TRANSFORMASI MATEMATIKA Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

Matematikastudycenter.com- Contoh soal Pembahasan Ulangan Harian Transformasi Geometri,
materi matematika SMA Kelas 12.
Translasi, rotasi, pencerminan atau refleksi, dan komposisi transformasi yang melibatkan
matriks.
Soal No. 1
a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Tentukan bayangan dari
titik A (5, 10) oleh translasi
c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3,
4)
Pembahasan
Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai
berikut:

Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga:
a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)

b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi

c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)

Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)
Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1
Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5
Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x
Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:

Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0)
Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)
Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:

Cara ketiga
Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:
ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil :
ax + by = c + ap + bq
Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti
salah.
y = 3x + 5
atau
3x − y = − 5
oleh T = (2,1)
Hasil translasinya adalah:

3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1)
3x − y = − 5 + 6 − 1
3x − y = 0
atau
y = 3x
Soal No. 3
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis x = 10
b) Terhadap garis y = 8
Pembahasan
Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k
a) Terhadap garis x = 10
x=h

(a, b) ----------> (2h − a, b)
x=h
(3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5)
b) Terhadap garis y = 8
y=k
(a, b) ----------> (a, 2k − b)

y=k
(3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11)
Soal No. 4
Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A:
a) Terhadap garis y = x
b) Terhadap garis y = − x
Pembahasan
a) Terhadap garis y = x
y=x
(a, b) ----------> ( b, a)
y=x
(3, 5) ----------> (5, 3)
b) Terhadap garis y = − x
y=−x
(a, b) ----------> ( − b, − a)
y=−x
(3, 5) ----------> (− 5, − 3)
Soal No. 5
Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'.
Tentukan koordinat dari titik P'.

Pembahasan
Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α

Sehingga:

Catatan:
sudut α positif → berlawanan arah jarum jam
sudut α negatif → searah jarum jam
Soal No. 6
Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. x + y − 3 = 0
B. x − y − 3 = 0
C. x + y + 3 = 0
D. 3x + y + 1 = 0
E. x + 3y + 1 = 0
(UN Matematika Tahun 2010 P04)
Pembahasan
Transformasi oleh matriks
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya

Gabungan dua transformasi:

Terlihat bahwa
y' = − y
y = − y'

x' = x + 2y
x' = x + 2(− y')
x' = x − 2y'
x = x' + 2y'
Jadi:
x = x' + 2y'
y = − y'
Masukkan ke persamaan awal
y=x+1
(− y') = (x' + 2y' ) + 1
x' + 3y' + 1 = 0
Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
Soal No. 7
Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks

dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah....
A. (−11, 6)
B. (−6, 11)
C. (−5, 11)
D. (11, −5)
E. (11, −6)
Pembahasan
Titik A, dengan transformasi matriks

akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:

Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik
A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga
dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.

Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)
Soal No. 8
Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks

dilanjutkan oleh matriks

maka bayangan lingkaran itu adalah....
A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0
C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0
D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0
E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0
Pembahasan
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r
= √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran.
Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi
titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya.
Titik P (2, − 3) oleh transformasi

akan menjadi P':

Titik P' ini oleh transformasi kedua

akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang

kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah
seperti ini:

Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan
lingkarannya menjadi:

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-12/77-transformasi-geometri12#ixzz3rkgFWWld

GEOMETRI TRANSFORMASI

Tugas Ini Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Geometri Transformasi
Yang Dibimbing Oleh Ibu Welas Lsitiani

MAKALAH
GEOMETRI TRANSFORMASI
Pencerminan (Refleksi), Pergeseran (Translasi), Perputaran (Rotasi), dan
Perbesaran (Dilatasi)
Disusu oleh kelompok 4 matematika 2012D
Nama anggota kelompok :
1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.

