fungsi dan invers nya
Jika suatu fungsi f : D f ⟶ R adalah suatu bijektif dan
adalah invers dari fungsi f , maka berlaku
( f ο f −1 : ) ( x )= ( f −1 : ο f ) ( x )=I ( x ) =x .
f
F
−1 :
:
Rf ⟶ D
f
LIMIT FUNGSI
A. Pengertian Limit
1. Limit Fungsi di Satu Titik
2
Perhatikan fungsi : f ( x )=
x −4
x−2
2. Limit – limit sepihak
−¿
x → c ¿ L,
Limit kiri :
lim ¿
arti nya bila mana
x mendekat ke c
dari
¿
sebelah kiri, maka f ( x ) mendekat ke L .
+¿
x → c ¿ L,
Limit kanan :
arti nya bila mana
lim ¿
x
mendekat ke c
dari
¿
sebelah kanan, maka f ( x ) mendekat ke
L .
x → c−¿ ¿ L
dan
lim ¿
lim f ( x ) =L jika dan hanya jika
x→c
❑
¿
x → c +¿ ¿ L
.
lim ¿
¿
B. Limit Fungsi Aljabar
Limit
Andaikan n bilangan bulat positif, k suatu konstanta , f
fungsi – fungsi yang mempunyai limit di c, maka :
k =k
1. xlim
→c
lim x=c
2.
dan
g adalah
❑
❑
x→c
3.
4.
5.
6.
lim kf ( x )=k lim f ( x )
❑
x→c
x →c
lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x )+ lim g ( x )
❑
❑
x→c
x→ c
❑
❑
❑
❑
x→ c
x →c
lim f ( x ) . g ( x )= lim f ( x ) . lim g ( x )
❑
x→c
x →c
x →c
❑
x→ c
❑
lim f ( x )
=
g(x)
❑
❑
x→ c
lim g ( x ) ≠ 0
, asalkan
lim g ( x )
x →c
8.
x →c
lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x )− lim g ( x )
x→c
lim f ( x )
7.
❑
❑
x→c
❑
x
f (¿)
f ( x)
¿
n
¿
= lim ¿
¿
❑
¿
¿
lim ¿
❑
x→c
9.
lim
❑
x→c
10. Jika
√n f ( x )
=
√ lim f ( x )
n
x →c
❑
lim f ( x ) =f ( c ) . maka
❑
x→c
asalkan,
lim f ( x ) >0
❑
x→c
bilamana n genap.
lim |f ( x )|=|f (c )| .
❑
x→c
Adapun secara aljabar , ada beberapa cara yang dapat ditempuh untuk
menyelesaikan nilai limit suatu fungsi , yaitu sebagai berikut :
1. Menentukan limit dengan menfaktorkan.
2. Menentukan limit dengan merasionalkan bentuk akar.
3. Menentukan limit dengan fungsi subtitusi
A. Fungsi Aljabar
Misal nya f dan g adalah dua buah fungsi yang terdefenisi pada himpunan D, dengan
Df adalah domain dari f dan D g adalah domain dari g❑ maka berlaku:
1. Pemjumlahan f dan g , dituliskan f + g , didefenisikan sebagai ,
Df
Dg .
( f + g )( x )=f ( X ) + g(x ) , dan x
∈
∩
B. Fungsi Komposisi
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Komposisi dari fungsi g dilanjutkan fungsi f , ditulis ( f ο g ) ( x) di
defenisikan sebagai :
g(x )
( f ο g )( x )=f ¿
Dengan cara yang identik dapat didefenisikan komposisi dari fungsi f dlanjutkan
fungsi g sebagai berikut
f (x )
( g ο f )( x )=g ¿
2. Menetukan Komponen Pembentukan Fungsi Komposisi
Jika fungsi komposisi ( g ο f ) ( x) atau ( f ο g ) (x) diketahui dan sebuah fungsi
g( x) juga diketahui, maka fungsi f (x) dapat di tentukan.
C. Fungsi Invers
1. Pengertian Fungsi Invers
Jika suatu fungsi f : D f ⟶ R
adalah suatu fungsi bijektif, maka f mempunyai
invers yang didefenisikan sebagai : Rf ⟶ D
Secara umum dikatakan bahwa : suatu fungsi f : A ⟶ B mempunyai
invers
−1 :
:B ⟶ A , jika fungsi f merupakan fungsi yang bijektif.
F
f
f
Komposisi suatu fungsi dan invers nya
Jika suatu fungsi f : D f ⟶ R adalah suatu bijektif dan
adalah invers dari fungsi f , maka berlaku
( f ο f −1 : ) ( x )= ( f −1 : ο f ) ( x )=I ( x ) =x .
f
F
−1 :
:
Rf ⟶ D
f
LIMIT FUNGSI
A. Pengertian Limit
1. Limit Fungsi di Satu Titik
2
Perhatikan fungsi : f ( x )=
x −4
x−2
2. Limit – limit sepihak
−¿
x → c ¿ L,
Limit kiri :
lim ¿
arti nya bila mana
x mendekat ke c
dari
¿
sebelah kiri, maka f ( x ) mendekat ke L .
+¿
x → c ¿ L,
Limit kanan :
arti nya bila mana
lim ¿
x
mendekat ke c
dari
¿
sebelah kanan, maka f ( x ) mendekat ke
L .
x → c−¿ ¿ L
dan
lim ¿
lim f ( x ) =L jika dan hanya jika
x→c
❑
¿
x → c +¿ ¿ L
.
lim ¿
¿
B. Limit Fungsi Aljabar
Limit
Andaikan n bilangan bulat positif, k suatu konstanta , f
fungsi – fungsi yang mempunyai limit di c, maka :
k =k
1. xlim
→c
lim x=c
2.
dan
g adalah
❑
❑
x→c
3.
4.
5.
6.
lim kf ( x )=k lim f ( x )
❑
x→c
x →c
lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x )+ lim g ( x )
❑
❑
x→c
x→ c
❑
❑
❑
❑
x→ c
x →c
lim f ( x ) . g ( x )= lim f ( x ) . lim g ( x )
❑
x→c
x →c
x →c
❑
x→ c
❑
lim f ( x )
=
g(x)
❑
❑
x→ c
lim g ( x ) ≠ 0
, asalkan
lim g ( x )
x →c
8.
x →c
lim [ f ( x ) + g ( x ) ] = lim f ( x )− lim g ( x )
x→c
lim f ( x )
7.
❑
❑
x→c
❑
x
f (¿)
f ( x)
¿
n
¿
= lim ¿
¿
❑
¿
¿
lim ¿
❑
x→c
9.
lim
❑
x→c
10. Jika
√n f ( x )
=
√ lim f ( x )
n
x →c
❑
lim f ( x ) =f ( c ) . maka
❑
x→c
asalkan,
lim f ( x ) >0
❑
x→c
bilamana n genap.
lim |f ( x )|=|f (c )| .
❑
x→c
Adapun secara aljabar , ada beberapa cara yang dapat ditempuh untuk
menyelesaikan nilai limit suatu fungsi , yaitu sebagai berikut :
1. Menentukan limit dengan menfaktorkan.
2. Menentukan limit dengan merasionalkan bentuk akar.
3. Menentukan limit dengan fungsi subtitusi