Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016 (Hari Kedua) www.olimattohir.blogspot.com
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan Soal Hari Kedua
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI KEDUA
1.
Diketahui f(x) =
1 x
pq
, untuk x ≠ 1. Didefinisikan pq =
untuk semua bilangan rasional
1 x
1 pq
positif p dan q. Perhatikan barisan a 1, a 2, a 3, .... dengan
a 1 = 23
a n = a n–1 (n + 2), untuk n ≥ 2
Tentukan f(a 223) dan a 223.
Pembahasan: f(a223) = 25425 dan a223 =
12712
12713
Mencari pola untuk menentukan barisan a n dan f(a n), sebagai berikut:
an
23
5
=
1 23 7
5
5
33 11
a 2 = a 14 = 7 5
=
=
1 7 5 27
9
7
a 3 = a 25 =
8
11
a 4 = a 36 =
10
27
a 5 = a 47 =
29
....
....
....
....
....
a 1 = 23 =
http://olimattohir.blogspot.co.id/
f(a 1) =
f(a 2) =
f(a 3) =
f(a 4) =
f(a 5) =
1 a1
1 a1
1 a2
1 a2
1 a3
1 a3
1 a4
1 a4
1 a5
1 a5
f(a n)
1 75 127
= 2 = 6 = (1 + 2 + 3)
1 75
7
1 119
=
= –10 = –(1 + 2 + 3 + 4)
1 119
=
= 15 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= –21 = –(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 28 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
....
....
....
....
....
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Polanya didapat dari fungsi
1 an
f(a n) =
1 an
f(a n)(1 – a n) = 1 + a n
f(a n) – f(a n) a n = 1 + a n
f(a n) – 1 = f(a n) a n + a n
f(a n) – 1 = (f(a n) + 1)a n
f a n 1
an =
f a n 1
f a 222 1
a 222 = a 221224 =
f a 222 1
Polanya adalah jumlah dari bilangan asli berdasarkan
ketentuan berikut:
1) Untuk n ganjil bernilai positif,
2) sedangkan untuk n genap bernilai negatif
224225
1 a 222
= –(1 + 2 + 3 + .... + 224) = –
2
1 a 222
225226
1 a 223
f a 223 1
f(a 223) =
= (1 + 2 + 3 + .... + 225) = –
a 223 = a 222225 =
2
1 a 223
f a 223 1
f(a 223) = 25425
25425 1 25424 12712
Berdasarkan uraian pada tabel di atas, didapat nilai a 223 =
=
=
25425 1 25426 12713
Jadi, f(a223) = 25425 dan a223 =
2.
f(a 222) =
12712
12713
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2.
Apakah
2a 1
merupakan bilangan bulat? Tulis alasan Anda.
2b 1
Pembahasan: bukan merupakan bilangan bulat
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2. Dari pernyataan ini ada 2
kemungkinan nilai a yang didapat, yaitu a = bn atau a = bn + c, sehingga didapat
(i)
2a 1
: b
2 1
2bn 1
2bn 1 2
b
=
Untuk a = bn
2 1
2b 1
2bn 1
2
= b
b
2 1 2 1
Agar dihasilkan bilangan bulat maka 2b – 1 haruslah pembagi bulat dari 2bn – 1 dan 2.
Menurut sifat pemfktoran bentuk aljabar bahwa 2bn – 1 habis dibagi oleh 2b – 1, karena
2bn – 1 = (2b – 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + .... 22 + 2 + 1).
Akan tetapi untuk bilangan 2 tidak habis dibagi oleh 2b – 1, karena syaratnya b > 2
2a 1
Dengan demikian, b
bukan merupakan bilangan bulat.
2 1
(ii)
Untuk a = bn + c :
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2a 1
2b 1
2bnc 1
2c 2bn 1
=
2b 1
2b 1
2c 2bn 1 2c 2c
=
2b 1
2c 2bn 2c 2c 1
=
2b 1
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2c 2bn 1 2c 1
2b 1
2c 2bn 1 2c 1
=
b
2b 1
2 1
Agar dihasilkan bilangan bulat maka 2b – 1 haruslah pembagi bulat dari 2c(2bn – 1) dan
(2b + 1).
