Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 (Hari Pertama) www.olimattohir.blogspot.com
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan Soal Hari Pertama
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI PERTAMA
1.
Tentukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan
(1 + x2 + x4 + .... + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015.
Pembahasan: x = 1
Diketahui (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
Kemudian mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut:
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
1
Ruas kiri dan kanan dikalikan 2015 , didapat:
x
1
1
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) 2015 = 2016x2015 2015
x
x
1
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014) x 2015 = 2016
x
1
1
1 1
1
(x + x3 + x5 + .... + x2013 + x2015) + 2015 2013 2011 .... 3 = 2016
x
x
x
x
x
1 3 1 5 1
1 2015
1
2013
x + x 3 + x 5 + .... + x 2013 + x 2015 = 2016
x
x
x
x
x
Perhatikan persamaan aljabar di atas, terlihat jelas bahwa persamaan tersebut akan terpenuhi jika
1
1
1
1
1
dan hanya jika terjadi x , x 3 3 , x 5 5 , .... , x 2013 2013 , x 2015 2015
x
x
x
x
x
1
x2 = 1
Dengan demikian didapat x
x
x = ± 1,
Akan tetapi untuk nilai x < 0 pada persamaan awal mengakibatkan ruas kiri bernilai positif dan
ruas kanan bernilai negatif, sehingga nilai x yang memenuhi hanyalah x > 0, yaitu x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi dari persamaan (1 + x2 + x4 + .... + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
adalah x = 1
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2.
Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan
A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... + 20162016 .... 2016
40 angka
Tentukan tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan.
Pembahasan: 2.402.230
Penjumlahan dari 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... + 20162016 .... 2016
40 angka
2
0
1
6
2
0
.
.
.
1
6
2
0
2
0
1
6
2
0
1
.
.
.
6
2
0
1
2
0
1
6
2
0
1
6
.
.
.
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
6
2
.
.
.
0
1
6
2
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
.
.
.
1
6
2
0
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
.
.
.
6
2
0
1
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
6
.
.
.
2
0
1
6
angka 2016 sebanyak 10 kali
dan jumlah dari angka-anganya
adalah 2 + 0 + 1 + 6 = 9
Sama seperti penjumlahan bersusun berikut:
.... Sebanyak 1 angka ....
.... Sebanyak 2 angka ....
.... Sebanyak 3 angka ....
.... Sebanyak 4 angka ....
.... Sebanyak 5 angka ....
.... Sebanyak 6 angka ....
.... Sebanyak 7 angka ....
.... Sebanyak 8 angka ....
2
.... Sebanyak 9 angka ....
.... 0
.... Sebanyak 10 angka .... .... 1
.... Sebanyak 11 angka .... .... 6
.... Sebanyak 12 angka .... .... 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... Sebanyak 37 angka .... .... 0
.... Sebanyak 38 angka .... .... 1
.... Sebanyak 39 angka .... .... 6
.... Sebanyak 40 angka .... .... 2
9 × 10 = 90
9 × 10 – 6 = 84
9 × 10 – 7(1+6) = 83
9 × 10 – 7(0+1+ 6) = 83
9 × 10 – 9(2+0+1+6) = 81
9 × 10 – 15(6+2+0+1+6) = 75
9 × 10 – 16(1+6+2+0+1+6) = 74
....
jutaan
ratusan ribu
puluham ribu
ribuan
ratusan
puluhan
satuan
....
74
75
81
83
83
84
90
Setelah dijumlahkan berurut, maka angka-angkanya menjadi seperti berikut:
....
2
4
0
2
2
3
0
Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan
satuan adalah 2.402.230
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ,
BAP = CAQ dan APB lancip.
Apakah segitiga ABC sama kaki? Tulis alasan Anda.
Pembahasan: iya
Diketahui Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama
dengan CQ, BAP = CAQ
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
A
A
A
B
P
D
t
t
t
Q
C
B
P,D,Q
C
(b)
Panjang BP = BD =CQ, maka besar
APB = AQC = 90
(a)
Panjang BP < BD dan panjang
CQ < CD, maka berturut-turut
besar APB dan AQC tumpul
B
Q
D
C
P
(c)
Panjang BP > BD dan panjang
CQ > CD, maka berturut-turut
besar APB dan AQC lancip
Berdasarkan ilustrasi gambar a), b), dan c), maka gambar yang sesuai berdasarkan kondisi soal
adalah pada gambar c) yaitu bahwa APB lancip.
Kemudian, perhatikan ilustrasi gambar berikut
A
t
B
*
*
D
P
Q
C
Diketahui panjang BP = CQ dan BAP = CAQ, maka besar BPA = CQA.