Armince teresia asa
Beni
Gilbertus andi parais
Maurid boboy
Melkianus H.Bora
Melkianus Rikson bulu
Norbert Bora

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
→( FPIEK )←
FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA dan KEOLAHRAGAAN
IKIP BUDI UTOMO MALNG
NOVEMBER 2013

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas karunia, yang telah dilimpahkanNya, sehingga makalah ini dapat terselesaikan. Makalah ini disusun dengan maksud untuk
memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi tentang Refleksi, Translasi, Rotasidan
Dilatasi
penulis pun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kesalahan
disana sini baik dari segi isi penulisan maupun kata-kata yang digunakan yang didasari oleh
terbatasnya referensi yang digunakan. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat
membangun guna perbaikan makalah ini lebih lanjut akan penulis terima dengan senang hati.

i
DAFTAR ISI

A.
B.
C.
D.

KATA PENGANTAR . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
BAB I PENDAHULUAN
Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.

BAB II PEMBAHASAN
Refleksi (pencerminan) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Translasi (pergeseran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Rotasi (perputaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..7
Dilatasi (pembesaran) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
BAB III PENUTUP
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Daftar pustaka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

ii
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Belajar matematika merupakan sebuah proses perubahan tingkah laku Individu. Belajar ilmu
matematika merupakan hal yang sangat penting dan harus di jalani oleh setiap manusia. Dengan
Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk, dengan
Ilmu Matematika seseorang bisa membedakan mana yang boleh dan mana yang tidak boleh, dan
dengan Ilmu Matematika juga seseorag bisa merumuskan tujuan hidup.
Matapelajaran matematika merupakan yang sangat penting, dengan Ilmu Matematika kita
mengetahui adanya geometri transformasi yang memuat refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi.
Dimana refleksi adalah pencerminan, yaitu proses mencerminkan setiap titik bangun geometri itu
terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri). Translasi adalah transformasi yang
memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah
transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu. Dilatasi adalah transformasi
yang mengubah ukuran bangun tetapi tidak mengubah bentuknya.
Maka dari itu kami menulis makalah tentang geometri transformasi yang didalamnya memuat
refleksi(pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), dan dilatasi (pembesaran).
B. Rumusan masalah
Dalam membuat suatu makalah masalah sangatlah penting karena adanya masalah akan
memberikan penuntun bagi pembahasan selanjutnya, untuk menentukan suatu masalah
hendaknya memberikan petunjuk tentang pengumpulan data.
Adapun masalah yang akan kami bahas dalam makalah ini adalah tentang Geometri
Transformasi yang didalamnya memuat tentang refleksi(pencerminan), translasi(pergeseran),
rotasi(perputaran), dan dilatasi(pembesaran).

C.
1.
2.
3.
4.
5.

Tujuan
Mengetahui apa itu Refleksi
Mengetahui apa itu Translasi
Mengetahui apa itu Rotasi
Mengetahui apa itu Dilatasi
Dapat memahami apa yang dimaksud dengan refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi dan dapat
menyelesaikan soal-soal yang tentang itu.
D. Manfaat
Adapun manfaat dari makalah ini, tidak lebih hanya untuk mengetahui apa itu refleksi,
transformasi, rotasi, dan dilatasi. Yang dapat mempermudah dalam mempelajari Geometri
Transformasi tentang refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi tersebut.
1

BAB II
PEMBAHASAN
A. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi / pencerminan suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiap titik bangun
geometri itu terhadap garis tertentu (sumbu cermin / sumbu simetri).
Macam-macam Refleksi
1) Pencerminan Terhadap Sumbu X
Y

C

A

B
X

A’

B’

C’
Misalnya :
A(1,1) ß T à A’(1,-1)
B(5,1) ß T à B’(5,-1)
C(3,4) ß T à C’(3,-4)
P(x,y) ß T à P’(x,-y)

Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu x, P(x,y)  P’(x,-y).
2) Percerminan Terhadap Sumbu Y
C’

Y

C

B’

B
A’

A

X
Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(-2,1)
B(5,2) ß T à B’(-5,2)
C(1,4) ß T à C’(-1,4)
P(x,y) ß T à P’(-x,y)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap sumbu Y, P(x,y)  P’(-x,y).
3) Pencerminan Terhadap Sumbu Y = X
Y
Y=X
B’

2

C’
C

A’
A

B

0

X

Misalnya :
A(2,1) ß T à A’(1, 2)
B(5,1) ß T à B’(1,5)
C(5,4) ß T à C’(4,5)
P(x,y) ß T à P’(y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y= X, P(x,y)  P’(y,x).

