Bab 3 bahan ajar. ppt
Bab 3
Sistem Persamaan Linear
dan Kuadrat
July 9, 2018
Peta Konsep
Sistem Persamaan
terdiri atas
Sistem
Persamaan
Linear
Sistem
Persamaan
Non-linear
terdiri atas
Dua
Variabel
July 9, 2018
Tiga
Variabel
terdiri atas
LinearKuadrat
KuadratKuadrat
Prasyarat
1. Di SMP, kalian telah mempelajari sistem persamaan
linear dua variabel dan cara menyelesaikannya. Coba
tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear
berikut.
2. Tentukan penyelesaian dari x2 – 6x + 5 = 0.
July 9, 2018
A. Sistem Persamaan Linear Dua
• Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan
Variabel
linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal dengan
sistem persamaan linear dua variabel.
• Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk umum
sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ditulis:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan real,
a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan
a2, b2 tidak bersama-sama nol.
July 9, 2018
• Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV disebut homogen,
sedangkan jika c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka SPLDV itu
dikatakan non-homogen. Misalnya:
x – 2y = 0
2x + y = 0
2x – y = 4
2x + y = 0
July 9, 2018
... SPLDV homogen
... SPLDV tidak homogen
Jika x = x0 dan y = y0 atau dalam pasangan terurut dapat
dituliskan (x0, y0) memenuhi sistem persamaan di atas,
berlaku hubungan
a1x0 + b1y0 = c1
a2x0 + b2y0 = c2
Pasangan terurut (x0, y0) disebut penyelesaian SPLDV itu
dan himpunan yang beranggotakan penyelesaian SPLDV
itu disebut himpunan penyelesaian.
Secara geometri, penyelesaian SPLDV dapat ditafsirkan
sebagai titik potong antara garis lurus:
g1 : a1x + b1y = c1
g2 : a2x + b2y = c2
July 9, 2018
1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
• Perhatikan sistem persamaan berikut.
x+y=5
…(i)
x–y=1
…(ii)
Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang Cartesius.
Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu Y.
(i) (ii)
x titik potong:
0
5
Diperoleh
garis (i) y : (0, 5
5) dan 0
(5, 0)
garis (ii) : (0, -1) dan (1, 0)
July 9, 2018
x
y
0
-1
1
0
Perhatikan ilustrasi berikut.
Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua garis, yaitu
P(3, 2) yang merupakan penyelesaian dari persamaan (i)
dan (ii).
July 9, 2018
Secara umum, langkah-langkah untuk
menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik
adalah sebagai berikut.
– Gambarlah grafik masing-masing persamaan.
– Tentukan titik potong kedua grafik itu. Titik
potong ini merupakan penyelesaian SPLDV.
July 9, 2018
Perlu kalian ketahui bahwa posisi (kedudukan) antara
kedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau berimpit)
menentukan penyelesaian SPLDV. Perhatikan gambar
di bawah ini.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan berikut:
x+y=3
x–y=1
Jawab:
Gambar grafik kedua garis (menentukan titik potong
garis terhadap sumbu X dan sumbu Y)
g1 : x + y = 3
g2 : x – y = 1
x
y
(x, y)
July 9, 2018
0
3
3
0
(0, 3)
(3, 0)
x
0
1
-1
y
0
(x, y) (0, -1) (0, 1)
Perhatikan gambar berikut.
Dengan memperhatikan grafik di atas, tampak
bahwa himpunan penyelesaian sistem persamaan
itu adalah {(2, 1)}.
July 9, 2018
2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi
Misalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.
x–y=3
x + 2y = 15
SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode substitusi.
• Dari persamaan x – y = 3 diperoleh y = x – 3
• Substitusikan ke x + 2y = 15
diperoleh:
x + 2y = 15
Substitusikan x = 7 ke y = x – 3,
x + 2(x – 3) = 15
diperoleh:
x + 2x – 6 = 15
y=x–3
y=7–3
y=4
3x = 21
Jadi, penyelesaian SPLDV di
x=7
atas adalah x = 7 dan y = 4.
July 9, 2018
Secara umum, langkah-langkah untuk
menyelesaikan SPLDV dengan cara ini adalah
sebagai berikut:
– Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah
persamaan yang sederhana jika ada), kemudian
nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke
dalam variabel persamaan yang lain.
– Substitusikan persamaan itu ke persamaan yang
lain.