Sehingga segitiga BAP kongruen dengan segitiga CAQ.
Hal ini berakibat, bahwa besar ABP = ACQ atau dapat ditulis besar ABC = ACB
Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya
terletak pada titik B dan C
Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki
4.
Ayu akan membuka koper tetapi dia lupa kuncinya. Kode koper tersebut terdiri dari Sembilan
angka yakni empat angka 0 (nol) dan lima angka 1. Ayu ingat bahwa tidak ada empat angka
sama yang berurutan.
Berapa banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka?
Pembahasan: ada 99 kode
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1, permasalahan ini
merupakan permasalahan permutasi berulang tanpa syarat.
misalkan q1 = munculnya huruf 1, yaitu q1 = 5
q2 = munculnya huruf 0, yaitu q2 = 4
n!
9!
P
sehingga P
q1!q2!.... qk
q1!q2!
9!
P
5!4!
P= 9×2×7
P = 126
Akan tetapi, ada syaratnya yakni “bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan”
Ada tiga kemungkinan yang terdapat empat angka sama yang berurutan, yaitu
1) Lima angka 1 berurutan
111110000
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 4
ada sebanyak 5
011111000
001111100
ada 1
2) Empat angka 1 berurutan
111100001
111100010
111100100
111101000
011110001
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 20
011110010
011110100
001111001
001111010
000111101
Atau banyak cara empat angka 1 seperti halnya menempatkan empat angka 1 dan satu angka
satu dari lima angka 1 yang ada di antara angka 0, yaitu sebanyak 5P2 = 20
3) Empat angka 0 berurutan selain yang terdapat pada kemungkinan 1) dan 2)
111000011
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 2
Sehingga, banyak empat angka sama yang berurutan ada sebanyak 5 + 20 + 2 = 27
Dengan demikian, Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1
dengan syarat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan sebanyak 126 – 27 = 99
Jadi, banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka
adalah ada 99 kode
5.
Fulan memelihara 100 kalkun dengan bobot kalkun ke- i adalah xi untuk i {1, 2, 3, .... , 100}.
Bobot kalkun ke-i dalam gram diasumsikan mengikuti fungsi xi(t) = Sit + 200 – i dengan t
menyatakan waktu dalam satuan hari dan Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
dengan suku pertama adalah bilangan positif a dengan beda b =
1
. Diketahui rata-rata data
5
bobot seratus kalkun tersebut pada saat t = a adalah 150,5 gram.
Hitunglah median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan: 349,5 gram
Diketahui fungsi xi(t) = Sit + 200 – i
Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
x (a)
1
S1 = a, b =
dan i
= 150,5 gram
100
5
1
1
1
Karena S1 = a dan b = , maka S2 = S1 + 1( ) atau S2 = a +
5
5
5
Kemudian mencari x1(a), yaitu x1(a) = (a)a + 200 – 1
x1(a) = a2 + 199
1
x2(a), yaitu x2(a) = (a + )a + 200 – 2
5
a
2
x2(a) = a + + 198
5
a
–1
beda dari bobot perkalkun: x2(a) – x1(a) =
5
100
a
[2(a2 + 199) + (100 – 1)( – 1)]
sehingga x100(a) =
2
5
99a
2
= 50(2a + 398 +
– 99)
5
99a
= 50(2a2 +
+ 299)
5
x100(a) = 100a2 + 990a + 14950
Dengan demikian,
x (a) = 150,5
i
100
100a2 + 990a + 14950 = 15050
100a2 + 990a – 100 = 0
(10a – 1)(10a + 100) = 0
1
a=
atau a = –10
10
1
10
50
49
a 20 200 50 a 20 200 51
5
5
x (20) x51(20)
=
Sehingga mediannya 50
2
2
1 49
1 50
10 5 20 150 10 5 20 149
=
2
2 196 150 2 200 149
=
2
699
=
2
= 349,5
nilai a yang memenuhi adalah a =
Jadi, median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari adalah 349,5 gram
Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan Soal Hari Pertama
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI PERTAMA
1.
Tentukan semua bilangan real yang memenuhi persamaan
(1 + x2 + x4 + .... + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015.
