09 Menghitung Ukuran Data dari Data Berkelompok
STATISTIKA
B. Menghitung Ukuran Data dari Data Berkelompok
Terdapat tiga macam ukuran dalam pengolahan data statistika, yakni ukuran
pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran. Pada materi sebelumnya telah
diuraikan penjelasan ketiga ukuran tersebut untuk data tunggal. Untuk data
berkelompok ukuran-ukuran tersebut mempunyai aturan dan rumus tersendiri, yakni
sebagai berikut :
1. Rumus menentukan rataan data
_
x
f .x T
f
_
x xs
atau
f .d
f
x T = titik tengah kelas
dimana :
f = frekwensi
x S = rata-rata sementara d = x T – x S
2. Rumus menentukan median data
1
2 n fk
M e TB k
F
dimana : M e = Median data
TB = Tepi bawah kelas median
k = panjang kelas atau interval kelas
n = Banyaknya data
f = Frekwensi kumulatif diatas kelas median
k
F = Frekwensi pada kelas median
Rumus diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini
D
E
E1
C
E2
B
F
G
A
L
Statistika
P
1
Dimana E1 = E 2 maka
A + B + C + D = fk
1
A + B + C + D + E1 =
n
2
f k + E1 =
1
2
n
jadi
E1 =
1
2
n – fk
Sehingga : M e = L + jarak LP
Dimana
E
jarak LP
= 1
i
E
1
n fk
jarak LP
= 2
i
F
1
2 n fk
Jarak LP = i
F
1
2 n fk
Jadi M e = L + i
F
3. Rumus menentukan modus data
d1
Mo TB k
d1 d 2
dimana : M o = Modus data
TB = Tepi bawah kelas modu
k = panjang kelas atau interval kelas
d1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sebelumnya
d 2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sesudahnya
Rumua diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini
B
C
F
E
D
A
L
Mo
Dari gambar diatas diperoleh M o = L + EF
Maka
EF
FD
=
AB
CD
EF
i EF
=
d1
d2
d 2 EF = (i – EF) d1
d 2 EF = i d1 – EF d1
Statistika
2
( d1 + d 2 )EF = i d1
sehingga
d1
d2 d2
EF = i
d1
d2 d2
Jadi M o = L + i
4. Rumus menentukan kuartil data ( Q ), Desil ( D i ) dan persentil ( Pi ),
i
Dengan cara yang sama seperti menurunkan rumus median, dapat pula ditentukan
rumus kuartil ( Q ), desil ( D i ) dan persentil ( Pi ), yakni :
i
i
4 n fk
i = 1, 2, 3, 4
Rumus kuartil : Q i TB k
F
i
10 n f k
i = 1, 2, 3, ... , 9
Rumus desil : D i TB k
F
i
100 n f k
Rumus Persentil : Pi TB k
F
dimana :
i = 1, 2, 3, ... , 99
TB = Tepi bawah kelas kuartil / desil / persentil
k = panjang kelas atau interval kelas kuartil / desil / persentil
n = Banyaknya data
f = Frekwensi kumulatif diatas kelas kuartil / desil / persentil
k
F = Frekwensi pada kelas kuartil / desil / persentil
5. Rumus menentukan simpangan rata-rata
1 n
Simpangan rata-rata (SR) =
x(t) i x
n i1
x(t) i = Data tengah kelas ke-i
Dimana : n = Banyaknya data
x
= Nilai rata-rata (mean)
6. Rumus menentukan simpangan baku
n
(x(t) i x) 2
Simpangan baku (s) =
Dimana : n
x
Statistika
i 1
n
= Banyaknya data
x(t) i = Data tengah kelas ke-i
= Nilai rata-rata (mean)
3
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01.
Diketahui data nilai hasil ulangan matematika 20 orang
Nilai
f
siswa. Dari data tersebut tentukanlah :
60 65
4
(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5
5
66 70
(b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5
71 75
3
(c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5
76 80
81 85
6
2
Jawab
(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5 = 4 + 5 + 3 = 12
(b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5 = 5 + 3 + 6 + 2 = 16
(c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5 =
02.
Nilai
f
1 5
6 10
11 15
16 20
21 25
26 30
4
2
5
5
3
1
62
20
x 100% = 40%
Tentukanlah rataan data dari data pada tabel disamping,
dengan menggunakan dua cara
Jawab
Nilai
f
xt
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
4
2
5
5
3
1
20
3
8
13
18
23
28
f . xt
12
16
65
90
69
28
280
_
x
f .x t
f
_
280
x
20
_
x 14
Cara lain menentukan rataan (mean) data adalah dengan rataan sementara ( x s ),
yakni titik tengah interval kelas pertengahan. Untuk soal di atas kita ambil 18.