July 9, 2018
3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi
Perhatikan sistem persamaan berikut:
x–y=3
x + 2y = 15
Langkah-langkah penyelesaian:
– Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk
menentukan variabel y.
x– y=3
x + 2y = 15
–3y = –12
y=4
July 9, 2018
– Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y.
x–y = 3 ×2
2x – 2y = 6
x + 2y = 15 × 1
x + 2y = 15
+
3x = 21
x=7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7, 4)}.
July 9, 2018
3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Campuran
Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode
eliminasi dan substitusi (metode campuran).
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut.
2x – 3y = 13
2x + 4y = 6
Jawab:
Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y.
2x – 3y = 13 × 4
8x – 12y = 52
2x + 4y = 6 × 3
+
14x = 70
x=5
6x + 12y = 18
July 9, 2018
Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke dalam salah
satu persamaan semula (boleh dipilih persamaan yang
pertama atau kedua).
Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13 sehingga
diperoleh
2(5) – 3y = 13
–3y = 3
y=1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, –1)}.
July 9, 2018
4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear yang
Dapat Diubah ke Bentuk SPLDV
Misalkan diberikan sistem persamaan berikut:
2 3
5
x y
6 5
1
x y
Apakah sistem persamaan di atas termasuk SPLDV?
Tentu tidak.
Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut?
Caranya adalah, ubahlah menjadi bentuk SPLDV.
July 9, 2018
1
1
a
dan
b
Misalkan
sehingga diperoleh sistem
x
y
persamaan berikut:
2 3
1
1
5 2. 3. 5 2a 3b 5
x y
x
y
6 5
1
1
1 6. 5 1 6a 5b 1
x y
x
y
Diperoleh sistem persamaan linear:
2a + 3b = 5
6a – 5b = 1
Bentuknya adalah SPLDV dengan variabel a dan b.
Coba selesaikan SPLDV tersebut! Kemudian, nilai a dan
b disubstistusikan ke pemisalan semula.
July 9, 2018
B. Sistem Persamaan Linear
Tiga
Variabel
Sistem
persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri
atas tiga persamaan dengan tiga variabel.
SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,dan d3
bilangan-bilangan real. Variabelnya x, y, dan z.
July 9, 2018
Jika x = x0, y = y0, dan z = z0 memenuhi sistem persamaan
di atas maka berlaku hubungan berikut.
a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1
a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2
a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3
Pasangan berurutan (x0, y0, z0) disebut penyelesaian dari
sistem persamaan.
Himpunan yang beranggotakan penyelesaian sistem
persamaan itu, yaitu {(x0, y0, z0)}, disebut himpunan
penyelesaian.
July 9, 2018
1. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi
Perhatikan SPLTV berikut.
4x + 3y + z = 21 ................................................... (1)
2x + y + 2z = 15 ................................................... (2)
3x + 2y – 3z = 0 ................................................... (3)
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode
substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperoleh
z = 21 – 4x – 3y.
Substitusi z = 21 – 4x – 3y ke persamaan (2) dan (3).
July 9, 2018
Substitusi ke persamaan (2):
2x + y + 2z = 15
2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15
2x + y + 42 – 8x – 6y = 15
–6x – 5y = –27 .................................................. (4)
Substitusi ke persamaan (3):
3x + 2y – 3z = 0
3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0
3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0
15x + 11y = 63 ................................................... (5)
July 9, 2018
Dengan mengubah persamaan (4) menjadi y 27 6 x ,
5
Kemudian disubstitusikan ke persamaan (5) maka
diperoleh:
- 27 6 x
15 x 11
63
5
297 66 x
15 x
63
5
5
75 x 297 – 66 x 315
9 x 315 - 297
9 x 18
x 2
Kemudian, substitusikan x = 2 ke persamaan (4) yang
telah diubah.
July 9, 2018
Sehingga diperoleh
- 27 6 2
y
5
15
y
y 3
5
Nilai x = 2 dan y = 3 disubstitusikan ke persamaan
(3) sehingga diperoleh
3x + 2y – 3z = 0
3(2) + 2(3) – 3z = 0
6 + 6 – 3z = 0
z=4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.
July 9, 2018
Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dalam variabel x,
y, dan z dengan metode substitusi:
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,
kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y
sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada
langkah pertama ke dalam dua persamaan
yang lain sehingga diperoleh SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada
langkah kedua.
July 9, 2018
2. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi
Prinsip utama metode eliminasi adalah menghilangkan
variabel satu demi satu untuk memperoleh nilai variabel
yang lain. Perhatikan langkah-langkah berikut.
– Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga
diperoleh SPLDV.
– Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah
pertama.
– Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada
langkah kedua ke dalam salah satu persamaan semula
untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear dengan metode eliminasi.
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
8x – 6y – z = 1
Jawab:
x – 3y + z = –1.................................................... (1)
5x + 5y – z = 5 ................................................... (2)
8x – 6y – z = 1 ................................................... (3)
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2),
diperoleh persamaan (4).
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
–––––––––––– +
6x – 2y = 4
3x – y = 2 .................................... (4)
July 9, 2018
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3),
diperoleh persamaan (5).
x – 3y + z = –1
8x – 6y – z = 1
–––––––––––– +
9x – 9y = 0
x – y = 0 ..................................... (5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV dan
penyelesaian dari SPLDV ini adalah
3x – y = 2
x–y=0
–––––––– –
2x = 2
x=1
July 9, 2018
Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x
3x – y = 2 × 1
3x – y = 2
x– y=0 ×3
3x – 3y = 0
–––––––––– –
2y = 2
y=1
Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu
variabel x atau y sehingga kalian memperoleh SPLDV
yang mengandung variabel z. Sehingga akan
memperoleh z = 1.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian yang
dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.
July 9, 2018
C. Sistem Persamaan Linear
dan
Kuadrat
Sistem
persamaan
y=2–x
y = x2 – 3x + 2
merupakan sebuah contoh sistem
persamaan linear dan kuadrat.
Secara umum dapat dikatakan bahwa sistem persamaan
linear dan kuadrat (SPLK) terdiri atas sebuah persamaan
linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masingmasing mempunyai dua variabel.
July 9, 2018
• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit
jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Bentuk umum:
y = ax + b ………......... (bagian linear)
y = px2 + qx + r ……..…(bagian kuadrat)
• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika
persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
ax + by + c = 0 ……..............................…. (bagian linear)
px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0 ...........… (bagian kuadrat)
July 9, 2018
Langkah-langkah menyelesaikan SPLK adalah sebagai
berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x
dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Substitusikan x atau y yang diperoleh dari
langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh
dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh
disubstitusikan ke persamaan linear.
July 9, 2018
Banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh
diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh
pada langkah kedua.
a. Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesaian
berbeda (garis memotong kurva di dua titik
berlainan).
b. Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu
penyelesaian (garis menyinggung kurva).
c. Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian
(garis tidak menyinggung kurva).
Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
July 9, 2018
July 9, 2018
Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah
diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan
y = ax + b, berlaku sebagai berikut.
• Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK
mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.
• Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai
1 penyelesaian), berarti D = 0.
• Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai
penyelesaian), berarti D < 0.
July 9, 2018
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian
sketsalah tafsiran geometrisnya.
y=2–x
y = x2 – 3x + 2
Jawab:
Substitusi y = 2 – x ke persamaan y = x2 – 3x + 2 sehingga
2 – x = x2 – 3x + 2
x2 – 3x + x + 2 – 2 = 0
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
Nilai x = 0 atau x = 2 disubstitusikan ke y = 2 – x.
Untuk x = 0 maka y = 2 – 0 = 2, diperoleh (0, 2).
Untuk x = 2 maka y = 2 – 2 = 0, diperoleh (2, 0).
Jadi, himpunan penyelesaiannya {(0, 2), (2, 0)}.
July 9, 2018
Tafsiran geometrisnya berupa dua buah titik potong
antara garis lurus dan parabola, yaitu (0, 2) dan (2, 0)
seperti tampak pada gambar di bawah.
July 9, 2018
D. Sistem Persamaan Kuadrat dan
Kuadrat
Sistem persamaan
kuadrat dan kuadrat (SPKK) terdiri
atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing
memuat dua variabel.
Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
y = ax2 + bx + c ............... (bagian kuadrat pertama)
y = px2 + qx + r ................ (bagian kuadrat kedua)
dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan
real.
July 9, 2018
Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut.
y = x2 ..................... (1)
y = x2 – 2x ............. (2)
Substitusi persamaan (1) ke
persamaan (2), diperoleh
x2 = x2 – 2x
2x = 0
x=0
Untuk x = 0 maka dengan mudah diperoleh y = 0.
Jadi, himpunan penyelesaian SPKK tersebut adalah {(0, 0)}.
Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas
adalah titik potong antara kurva y = x2 dan y = x2 – 2x seperti pada
gambar di atas.