3
4) Pencerminan Terhadap Sumbu Y = -X
Y
Y = -X

C

B

C’
A

B’
A’
X
0
Misalnya :
A(-1,4) ß T à A’(-4, 1)
B(-1,6) ß T à B’(-6,1)
C(-5,6) ß T à C’(-6,5)
P(x,y) ß T à P’(-y,x)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis Y=-x, P(x,y)  P’(-y,x).
5) Pencerminan terhadap garis x = h
Y
A

x=h
A’

X
4
Misalnya :
A(1,5) ß T( x=3) à A’(2.3-1,5)
A’(5, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis x=h, P(x,y)  P’(2h-x, y).
6) Pencerminan Terhadap Garis y = h
Y

A’

A
X
Misalnya :
A(6,1) ß T( y=3) à A’(6, 2.3-1)
A’(6, 5)
Kesimpulan :
Pencerminan P(x,y) terhadap garis y=h, P(x,y)  P’(x, 2h - y).

B. Tranlasi (pergeseran)
P’(x’,y’)
Y

Tranlasi adalah transformasi yang memindahakan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah
tertentu.
T
b
Jika translasi T =
a
Memetakan titik P(x,y) ke P’(x’,y’)
P(x,y)
X
0
Maka x’ = x + a dan y’ = y + b
Ditulis dalam bentuk matrik
atau P(x,y)
P’ (x+a, y+b)
5
Contoh
1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat
bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh
T=
penyelesaian
Y
O(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
B
0’(1,3)
A(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
A’(4,3)
B(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
B’(4,8)
O
A
X
2
2
2. Bayangan persamaan lingkaran x + y = 25 oleh translasi T =
Penyelesaian
Karena translasi T =
maka
P(-1,3)
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25
3. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7,-8).
Bayangan kurva y = x2 + 4x – 12 oleh translasi tersebut adalah….
Penyelesaian
Misalkan translasi tersebut T =
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3
a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah T =

adalah…
Y

X

Karena T =
Maka

x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3

6

X
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3

C. Rotasi (perputaran)
Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar.
Rotasi Pusat O(0,0)
Y
P(x’,y’)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar  berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0) dan diperoleh
bayangan P’(x’,y’)
P(x,y)
maka: x’ = xcos - ysin
y’ = xsin + ycos
 Jika sudut putar  = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi R½ π =
Contoh
1. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut
putaran +90o, adalah….
penyelesaian
R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke:
x+y=6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
2. Persamaan bayangan garis 2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….
Penyelesaian

R-90o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
R-90o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke: 2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0

7

 Jika sudut putar  = π (rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
Jadi H =
Contoh
Persamaan bayangan parabola y = 3x2 – 6x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat
dengan sudut putaran +180o, adalah….
Penyelesaian
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x – 1

D. Dilatasi (perbesaran)
Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu
bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya.

8

 Dilatasi Pusat O(0,0) dan faktor skala k
Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’,y’)
maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O,k] atau,
Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O,-2],
titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.

Hitunglah luas segitiga OA’B’
Penyelesaian
garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi
[O,-2] maka A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:

Y
B -4

Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
=½x6x4

A
-6

= 12
O

X

 Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y –
b) + b dilambangkan dengan [P(a ,b) ,k]
Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka koordinat titik A’ adalah….
Penyelesaian
A(x,y)

A’(x’,y’)
x’ = k (x-a)+a , y’ = k (y-b)+b

A(-5,13)

A’(x,y)

Jadi koordinat titik A’(-3,8)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8

9

BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Adapun secara ringkas kesimpulan materi tentang transformasi geometri sebagai berikut :
Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memidahkan setiap titik pada bidang dengan
jarak dan arah tertentu.
b. Refleksi (pencerminan) adalah translasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan sifat
pencerminan.
c. Rotasi (perputaran) adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat tertentu.
a.

d. Dilatasi (perkalian) adalah transformasi yang mengubah ukuran bangun, tetapi tidak mengubah
ukuran bentuknya.
B. Saran
Makalah ini dapat digunakan sebagai bahan untuk belajar geometri transformasi dimana dalam
makalah ini membahas geomatri transformasi secara detail yang memuat refleksi, translasi,
rotasi, dan dilatasi.