Kumpulan Rumus Trigonometri Kelas XI SMA
Kumpulan Rumus Trigonometri Kelas
XI SMA
Trigonometri
Jumlah & selisih sudut:
Sudut rangkap:
Jumlah atau selisih à perkalian:
Perkalian jumlah atau selisih:
TRIGONOMETRI
A. Pengertian Trigonometri
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan
cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat
kartesius atau segitiga siku-siku.
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:
B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri
D. Rumus- Rumus Trigonometri
E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga
Diposkan oleh fery yansah
0 komentar
TRIGONOMETRI DAN SEJARAHNYA
Pengertian dan Sejarah Trigonometri
Pengertian Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah
cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus,
cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada
ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari
geometri.
Sejarah Trigonometri
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah
Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel
aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah
matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk
penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya
hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk
menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan
trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang
trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
22
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
22
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
22
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
22
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a).
contoh soal TRIGONOMETRI
Soal No. 1
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Soal No. 2
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°
b) 330°
Soal No. 3
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Tentukan:
a) panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
d) cotan θ
Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan
gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga,
maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring)
sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
Matematikastudycenter.com- Soal dan pembahasan materi trigonometri kelas 11 SMA.
Topik yang dibahas penggunaan rumus Jumlah dan Selisih Sudut.
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut
lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu
aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti
gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk
cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A
+ B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3,
tentukan nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan
cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi ,
Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal
Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah mudah. Beban,
tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi pertimbangan utama para perancang
untuk mengonstruksikan model rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa
Romawi bahwa busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat
daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak pula jembatan
berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini melibatkan kelengkungan yang perlu
diperhitungkan kemiringan sudutnyayang diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut
mengenai persamaan trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.
A. Perbandingan Trigonometri
Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan
sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r 2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan
trigonometri sebagai berikut.
1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut
a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut
cos
(A
+
B)
=
cos
A
cos
B
–
sin
A
sin
B
cos
B
+
cos
A
sin
B
sin
(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
(A
+
B)
=
sin
A
cos
(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Contoh Soal
Jika tan 5°= p tentukan tan 50°
Jawab :
2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap
a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:
sin
2A
=
sin
=
A
=
sin
cos
2
A
(A
+
sin
+
cos
A
A
B)
sin
cos
A
A
Jadi,sin2A =2 sin A cos A
b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:
cos
2A
=
=
cos
cos
A
cos
(A
+
A)
A-sin
A
sin
A = cos A-sin2A ……………(1)
2
Atau
Cos
=
=
= 2 cos2 A – 1
2A
=
cos2 Acos2 A
……….(2)
(1
–
cos2A-sin2A
–
1
cos2 A)
+
cos2 A
Atau
Cos
2A
=
=
cos2A-sin2A
(1
-sin2A)-sin2A
= 1 – 2 sin2A ………. (3)
Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.
Cos
2A
=
cos2 A
=
–
sin2 A
2
cos2 A-1
= 1 – 2 sin2 A
c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh
B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus
dan Kosinus
a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)
Contoh Soal
Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawab:
2
=
=
cos
75°
cos
15°
cos
=
cos
90°
(75
+15)°
+
0
=½
b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
+
cos
cos
+
(75
–
15)°
60°
½
cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
tan A + tan B =
tan A – tan B =
Contoh Soal
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
jawab:
sin
105°
=
+
sin
2
sin
15°
=
2
sin
½
½
(102)°
(105+15)°cos
cos
½
(105-15)°
½
(90)°
= sin 60° cos 45°
C. Identitas Trigonometri
Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.
Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah
dengan salah satu dari cara-cara berikut.
Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.
Contoh Soal
Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α
Jawab.
sin4 α
–
=
=
sin2 α
(1
1
= cos4 α – cos2 α
–
=
(sin2 α)2 –
cos2 α) 2 –
2
cos2 α
+
sin2 α
(1
cos4 α
–
cos2 α)
1
+
cos2 α
Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan menyelesaikan persamaan
trigonometri, menentukan himpunan penyelesaian materi matematika kelas 10, 11
SMA.
