Sejarah Matematika Sistem Penulisan Bila
Sistem Penulisan Bilangan
Makalah
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Sejarah Matematika
Oleh Kelompok 1:
Herry Nazmudinnur (1441172105022)
Ratna Wulansari (1441172105012)
Winarsih (1441172105099)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
2015/2016
Kata Pengantar
Puji syukur marilah kita panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan
tugas makalah ini.
Dalam makalah ini, kami akan membahas tentang sistem penulisan
bilangan, dan makalah ini di susun untuk memenuhi salah satu syarat
pembelajaran Sejarah Matematika di Universitas Negeri Singaperbangsa
Karawang. Di sini kami mengucapkan terima kasih kepada dosen bidang studi
yang telah memberikan kesempatan. Dengan harapan dapat menambah
wawasan serta pengetahuan, sehingga dapat bermanfaat untuk hidup kita
sebagai bangsa Indonesia.
Dalam penyusunan makalah ini, kami menyadari bahwa masih terdapat
kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari
para pembaca guna perbaikan dalam penyusunan makalah selanjutnya.
Akhirnya, kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
semua pihak.
Karawang, Maret 2015
Penyusun
Daftar Isi
Halaman Judul ...........................................................................................................
i
Kata Pengantar...........................................................................................................
ii
Daftar Isi.....................................................................................................................
iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang........................................................................................................
1
B. Batasan Masalah....................................................................................................
1
C. Tujuan.....................................................................................................................
1
D. Manfaat..................................................................................................................
1
E. Metode Penelitian..................................................................................................
1
BAB II PEMBAHASAN
A. Tinjauan Pustaka....................................................................................................
2
B. Pembahasan Materi...............................................................................................
2
1.Pengertian
Bilangan
...............................................................................................................................
2
2.Sistem
Penulisan
Bilangan
...............................................................................................................................
3
2.1.
Sistem
Tally/Ijar
.............................................................................................................................
3
2.2.
Sistem
Posisi
.............................................................................................................................
3
2.2.1.
Sistem
Posisi
Bilangan
Hindu-Arab
......................................................................................................................
4
2.2.2.
Sistem
Posisi
Bilangan
Maya
......................................................................................................................
4
2.2.3.
Sistem
Posisi
Bilangan
Babylonia
......................................................................................................................
5
2.3
Sistem
Pengelompokan
Sederhana
3
.............................................................................................................................
7
2.3.1 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Hieroglyphic
......................................................................................................................
7
2.3.2 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Babylonia
......................................................................................................................
8
2.3.3. Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Attikan
......................................................................................................................
9
2.3.4 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Romawi
......................................................................................................................
9
2.4.
Sistem
Pencirian
.............................................................................................................................
10
2.5
Sistem
Perkalian
.............................................................................................................................
11
BAB III: PENUTUPan
3.1.
Kesimpulan
.............................................................................................................................
12
3.2.
Saran
.............................................................................................................................
12
Daftar Pustaka............................................................................................................
13
BAB 1: PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Sejak zaman purbakala, tidak dapat dipungkiri lagi bahwa pendidikan
matematika sangat diperlukan dan telah menyatu dalam kehidupan manusia dan
merupakan kebutuhan dasar dari setiap lapisan masyarakat, dalam pergaulan hidup
4
sehari-hari. Mereka membutuhkan matematika untuk perhitungan sederhana. Untuk
keperluan tersebut diperlukan bilangan-bilangan. Keperluan bilangan mula-mula
sederhana tetapi makin lama makin meningkat, sehingga manusia perlu
mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun berkembang selama berabadabad dari masa ke masa hingga saat ini.
Dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu yang namanya bilangan
karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi,ataupun dalam
dunia musik, filosofi, dan hiburan serta aspek kehidupan lainnya. Adanya bilangan
membantu manusia untuk melakukan banyak perhitungan, mulai dari perhitungan
sederhana tentang keperluan belanja di dapur, untuk keperluan mengendalikan banjir,
mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi, penghitungan hasil pertanian dan
peternakan sampai perhitungan yang rumit tentang cara menilai kegiatan perdagangan,
keuangan dan pemungutan pajak dan keperluan peluncuran pesawat ruang angkasa dll
yang mana masing-masing bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan
bilangan dalam bentuk simbol.
1.2. Batasan Masalah
Dalam penyusunan makalah ini penulis membatasi permasalahan yang ada agar
dalam penjelasannya lebih terfokus dan terarah, adapun batasan masalah yang ada
terfokus kepada (atau membahan kepada) sistem penulisan bilangan bulat positif
menurut sistem bilangan yang ada di beberapa daerah dan peradaban dunia.
1.3. Rumusan Masalah
1.3.1. Bagaimana definisi bilangan?
1.3.2. Bagaimana sistem penulisan dengan pengelompokan sederhana?
1.3.3. Bagaimana sistem penulisan dengan perkalian?
1.3.4. Bagaimana sistem penulisan dengan pencirian?
1.3.5. Bagaimana sistem penulisan dengan posisi?
1.4. Tujuan
1.4.1. Menjelaskan definisi bilangan.
1.4.2. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan pengelompokan sederhana.
1.4.3. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan perkalian.
1.4.4. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan pencirian.
1.4.5. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan posisi.
1.5. Manfaat
Pembaca dapat mengetahui definisi dari bilangan, bagaimana sejarah dalam
penulisan bilangan, macam-macam sistem penulisan bilangan.
1.6. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan tugas makalah ini adalah dengan
Metode searching (mencari data di internet).
BAB 2 : PEMBAHASAN
A. Tinjauan Pustaka.
Bilangan sejak pertamakali digunakan hanyalah untuk menghitung dan
mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah
perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan,
bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan
5
kehidupan. Bilangan selalu hadir dan dibutuhkan dalam sains, teknologi, dan ekonomi
bahkan dalam dunia musik, filosofi, dan hiburan.
Dahulu kala, ketika orang primitif hidup di gua-gua dengan mengandalkan
makanannya dari tanaman dan pepohonan di sekitar gua atau berburu untuk sekali
makan, kehadiran bilangan, hitung-menghitung, atau matematika tidaklah selalu
dibutuhkan. Tetapi, setelah mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka
harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa
banyak persediaan makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan
hitung menghitung.
Pada awalnya cukuplah menggunakan konsep lebih sedikit dan lebih banyak
untuk melakukan perhitungan. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupukupu yang berbeda, mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua
kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi, kepastian jumlah tentang milik seseorang atau
milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan
sederhana.
Mula-mula, kita manusia menggunakan kerikil, menggunakan simpul pada tali,
menggunakan jari-jemari, atau memakai ranting untuk menyatakan banyak hewan dan
kawanannya atau anggoata keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman
tentang konsep bilangan. Ketika seseorang berpikir tentang bilangan dua, maka dalam
benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya,
terdapat dua katak dan dua kepiting, dan selanjutnya kata "dua" dilambangkan dengan
"2".
Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting, atau jari
dirasakan tidak cukup praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggambarkan
bilangan itu dalam suatu lambang-lambang. Lambang (simbol) untuk menulis sebuah
bilangan disebut angka. Misalnya, orang Babilonia mengembangkan tulisan kuno
berbentuk baji, yang menggambarkan lambang-lambang berbeda, menyerupai tongkat
yang ujungnya tajam pada tanah liat basah yang dibentuk menjadi bata merah.
B. Pembahasan Materi.
1. Pengertian Bilangan
Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan dan angka sering kali dianggap sebagai
dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang
berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan
dan pengukuran. Simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan
disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Contohnya bilangan lima dapat
dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang “5” dan
“V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi,
sebanarnya benda apakah yang biasa kita sebut dengan bilangan itu? Setiap bilangan,
misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1 sesungguhnya adalah konsep
abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal.
Misalnya, tulisan atau ketikan 1, yang anda lihat di kertas dan sedang anda baca saat ini
bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh
indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda.
Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat
bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan
1.
2. Sitem Penulisan Bilangan
6
Konsep bilangan memiliki sejarah yang amat panjang (hingga sampai pada kita
sekarang). Dahulu setiap bangsa dan peradaban di dunia memiliki konsep bilangan dan
penulisan bilangannya sendiri-sendiri (tidak seragam seperti sekarang).
sistem penulisan bilangan yang dideskripsikan dengan lambang bilangan (angka)
yang didasarkan pada basis (b) atau dasar tertentu. Jika penulisan bilangan melebihi dari
b maka penulisannya menggunakan kombinasi dari simbol”.