=
Untuk 2c(2bn – 1) habis dibagi oleh 2b – 1, karena
2c × (2bn – 1) = 2c×(2b – 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + .... 22 + 2 + 1)
Akan tetapi untuk 2c + 1 tidak habis dibagi oleh 2b – 1, karena sudah dibuktikan seperti
pada point (i) di atas.
2bnc 1
Dengan demikian, b
bukan merupakan bilangan bulat.
2 1
2a 1
Jadi, b
bukan merupakan bilangan bulat
2 1
3.
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 dm. Terdapat persegi PQRS pada bidang
diagonal ABGH dengan titik P pada HG dan Q pada AH seperti ditunjukkan pada gambar di
bawah. Titik T adalah titik pusat persegi PQRS. Garis HT diperpanjang sehingga memotong garis
diagonal BG di N. Titik M adalah proyeksi N terhadapat BC.
Tentukan volume prisma terpancung DCM.HGN.
P
H
E
G
TF
S
R
N
Q
D
C
M
A
B
Pembahasan:
1
(3 2 – 1) dm3
12
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
H
E
P
G
TF
S
R
N
Q
D
A
M
1 dm
B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
Diketahui segiempat PQRS adalah persegi, sehingga besar PQT
= QPT = 45 dan besar PTQ = 90.
Selanjutnya perhatikan segiempat tali busur PHQT atau segiempat
siklis, didapat besar PQT = PHT = PHN = 45.
Berikutnya perhatikan segitiga GHN! Merupakan segitiga sikuC siku di titik G, sehingga karena besar PHN = 45, maka segitiga
GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Dengan demikian
panjang GN = 1 dm, karena GH = 1 dm
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Ditarik sebuah garis tegak lurus dari titik N ke garis FG sehingga memotong di titik K, ilustrasi
gambarnya seperti berikut. Dikarenakan segitiga GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki
dan panjang GN = 1, maka segitiga OKN merupakan segitiga siku-siku sama kaki di titik K.
1
Sehingga panjang GK = NK = MC =
2 dm
2
H
G
K
E
1 dm
N
D
A
C
M
1 dm
B
Berdasarkan ilustasi gambar di atas, didapat:
Volume prisma terpancung DCM.HGN = volume prisma DCM.HGK – volume Limas GNK.H
1
= L.a prisma × CG – L.a limas × GH
3
1
1 1
1 1 1
=( ×
2 × 1) × 1 – ( ×
2 ×
2)×1
2 2
3 2 2
2
1
1
=
2 –
12
4
3 2 1
=
12
1
=
(3 2 – 1)
12
1
Jadi, volume prisma terpancung DCM.HGN adalah
(3 2 – 1) dm3
12
4.
Sembilan pasang suami istri ingin berfoto dalam posisi tiga baris dengan latar belakang Jembatan
Ampera Palembang. Terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di
baris belakan. Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama,
serta setiap dua orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin
sama.
Tentukan banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan.
Pembahasan: 12.0960
Misalkan suami ke-n: Sn
istri ke-n: In
Diketahui terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di baris belakan.
Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama, serta setiap dua
orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin sama.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Perhatikan ilustrasi susunan berikut:
S6
ada 2 × 7
S1
I1
I2
S2
S3
I3
I4
S4
S5
I5
I6
I7
S7
S8
I8
I9
ada 4 × 3 × 6
S9
ada 6 × 4 × 5
Dengan demikian, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan dalam konsisi seperti
pada soal = (2 × 7) × (4 × 3 × 6) × (6 × 4 × 5) = 14 × 72 × 120 = 12.0960
Jadi, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan adalah ada 12.0960
5.
Suatu hotel menyediakan empat jenis kamar dengan kapasitas, tarif, dan banyak kamar seperti
disajikan pada tabel berikut.