Tengok dulu 3 kelompok rumus penyelesaian persamaan trigonometri berikut.
Masing-masing untuk sinus, cosinus dan untuk tangen:
Rumus Penyelesaian Persamaan
Trigonometri
Untuk sinus
Untuk kosinus
Untuk tangen
k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.
Contoh:
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 120 + k⋅360
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°,
yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1
/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1
/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
cos 2x = cos2 x − sin2x
cos 2x = 2 cos2 x − 1
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°
Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3
atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)
Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°
adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari
pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu
30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan
sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak
memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
=2−3+1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar
tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)
Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}
Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat
2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan.
Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya
yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.
1.
2. Gambar 2
XI SMA
Trigonometri
Jumlah & selisih sudut:
Sudut rangkap:
Jumlah atau selisih à perkalian:
Perkalian jumlah atau selisih:
TRIGONOMETRI
A. Pengertian Trigonometri
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan
cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat
kartesius atau segitiga siku-siku.
Jika trigonometri didefinisikan dalam segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut:
B. Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
C. Rumus-rumus Identitas Trigonometri
D. Rumus- Rumus Trigonometri
E. Aturan Trigonometri dalam Segitiga
Diposkan oleh fery yansah
0 komentar
TRIGONOMETRI DAN SEJARAHNYA
Pengertian dan Sejarah Trigonometri
Pengertian Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah
cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus,
cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada
ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari
geometri.
Sejarah Trigonometri
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah
Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel
aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah
matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk
penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya
hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk
menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan
trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang
trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
RUMUS- RUMUS TRIGONOMETRI
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
22
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
22
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
22
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
22
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a).
contoh soal TRIGONOMETRI
Soal No. 1
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan derajad:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 1/2 π rad
b) 3/4 π rad
c) 5/6 π rad
Soal No. 2
Nyatakan sudut-sudut berikut dalam satuan radian (rad):
a) 270°
b) 330°
Pembahasan
Konversi:
1 π radian = 180°
Jadi:
a) 270°
b) 330°
Soal No. 3
Diberikan sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.
Tentukan:
a) panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
d) cotan θ
Pembahasan
a) panjang AC
Dengan phytagoras diperoleh panjang AC
b) sin θ
c) cos θ
d) tan θ
e) cosec θ
f) sec θ
g) cotan θ
Soal No. 4
Sebuah segitiga siku-siku.
Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β
Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3
Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):
Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah
Soal No. 5
Seorang anak berdiri 20 meter dari sebuah menara seperti gambar berikut.
Perkirakan ketinggian menara dihitung dari titik A! Gunakan √2 = 1,4 dan √3 = 1,7 jika diperlukan.
Pembahasan
tan 60 ° adalah √3, asumsinya sudah dihafal. Sehingga dari pengertian tan sudut
Tinggi menara sekitar 34 meter.
Soal No. 6
Sebuah marka kejut dipasang melintang pada sebuah jalan dengan sudut 30° seperti ditunjukkan
gambar berikut.
Jika panjang marka kejut adalah 8 meter, tentukan lebar jalan tersebut!
Pembahasan
Segitiga dengan sudut istimewa 30° dan sisi miring 8 m.
sin 30° = 1/2
sin 30° = BC/AC
BC/AC = 1/2
BC = 1/2 × AC = 1/2 × 8 = 4 meter
Lebar jalan = BC = 4 meter
Soal No. 7
Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC seperti gambar berikut. Panjang TC adalah 12 cm.
Tentukan panjang sisi segitiga tersebut!
Pembahasan
Δ ABC sama sisi, sehingga sudut A = sudut B = sudut C = 60° Jika diambil titik ATC menjadi segitiga,
maka didapat gambar berikut.
Sinus 60° pada segitiga ATC adalah perbandingan sisi TC (sisi depan) dengan sisi AC (sisi miring)
sehingga
Soal No. 8
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = AB = 6 cm. Sudut C sebesar 120°.
Tentukan luas segitiga ABC!