July 9, 2018
Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK
dilakukan langkah-langkahsebagai berikut.
Langkah 1: Substitusikan bagian kuadrat persamaan
pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau
sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat yang
diperoleh pada langkah pertama.
Langkah 3: Substitusikan nilai x yang diperoleh pada
langkah kedua ke persamaan pertama atau kedua
(pilih yang lebih sederhana).
July 9, 2018
Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh
banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua.
Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai
diskriminannya.
Jika D > 0, SPKK mempunyai dua penyelesaian
(parabola berpotongan di dua titik).
Jika D = 0, SPKK mempunyai satu penyelesaian
(parabola berpotongan di satu titik atau saling
bersinggungan).
Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai penyelesaian
(parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).
July 9, 2018
Misalkan D adalah diskriminan persamaan kuadrat dari y =
ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r. Penyelesaian SPKK dapat
digambarkan pada Gambar (a), (b), dan (c).
July 9, 2018
July 9, 2018
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Misalkan diketahui SPKK:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real.
Banyak penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.
• Jika a – p = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki penyelesaian.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan
gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrisnya.
y = x2
y = 2x2 – 3x
Jawab:
Substitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke
bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x diperoleh
x2 = 2x2 – 3x
x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Substitusi x = 0 atau x = 3 ke y = x2.
Untuk x = 0, y = (0)2 = 0 sehingga diperoleh titik (0, 0).
Untuk x = 2, y = (3)2 = 9 sehingga diperoleh titik (3, 9).
Jadi, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}.
July 9, 2018
Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK di
atas secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat
titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola
y = 2x2 – 3x. Perhatikan gambar berikut.
July 9, 2018
E. Merancang Model Matematika
yang
Berkaitan dengan Sistem
Langkah-langkah:
Persamaan
- Identifikasi
masalah yang akan diselesaikan, yang
merupakan sebuah sistem persamaan.
- Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel
(dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.
- Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model
matematika dari suatu masalah.
- Tentukan penyelesaian model matematika sistem
persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.
- Tafsirkan hasil sesuai dengan permasalahannya.
July 9, 2018
Contoh:
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp19.500,00. Harga 2
buku tulis dan 4 pensil adalah Rp16.000,00.
Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil.
Jawab:
Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 4x + 3y = 19.500
Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 2x + 4y = 16.000
Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel
4x + 3y = 19.500
…………………… (i)
2x + 4y = 16.000
x + 2y = 8.000 ……(ii)
July 9, 2018
Penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Mengeliminasi variabel x:
4x + 3y = 19.500 × 1
4x + 3y = 19.500
x + 2y = 8.000 × 4
4x + 8y = 32.000
–5y = –12.500
y = 2.500
Mengeliminasi variabel y:
4x + 3y = 19.500 × 2
8x + 6y = 39.000
x + 2y = 8.000 × 3
3x + 6y = 24.000
5x = 15.000
x = 3.000
Penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500.
Dengan demikian, harga sebuah buku tulis Rp3.000,00 dan
harga sebuah bolpoin Rp2.500,00.
July 9, 2018
Sistem Persamaan Linear
dan Kuadrat
July 9, 2018
Peta Konsep
Sistem Persamaan
terdiri atas
Sistem
Persamaan
Linear
Sistem
Persamaan
Non-linear
terdiri atas
Dua
Variabel
July 9, 2018
Tiga
Variabel
terdiri atas
LinearKuadrat
KuadratKuadrat
Prasyarat
1. Di SMP, kalian telah mempelajari sistem persamaan
linear dua variabel dan cara menyelesaikannya. Coba
tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear
berikut.
2. Tentukan penyelesaian dari x2 – 6x + 5 = 0.
July 9, 2018
A. Sistem Persamaan Linear Dua
• Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan
Variabel
linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal dengan
sistem persamaan linear dua variabel.
• Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk umum
sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) ditulis:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan real,
a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan
a2, b2 tidak bersama-sama nol.
July 9, 2018
• Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV disebut homogen,
sedangkan jika c1 ≠ 0 atau c2 ≠ 0 maka SPLDV itu
dikatakan non-homogen. Misalnya:
x – 2y = 0
2x + y = 0
2x – y = 4
2x + y = 0
July 9, 2018
... SPLDV homogen
... SPLDV tidak homogen
Jika x = x0 dan y = y0 atau dalam pasangan terurut dapat
dituliskan (x0, y0) memenuhi sistem persamaan di atas,
berlaku hubungan
a1x0 + b1y0 = c1
a2x0 + b2y0 = c2
Pasangan terurut (x0, y0) disebut penyelesaian SPLDV itu
dan himpunan yang beranggotakan penyelesaian SPLDV
itu disebut himpunan penyelesaian.