Jenis Kamar
Kapasitas/Kamar
Tarif/hari (Rp)
Banyak Kamar
A
1 orang
250.000
3
B
2 orang
400.000
3
C
3 orang
550.000
4
D
4 orang
700.000
2
Satu rombongan yang terdiri dari empat keluarga ingin menginap semalam di hotel tersebut.
Masing-masing keluarga terdiri dari suami-sitri dan anak-anak mereka yang belum menikah.
Banyak anggota keluarga menurut jenis kelamin disajikan pada tabel berikut.
Keluarga
Laki-laki
Perempuan
Total
I
6
2
8
II
2
3
5
III
3
3
6
IV
3
1
4
Ketua rombongan memberlakukan ketentuan sebagai berikut.
(i) Setiap pasang suami-istri harus sekamar dan tidak boleh sekamar dengan pasangan suamiistri lainnya.
(ii) Laki-laki dan perempuan tidak boleh sekamar kecuali mereka berasal dari satu keluarga.
(iii) Paling sedikit ada satu kamar yang ditempati oleh semua perwakilan keluarga (“kamar
perwakilan”)
(iv) Setiap keluarga menempati paling banyak 3 jenis kamar.
(v) Tidak ada kamar yang ditempati oleh lebih dari satu keluarga kecuali kamar perwakilan.
Anda diminta mengatur kamar untuk rombongan tersebut agar total biaya penginapan semurah
mungkin.
Berikan dua alternatif kemungkinan pengaturan kamar untuk setiap keluarga dan tentukan total
biayanya.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Alternatif Pertama
Keluarga
Banyak keluarga
Jenis kamar
Laki-laki = 6
Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada, 2 anak
laki-lakinya dan 1 anak
perempuannya di kamar D
b. 4 anak laki-lakinya ada di
kamar D
Rp700.000,00
Rp700.000,00
----------------- +
Rp1.400.000,00
Laki-laki = 2
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp950.000,00
III
Laki-laki = 3
Perempuan = 3
a. Suami-Istri dan 1 anak
laki-lakinya ada di kamar
C
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp550.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp1.100.000,00
IV
Laki-laki = 3
Perempuan = 1
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 2 anak laki-lakinya ada di
kamar B
Rp400.000,00
Rp400.000,00
----------------- +
Rp800.000,00
I
II
Tarif/hari (Rp)
Total biaya seluruhnya = Rp1.400.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 +
Rp800.000,00
= Rp4.250.000,00
Alternatif Kedua
Keluarga
I
II
Banyak keluarga
Jenis kamar
Laki-laki = 6
Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 3 anak laki-lakinya ada di
kamar C
c. 2 anak laki-lakinya dan 1
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp1.500.000,00
Laki-laki = 2
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp950.000,00
http://olimattohir.blogspot.co.id/
Tarif/hari (Rp)
6
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
III
Laki-laki = 3
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 2 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar D
Rp400.000,00
Rp700.000,00
----------------- +
Rp1.100.000,00
IV
Laki-laki = 3
Perempuan = 1
Keluar IV ini berada di kamar
yang sama, yaitu di kamar D
Rp700.000,00
Total biaya seluruhnya = Rp1.500.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 +
Rp700.000,00
= Rp4.250.000,00
Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
7
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan Soal Hari Kedua
OSN SMP Tingkat Nasional Tahun 2016
Bidang Matematika
Waktu: 2×90 Menit
HARI KEDUA
1.
Diketahui f(x) =
1 x
pq
, untuk x ≠ 1. Didefinisikan pq =
untuk semua bilangan rasional
1 x
1 pq
positif p dan q. Perhatikan barisan a 1, a 2, a 3, .... dengan
a 1 = 23
a n = a n–1 (n + 2), untuk n ≥ 2
Tentukan f(a 223) dan a 223.