Menurut beberapa cacatan sejarah, sejak dahulu penulisan bilangan
menggunakan bilangan basis (dasar), dari kebanyakan peradaban, basis 10 banyak
digunakan dalam sistem penulisan bilangan ini (hal ini mungkin terilhami oleh jari
manusia yang berjumlah sepuluh). Akan tetapi, ada juga beberapa peradaban yang
menggunakan selain basis 10 seperti bangsa Babylonia yang menggunaka basis 60 dan
Suku Maya yang menggunaka basis 20.
Ada beberapa ciri yang umum dari basis 10 diantaranya:
Hanya punya sepuluh simbol
Tidak ada satu simbol yang mewakili bilangan sepuluh
Sepuluh itu gabungan 1 dan 0, jadi 10.
2.1. Sistem Tally/Ijir
Proses perhitungan telah dikenal lama sejak zaman prasejarah, walaupun masih
sangat sederhana. Prinsip yang mereka pergunakan adalah dengan memakai sistem
korespondensi1-1. misalnya dalam menghitung ternak mereka, mereka memakai satu
coretan (garis) untuk satu ekor. Biasa juga mereka memakai jari-jari tangan atau kaki
karena jari-jari terbatas jumlahnya, maka untuk jumlah yang lebih besar mereka
memakai batu-batu kerikil atau potongan-potongan kayu denganmembuat goresangoresan di dinding atau dengan membuat simpul-simpul pada seutas tali.
Ilustrasi:
a. Bila seseorang mempunyai empat ekor kambing maka dia akan menyusun tongkat
(goresan) sebanyak empat buah, yaitu : ││││
b. Ayam kepunyaan ayah 3 ekor digabungkan dengan ayam anaknya 4 ekor, jadi
jumlahnya │││ + ││││ = │││││││
Untuk memudahkan perhitungan, maka setiap 5 tongkat (goresan)
dikelompokkan menjadi satu kelompok yang ditulis dengan ││││ dan disebut satu ikat.
Jadi
dalam
contoh
di
atas
:
Ayam ayah + ayam anak = │││││││ = ││││ ││. Walaupun cara ini primitif dan sederhana
namun sampai sekarang masih banyak dipergunakan, umpamanya dalam penyusunan
data untuk pembuatan tabel distribusi frekwensi dalam statistika.
2.2. Sistem Posisi
Bilangan dengan sistem posisi atau dasar tempat juga menggunakan basis
bilangan. Jika bilangan berbasis b, maka simbol-simbol yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, .
. . , ( b -1 ). Suatu bilangan N dengan basis b dapat dinyatakan dengan :
N = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 + . . . + a 2 b2 + a1 b + a0 dimana : 0 ≤ ai < b ; i = 0, 1, 2, 3, . . , n
sehingga bilangan N ditulis dengan urutan simbol : a n an-1 an-2 . . . a2 a1 a0
Ada beberapa bilangan yang mengunaka sistem posisi, diantaranya: (a) bilangan HinduArab; (b) bilangan Maya; (c) bilangan Babylonia.
2.2.1. Sistem Posisi Bilangan Hindu-Arab
Sistem Hindu-Arab berasal dari India sekitar 300 SM dan mengalami banyak
perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani. Baru sekitar
tahun 750 M sistem Hindu-Arab berkembang di Bagdad. Bukti sejarah hal ini tertulis
7
dalam buku karangan matematisi arab yang bernama Al-Khawarizmi yang berjudul Liber
Algorismi De Numero Indorum.
Menurut sejarahnya, sistem ini belum menggunakan nilai tempat dan belum
mempunyai lambang nol. Mereka mulai menggunakan sistem nilai tempat diperkirakan
terjadi pada tahun 500 M. Sistem numerasi Hindu-Arab menggunakan sistem nilai
tempat dengan basis 10 yang dipengaruhi oleh banyaknya jari tangan, yaitu 10. Berasal
dari bahasa latin decem yang artinya sepuluh, maka sistem numerasi ini sering disebut
sebagai sistem desimal. Tidak diketahui pastinya kapan dan di mana dimulainya lambang
nol digunakan, hanya ada beberapa dugaan bahwa lambang nol ini berasal dari
Babylonia lewat Yunani. Sistem numerasi Hindu-Arab yang kita kenal sekarang adalah
berasal dari numerasi Arab Timur yang telah berbeda dari asalnya.
Angka Hindu-Arab merupakan angka yang berbasis 10 yang memiliki sepuluh
simbol untuk menyatakan bilangannya. Angka ini merupakan perpaduan dan modifikasi
dari daratan arab dan india, kemudian menyebar ke daratan eropa dan akhirnya
keseluruh dunia. Bilangan Hindu-Arab mempunyai simbol: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Posisi Digit
1
2
3
4
5
Sistem Posisi Bilangan Hindu-Arab
Nilai Posisi Digit
100
1
1
10
10
102
100
103
1000
104
10000
Keterangan
Posisi satuan
Posisi puluhan
Posisi ratusan
Posisi ribuan
Posisi puluh-ribuan
Ilustrasi:
2.2.2. Sistem Posisi Bilangan Maya
Suku Indiana Maya dan Inca di Amerika Selatan zaman dahulu kala telah terkenal
memiliki peradaban yang tinggi, antara lain mereka telah mempunyai sistem angka atau
numerasi. Keistimewaan sistem ini dibandingkan dengan sistem-sistem lain adalah telah
adanya lambang nol. Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa Maya bentuknya
sangat aneh, berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Hal ini tentu dipengaruhi
oleh alat tulis yang dipakai, yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat), sehingga
dengan cara menusukkan tongkat ke tanah liat akan berbekas lingkaran atau dengan
meletakkan tingkat mereka sehingga berbekas garis.
Penulisan bilangan Maya ini ditemukan oleh Francisco de Cordoba pada tahun
1517 M di kota peninggalan mereka di Mexico, tepatnya di Jazirah Jucatan. Lambang-
8
lambang dari sistem numerasi ini adalah gabungan antara garis dan noktah. Untuk
bilangan-bilangan yang lebih besar dari 19 dipakai bilangan dasar 20. Untuk bilanganbilangan yang lebih besar lagi, dipakai bilangan dasar 18.20, 18.20 2, 18.203, ... 18.20n.
Posisi Digit
1
2
3
4
Sistem Posisi Bilangan Maya
Nilai Posisi Digit
Keterangan
200
1
Posisi satuan s.d. puluhan
18.201
360
Posisi puluhan s.d. ribuan
2
18.20
7200
Posisi ribuan s.d. puluh-ribuan
18.203
144000
Posisi puluh-ribuan s.d. ratus-ribuan
Seperti diuraikan diatas, tulisan Maya ini adalah gabungan antara noktah dan
garis, setiap satu noktah mempunyai nilai satu dan tiap satu garis mempunyai nilai lima.
Penulisan lambang suatu bilangan pada sistem angka maya ini dari atas kebawah,
dimulai dari koefisien pangkat tertinggi sampai koefisien pangkat terendah. Di bawah ini
adalah simbol bilangan suku maya.
Contoh penulisan:
2.2.3. Sistem Posisi Bilangan Babylonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan
oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan
peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan
Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan
Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus
Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
9
Bilangan Babylonia yang lebih dar 60 menggunakan sistem posisi dengan basis 60
digunakan sekitar 3000 – 2000 sebelum Masehi.
Sistem posisi bilangan Babylonia menggunakan basis 60. hal ini bukan berarti
mereka memiliki 60 simbol, akan tetapi mereka menggunakan basis 10 dulu terus ketika
sampai 60 mereka mengulang lagi simbolnya. Dalam Babylonia, untuk menuliskan
bilangan 1-59 mengunakan sistem pengelompokan sederhana (berbasis 10) dan untuk
bilangan >60 mengunakan sistem posisi.
Posisi Digit
1
2
3
4
600
601
602
603
Sistem Posisi Bilangan Babylonia
Nilai Posisi Digit
Keterangan
1
Posisi satuan s.d. puluhan
60
Posisi puluhan s.d. ribuan
3600
Posisi ribuan s.d. puluh-ribuan
216000
Posisi puluh-ribuan s.d. ratus-ribuan
Untuk simbol bilangannya sendiri sama seperti pada sistem pengelompokan
sederhana bilangan Babylonia. Tapi, perlu diperhatikan dalam sistem ini adalah
peletakan dan posisi simbol terhadap simbol lainnya.