Secara geometri, penyelesaian SPLDV dapat ditafsirkan
sebagai titik potong antara garis lurus:
g1 : a1x + b1y = c1
g2 : a2x + b2y = c2
July 9, 2018
1. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Grafik
• Perhatikan sistem persamaan berikut.
x+y=5
…(i)
x–y=1
…(ii)
Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang Cartesius.
Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu Y.
(i) (ii)
x titik potong:
0
5
Diperoleh
garis (i) y : (0, 5
5) dan 0
(5, 0)
garis (ii) : (0, -1) dan (1, 0)
July 9, 2018
x
y
0
-1
1
0
Perhatikan ilustrasi berikut.
Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua garis, yaitu
P(3, 2) yang merupakan penyelesaian dari persamaan (i)
dan (ii).
July 9, 2018
Secara umum, langkah-langkah untuk
menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik
adalah sebagai berikut.
– Gambarlah grafik masing-masing persamaan.
– Tentukan titik potong kedua grafik itu. Titik
potong ini merupakan penyelesaian SPLDV.
July 9, 2018
Perlu kalian ketahui bahwa posisi (kedudukan) antara
kedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau berimpit)
menentukan penyelesaian SPLDV. Perhatikan gambar
di bawah ini.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan berikut:
x+y=3
x–y=1
Jawab:
Gambar grafik kedua garis (menentukan titik potong
garis terhadap sumbu X dan sumbu Y)
g1 : x + y = 3
g2 : x – y = 1
x
y
(x, y)
July 9, 2018
0
3
3
0
(0, 3)
(3, 0)
x
0
1
-1
y
0
(x, y) (0, -1) (0, 1)
Perhatikan gambar berikut.
Dengan memperhatikan grafik di atas, tampak
bahwa himpunan penyelesaian sistem persamaan
itu adalah {(2, 1)}.
July 9, 2018
2. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Substitusi
Misalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.
x–y=3
x + 2y = 15
SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode substitusi.
• Dari persamaan x – y = 3 diperoleh y = x – 3
• Substitusikan ke x + 2y = 15
diperoleh:
x + 2y = 15
Substitusikan x = 7 ke y = x – 3,
x + 2(x – 3) = 15
diperoleh:
x + 2x – 6 = 15
y=x–3
y=7–3
y=4
3x = 21
Jadi, penyelesaian SPLDV di
x=7
atas adalah x = 7 dan y = 4.
July 9, 2018
Secara umum, langkah-langkah untuk
menyelesaikan SPLDV dengan cara ini adalah
sebagai berikut:
– Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah
persamaan yang sederhana jika ada), kemudian
nyatakan salah satu variabel persamaan itu ke
dalam variabel persamaan yang lain.
– Substitusikan persamaan itu ke persamaan yang
lain.
July 9, 2018
3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Eliminasi
Perhatikan sistem persamaan berikut:
x–y=3
x + 2y = 15
Langkah-langkah penyelesaian:
– Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk
menentukan variabel y.
x– y=3
x + 2y = 15
–3y = –12
y=4
July 9, 2018
– Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh nilai y.
x–y = 3 ×2
2x – 2y = 6
x + 2y = 15 × 1
x + 2y = 15
+
3x = 21
x=7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7, 4)}.
July 9, 2018
3. Menyelesaikan SPLDV dengan Metode Campuran
Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode
eliminasi dan substitusi (metode campuran).
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut.
2x – 3y = 13
2x + 4y = 6
Jawab:
Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y.
2x – 3y = 13 × 4
8x – 12y = 52
2x + 4y = 6 × 3
+
14x = 70
x=5
6x + 12y = 18
July 9, 2018
Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke dalam salah
satu persamaan semula (boleh dipilih persamaan yang
pertama atau kedua).
Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13 sehingga
diperoleh
2(5) – 3y = 13
–3y = 3
y=1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, –1)}.
July 9, 2018
4. Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear yang
Dapat Diubah ke Bentuk SPLDV
Misalkan diberikan sistem persamaan berikut:
2 3
5
x y
6 5
1
x y
Apakah sistem persamaan di atas termasuk SPLDV?