Pembahasan: x = 1
Diketahui (1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
Kemudian mencari pola penyelesaiannya, yakni sebagai berikut:
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
1
Ruas kiri dan kanan dikalikan 2015 , didapat:
x
1
1
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014)(x2016 + 1) 2015 = 2016x2015 2015
x
x
1
(1 + x2 + x4 + .... + x2012 + x2014) x 2015 = 2016
x
1
1
1 1
1
(x + x3 + x5 + .... + x2013 + x2015) + 2015 2013 2011 .... 3 = 2016
x
x
x
x
x
1 3 1 5 1
1 2015
1
2013
x + x 3 + x 5 + .... + x 2013 + x 2015 = 2016
x
x
x
x
x
Perhatikan persamaan aljabar di atas, terlihat jelas bahwa persamaan tersebut akan terpenuhi jika
1
1
1
1
1
dan hanya jika terjadi x , x 3 3 , x 5 5 , .... , x 2013 2013 , x 2015 2015
x
x
x
x
x
1
x2 = 1
Dengan demikian didapat x
x
x = ± 1,
Akan tetapi untuk nilai x < 0 pada persamaan awal mengakibatkan ruas kiri bernilai positif dan
ruas kanan bernilai negatif, sehingga nilai x yang memenuhi hanyalah x > 0, yaitu x = 1
Jadi, nilai x yang memenuhi dari persamaan (1 + x2 + x4 + .... + x2014)(x2016 + 1) = 2016x2015
adalah x = 1
http://olimattohir.blogspot.co.id/
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2.
Misalkan A adalah suatu bilangan bulat dan
A = 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... + 20162016 .... 2016
40 angka
Tentukan tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan satuan.
Pembahasan: 2.402.230
Penjumlahan dari 2 + 20 + 201 + 2016 + 20162 + .... + 20162016 .... 2016
40 angka
2
0
1
6
2
0
.
.
.
1
6
2
0
2
0
1
6
2
0
1
.
.
.
6
2
0
1
2
0
1
6
2
0
1
6
.
.
.
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
6
2
.
.
.
0
1
6
2
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
.
.
.
1
6
2
0
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
.
.
.
6
2
0
1
2
0
1
6
2
0
1
6
2
0
1
6
.
.
.
2
0
1
6
angka 2016 sebanyak 10 kali
dan jumlah dari angka-anganya
adalah 2 + 0 + 1 + 6 = 9
Sama seperti penjumlahan bersusun berikut:
.... Sebanyak 1 angka ....
.... Sebanyak 2 angka ....
.... Sebanyak 3 angka ....
.... Sebanyak 4 angka ....
.... Sebanyak 5 angka ....
.... Sebanyak 6 angka ....
.... Sebanyak 7 angka ....
.... Sebanyak 8 angka ....
2
.... Sebanyak 9 angka ....
.... 0
.... Sebanyak 10 angka .... .... 1
.... Sebanyak 11 angka .... .... 6
.... Sebanyak 12 angka .... .... 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.... Sebanyak 37 angka .... .... 0
.... Sebanyak 38 angka .... .... 1
.... Sebanyak 39 angka .... .... 6
.... Sebanyak 40 angka .... .... 2
9 × 10 = 90
9 × 10 – 6 = 84
9 × 10 – 7(1+6) = 83
9 × 10 – 7(0+1+ 6) = 83
9 × 10 – 9(2+0+1+6) = 81
9 × 10 – 15(6+2+0+1+6) = 75
9 × 10 – 16(1+6+2+0+1+6) = 74
....
jutaan
ratusan ribu
puluham ribu
ribuan
ratusan
puluhan
satuan
....
74
75
81
83
83
84
90
Setelah dijumlahkan berurut, maka angka-angkanya menjadi seperti berikut:
....
2
4
0
2
2
3
0
Jadi, tujuh angka terakhir dari A berurutan mulai dari angka jutaan sampai dengan
satuan adalah 2.402.230
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
3.
Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama dengan CQ,
BAP = CAQ dan APB lancip.
Apakah segitiga ABC sama kaki? Tulis alasan Anda.
Pembahasan: iya
Diketahui Pada segitiga ABC, Titik P dan Q berada pada sisi BC sehingga panjang BP sama
dengan CQ, BAP = CAQ
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
A
A
A
B
P
D
t
t
t
Q
C
B
P,D,Q
C
(b)
Panjang BP = BD =CQ, maka besar
APB = AQC = 90
(a)
Panjang BP < BD dan panjang
CQ < CD, maka berturut-turut
besar APB dan AQC tumpul
B
Q
D
C
P
(c)
Panjang BP > BD dan panjang
CQ > CD, maka berturut-turut
besar APB dan AQC lancip
Berdasarkan ilustrasi gambar a), b), dan c), maka gambar yang sesuai berdasarkan kondisi soal
adalah pada gambar c) yaitu bahwa APB lancip.
Kemudian, perhatikan ilustrasi gambar berikut
A
t
B
*
*
D
P
Q
C
Diketahui panjang BP = CQ dan BAP = CAQ, maka besar BPA = CQA.