Posisi pada setiap lambang bilangan tidak boleh diubah sebab akan
mempengaruhi nilai dari bilangan itu. Tulisan Babylonia ini disebut juga cunieform yang
biasa ditulis pada tanah liat dengan menggunakan ujung tongkat. Pada ujung tongkat itu
ditulis lambang bilangan-lambang bilangan yang diperlukan.
Daerah tempat sistem ini dipergunakan ialah disekitar sungai Eufrat dan Tigris (sekrang
dikenal dengan nama Irak). Sistem numerasi ini merupakan sistem bilangan aditif yang
dipadukan dengan sistem posisi (nilai tempat). Seperti terlihat pada contoh-contoh di
atas, simbol ▼ selain menunjukkan 1 juga dapat menunjukkan 60, 60 2, 603, ... 60n. Begitu
juga selain menujukkan 10, juga dapat menunjukkan 10.60, 10.60 2, 10.603, ... 10.60n
Oleh karena itu untuk menghidari kekeliruan dalam menafsirkan nilai dari
lambang-lambang tersebut biasanya digunakan tanda selang sebagai penanda posisi
puluhan dan ribuan. Dimana jika bilangan tanpa selang/spasi berarti tanda satuan
(▼▼▼▼ = 4 ( tanpa selang)). Jika berselang/spasi satu berarti bernilai puluhan (▼ —
▼▼▼ = 63 ( pakai selang satu )). Jika berselang/spasi 2 berarti ribuan (▼— — ▼▼▼
= 60² + 3 = 3603 ( pakai selang dua )). Akan tetapi, bagi penulis hal ini akan menjadi
ambigu jika untuk membedakan mana angka yang bernilai 60 dan 1 mengingat mereka
belum menemukan angka 0 dalam sistem bilangannya.
Berikut ini contoh penulisannya:
2.3. Sistem Pengelompokan Sederhana
Penulisan sistem penglompokan sederhana adalah mengelompok bilangan
menurut ukurang/nominal yang paling besar ke terkecil. Biasanya dalam penulisan
bilangan untuk memudahkan para ahli menguraikan bilangan tersebut ke basis 10
kemudian mulai menuliskan angkanya dengan simbol tertentu. Karena kebanyakan
10
perabadan pada masa ini belum mengenal angka nol sehingga mereka tidak memiliki
nilai nol dan menulisakan simbol 10 (baca: satu nol) dengan simbol lain untuk
menggambarkan nilainya tersebut. Ada beberapa bilangan yang menggunakan sistem
pengelompokan sederhana. Yakni: (a) Bilangan Hieroglyphic (Mesir Kuno); (b) Bilangan
Babylonia; (c) Bilangan Romawi; (d) Bilangan Attikan.
Penulisan bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana menggunakan
basis bilangan, misalnya basis b, maka simbol yang digunakan : 1, b, b 2, b3 dan
seterusnya. Nilai suatu bilangan merupakan penjumlahan nilai simbol – simbol yang
digunakan untuk bilangan tersebut.
2.3.1. Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Hieroglyphic (3000-1500 SM)
Bilangan Hieroglyphic berkembang di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum
masehi, bukti sejarah bilangan yang ditemukan pada tulisan-tulisan pada batu, dinding,
tembikar, plak kapur dan monument. Orang-orang Mesir menggunakan penomoran
tertulis yang diubah menjadi tulisan hieroglif, yang memungkinkan mereka untuk dicatat
sampai 1.000.000.
Contoh: untuk menyatakan nilai 1200 dan 46206 dapat ditulis dibawah ini:
1200= 1.103 + 2.102
1200= 1000 + 200
1000
dikelompokan
menjadi 1 simbol
200 dikelompokan
menjadi dua simbol
bernilai 100
46026= 4.104 + 6.103 + 2.102 + 6
= 40000 + 6000 + 200 + 6
Maka dalam bilangan mesir dapat ditulis:
40000
6000 dikelompokan
200 dikelompokan 6 dikelompokan
dikelompokan
menjadi 6 simbol
menjadi 2 simbol
menjadi enam
menjadi 4
bernilai 1000
bernilai 100
simbol bernilai
simbol 10000
satu
2.3.2. Bilangan Babylonia
Bilangan Babilonia ini digunakan sekitar tahun 2000 sampai 200 sebelum masehi
di kawasan mesopotamia (kini Iraq) yang ditulis di batu sebagai media berupa tablettablet tanah liat dan artefak.
11
Bilangan ini menggunaka basis 10 dan 60, artinya mereka hanya memiliki
sepuluh simbol utama tetapi jika hitungannya sudah mencapai nilai 59 maka simbol
untuk menyatakan 60 (baca: enam nol) maka mereka akan mengulang kembali
simbolnya. Perlu diingat, dalam penggunaannya jika bilangan kurang dari 59 maka
menggunakan sistem penulisan pengelompokan sederhana dan jika lebih dari 59 maka
menggunakan sistem posisi.
Contoh penggunaan bilangan:
25
= 2.10 + 5
52
20 dikelompokan
menjadi 2 simbol
bernilai sepuluh
= 5.10 + 2
5 dikelompokan
menjadi 5 simbol
bernilai satu
50 dikelompokan
menjadi 5 simbol
bernilai sepuluh
2 dikelompokan
menjadi 2 simbol
bernilai satu
2.3.3. Bilangan Attikan (Yunani Kuno)
Bilangan Attikan ini digunakan oleh bangsa Yunani sekitar abad ke-3 sebelum
masehi, dengan berdasarkan basis 10. Tulisan ini ditemukan didaerah reruntuhan Yunani
yang bernama Attic. Simbol-simbol yang mereka gunakan adalah sebagai berikut:
12
Simbol
Nilai
:
:
I
1
5
10
H
102
X
103
M
104
Kombinasi simbol 5 dengan simbol lain, maka nilai bilangan tersebut lima kali
bilangan yang d'kombinasikan, misalnya :
H = 500
X = 5000
Contoh penulisan:
2756 = 2. 103 + 7. 102 + 5.10 + 7
= XX H HH
II
2857 = 2.103 + 8.102 + 5.10 + 7
= ΧΧ Η ΗΗH
II
Dapat dihilat bahwa nilai 2000 disimbolkan oleh dua simbol X yang bernilai 1000 hal ini
juga berlaku pada bilangan lain dibelakangnya.
2.3.4. Bilangan Romawi
Sistem numerasi Romawi berkembang sekitar permulaan tahun 100 SM. Sampai
saat ini, lambang bilangan Romawi masih banyak digunakan dalam kehidupan seharihari. Sistem numerisasi Romawi yang sekarang ini merupakan modernisasi sistem adisi
dari sistemnya yang lama. Sistem ini bukan sistem yang mempunyai nilai tempat, kecuali
pada hal-hal tertentu yang sangat terbatas. Sistem ini juga tidak mempunyai nol. Tetapi
sistem Romawi yang seperti sekarang ini belum lama dikembangkannya. Lambang
bilangan yang digunakan dalam sistem Romawi sebagai berikut.
Sistem angka Romawi tidak mempunyai nilai tempat. Ketika beberapa lambang
dikombinasikan, lambang-lambang tersebut dapat ditulis bagian demi bagian. Ketika
suatu angka memuat dua lambang dasar, satu bilangan yang lebih kecil dari yang lain,
maka berlaku:
Penjumlahan, jika lambang pada bagian kanan menyatakan bilangan yang lebih
kecil.
Pengurangan, jika lambang pada bagian kiri menyatakan bilangan yang lebih kecil.
Ketika dua atau lebih lambang merupakan bilangan yang sama yang ditulis
bersama-sama, maka semua lambang menyatakan jumlah.
Contoh :
CX = 100 + 10 = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun, jadi dijumlahkan)
XC = 100 - 10 = 90 (dari kiri ke kanan nilainya naik, jadi dikurangkan)
Adapun aturan resmi penggunaan huruf yang lain adalah sebagai berikut:
Huruf pengurangan hanyalah pangkat sepuluh, seperti I, X, dan C.
Kurangkan hanya satu huruf dari sebuah angka tunggal.
Jangan mengurangkan huruf dari huruf yang besarnya lebih dari sepuluh kali.
Aturan yang berlaku, empat ditulis IV dan bukan IIII
13
Selama tahun pertengahan, angka Romawi N digunakan sebagai lambang “nullae”
yang menyatakan nol.