Tentu tidak.
Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan tersebut?
Caranya adalah, ubahlah menjadi bentuk SPLDV.
July 9, 2018
1
1
a
dan
b
Misalkan
sehingga diperoleh sistem
x
y
persamaan berikut:
2 3
1
1
5 2. 3. 5 2a 3b 5
x y
x
y
6 5
1
1
1 6. 5 1 6a 5b 1
x y
x
y
Diperoleh sistem persamaan linear:
2a + 3b = 5
6a – 5b = 1
Bentuknya adalah SPLDV dengan variabel a dan b.
Coba selesaikan SPLDV tersebut! Kemudian, nilai a dan
b disubstistusikan ke pemisalan semula.
July 9, 2018
B. Sistem Persamaan Linear
Tiga
Variabel
Sistem
persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terdiri
atas tiga persamaan dengan tiga variabel.
SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,dan d3
bilangan-bilangan real. Variabelnya x, y, dan z.
July 9, 2018
Jika x = x0, y = y0, dan z = z0 memenuhi sistem persamaan
di atas maka berlaku hubungan berikut.
a1x0 + b1y0 + c1z0 = d1
a2x0 + b2y0 + c2z0 = d2
a3x0 + b3y0 + c3z0 = d3
Pasangan berurutan (x0, y0, z0) disebut penyelesaian dari
sistem persamaan.
Himpunan yang beranggotakan penyelesaian sistem
persamaan itu, yaitu {(x0, y0, z0)}, disebut himpunan
penyelesaian.
July 9, 2018
1. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Substitusi
Perhatikan SPLTV berikut.
4x + 3y + z = 21 ................................................... (1)
2x + y + 2z = 15 ................................................... (2)
3x + 2y – 3z = 0 ................................................... (3)
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode
substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperoleh
z = 21 – 4x – 3y.
Substitusi z = 21 – 4x – 3y ke persamaan (2) dan (3).
July 9, 2018
Substitusi ke persamaan (2):
2x + y + 2z = 15
2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15
2x + y + 42 – 8x – 6y = 15
–6x – 5y = –27 .................................................. (4)
Substitusi ke persamaan (3):
3x + 2y – 3z = 0
3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0
3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0
15x + 11y = 63 ................................................... (5)
July 9, 2018
Dengan mengubah persamaan (4) menjadi y 27 6 x ,
5
Kemudian disubstitusikan ke persamaan (5) maka
diperoleh:
- 27 6 x
15 x 11
63
5
297 66 x
15 x
63
5
5
75 x 297 – 66 x 315
9 x 315 - 297
9 x 18
x 2
Kemudian, substitusikan x = 2 ke persamaan (4) yang
telah diubah.
July 9, 2018
Sehingga diperoleh
- 27 6 2
y
5
15
y
y 3
5
Nilai x = 2 dan y = 3 disubstitusikan ke persamaan
(3) sehingga diperoleh
3x + 2y – 3z = 0
3(2) + 2(3) – 3z = 0
6 + 6 – 3z = 0
z=4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 4)}.
July 9, 2018
Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dalam variabel x,
y, dan z dengan metode substitusi:
1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,
kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y
sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
2. Substitusikan x atau y yang diperoleh pada
langkah pertama ke dalam dua persamaan
yang lain sehingga diperoleh SPLDV.
3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada
langkah kedua.
July 9, 2018
2. Menyelesaikan SPLTV dengan Metode Eliminasi
Prinsip utama metode eliminasi adalah menghilangkan
variabel satu demi satu untuk memperoleh nilai variabel
yang lain. Perhatikan langkah-langkah berikut.
– Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga
diperoleh SPLDV.
– Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah
pertama.
– Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada
langkah kedua ke dalam salah satu persamaan semula
untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear dengan metode eliminasi.
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
8x – 6y – z = 1
Jawab:
x – 3y + z = –1.................................................... (1)
5x + 5y – z = 5 ................................................... (2)
8x – 6y – z = 1 ................................................... (3)
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2),
diperoleh persamaan (4).
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
–––––––––––– +
6x – 2y = 4
3x – y = 2 .................................... (4)
July 9, 2018
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3),
diperoleh persamaan (5).
x – 3y + z = –1
8x – 6y – z = 1
–––––––––––– +
9x – 9y = 0
x – y = 0 ..................................... (5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV dan
penyelesaian dari SPLDV ini adalah
3x – y = 2
x–y=0
–––––––– –
2x = 2
x=1
July 9, 2018
Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x
3x – y = 2 × 1
3x – y = 2
x– y=0 ×3
3x – 3y = 0
–––––––––– –
2y = 2
y=1
Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu
variabel x atau y sehingga kalian memperoleh SPLDV
yang mengandung variabel z. Sehingga akan
memperoleh z = 1.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian yang
dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.