Pembahasan: f(a223) = 25425 dan a223 =
12712
12713
Mencari pola untuk menentukan barisan a n dan f(a n), sebagai berikut:
an
23
5
=
1 23 7
5
5
33 11
a 2 = a 14 = 7 5
=
=
1 7 5 27
9
7
a 3 = a 25 =
8
11
a 4 = a 36 =
10
27
a 5 = a 47 =
29
....
....
....
....
....
a 1 = 23 =
http://olimattohir.blogspot.co.id/
f(a 1) =
f(a 2) =
f(a 3) =
f(a 4) =
f(a 5) =
1 a1
1 a1
1 a2
1 a2
1 a3
1 a3
1 a4
1 a4
1 a5
1 a5
f(a n)
1 75 127
= 2 = 6 = (1 + 2 + 3)
1 75
7
1 119
=
= –10 = –(1 + 2 + 3 + 4)
1 119
=
= 15 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= –21 = –(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 28 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
....
....
....
....
....
1
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Polanya didapat dari fungsi
1 an
f(a n) =
1 an
f(a n)(1 – a n) = 1 + a n
f(a n) – f(a n) a n = 1 + a n
f(a n) – 1 = f(a n) a n + a n
f(a n) – 1 = (f(a n) + 1)a n
f a n 1
an =
f a n 1
f a 222 1
a 222 = a 221224 =
f a 222 1
Polanya adalah jumlah dari bilangan asli berdasarkan
ketentuan berikut:
1) Untuk n ganjil bernilai positif,
2) sedangkan untuk n genap bernilai negatif
224225
1 a 222
= –(1 + 2 + 3 + .... + 224) = –
2
1 a 222
225226
1 a 223
f a 223 1
f(a 223) =
= (1 + 2 + 3 + .... + 225) = –
a 223 = a 222225 =
2
1 a 223
f a 223 1
f(a 223) = 25425
25425 1 25424 12712
Berdasarkan uraian pada tabel di atas, didapat nilai a 223 =
=
=
25425 1 25426 12713
Jadi, f(a223) = 25425 dan a223 =
2.
f(a 222) =
12712
12713
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2.
Apakah
2a 1
merupakan bilangan bulat? Tulis alasan Anda.
2b 1
Pembahasan: bukan merupakan bilangan bulat
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat positif dengan a > b > 2. Dari pernyataan ini ada 2
kemungkinan nilai a yang didapat, yaitu a = bn atau a = bn + c, sehingga didapat
(i)
2a 1
: b
2 1
2bn 1
2bn 1 2
b
=
Untuk a = bn
2 1
2b 1
2bn 1
2
= b
b
2 1 2 1
Agar dihasilkan bilangan bulat maka 2b – 1 haruslah pembagi bulat dari 2bn – 1 dan 2.
Menurut sifat pemfktoran bentuk aljabar bahwa 2bn – 1 habis dibagi oleh 2b – 1, karena
2bn – 1 = (2b – 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + .... 22 + 2 + 1).
Akan tetapi untuk bilangan 2 tidak habis dibagi oleh 2b – 1, karena syaratnya b > 2
2a 1
Dengan demikian, b
bukan merupakan bilangan bulat.
2 1
(ii)
Untuk a = bn + c :
http://olimattohir.blogspot.co.id/
2a 1
2b 1
2bnc 1
2c 2bn 1
=
2b 1
2b 1
2c 2bn 1 2c 2c
=
2b 1
2c 2bn 2c 2c 1
=
2b 1
2
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
2c 2bn 1 2c 1
2b 1
2c 2bn 1 2c 1
=
b
2b 1
2 1
Agar dihasilkan bilangan bulat maka 2b – 1 haruslah pembagi bulat dari 2c(2bn – 1) dan
(2b + 1).
=
Untuk 2c(2bn – 1) habis dibagi oleh 2b – 1, karena
2c × (2bn – 1) = 2c×(2b – 1)(2n-1 + 2n-2 + 2n-3 + .... 22 + 2 + 1)
Akan tetapi untuk 2c + 1 tidak habis dibagi oleh 2b – 1, karena sudah dibuktikan seperti
pada point (i) di atas.