Untuk menuliskan bilangan-bilangan besar dipakai sistem perkalian yang
ditunjukan dengan tanda-tanda tertentu. Umpamanya sebuah strip (ruas garis) diatas
lambang bilangan tertentu menunjukan nilai yang sama dengan 1000 kali nilai bilangan
itu. Dua strip diatas sebuah lambang bilangan tertentu menunjukan nilai sejuta kali
bilangan itu.
Contoh :
X´ = 1000 x 10 = 10.000
´
= 1000 x 23 = 23.000
XXIII
´
XIV = 1.000.000 x 14 = 14.000.000
´
= 1.000.000 x 62 = 62.000.000
LXII
Contoh penulisan:
1944 = 1.103 + 9.102 + 4.10 + 4
= MDCCCCXXXXIIII
Sebagaimana diterangkan diatas tentang sistem penjumlahan dan pengurangan maka
dapat ditulis: 1944 = M C M X L I V
2.4. Sistem Pencirian
Sistem pencirian adalah penulisan bilangan dengan mencirikan bilangan dengan
simbol-simbol tertentu yang berbeda. Biasanya menggunakan abjad/alfabet untuk
menyirikan simbol bilangan tertentu. Sistem ini digunakan oleh bangsa Ionia di Yunani,
sehingga bisa di sebut juga bilangan Yunani Ionia. Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia
dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri
yang terdiri dari 27 huruf. Huruf-huruf itu mempunyai nilai sebagai berikut :
Untuk menyatakan ribuan diatas sembilan angka dasar pertama (dari α sampai θ)
dibubuhi tanda aksen (‘), sebagai contoh α’ = 1000, ε’ = 5000. Sedangkan kelipatan
10000 dinyatakan dengan menaruh angka yang bersangkutan diatas tanda М.
Contoh Penggunaan:
12
= 10 + 2
247
= 200 + 40 + 7
ιβ
σμζ
21
= 20 + 1
3567 = 3000 + 500 + 60 + 7
κα
τ‘ϕξζ
14
2.5. Sistem Perkalian
Sistem numerasi ini telah ada sejak tahun 200 SM. Bangsa Cina menuliskan
angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya
menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai nilai
seni tinggi. Sistem angka Cina-Jepang disebut dengan sistem “batang”, mempunyai nilai
tempat, berkembang sekitar 213 SM.
Angka tradisional Cina-Jepang menggunakan pengelempokan dengan bilangan
dasar 10. Disamping itu sistem angka ini juga mempunyai sistem pengelompokan
perkalian (multiplikatif), maksudnya adalah sebagai berikut:
Andaikan telah ditentukan lambang-lambang bilangan dasar dari 1 sampai 9,
sedangkan bilangan 10, 102, 103, ... dimisalkan mempunyai lambang berturut-turut a, b,
c, ... maka bilangan Cina-Jepang 7584 ditulis 7c5b8a4, jadi setiap lambang a, b, c dan
seterusnya dikalikan dengan koefisiennya dan tidak ditulis berulang-ulang. Keunikannya
angka yang ditulis dalam angka Cina-Jepang itu ditulis dari atas kebawah. Lambanglambang bilangan Cina-Jepang itu adalah sebagai berikut:
Bilangan Cina-Jepang tradisional ditulis
secara vertikal, misalnya :
93 = 9.10 +3
93 = 九
十
三
5625 = 5.103 + 6.102+ 2.10 + 5
5625 =
5
103
6
102
2
10
5
五
千
六
百
二
十
五
BAB 3: Penutupan
3.1. Kesimpulan
Bangsa-bangsa di dunina (Mesir Kuno, Babylonia, Cina, Yunani, Romawi, dan
India, dll) telah memberi kontribusi besar bagi penemuan angka-angka dan bilanganbilangan. Penemuan itu terjadi karena kebutuhan masyarakat tersebut yang mendesak
untuk suatu sistem bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan segala perhitungan
berkaitan dengan aktivitas sehari-hari dapat dikatakan bahwa kemudian telah menjadi
dasar untuk membuat sistem bilangan yang dikenal sekarang baik dengan sistem
bilangan Arab maupun dengan sistem bilangan Arab atau latin.
Peradaban dari bangsa-bangsa itu selain memiliki beragam simbol untuk
mendefinisikan suatu angka atau bilangan tertentu juga memiliki beragam cara penulisan
bilangan, mulai dari sistem yang peling sederhana yaitu sistem tally/ijar sampai dengan
sistem penulisan modern dengan sistem posisi yang kita gunakan sekarang ini.
Sistem tally/ijar merupakan sistem penulisan yang paling sederhana yang
diketahui saat ini, sistem ini berkembang pada masa prasejarah di mana mereka hanya
menggunakan simbol garis tegak untuk menyimbolkan bilanganmya. Kemudian, ada
sistem posisi, sistem ini banyak digunakan oleh bilangan bangsa Babylonia di
Mesopotamia, bilangan bangsa Maya di Amerika, dan bilangan Hindu-Arab yang
meupakan bilangan modern yang sedang kita gunakan dan hampir diseluruh dunia.
Sistem posisi ini melambangkan bahwa suatu simbol dapat menempati posisi satuan,
puluhan, ribuan, dst.
Sistem pengelompokan sederhana merupakan sistem penulisan dengan
mengelompokan simbol-simbol tertentu untuk menyatakan nilai satuan, puluhan,
ratusan dan ribuan. Sistem penulisan seperti ini banyak dipakai oleh bilangan
Hieroglyphic di peradaban Mesir kuno, bilangan Babylonia, bilangan Romawi, dan
bilangan Yunani Attikan. Kenudian, ada sistem pencirian, sistem penulisan ini mencirikan
simbol-simbolnya menjadi nilai satuan, puluhan, ratusan, dan ribuan, sistem penulisan
ini banyak dipakai oleh bangsa Ionia di Yunani. Lalu, ada sistem perkalian, sistem
penulisan seperti ini mengalikan nilai (simbol) tertentu dengan yang lainnya untuk
menyatakan satuan, puluhan, ratusan dan ribuan.
3.2. Saran
Sistem penulisan bilangan memiliki sejarah yang sangat panjang selama
bertahun-tahun dan berabad-abad, di sini kita mengetahui banyak sistem penulisan
bilangan dan sejarahnya, dimulai dari sistem penulisan sederhana sampai yang paling
kompleks. Diharapkan para pembaca dapat lebih menghargai sejarah dan kaitannya
dalam sejarah matematika ini.
Daftar Pustaka:
Zakapedia.
Sistem
Perkembangan
Bilangan.
http://www.zakapedia.com/2013/02/sejarah-bilangan-danperkembangannya.html [diakses: 26 Febuari 2015]
Tersedia:
Sejati, Tira Septiani. dkk. 2014. Makalah ‘Sistem Numerasi’. Tersedia:
[diakses: 28 Febuari 2015]
Aritia, Fahni Desy. dkk (Kel.1 Pendidikan Matematika Universitas Lambung
Mangkurat
Banjarmasin).
2011.
Tersedia:
http://sharingposting.blogspot.com/2012/05/makalah-sejarah-matematika.html
[diakses: 26 Febuari 2015]
Wisnu.
Tersedia:
https://www.zenius.net/blog/6964/sistem-bilangan-basis
[diakses: 26 Febuari 2015]
—.2012. Perkembangan bilangan dan lambangannya program pasca sarjana
pendidikan matematika universitas Haluoleo Kendari. Tersedia:
[diakses:
H.I.Z. Mutaqin. - . Tersedia:hiqzalmathematic.blogspot.com [diakses: 28 Febuari
2015]
Slideshare. Tersedia: http://slideshare.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Academia. Tersedia: http://academia.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Google. Tersedia: http://google.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Wikipedia: Tersedia: http://id.wikipedia.org/Sistem_Penulisan
[diakses: 26 Febuari 2015]
_Bilangan
Makalah
Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Sejarah Matematika
Oleh Kelompok 1:
Herry Nazmudinnur (1441172105022)
Ratna Wulansari (1441172105012)
Winarsih (1441172105099)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
2015/2016
Kata Pengantar
Puji syukur marilah kita panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah
memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan
tugas makalah ini.