Pembahasan
Segitiga ABC adalah sama kaki. Jika diambil garis tinggi TC maka didapat gambar berikut.
Menentukan panjang AT dan CT dengan sudut yang diketahui yaitu 60°
Sehingga luas segitiga adalah
Soal No. 9
cos 315° adalah....
A. − 1/2 √3
B. − 1/2 √2
C. − 1/2
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
(Soal Ebtanas 1988)
Pembahasan
Sudut 315° berada di kuadran IV. Nilai-nilai cosinus sudut di kuadran IV memenuhi rumus berikut:
cos (360° − θ) = cos θ
Sehingga
cos 315° = (360° − 45°) = cos 45° = 1/2 √2
Matematikastudycenter.com- Soal dan pembahasan materi trigonometri kelas 11 SMA.
Topik yang dibahas penggunaan rumus Jumlah dan Selisih Sudut.
Soal No. 1
Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 75°
b) cos 75°
c) tan 105°
Pembahasan
a) Rumus jumlah dua sudut untuk sinus
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin 75° = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4 (√6 + √2)
b) Rumus jumlah dua sudut untuk cosinus
cos (a + B) = cos A cos B − sin A sin B
cos 75° = cos (45° + 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° − sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4 (√6 − √2)
c) Rumus jumlah dua sudut untuk tan
tan 105° = tan (60° + 45°)
Soal No. 2
Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:
a) sin 15°
b) cos 15°
c) tan (3x − 2y)
Pembahasan
a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus
sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B
sin 15° = sin 45° − 30°)
= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)
b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
cos 15° = cos (45° − 30°)
= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°
= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2
= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)
c) Rumus selisih sudut untuk tan
Sehingga
Soal No. 3
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 4/5
dan sin B = 12/13. Sudut A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut
lancip. Tentukan:
A. sin (A + B)
B. sin (A − B)
Pembahasan
Gambar segitiga untuk cek nilai sin dan cos kedua sudut, tentunya setelah itu
aplikasikan rumus phytagoras untuk mendapatkan panjang sisi-sisi segitiga, seperti
gambar berikut:
Nilai sin dan cos "sementara" untuk masing-masing sudut terlihat dari segitiga di atas.
Dibilang sementara karena setelah itu kita harus tentukan positif atau negatifnya.
Setelah dicocokkan dengan kuadrannya barulah didapat nilai sin atau cos yang benar.
sin A = 4/5
cos A = 3/5
sin B =12/13
cos B = 5/13
Periksa ulang,
Sudut A tumpul sehingga berada di kuadran II (antara 90 dan 180) . Lihat ilustrasi di
bawah, untuk kuadran II nilai sin adalah positif, sehingga sin A benar 4/5. Sementara untuk
cos A, karena dikuadran II, nilainya negatif, jadi cos A = − 3/5
Sudut B lancip, sehingga berada di kuadran I (antara 0 dan 90). Baik nilai sin atau cos
dikuadran 1 adalah positif, sehingga data di atas bisa langsung digunakan.
a) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
b) dari data sin dan cos yang telah diperoleh didapatkan
Soal No. 4
Diberikan dua buah sudut A dan B dengan nilai sinus masing-masing adalah sin A = 3/5
dan sin B = 12/13. Sudut A dan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan nilai dari cos (A
+ B)
Pembahasan
Cek nilai sin dan cos dengan segitiga seperti sebelumnya
sin A = 3/5, cos A = 4/5
sin B = 12/13, cos B = 5/13
Kedua sudut adalah lancip hingga baik sin ataupun cos adalah positif semua.
Dari data yang telah diperoleh masukkan rumus untuk cos jumlah sudut
Soal No. 5
Diketahui Δ PQR dengan ∠ P dan ∠ Q lancip. Jika tan P = 3/4 dan tan Q = 1/3,
tentukan nilai dari cos R
Pembahasan
Cek sin cos kedua sudut P dan Q
sin P = 3/5, cos P = 4/5
sin Q = 1/√10, cos Q = 3/√10
P + Q + R = 180 atau R = 180 - (P + Q)
cos R = cos (180 - (P + Q))
ingat cos (180 - x) = - cos x
Soal No. 6
Jika tan α = 1, tan β = 1/3 dengan α dan β sudut lancip maka sin (α − β) =....