2bnc 1
Dengan demikian, b
bukan merupakan bilangan bulat.
2 1
2a 1
Jadi, b
bukan merupakan bilangan bulat
2 1
3.
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 dm. Terdapat persegi PQRS pada bidang
diagonal ABGH dengan titik P pada HG dan Q pada AH seperti ditunjukkan pada gambar di
bawah. Titik T adalah titik pusat persegi PQRS. Garis HT diperpanjang sehingga memotong garis
diagonal BG di N. Titik M adalah proyeksi N terhadapat BC.
Tentukan volume prisma terpancung DCM.HGN.
P
H
E
G
TF
S
R
N
Q
D
C
M
A
B
Pembahasan:
1
(3 2 – 1) dm3
12
Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
H
E
P
G
TF
S
R
N
Q
D
A
M
1 dm
B
http://olimattohir.blogspot.co.id/
Diketahui segiempat PQRS adalah persegi, sehingga besar PQT
= QPT = 45 dan besar PTQ = 90.
Selanjutnya perhatikan segiempat tali busur PHQT atau segiempat
siklis, didapat besar PQT = PHT = PHN = 45.
Berikutnya perhatikan segitiga GHN! Merupakan segitiga sikuC siku di titik G, sehingga karena besar PHN = 45, maka segitiga
GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki. Dengan demikian
panjang GN = 1 dm, karena GH = 1 dm
3
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Ditarik sebuah garis tegak lurus dari titik N ke garis FG sehingga memotong di titik K, ilustrasi
gambarnya seperti berikut. Dikarenakan segitiga GHN merupakan segitiga siku-siku sama kaki
dan panjang GN = 1, maka segitiga OKN merupakan segitiga siku-siku sama kaki di titik K.
1
Sehingga panjang GK = NK = MC =
2 dm
2
H
G
K
E
1 dm
N
D
A
C
M
1 dm
B
Berdasarkan ilustasi gambar di atas, didapat:
Volume prisma terpancung DCM.HGN = volume prisma DCM.HGK – volume Limas GNK.H
1
= L.a prisma × CG – L.a limas × GH
3
1
1 1
1 1 1
=( ×
2 × 1) × 1 – ( ×
2 ×
2)×1
2 2
3 2 2
2
1
1
=
2 –
12
4
3 2 1
=
12
1
=
(3 2 – 1)
12
1
Jadi, volume prisma terpancung DCM.HGN adalah
(3 2 – 1) dm3
12
4.
Sembilan pasang suami istri ingin berfoto dalam posisi tiga baris dengan latar belakang Jembatan
Ampera Palembang. Terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di
baris belakan. Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama,
serta setiap dua orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin
sama.
Tentukan banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan.
Pembahasan: 12.0960
Misalkan suami ke-n: Sn
istri ke-n: In
Diketahui terdapat 4 orang di baris depan, 6 orang di baris tengah, dan 8 orang di baris belakan.
Mereka sepakat bahwa setiap pasang suami istri harus dalam baris yang sama, serta setiap dua
orang yang bersebelahan haruslah pasangan suami istri atau berjenis kelamin sama.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
4
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Perhatikan ilustrasi susunan berikut:
S6
ada 2 × 7
S1
I1
I2
S2
S3
I3
I4
S4
S5
I5
I6
I7
S7
S8
I8
I9
ada 4 × 3 × 6
S9
ada 6 × 4 × 5
Dengan demikian, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan dalam konsisi seperti
pada soal = (2 × 7) × (4 × 3 × 6) × (6 × 4 × 5) = 14 × 72 × 120 = 12.0960
Jadi, banyak susunan posisi berbeda yang mungkin dilakukan adalah ada 12.0960
5.
Suatu hotel menyediakan empat jenis kamar dengan kapasitas, tarif, dan banyak kamar seperti
disajikan pada tabel berikut.