Dalam makalah ini, kami akan membahas tentang sistem penulisan
bilangan, dan makalah ini di susun untuk memenuhi salah satu syarat
pembelajaran Sejarah Matematika di Universitas Negeri Singaperbangsa
Karawang. Di sini kami mengucapkan terima kasih kepada dosen bidang studi
yang telah memberikan kesempatan. Dengan harapan dapat menambah
wawasan serta pengetahuan, sehingga dapat bermanfaat untuk hidup kita
sebagai bangsa Indonesia.
Dalam penyusunan makalah ini, kami menyadari bahwa masih terdapat
kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari
para pembaca guna perbaikan dalam penyusunan makalah selanjutnya.
Akhirnya, kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi
semua pihak.
Karawang, Maret 2015
Penyusun
Daftar Isi
Halaman Judul ...........................................................................................................
i
Kata Pengantar...........................................................................................................
ii
Daftar Isi.....................................................................................................................
iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang........................................................................................................
1
B. Batasan Masalah....................................................................................................
1
C. Tujuan.....................................................................................................................
1
D. Manfaat..................................................................................................................
1
E. Metode Penelitian..................................................................................................
1
BAB II PEMBAHASAN
A. Tinjauan Pustaka....................................................................................................
2
B. Pembahasan Materi...............................................................................................
2
1.Pengertian
Bilangan
...............................................................................................................................
2
2.Sistem
Penulisan
Bilangan
...............................................................................................................................
3
2.1.
Sistem
Tally/Ijar
.............................................................................................................................
3
2.2.
Sistem
Posisi
.............................................................................................................................
3
2.2.1.
Sistem
Posisi
Bilangan
Hindu-Arab
......................................................................................................................
4
2.2.2.
Sistem
Posisi
Bilangan
Maya
......................................................................................................................
4
2.2.3.
Sistem
Posisi
Bilangan
Babylonia
......................................................................................................................
5
2.3
Sistem
Pengelompokan
Sederhana
3
.............................................................................................................................
7
2.3.1 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Hieroglyphic
......................................................................................................................
7
2.3.2 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Babylonia
......................................................................................................................
8
2.3.3. Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Attikan
......................................................................................................................
9
2.3.4 Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Romawi
......................................................................................................................
9
2.4.
Sistem
Pencirian
.............................................................................................................................
10
2.5
Sistem
Perkalian
.............................................................................................................................
11
BAB III: PENUTUPan
3.1.
Kesimpulan
.............................................................................................................................
12
3.2.
Saran
.............................................................................................................................
12
Daftar Pustaka............................................................................................................
13
BAB 1: PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Sejak zaman purbakala, tidak dapat dipungkiri lagi bahwa pendidikan
matematika sangat diperlukan dan telah menyatu dalam kehidupan manusia dan
merupakan kebutuhan dasar dari setiap lapisan masyarakat, dalam pergaulan hidup
4
sehari-hari. Mereka membutuhkan matematika untuk perhitungan sederhana. Untuk
keperluan tersebut diperlukan bilangan-bilangan. Keperluan bilangan mula-mula
sederhana tetapi makin lama makin meningkat, sehingga manusia perlu
mengembangkan sistem numerasi. Sistem numerasi pun berkembang selama berabadabad dari masa ke masa hingga saat ini.
Dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu yang namanya bilangan
karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi,ataupun dalam
dunia musik, filosofi, dan hiburan serta aspek kehidupan lainnya. Adanya bilangan
membantu manusia untuk melakukan banyak perhitungan, mulai dari perhitungan
sederhana tentang keperluan belanja di dapur, untuk keperluan mengendalikan banjir,
mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi, penghitungan hasil pertanian dan
peternakan sampai perhitungan yang rumit tentang cara menilai kegiatan perdagangan,
keuangan dan pemungutan pajak dan keperluan peluncuran pesawat ruang angkasa dll
yang mana masing-masing bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan
bilangan dalam bentuk simbol.
1.2. Batasan Masalah
Dalam penyusunan makalah ini penulis membatasi permasalahan yang ada agar
dalam penjelasannya lebih terfokus dan terarah, adapun batasan masalah yang ada
terfokus kepada (atau membahan kepada) sistem penulisan bilangan bulat positif
menurut sistem bilangan yang ada di beberapa daerah dan peradaban dunia.
1.3. Rumusan Masalah
1.3.1. Bagaimana definisi bilangan?
1.3.2. Bagaimana sistem penulisan dengan pengelompokan sederhana?
1.3.3. Bagaimana sistem penulisan dengan perkalian?
1.3.4. Bagaimana sistem penulisan dengan pencirian?
1.3.5. Bagaimana sistem penulisan dengan posisi?
1.4. Tujuan
1.4.1. Menjelaskan definisi bilangan.
1.4.2. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan pengelompokan sederhana.
1.4.3. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan perkalian.
1.4.4. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan pencirian.
1.4.5. Menjelaskan bagaimana sistem penulisan dengan posisi.
1.5. Manfaat
Pembaca dapat mengetahui definisi dari bilangan, bagaimana sejarah dalam
penulisan bilangan, macam-macam sistem penulisan bilangan.
1.6. Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam pembuatan tugas makalah ini adalah dengan
Metode searching (mencari data di internet).
BAB 2 : PEMBAHASAN
A. Tinjauan Pustaka.
Bilangan sejak pertamakali digunakan hanyalah untuk menghitung dan
mengingat jumlah. Lambat laun, setelah para ahli matematika menambah
perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan,
bahasa matematika ini menjadi sesuatu yang penting dalam setiap perubahan
5
kehidupan. Bilangan selalu hadir dan dibutuhkan dalam sains, teknologi, dan ekonomi
bahkan dalam dunia musik, filosofi, dan hiburan.
Dahulu kala, ketika orang primitif hidup di gua-gua dengan mengandalkan
makanannya dari tanaman dan pepohonan di sekitar gua atau berburu untuk sekali
makan, kehadiran bilangan, hitung-menghitung, atau matematika tidaklah selalu
dibutuhkan. Tetapi, setelah mereka mulai hidup untuk persediaan makanan, mereka
harus menghitung berapa banyak ternak miliknya dan milik tetangganya atau berapa
banyak persediaan makanan saat ini, mulailah mereka membutuhkan dan menggunakan
hitung menghitung.
Pada awalnya cukuplah menggunakan konsep lebih sedikit dan lebih banyak
untuk melakukan perhitungan. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupukupu yang berbeda, mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua
kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi, kepastian jumlah tentang milik seseorang atau
milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan
sederhana.
Mula-mula, kita manusia menggunakan kerikil, menggunakan simpul pada tali,
menggunakan jari-jemari, atau memakai ranting untuk menyatakan banyak hewan dan
kawanannya atau anggoata keluarga yang tinggal bersamanya. Inilah dasar pemahaman
tentang konsep bilangan. Ketika seseorang berpikir tentang bilangan dua, maka dalam
benaknya telah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak dua buah. Misalnya,
terdapat dua katak dan dua kepiting, dan selanjutnya kata "dua" dilambangkan dengan
"2".
Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting, atau jari
dirasakan tidak cukup praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggambarkan
bilangan itu dalam suatu lambang-lambang. Lambang (simbol) untuk menulis sebuah
bilangan disebut angka. Misalnya, orang Babilonia mengembangkan tulisan kuno
berbentuk baji, yang menggambarkan lambang-lambang berbeda, menyerupai tongkat
yang ujungnya tajam pada tanah liat basah yang dibentuk menjadi bata merah.
B. Pembahasan Materi.
1. Pengertian Bilangan
Dalam penggunaan sehari-hari, bilangan dan angka sering kali dianggap sebagai
dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang
berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan
dan pengukuran. Simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan
disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Contohnya bilangan lima dapat
dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang “5” dan
“V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi,
sebanarnya benda apakah yang biasa kita sebut dengan bilangan itu? Setiap bilangan,
misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1 sesungguhnya adalah konsep
abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal.
Misalnya, tulisan atau ketikan 1, yang anda lihat di kertas dan sedang anda baca saat ini
bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh
indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda.
Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat
bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan
1.
2. Sitem Penulisan Bilangan
6
Konsep bilangan memiliki sejarah yang amat panjang (hingga sampai pada kita
sekarang). Dahulu setiap bangsa dan peradaban di dunia memiliki konsep bilangan dan
penulisan bilangannya sendiri-sendiri (tidak seragam seperti sekarang).
sistem penulisan bilangan yang dideskripsikan dengan lambang bilangan (angka)
yang didasarkan pada basis (b) atau dasar tertentu. Jika penulisan bilangan melebihi dari
b maka penulisannya menggunakan kombinasi dari simbol”.