A. 2/3 √5
B. 1/5 √5
C. 1/2
D. 2/5
E. 1/5
(UN 2007-2008)
Pembahasan
tan α = 1, jika digambarkan dalam sebuah segitiga seperti berikut:
Dari gambar terlihat:
sin α = 1/ √2
cos α = 1/ √2
tan β = 1/3, jika digambarkan dalam sebuah segitiga akan diperoleh nilai sin dan
cosnya:
Diperoleh
sin β = 1/√10
cos β = 3/√10
Kembali ke soal, diminta sin (α − β) =....
Dengan rumus selisih dua sudut:
Jadi sin (α − β) = 1/5 √5
Soal No. 7
Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =....
A. 1/4
B. 1/2
C. 3/4
D. 1
E. 5/4
un hal 102
Pembahasan
Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:
cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B
Masukkan data soal
1/2 = 5/8 − sin A sin B
sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8
Diminta cos (A − B) =....
cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B
= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4
Soal No. 8
ABC adalah sebuah segitiga. Jika sin A = 3/5 dan cotan B = 7, maka ∠C = .....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 135°
Pembahasan
Dari data sin A = 3/5 dan cotan B = 7 (atau kalau dari tan nya, tan B = 1/7), diperoleh
sin A = 3/5
cos A = 4/5
sin B = 1/5√2
cos B = 7/5√2
Jumlah sudut dalam suatu segitiga adalah 180, jadi A + B + C = 180° atau bisa juga C =
180 − (A + B)
Kembali ke soal, diminta ∠C, kita cari sin C dulu:
sin C = sin [180 − (A + B)]
sin C = sin (A + B), ingat kembali ada rumus sin (180 − x) = sin x
sin C = sin A cos B + cos A sin B
Sudut yang nilai sin nya 1/2 √2 adalah 45°
Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi ,
Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal
Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah mudah. Beban,
tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi pertimbangan utama para perancang
untuk mengonstruksikan model rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa
Romawi bahwa busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat
daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak pula jembatan
berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini melibatkan kelengkungan yang perlu
diperhitungkan kemiringan sudutnyayang diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut
mengenai persamaan trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.
A. Perbandingan Trigonometri
Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan
sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r 2 = x2 + y2 sehingga diperoleh perbandingan
trigonometri sebagai berikut.
1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut
a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut
cos
(A
+
B)
=
cos
A
cos
B
–
sin
A
sin
B
cos
B
+
cos
A
sin
B
sin
(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin
(A
+
B)
=
sin
A
cos
(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Contoh Soal
Jika tan 5°= p tentukan tan 50°
Jawab :
2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap
a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:
sin
2A
=
sin
=
A
=
sin
cos
2
A
(A
+
sin
+
cos
A
A
B)
sin
cos
A
A
Jadi,sin2A =2 sin A cos A
b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:
cos
2A
=
=
cos
cos
A
cos
(A
+
A)
A-sin
A
sin
A = cos A-sin2A ……………(1)
2
Atau
Cos
=
=
= 2 cos2 A – 1
2A
=
cos2 Acos2 A
……….(2)
(1
–
cos2A-sin2A
–
1
cos2 A)
+
cos2 A
Atau
Cos
2A
=
=
cos2A-sin2A
(1
-sin2A)-sin2A
= 1 – 2 sin2A ………. (3)
Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.
Cos
2A
=
cos2 A
=
–
sin2 A
2
cos2 A-1
= 1 – 2 sin2 A
c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh
B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus
dan Kosinus
a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)
Contoh Soal
Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°
Jawab:
2
=
=
cos
75°
cos
15°
cos
=
cos
90°
(75
+15)°
+
0
=½
b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
+
cos
cos
+
(75
–
15)°
60°
½
cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
tan A + tan B =
tan A – tan B =
Contoh Soal
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
jawab:
sin
105°
=
+
sin
2
sin
15°
=
2
sin
½
½
(102)°
(105+15)°cos
cos
½
(105-15)°
½
(90)°
= sin 60° cos 45°
C. Identitas Trigonometri
Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.
Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah
dengan salah satu dari cara-cara berikut.
Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.
Contoh Soal
Buktikan bahwa sin4 α – sin2 α = cos4 α – cos2 α
Jawab.
sin4 α
–
=
=
sin2 α
(1
1
= cos4 α – cos2 α
–
=
(sin2 α)2 –
cos2 α) 2 –
2
cos2 α
+
sin2 α
(1
cos4 α
–
cos2 α)
1
+
cos2 α
Matematikastudycenter.com- Contoh soal dan pembahasan menyelesaikan persamaan
trigonometri, menentukan himpunan penyelesaian materi matematika kelas 10, 11
SMA.
Tengok dulu 3 kelompok rumus penyelesaian persamaan trigonometri berikut.
Masing-masing untuk sinus, cosinus dan untuk tangen:
Rumus Penyelesaian Persamaan
Trigonometri
Untuk sinus
Untuk kosinus
Untuk tangen
k diisi nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.
Contoh:
Soal No. 1
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = 1/2
Pembahasan
Dari:
sin x = 1/2
Untuk harga awal, sudut yang nilai sin nya 1/2 adalah 30°.
Sehingga
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Dengan pola rumus yang pertama di atas:
(i) x = 30 + k ⋅ 360
k = 0 → x = 30 + 0 = 30 °
k = 1 → x = 30 + 360 = 390 °
(ii) x = (180 − 30) + k⋅360
x = 120 + k⋅360
x = 150 + k⋅360
k = 0 → x = 150 + 0 = 150 °
k = 1 → x = 150 + 360 = 510 °
Dari penggabungan hasil (i) dan hasil (ii), dengan batas permintaan 0° ≤ x ≤ 360°,
yang diambil sebagai himpunan penyelesaiannya adalah:
HP = {30°, 150°}
Soal No. 2
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = 1/2
Pembahasan
1
/2 adalah nilai cosinus dari 60°.
Sehingga
cos x = cos 60°
(i) x = 60° + k ⋅ 360°
k = 0 → x = 60 + 0 = 60 °
k = 1 → x = 60 + 360 = 420°
(ii) x = −60° + k⋅360
x = −60 + k⋅360
k = 0 → x = −60 + 0 = −60°
k = 1 → x = −60 + 360° = 300°
Himpunan penyelesaian yang diambil adalah:
HP = {60°, 300°}
Soal No. 3
Untuk 0° ≤ x ≤ 720° tentukan himpunan penyelesaian dari sin (x − 30) = 1/2 √3
Pembahasan
1
/2 √3 miliknya sin 60°
Sehingga
sin (x − 30) = sin 60°
dan
Untuk 0° ≤ x ≤ 720°, HP = {90°, 150°, 450°, 510°}
Soal No. 4
Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari
cos (x − 30°) = 1/2 √2
Pembahasan
Harga awal untuk 1/2 √2 adalah 45°
HP = {75°, 345°}
Soal No. 5
Himpunan penyelesaian persamaan:
cos 2x + sin x = 0
untuk 0 < x ≤ 2π adalah.....
A. {π/2, 4π/3, 5π/3}
B. {π/2, 7π/6, 4π/3}
C. {π/2, 7π/6, 5π/3}
D. {π/2, 7π/6, 11π/6}
E. {π/2, 5π/3, 11π/6}
Pembahasan
Dari rumus sudut rangkap dari pelajaran sebelumnya:
cos 2x = cos2 x − sin2x
cos 2x = 2 cos2 x − 1
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
cos 2x + sin x = 0
1 − 2 sin2 x + sin x = 0
− 2 sin2 x + sin x + 1 = 0
2 sin2 x − sin x − 1 = 0
Faktorkan:
(2sin x + 1)(sin x − 1) = 0
2sin x + 1 = 0
2sin x = −1
sin x = −1/2
x = 210° dan x = 330°
atau
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = 90°
Sehingga:
HP = {90°, 210°, 330°} dalam satuan derajat.