July 9, 2018
C. Sistem Persamaan Linear
dan
Kuadrat
Sistem
persamaan
y=2–x
y = x2 – 3x + 2
merupakan sebuah contoh sistem
persamaan linear dan kuadrat.
Secara umum dapat dikatakan bahwa sistem persamaan
linear dan kuadrat (SPLK) terdiri atas sebuah persamaan
linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masingmasing mempunyai dua variabel.
July 9, 2018
• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit
Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit
jika persamaan itu dapat diubah menjadi bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Bentuk umum:
y = ax + b ………......... (bagian linear)
y = px2 + qx + r ……..…(bagian kuadrat)
• SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
Persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit jika
persamaan itu mempunyai bentuk umum sebagai berikut.
ax + by + c = 0 ……..............................…. (bagian linear)
px2 + qy2 + rxy + sx + ty + u = 0 ...........… (bagian kuadrat)
July 9, 2018
Langkah-langkah menyelesaikan SPLK adalah sebagai
berikut.
Langkah 1: Pada bagian persamaan linear, nyatakan x
dalam y atau y dalam x.
Langkah 2: Substitusikan x atau y yang diperoleh dari
langkah pertama ke bagian bentuk kuadrat sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh
dari langkah dua, kemudian nilai-nilai yang diperoleh
disubstitusikan ke persamaan linear.
July 9, 2018
Banyaknya penyelesaian pada SPLK ditentukan oleh
diskriminan (D) dari persamaan kuadrat yang diperoleh
pada langkah kedua.
a. Jika D > 0 maka SPLK memiliki dua penyelesaian
berbeda (garis memotong kurva di dua titik
berlainan).
b. Jika D = 0 maka SPLK memiliki tepat satu
penyelesaian (garis menyinggung kurva).
c. Jika D < 0 maka SPLK tidak memiliki penyelesaian
(garis tidak menyinggung kurva).
Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
July 9, 2018
July 9, 2018
Dari gambar di atas, tampak bahwa jika D adalah
diskriminan persamaan kuadrat y = px2 + qx + r dan
y = ax + b, berlaku sebagai berikut.
• Kedua grafik berpotongan di titik A dan B (SPLK
mempunyai 2 penyelesaian), berarti D > 0.
• Kedua grafik bersinggungan di titik C (SPLK mempunyai
1 penyelesaian), berarti D = 0.
• Kedua grafik tidak berpotongan (SPLK tidak mempunyai
penyelesaian), berarti D < 0.
July 9, 2018
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian
sketsalah tafsiran geometrisnya.
y=2–x
y = x2 – 3x + 2
Jawab:
Substitusi y = 2 – x ke persamaan y = x2 – 3x + 2 sehingga
2 – x = x2 – 3x + 2
x2 – 3x + x + 2 – 2 = 0
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
Nilai x = 0 atau x = 2 disubstitusikan ke y = 2 – x.
Untuk x = 0 maka y = 2 – 0 = 2, diperoleh (0, 2).
Untuk x = 2 maka y = 2 – 2 = 0, diperoleh (2, 0).
Jadi, himpunan penyelesaiannya {(0, 2), (2, 0)}.
July 9, 2018
Tafsiran geometrisnya berupa dua buah titik potong
antara garis lurus dan parabola, yaitu (0, 2) dan (2, 0)
seperti tampak pada gambar di bawah.
July 9, 2018
D. Sistem Persamaan Kuadrat dan
Kuadrat
Sistem persamaan
kuadrat dan kuadrat (SPKK) terdiri
atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing
memuat dua variabel.
Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
y = ax2 + bx + c ............... (bagian kuadrat pertama)
y = px2 + qx + r ................ (bagian kuadrat kedua)
dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan
real.
July 9, 2018
Misalkan terdapat SPKK sebagai berikut.
y = x2 ..................... (1)
y = x2 – 2x ............. (2)
Substitusi persamaan (1) ke
persamaan (2), diperoleh
x2 = x2 – 2x
2x = 0
x=0
Untuk x = 0 maka dengan mudah diperoleh y = 0.