Menurut beberapa cacatan sejarah, sejak dahulu penulisan bilangan
menggunakan bilangan basis (dasar), dari kebanyakan peradaban, basis 10 banyak
digunakan dalam sistem penulisan bilangan ini (hal ini mungkin terilhami oleh jari
manusia yang berjumlah sepuluh). Akan tetapi, ada juga beberapa peradaban yang
menggunakan selain basis 10 seperti bangsa Babylonia yang menggunaka basis 60 dan
Suku Maya yang menggunaka basis 20.
Ada beberapa ciri yang umum dari basis 10 diantaranya:
Hanya punya sepuluh simbol
Tidak ada satu simbol yang mewakili bilangan sepuluh
Sepuluh itu gabungan 1 dan 0, jadi 10.
2.1. Sistem Tally/Ijir
Proses perhitungan telah dikenal lama sejak zaman prasejarah, walaupun masih
sangat sederhana. Prinsip yang mereka pergunakan adalah dengan memakai sistem
korespondensi1-1. misalnya dalam menghitung ternak mereka, mereka memakai satu
coretan (garis) untuk satu ekor. Biasa juga mereka memakai jari-jari tangan atau kaki
karena jari-jari terbatas jumlahnya, maka untuk jumlah yang lebih besar mereka
memakai batu-batu kerikil atau potongan-potongan kayu denganmembuat goresangoresan di dinding atau dengan membuat simpul-simpul pada seutas tali.
Ilustrasi:
a. Bila seseorang mempunyai empat ekor kambing maka dia akan menyusun tongkat
(goresan) sebanyak empat buah, yaitu : ││││
b. Ayam kepunyaan ayah 3 ekor digabungkan dengan ayam anaknya 4 ekor, jadi
jumlahnya │││ + ││││ = │││││││
Untuk memudahkan perhitungan, maka setiap 5 tongkat (goresan)
dikelompokkan menjadi satu kelompok yang ditulis dengan ││││ dan disebut satu ikat.
Jadi
dalam
contoh
di
atas
:
Ayam ayah + ayam anak = │││││││ = ││││ ││. Walaupun cara ini primitif dan sederhana
namun sampai sekarang masih banyak dipergunakan, umpamanya dalam penyusunan
data untuk pembuatan tabel distribusi frekwensi dalam statistika.
2.2. Sistem Posisi
Bilangan dengan sistem posisi atau dasar tempat juga menggunakan basis
bilangan. Jika bilangan berbasis b, maka simbol-simbol yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, .
. . , ( b -1 ). Suatu bilangan N dengan basis b dapat dinyatakan dengan :
N = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 + . . . + a 2 b2 + a1 b + a0 dimana : 0 ≤ ai < b ; i = 0, 1, 2, 3, . . , n
sehingga bilangan N ditulis dengan urutan simbol : a n an-1 an-2 . . . a2 a1 a0
Ada beberapa bilangan yang mengunaka sistem posisi, diantaranya: (a) bilangan HinduArab; (b) bilangan Maya; (c) bilangan Babylonia.
2.2.1. Sistem Posisi Bilangan Hindu-Arab
Sistem Hindu-Arab berasal dari India sekitar 300 SM dan mengalami banyak
perubahan yang dipengaruhi oleh penggunaannya di Babilonia dan Yunani. Baru sekitar
tahun 750 M sistem Hindu-Arab berkembang di Bagdad. Bukti sejarah hal ini tertulis
7
dalam buku karangan matematisi arab yang bernama Al-Khawarizmi yang berjudul Liber
Algorismi De Numero Indorum.
Menurut sejarahnya, sistem ini belum menggunakan nilai tempat dan belum
mempunyai lambang nol. Mereka mulai menggunakan sistem nilai tempat diperkirakan
terjadi pada tahun 500 M. Sistem numerasi Hindu-Arab menggunakan sistem nilai
tempat dengan basis 10 yang dipengaruhi oleh banyaknya jari tangan, yaitu 10. Berasal
dari bahasa latin decem yang artinya sepuluh, maka sistem numerasi ini sering disebut
sebagai sistem desimal. Tidak diketahui pastinya kapan dan di mana dimulainya lambang
nol digunakan, hanya ada beberapa dugaan bahwa lambang nol ini berasal dari
Babylonia lewat Yunani. Sistem numerasi Hindu-Arab yang kita kenal sekarang adalah
berasal dari numerasi Arab Timur yang telah berbeda dari asalnya.
Angka Hindu-Arab merupakan angka yang berbasis 10 yang memiliki sepuluh
simbol untuk menyatakan bilangannya. Angka ini merupakan perpaduan dan modifikasi
dari daratan arab dan india, kemudian menyebar ke daratan eropa dan akhirnya
keseluruh dunia. Bilangan Hindu-Arab mempunyai simbol: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Posisi Digit
1
2
3
4
5
Sistem Posisi Bilangan Hindu-Arab
Nilai Posisi Digit
100
1
1
10
10
102
100
103
1000
104
10000
Keterangan
Posisi satuan
Posisi puluhan
Posisi ratusan
Posisi ribuan
Posisi puluh-ribuan
Ilustrasi:
2.2.2. Sistem Posisi Bilangan Maya
Suku Indiana Maya dan Inca di Amerika Selatan zaman dahulu kala telah terkenal
memiliki peradaban yang tinggi, antara lain mereka telah mempunyai sistem angka atau
numerasi. Keistimewaan sistem ini dibandingkan dengan sistem-sistem lain adalah telah
adanya lambang nol. Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa Maya bentuknya
sangat aneh, berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Hal ini tentu dipengaruhi
oleh alat tulis yang dipakai, yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat), sehingga
dengan cara menusukkan tongkat ke tanah liat akan berbekas lingkaran atau dengan
meletakkan tingkat mereka sehingga berbekas garis.
Penulisan bilangan Maya ini ditemukan oleh Francisco de Cordoba pada tahun
1517 M di kota peninggalan mereka di Mexico, tepatnya di Jazirah Jucatan. Lambang-
8
lambang dari sistem numerasi ini adalah gabungan antara garis dan noktah. Untuk
bilangan-bilangan yang lebih besar dari 19 dipakai bilangan dasar 20. Untuk bilanganbilangan yang lebih besar lagi, dipakai bilangan dasar 18.20, 18.20 2, 18.203, ... 18.20n.
Posisi Digit
1
2
3
4
Sistem Posisi Bilangan Maya
Nilai Posisi Digit
Keterangan
200
1
Posisi satuan s.d. puluhan
18.201
360
Posisi puluhan s.d. ribuan
2
18.20
7200
Posisi ribuan s.d. puluh-ribuan
18.203
144000
Posisi puluh-ribuan s.d. ratus-ribuan
Seperti diuraikan diatas, tulisan Maya ini adalah gabungan antara noktah dan
garis, setiap satu noktah mempunyai nilai satu dan tiap satu garis mempunyai nilai lima.
Penulisan lambang suatu bilangan pada sistem angka maya ini dari atas kebawah,
dimulai dari koefisien pangkat tertinggi sampai koefisien pangkat terendah. Di bawah ini
adalah simbol bilangan suku maya.
Contoh penulisan:
2.2.3. Sistem Posisi Bilangan Babylonia
Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan
oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan
peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan
Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika
Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan
Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus
Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
9
Bilangan Babylonia yang lebih dar 60 menggunakan sistem posisi dengan basis 60
digunakan sekitar 3000 – 2000 sebelum Masehi.
Sistem posisi bilangan Babylonia menggunakan basis 60. hal ini bukan berarti
mereka memiliki 60 simbol, akan tetapi mereka menggunakan basis 10 dulu terus ketika
sampai 60 mereka mengulang lagi simbolnya. Dalam Babylonia, untuk menuliskan
bilangan 1-59 mengunakan sistem pengelompokan sederhana (berbasis 10) dan untuk
bilangan >60 mengunakan sistem posisi.
Posisi Digit
1
2
3
4
600
601
602
603
Sistem Posisi Bilangan Babylonia
Nilai Posisi Digit
Keterangan
1
Posisi satuan s.d. puluhan
60
Posisi puluhan s.d. ribuan
3600
Posisi ribuan s.d. puluh-ribuan
216000
Posisi puluh-ribuan s.d. ratus-ribuan
Untuk simbol bilangannya sendiri sama seperti pada sistem pengelompokan
sederhana bilangan Babylonia. Tapi, perlu diperhatikan dalam sistem ini adalah
peletakan dan posisi simbol terhadap simbol lainnya.