Jenis Kamar
Kapasitas/Kamar
Tarif/hari (Rp)
Banyak Kamar
A
1 orang
250.000
3
B
2 orang
400.000
3
C
3 orang
550.000
4
D
4 orang
700.000
2
Satu rombongan yang terdiri dari empat keluarga ingin menginap semalam di hotel tersebut.
Masing-masing keluarga terdiri dari suami-sitri dan anak-anak mereka yang belum menikah.
Banyak anggota keluarga menurut jenis kelamin disajikan pada tabel berikut.
Keluarga
Laki-laki
Perempuan
Total
I
6
2
8
II
2
3
5
III
3
3
6
IV
3
1
4
Ketua rombongan memberlakukan ketentuan sebagai berikut.
(i) Setiap pasang suami-istri harus sekamar dan tidak boleh sekamar dengan pasangan suamiistri lainnya.
(ii) Laki-laki dan perempuan tidak boleh sekamar kecuali mereka berasal dari satu keluarga.
(iii) Paling sedikit ada satu kamar yang ditempati oleh semua perwakilan keluarga (“kamar
perwakilan”)
(iv) Setiap keluarga menempati paling banyak 3 jenis kamar.
(v) Tidak ada kamar yang ditempati oleh lebih dari satu keluarga kecuali kamar perwakilan.
Anda diminta mengatur kamar untuk rombongan tersebut agar total biaya penginapan semurah
mungkin.
Berikan dua alternatif kemungkinan pengaturan kamar untuk setiap keluarga dan tentukan total
biayanya.
http://olimattohir.blogspot.co.id/
5
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
Pembahasan:
Alternatif Pertama
Keluarga
Banyak keluarga
Jenis kamar
Laki-laki = 6
Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada, 2 anak
laki-lakinya dan 1 anak
perempuannya di kamar D
b. 4 anak laki-lakinya ada di
kamar D
Rp700.000,00
Rp700.000,00
----------------- +
Rp1.400.000,00
Laki-laki = 2
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp950.000,00
III
Laki-laki = 3
Perempuan = 3
a. Suami-Istri dan 1 anak
laki-lakinya ada di kamar
C
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp550.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp1.100.000,00
IV
Laki-laki = 3
Perempuan = 1
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 2 anak laki-lakinya ada di
kamar B
Rp400.000,00
Rp400.000,00
----------------- +
Rp800.000,00
I
II
Tarif/hari (Rp)
Total biaya seluruhnya = Rp1.400.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 +
Rp800.000,00
= Rp4.250.000,00
Alternatif Kedua
Keluarga
I
II
Banyak keluarga
Jenis kamar
Laki-laki = 6
Perempuan = 2
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 3 anak laki-lakinya ada di
kamar C
c. 2 anak laki-lakinya dan 1
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp1.500.000,00
Laki-laki = 2
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 1 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar C
Rp400.000,00
Rp550.000,00
----------------- +
Rp950.000,00
http://olimattohir.blogspot.co.id/
Tarif/hari (Rp)
6
Soal dan Pembahasan OSN Matematika SMP Tingkat Nasional 2016
Mohammad Tohir: Guru SMP Negeri 2 Jember
III
Laki-laki = 3
Perempuan = 3
a. Suami-Istri ada di kamar B
b. 2 anak laki-lakinya dan 2
anak perempuannya ada di
kamar D
Rp400.000,00
Rp700.000,00
----------------- +
Rp1.100.000,00
IV
Laki-laki = 3
Perempuan = 1
Keluar IV ini berada di kamar
yang sama, yaitu di kamar D
Rp700.000,00
Total biaya seluruhnya = Rp1.500.000,00 + Rp950.000,00 + Rp1.100.000,00 +
Rp700.000,00
= Rp4.250.000,00
Dibahas oleh : Mohammad Tohir
Jika ada saran, kritik maupun masukan
silahkan kirim ke- My email: suidhat.family@gmail.com
Terima kasih.
My blog : http://matematohir.wordpress.com/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
http://olimattohir.blogspot.co.id/
7