HP = {π/2, 7π/6, 11π/6} dalam satuan radian.
Jawaban : D.
Soal No. 6
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…
A. {2π/3,4π/3}
B. {4π/3, 5π/3}
C. {5π/6, 7π/6}
D. {5π/6, 11π/6}
E. {7π/6, 11π/6}
Pembahasan
Persamaan trigonometri:
Misalkan sin x sebagai P dan juga cos 2x = 1 − 2sin2 x
Soal No. 7
Himpunan penyelesaian persamaan 2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 untuk 0 < x < 2π adalah…
A. {π/6, 5π/6}
B. {π/6, 11π/6}
C. {π/3, 2π/3}
D. {π/3, 5π/3}
E. {2π/3, 4π/3}
Pembahasan
2cos 2x − 3 cos x + 1 = 0
Faktorkan:
(2cos x − 1)(cos x − 1) = 0
(2cos x − 1) = 0
2cos x = 1
cos x = 1/2
x = 60° = π/3 dan x = 300° = 5π/3
atau
(cos x − 1) = 0 cos x = 1
x = 0° dan x = 360° = 2π (Tidak diambil, karena diminta 0 < x < 2π)
Jadi HP = {π/3, 5π/3}
Jawaban: D
Soal No. 8
Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3 sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°
adalah…
A. {150°,165°}
B. {120°,150°}
C. {105°,165°}
D. {30°,165°}
E. (15°,105°)
Pembahasan
Ubah ke bentuk sin semua, dengan rumus sudut rangkap, kemudian faktorkan:
cos 4x + 3 sin 2x = −1
Untuk faktor
Tidak Memenuhi, lanjut ke faktor
Diperoleh
Jadi HP = {105°,165°}
Soal No. 9
Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤ 360° adalah....
A. {30°, 90°, 150°}
B. {30°, 120°, 240°}
C. {30°, 120°, 300°}
D. {30°, 150°, 270°}
E. {60°, 120°, 270°}
(UN Matematika SMA IPA 2014)
Pembahasan
Soal ini akan coba diselesaikan dengan cara coba-coba. Ambil salah satu sudut dari
pilihan jawaban yang ada, untuk mengeliminir pilihan lainnya. Dari yang mudah yaitu
30° atau 90°. Nilai sin 30° adalah 1/2, jika sudut ini termasuk jawaban maka akan
sama dengan nol seperti permintaan soal.
Persamaan di soal:
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
30° → 2 sin2 (30°) − 3 sin (30°) + 1 = ?
= 2 (1/2)2 − 3 (1/2) + 1
= 0 (Benar, jadi jawaban harus memuat angka 30°, pilihan E salah karena tidak
memuat 30 derajad.)
Berikutnya coba 90°, tentunya sudah tahu sin 90° = 1
2 sin2 x − 3 sin x + 1 = ?
90° → 2 sin2 90° − 3 sin 90° + 1 = ?
= 2 (1)2 − 3 (1) + 1
=2−3+1
= 0 (Benar, Jawaban harus memuat 90° jadi B, C, D, dan E salah, A dipastikan benar
tanpa dilakukan pengecekan pada 150°, tentunya kalau soalnya ndak error)
Soal No. 10
Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah....
A. {0, π, 3π/2, 2π}
B. {0, π, 4π/3, 2π}
C. {0, 2π/3; π, 2π}
D. {0, π, 2π}
E. {0, π, 3π/2}
Pembahasan
Soal ini lebih mudah lagi, syaratnya adalah 0 ≤ x < 2π , maka x tidak boleh memuat
2π, karena tandanya adalah lebih kecil dari 2π bukan lebih kecil atau sama dengan.
Jadi pilihan yang ada 2π nya salah, hanya E yang tidak memuat 2π. Jadi jawabnya
yang E, soal di atas dari soal UN, namun soal seperti ini jarang-jarang ada.
1.
2. Gambar 2