Posisi pada setiap lambang bilangan tidak boleh diubah sebab akan
mempengaruhi nilai dari bilangan itu. Tulisan Babylonia ini disebut juga cunieform yang
biasa ditulis pada tanah liat dengan menggunakan ujung tongkat. Pada ujung tongkat itu
ditulis lambang bilangan-lambang bilangan yang diperlukan.
Daerah tempat sistem ini dipergunakan ialah disekitar sungai Eufrat dan Tigris (sekrang
dikenal dengan nama Irak). Sistem numerasi ini merupakan sistem bilangan aditif yang
dipadukan dengan sistem posisi (nilai tempat). Seperti terlihat pada contoh-contoh di
atas, simbol ▼ selain menunjukkan 1 juga dapat menunjukkan 60, 60 2, 603, ... 60n. Begitu
juga selain menujukkan 10, juga dapat menunjukkan 10.60, 10.60 2, 10.603, ... 10.60n
Oleh karena itu untuk menghidari kekeliruan dalam menafsirkan nilai dari
lambang-lambang tersebut biasanya digunakan tanda selang sebagai penanda posisi
puluhan dan ribuan. Dimana jika bilangan tanpa selang/spasi berarti tanda satuan
(▼▼▼▼ = 4 ( tanpa selang)). Jika berselang/spasi satu berarti bernilai puluhan (▼ —
▼▼▼ = 63 ( pakai selang satu )). Jika berselang/spasi 2 berarti ribuan (▼— — ▼▼▼
= 60² + 3 = 3603 ( pakai selang dua )). Akan tetapi, bagi penulis hal ini akan menjadi
ambigu jika untuk membedakan mana angka yang bernilai 60 dan 1 mengingat mereka
belum menemukan angka 0 dalam sistem bilangannya.
Berikut ini contoh penulisannya:
2.3. Sistem Pengelompokan Sederhana
Penulisan sistem penglompokan sederhana adalah mengelompok bilangan
menurut ukurang/nominal yang paling besar ke terkecil. Biasanya dalam penulisan
bilangan untuk memudahkan para ahli menguraikan bilangan tersebut ke basis 10
kemudian mulai menuliskan angkanya dengan simbol tertentu. Karena kebanyakan
10
perabadan pada masa ini belum mengenal angka nol sehingga mereka tidak memiliki
nilai nol dan menulisakan simbol 10 (baca: satu nol) dengan simbol lain untuk
menggambarkan nilainya tersebut. Ada beberapa bilangan yang menggunakan sistem
pengelompokan sederhana. Yakni: (a) Bilangan Hieroglyphic (Mesir Kuno); (b) Bilangan
Babylonia; (c) Bilangan Romawi; (d) Bilangan Attikan.
Penulisan bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana menggunakan
basis bilangan, misalnya basis b, maka simbol yang digunakan : 1, b, b 2, b3 dan
seterusnya. Nilai suatu bilangan merupakan penjumlahan nilai simbol – simbol yang
digunakan untuk bilangan tersebut.
2.3.1. Sistem Pengelompokan Sederhana Bilangan Hieroglyphic (3000-1500 SM)
Bilangan Hieroglyphic berkembang di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum
masehi, bukti sejarah bilangan yang ditemukan pada tulisan-tulisan pada batu, dinding,
tembikar, plak kapur dan monument. Orang-orang Mesir menggunakan penomoran
tertulis yang diubah menjadi tulisan hieroglif, yang memungkinkan mereka untuk dicatat
sampai 1.000.000.
Contoh: untuk menyatakan nilai 1200 dan 46206 dapat ditulis dibawah ini:
1200= 1.103 + 2.102
1200= 1000 + 200
1000
dikelompokan
menjadi 1 simbol
200 dikelompokan
menjadi dua simbol
bernilai 100
46026= 4.104 + 6.103 + 2.102 + 6
= 40000 + 6000 + 200 + 6
Maka dalam bilangan mesir dapat ditulis:
40000
6000 dikelompokan
200 dikelompokan 6 dikelompokan
dikelompokan
menjadi 6 simbol
menjadi 2 simbol
menjadi enam
menjadi 4
bernilai 1000
bernilai 100
simbol bernilai
simbol 10000
satu
2.3.2. Bilangan Babylonia
Bilangan Babilonia ini digunakan sekitar tahun 2000 sampai 200 sebelum masehi
di kawasan mesopotamia (kini Iraq) yang ditulis di batu sebagai media berupa tablettablet tanah liat dan artefak.
11
Bilangan ini menggunaka basis 10 dan 60, artinya mereka hanya memiliki
sepuluh simbol utama tetapi jika hitungannya sudah mencapai nilai 59 maka simbol
untuk menyatakan 60 (baca: enam nol) maka mereka akan mengulang kembali
simbolnya. Perlu diingat, dalam penggunaannya jika bilangan kurang dari 59 maka
menggunakan sistem penulisan pengelompokan sederhana dan jika lebih dari 59 maka
menggunakan sistem posisi.
Contoh penggunaan bilangan:
25
= 2.10 + 5
52
20 dikelompokan
menjadi 2 simbol
bernilai sepuluh
= 5.10 + 2
5 dikelompokan
menjadi 5 simbol
bernilai satu
50 dikelompokan
menjadi 5 simbol
bernilai sepuluh
2 dikelompokan
menjadi 2 simbol
bernilai satu
2.3.3. Bilangan Attikan (Yunani Kuno)
Bilangan Attikan ini digunakan oleh bangsa Yunani sekitar abad ke-3 sebelum
masehi, dengan berdasarkan basis 10. Tulisan ini ditemukan didaerah reruntuhan Yunani
yang bernama Attic. Simbol-simbol yang mereka gunakan adalah sebagai berikut:
12
Simbol
Nilai
:
:
I
1
5
10
H
102
X
103
M
104
Kombinasi simbol 5 dengan simbol lain, maka nilai bilangan tersebut lima kali
bilangan yang d'kombinasikan, misalnya :
H = 500
X = 5000
Contoh penulisan:
2756 = 2. 103 + 7. 102 + 5.10 + 7
= XX H HH
II
2857 = 2.103 + 8.102 + 5.10 + 7
= ΧΧ Η ΗΗH
II
Dapat dihilat bahwa nilai 2000 disimbolkan oleh dua simbol X yang bernilai 1000 hal ini
juga berlaku pada bilangan lain dibelakangnya.
2.3.4. Bilangan Romawi
Sistem numerasi Romawi berkembang sekitar permulaan tahun 100 SM. Sampai
saat ini, lambang bilangan Romawi masih banyak digunakan dalam kehidupan seharihari. Sistem numerisasi Romawi yang sekarang ini merupakan modernisasi sistem adisi
dari sistemnya yang lama. Sistem ini bukan sistem yang mempunyai nilai tempat, kecuali
pada hal-hal tertentu yang sangat terbatas. Sistem ini juga tidak mempunyai nol. Tetapi
sistem Romawi yang seperti sekarang ini belum lama dikembangkannya. Lambang
bilangan yang digunakan dalam sistem Romawi sebagai berikut.
Sistem angka Romawi tidak mempunyai nilai tempat. Ketika beberapa lambang
dikombinasikan, lambang-lambang tersebut dapat ditulis bagian demi bagian. Ketika
suatu angka memuat dua lambang dasar, satu bilangan yang lebih kecil dari yang lain,
maka berlaku:
Penjumlahan, jika lambang pada bagian kanan menyatakan bilangan yang lebih
kecil.
Pengurangan, jika lambang pada bagian kiri menyatakan bilangan yang lebih kecil.
Ketika dua atau lebih lambang merupakan bilangan yang sama yang ditulis
bersama-sama, maka semua lambang menyatakan jumlah.
Contoh :
CX = 100 + 10 = 110 (dari kiri ke kanan nilainya menurun, jadi dijumlahkan)
XC = 100 - 10 = 90 (dari kiri ke kanan nilainya naik, jadi dikurangkan)
Adapun aturan resmi penggunaan huruf yang lain adalah sebagai berikut:
Huruf pengurangan hanyalah pangkat sepuluh, seperti I, X, dan C.
Kurangkan hanya satu huruf dari sebuah angka tunggal.