Sehingga segitiga BAP kongruen dengan segitiga CAQ.
Hal ini berakibat, bahwa besar ABP = ACQ atau dapat ditulis besar ABC = ACB
Dengan demikian, segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan kaki-kaki sudutnya
terletak pada titik B dan C
Jadi, benar bahwa segitiga ABC adalah segitiga sama kaki
4.
Ayu akan membuka koper tetapi dia lupa kuncinya. Kode koper tersebut terdiri dari Sembilan
angka yakni empat angka 0 (nol) dan lima angka 1. Ayu ingat bahwa tidak ada empat angka
sama yang berurutan.
Berapa banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka?
Pembahasan: ada 99 kode
http://olimattohir.blogspot.co.id/
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1, permasalahan ini
merupakan permasalahan permutasi berulang tanpa syarat.
misalkan q1 = munculnya huruf 1, yaitu q1 = 5
q2 = munculnya huruf 0, yaitu q2 = 4
n!
9!
P
sehingga P
q1!q2!.... qk
q1!q2!
9!
P
5!4!
P= 9×2×7
P = 126
Akan tetapi, ada syaratnya yakni “bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan”
Ada tiga kemungkinan yang terdapat empat angka sama yang berurutan, yaitu
1) Lima angka 1 berurutan
111110000
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 4
ada sebanyak 5
011111000
001111100
ada 1
2) Empat angka 1 berurutan
111100001
111100010
111100100
111101000
011110001
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 20
011110010
011110100
001111001
001111010
000111101
Atau banyak cara empat angka 1 seperti halnya menempatkan empat angka 1 dan satu angka
satu dari lima angka 1 yang ada di antara angka 0, yaitu sebanyak 5P2 = 20
3) Empat angka 0 berurutan selain yang terdapat pada kemungkinan 1) dan 2)
111000011
ada sebanyak 2 kali, sehingga ada 2
Sehingga, banyak empat angka sama yang berurutan ada sebanyak 5 + 20 + 2 = 27
Dengan demikian, Banyaknya susunan 9 angka yang diambil dari 4 angka 0 (nol) dan 5 angka 1
dengan syarat bahwa tidak ada empat angka sama yang berurutan sebanyak 126 – 27 = 99
Jadi, banyak kode yang mungkin harus dicoba sehingga dipastikan koper tersebut terbuka
adalah ada 99 kode
5.
Fulan memelihara 100 kalkun dengan bobot kalkun ke- i adalah xi untuk i {1, 2, 3, .... , 100}.
Bobot kalkun ke-i dalam gram diasumsikan mengikuti fungsi xi(t) = Sit + 200 – i dengan t
menyatakan waktu dalam satuan hari dan Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
dengan suku pertama adalah bilangan positif a dengan beda b =
1
. Diketahui rata-rata data
5
bobot seratus kalkun tersebut pada saat t = a adalah 150,5 gram.
Hitunglah median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan: 349,5 gram
Diketahui fungsi xi(t) = Sit + 200 – i
Si merupakan suku ke-i suatu barisan aritmatika
x (a)
1
S1 = a, b =
dan i
= 150,5 gram
100
5
1
1
1
Karena S1 = a dan b = , maka S2 = S1 + 1( ) atau S2 = a +
5
5
5
Kemudian mencari x1(a), yaitu x1(a) = (a)a + 200 – 1
x1(a) = a2 + 199
1
x2(a), yaitu x2(a) = (a + )a + 200 – 2
5
a
2
x2(a) = a + + 198
5
a
–1
beda dari bobot perkalkun: x2(a) – x1(a) =
5
100
a
[2(a2 + 199) + (100 – 1)( – 1)]
sehingga x100(a) =
2
5
99a
2
= 50(2a + 398 +
– 99)
5
99a
= 50(2a2 +
+ 299)
5
x100(a) = 100a2 + 990a + 14950
Dengan demikian,
x (a) = 150,5
i
100
100a2 + 990a + 14950 = 15050
100a2 + 990a – 100 = 0
(10a – 1)(10a + 100) = 0
1
a=
atau a = –10
10
1
10
50
49
a 20 200 50 a 20 200 51
5
5
x (20) x51(20)
=
Sehingga mediannya 50
2
2
1 49
1 50
10 5 20 150 10 5 20 149
=
2
2 196 150 2 200 149
=
2
699
=
2
= 349,5
nilai a yang memenuhi adalah a =
Jadi, median data bobot kalkun tersebut pada saat t = 20 hari adalah 349,5 gram
Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5