Jadi, himpunan penyelesaian SPKK tersebut adalah {(0, 0)}.
Secara geometris, anggota himpunan penyelesaian SPKK di atas
adalah titik potong antara kurva y = x2 dan y = x2 – 2x seperti pada
gambar di atas.
July 9, 2018
Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK
dilakukan langkah-langkahsebagai berikut.
Langkah 1: Substitusikan bagian kuadrat persamaan
pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau
sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat.
Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat yang
diperoleh pada langkah pertama.
Langkah 3: Substitusikan nilai x yang diperoleh pada
langkah kedua ke persamaan pertama atau kedua
(pilih yang lebih sederhana).
July 9, 2018
Banyaknya penyelesaian yang diperoleh ditentukan oleh
banyaknya nilai x pada penyelesaian langkah kedua.
Dengan demikian, nilai itu bergantung pada nilai
diskriminannya.
Jika D > 0, SPKK mempunyai dua penyelesaian
(parabola berpotongan di dua titik).
Jika D = 0, SPKK mempunyai satu penyelesaian
(parabola berpotongan di satu titik atau saling
bersinggungan).
Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai penyelesaian
(parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).
July 9, 2018
Misalkan D adalah diskriminan persamaan kuadrat dari y =
ax2 + bx + c dan y = px2 + qx + r. Penyelesaian SPKK dapat
digambarkan pada Gambar (a), (b), dan (c).
July 9, 2018
July 9, 2018
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Misalkan diketahui SPKK:
y = ax2 + bx + c
y = px2 + qx + r
dengan a, b, c, p, q, dan r bilangan real.
Banyak penyelesaian SPKK ditentukan sebagai berikut.
• Jika a – p = 0 atau a = p, SPKK memiliki satu penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D > 0, SPKK memiliki dua penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D = 0, SPKK memiliki satu penyelesaian.
• Jika a – p ≠ 0 dan D < 0, SPKK tidak memiliki penyelesaian.
July 9, 2018
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan
gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrisnya.
y = x2
y = 2x2 – 3x
Jawab:
Substitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke
bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x diperoleh
x2 = 2x2 – 3x
x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x = 0 atau x = 3
Substitusi x = 0 atau x = 3 ke y = x2.
Untuk x = 0, y = (0)2 = 0 sehingga diperoleh titik (0, 0).
Untuk x = 2, y = (3)2 = 9 sehingga diperoleh titik (3, 9).
Jadi, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}.
July 9, 2018
Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK di
atas secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat
titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola
y = 2x2 – 3x. Perhatikan gambar berikut.
July 9, 2018
E. Merancang Model Matematika
yang
Berkaitan dengan Sistem
Langkah-langkah:
Persamaan
- Identifikasi
masalah yang akan diselesaikan, yang
merupakan sebuah sistem persamaan.
- Nyatakan besaran dalam masalah sebagai variabel
(dilambangkan dengan huruf-huruf) sistem persamaan.
- Rumuskan sistem persamaan yang merupakan model
matematika dari suatu masalah.
- Tentukan penyelesaian model matematika sistem
persamaan yang diperoleh pada langkah kedua.
- Tafsirkan hasil sesuai dengan permasalahannya.
July 9, 2018
Contoh:
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil adalah Rp19.500,00. Harga 2
buku tulis dan 4 pensil adalah Rp16.000,00.
Tentukan harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil.
Jawab:
Misalkan harga buku tulis x dan harga pensil y.
Harga 4 buku tulis dan 3 pensil Rp19.500,00 4x + 3y = 19.500
Harga 2 buku tulis dan 4 pensil Rp16.000,00 2x + 4y = 16.000
Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel
4x + 3y = 19.500
…………………… (i)
2x + 4y = 16.000
x + 2y = 8.000 ……(ii)
July 9, 2018
Penyelesaiannya adalah sebagai berikut.
Mengeliminasi variabel x:
4x + 3y = 19.500 × 1
4x + 3y = 19.500
x + 2y = 8.000 × 4
4x + 8y = 32.000
–5y = –12.500
y = 2.500
Mengeliminasi variabel y:
4x + 3y = 19.500 × 2
8x + 6y = 39.000
x + 2y = 8.000 × 3
3x + 6y = 24.000
5x = 15.000
x = 3.000
Penyelesaian persamaan itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500.
Dengan demikian, harga sebuah buku tulis Rp3.000,00 dan
harga sebuah bolpoin Rp2.500,00.
July 9, 2018