Jangan mengurangkan huruf dari huruf yang besarnya lebih dari sepuluh kali.
Aturan yang berlaku, empat ditulis IV dan bukan IIII
13
Selama tahun pertengahan, angka Romawi N digunakan sebagai lambang “nullae”
yang menyatakan nol.
Untuk menuliskan bilangan-bilangan besar dipakai sistem perkalian yang
ditunjukan dengan tanda-tanda tertentu. Umpamanya sebuah strip (ruas garis) diatas
lambang bilangan tertentu menunjukan nilai yang sama dengan 1000 kali nilai bilangan
itu. Dua strip diatas sebuah lambang bilangan tertentu menunjukan nilai sejuta kali
bilangan itu.
Contoh :
X´ = 1000 x 10 = 10.000
´
= 1000 x 23 = 23.000
XXIII
´
XIV = 1.000.000 x 14 = 14.000.000
´
= 1.000.000 x 62 = 62.000.000
LXII
Contoh penulisan:
1944 = 1.103 + 9.102 + 4.10 + 4
= MDCCCCXXXXIIII
Sebagaimana diterangkan diatas tentang sistem penjumlahan dan pengurangan maka
dapat ditulis: 1944 = M C M X L I V
2.4. Sistem Pencirian
Sistem pencirian adalah penulisan bilangan dengan mencirikan bilangan dengan
simbol-simbol tertentu yang berbeda. Biasanya menggunakan abjad/alfabet untuk
menyirikan simbol bilangan tertentu. Sistem ini digunakan oleh bangsa Ionia di Yunani,
sehingga bisa di sebut juga bilangan Yunani Ionia. Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia
dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri
yang terdiri dari 27 huruf. Huruf-huruf itu mempunyai nilai sebagai berikut :
Untuk menyatakan ribuan diatas sembilan angka dasar pertama (dari α sampai θ)
dibubuhi tanda aksen (‘), sebagai contoh α’ = 1000, ε’ = 5000. Sedangkan kelipatan
10000 dinyatakan dengan menaruh angka yang bersangkutan diatas tanda М.
Contoh Penggunaan:
12
= 10 + 2
247
= 200 + 40 + 7
ιβ
σμζ
21
= 20 + 1
3567 = 3000 + 500 + 60 + 7
κα
τ‘ϕξζ
14
2.5. Sistem Perkalian
Sistem numerasi ini telah ada sejak tahun 200 SM. Bangsa Cina menuliskan
angka-angkanya menggunakan alat tulis yang dinamakan pit dimana bentuknya
menyerupai kuas. Tulisannya berbentuk gambar atau piktografi yang mempunyai nilai
seni tinggi. Sistem angka Cina-Jepang disebut dengan sistem “batang”, mempunyai nilai
tempat, berkembang sekitar 213 SM.
Angka tradisional Cina-Jepang menggunakan pengelempokan dengan bilangan
dasar 10. Disamping itu sistem angka ini juga mempunyai sistem pengelompokan
perkalian (multiplikatif), maksudnya adalah sebagai berikut:
Andaikan telah ditentukan lambang-lambang bilangan dasar dari 1 sampai 9,
sedangkan bilangan 10, 102, 103, ... dimisalkan mempunyai lambang berturut-turut a, b,
c, ... maka bilangan Cina-Jepang 7584 ditulis 7c5b8a4, jadi setiap lambang a, b, c dan
seterusnya dikalikan dengan koefisiennya dan tidak ditulis berulang-ulang. Keunikannya
angka yang ditulis dalam angka Cina-Jepang itu ditulis dari atas kebawah. Lambanglambang bilangan Cina-Jepang itu adalah sebagai berikut:
Bilangan Cina-Jepang tradisional ditulis
secara vertikal, misalnya :
93 = 9.10 +3
93 = 九
十
三
5625 = 5.103 + 6.102+ 2.10 + 5
5625 =
5
103
6
102
2
10
5
五
千
六
百
二
十
五
BAB 3: Penutupan
3.1. Kesimpulan
Bangsa-bangsa di dunina (Mesir Kuno, Babylonia, Cina, Yunani, Romawi, dan
India, dll) telah memberi kontribusi besar bagi penemuan angka-angka dan bilanganbilangan. Penemuan itu terjadi karena kebutuhan masyarakat tersebut yang mendesak
untuk suatu sistem bilangan yang dapat digunakan untuk melakukan segala perhitungan
berkaitan dengan aktivitas sehari-hari dapat dikatakan bahwa kemudian telah menjadi
dasar untuk membuat sistem bilangan yang dikenal sekarang baik dengan sistem
bilangan Arab maupun dengan sistem bilangan Arab atau latin.
Peradaban dari bangsa-bangsa itu selain memiliki beragam simbol untuk
mendefinisikan suatu angka atau bilangan tertentu juga memiliki beragam cara penulisan
bilangan, mulai dari sistem yang peling sederhana yaitu sistem tally/ijar sampai dengan
sistem penulisan modern dengan sistem posisi yang kita gunakan sekarang ini.
Sistem tally/ijar merupakan sistem penulisan yang paling sederhana yang
diketahui saat ini, sistem ini berkembang pada masa prasejarah di mana mereka hanya
menggunakan simbol garis tegak untuk menyimbolkan bilanganmya. Kemudian, ada
sistem posisi, sistem ini banyak digunakan oleh bilangan bangsa Babylonia di
Mesopotamia, bilangan bangsa Maya di Amerika, dan bilangan Hindu-Arab yang
meupakan bilangan modern yang sedang kita gunakan dan hampir diseluruh dunia.
Sistem posisi ini melambangkan bahwa suatu simbol dapat menempati posisi satuan,
puluhan, ribuan, dst.
Sistem pengelompokan sederhana merupakan sistem penulisan dengan
mengelompokan simbol-simbol tertentu untuk menyatakan nilai satuan, puluhan,
ratusan dan ribuan. Sistem penulisan seperti ini banyak dipakai oleh bilangan
Hieroglyphic di peradaban Mesir kuno, bilangan Babylonia, bilangan Romawi, dan
bilangan Yunani Attikan. Kenudian, ada sistem pencirian, sistem penulisan ini mencirikan
simbol-simbolnya menjadi nilai satuan, puluhan, ratusan, dan ribuan, sistem penulisan
ini banyak dipakai oleh bangsa Ionia di Yunani. Lalu, ada sistem perkalian, sistem
penulisan seperti ini mengalikan nilai (simbol) tertentu dengan yang lainnya untuk
menyatakan satuan, puluhan, ratusan dan ribuan.
3.2. Saran
Sistem penulisan bilangan memiliki sejarah yang sangat panjang selama
bertahun-tahun dan berabad-abad, di sini kita mengetahui banyak sistem penulisan
bilangan dan sejarahnya, dimulai dari sistem penulisan sederhana sampai yang paling
kompleks. Diharapkan para pembaca dapat lebih menghargai sejarah dan kaitannya
dalam sejarah matematika ini.
Daftar Pustaka:
Zakapedia.
Sistem
Perkembangan
Bilangan.
http://www.zakapedia.com/2013/02/sejarah-bilangan-danperkembangannya.html [diakses: 26 Febuari 2015]
Tersedia:
Sejati, Tira Septiani. dkk. 2014. Makalah ‘Sistem Numerasi’. Tersedia:
[diakses: 28 Febuari 2015]
Aritia, Fahni Desy. dkk (Kel.1 Pendidikan Matematika Universitas Lambung
Mangkurat
Banjarmasin).
2011.
Tersedia:
http://sharingposting.blogspot.com/2012/05/makalah-sejarah-matematika.html
[diakses: 26 Febuari 2015]
Wisnu.
Tersedia:
https://www.zenius.net/blog/6964/sistem-bilangan-basis
[diakses: 26 Febuari 2015]
—.2012. Perkembangan bilangan dan lambangannya program pasca sarjana
pendidikan matematika universitas Haluoleo Kendari. Tersedia:
[diakses:
H.I.Z. Mutaqin. - . Tersedia:hiqzalmathematic.blogspot.com [diakses: 28 Febuari
2015]
Slideshare. Tersedia: http://slideshare.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Academia. Tersedia: http://academia.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Google. Tersedia: http://google.com [diakses: 26 Febuari 2015]
Wikipedia: Tersedia: http://id.wikipedia.org/Sistem_Penulisan
[diakses: 26 Febuari 2015]
_Bilangan