Kemudian disusun tabel sebagai berikut :
Nilai
f
xt
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
4
2
5
5
3
1
20
3
8
13
18
23
28
Statistika
d = x t xs
–15
–10
–5
0
5
10
f.d
–60
–20
–25
0
15
10
–80
4
Selanjutnya dimasukkan ke rumus :
_
x xs
f .d
f
_
80
x 18
20
_
x 18 4
_
x 14
03. Dari data pada tabel disamping, tentukanlah nilai
mediannya
Jawab
Jumlah frekwensi = 20
Data tengah ada pada urut ke 10,5
Sehingga kelas median adalah : 61 – 65
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 60,5
k = 65 – 61 + 1 = 5
n = 20
fk = 3 + 4 = 7
F=5
Nilai
f
51 55
56 60
61 65
66 70
71 75
76 80
3
4
5
2
2
4
Nilai
f
21 25
26 30
31 35
36 40
41 45
46 50
4
5
8
6
5
3
1
2 n fk
M e TB k
F
1
2 (20) 7
M e 60,5 5
5
3
M e 60,5 5
5
M e 60,5 3
M e 63,5
04. Dari data disamping tentukanlah nilai
modusnya
Jawab
Kelas Modus adalah kelas yang paling
tinggi frekwensinya (f = 8), yakni 31 – 35
Selanjutnya dilengkapi nilai-nila :
Statistika
5
TB = 30,5
k = 35 – 31 + 1 = 5
d1 = 8 – 5 = 3
d2 = 8 – 6 = 2
d1
M o TB k
d1 d 2
3
M o 30,5 5
3 2
M o 30,5 3
M o 33,5
05. Dari data disamping tentukanlah
(a) Nilai kuattil bawah
(b) Nilai kuartil atasnya
Jawab
(a) Nilai kuartil bawah
Jumlah frekwensi : n = 24, maka
1
n 6
4
Nilai
f
31 36
37 42
43 48
49 54
55 60
61 66
1
5
4
7
5
2
Sehingga Q1 ada pada data ke 6
Jadi kelas kuartil bawah ( Q1 ) adalah : 37 – 42
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 36,5
k = 42 – 37 + 1 = 6
n = 24
fk = 1
F=5
1
4 n fk
Q1 TB k
F
1
4 (24) 1
Q1 36,5 6
5
5
Q1 36,5 6
5
Q1 36,5 6
Q1 42,5
(a) Nilai kuartil bawah
Jumlah frekwensi : n = 24, maka
3
n 18
4
Sehingga Q 3 ada pada data ke 8
Jadi kelas kuartil atas ( Q 3 ) adalah : 55 – 60
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
Statistika
6
TB = 54,5
k = 60 – 55 + 1 = 6
n = 24
fk = 1 + 5 + 4 + 7 = 17
F=5
Q3
Q3
3
4 n fk
TB k
F
3
4 (24) 17
54,5 6
5
1
Q 3 54,5 6
5
Q3 54,5 1,2
Q3 55,7
06. Jika data nilai ulangan pada tabel
disamping diambil 40% tebaik, maka
tentukanlah batas nilai pengambilan itu
Jawab
Batas nilai 40% tertinggi sama dengan batas
nilai 60% terendah, sehingga penentuan nilai
batas diambil dari desil ke-6 atau D 6
Jumlah frekwensi : n = 30, maka
Nilai
f
40 45
46 51
52 57
58 63
64 69
70 75
3
5
7
4
6
5
6
6
(30) = 18.
n
10
10
Sehingga D 6 ada pada data ke 18
Jadi kelas desil ke-6 ( D 6 ) adalah : 58 – 63
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 57,5
k = 63 – 58 + 1 = 6
n = 30
fk = 3 + 5 + 7 = 15
F=4
6
10 n f k
D6 TB k
F
6
10 (30) 15
D 6 57,5 6
4
3
D 6 57,5 6
4
D 6 57,5 4,5 =
07.
Nilai
1 5
6 10
11
15
Statistika
16 20
21 25
26 30
f
4
2
5
5
3
1
62,0
Dari data pada tabel disamping, tentukanlah nilai
simpangan bakunya
7
Jawab
Proses menentukan simpangan baku, dibantu dengan
tabel berikut ini :
f
xt
f . xt
xt x
(x t x ) 2
f.(x t x ) 2
1–5
4
3
12
–11
121
484
6 – 10
2
8
16
–6
36
72
11 – 15
5
13
65
–1
1
5
16 – 20
5
18
90
4
16
80
21 – 25
3
23
69
9
81
243
26 – 30
1
28
28
14
196
196
Nilai
20
280
Nilai rata-rata diperoleh : x
1080
280
20
= 14
Selanjutnya di hitung simpangan baku :
Statistika
s
1080
=
20
54 = 3 6
8
B. Menghitung Ukuran Data dari Data Berkelompok
Terdapat tiga macam ukuran dalam pengolahan data statistika, yakni ukuran
pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebaran. Pada materi sebelumnya telah
diuraikan penjelasan ketiga ukuran tersebut untuk data tunggal. Untuk data
berkelompok ukuran-ukuran tersebut mempunyai aturan dan rumus tersendiri, yakni
sebagai berikut :
1. Rumus menentukan rataan data
_
x
f .x T
f
_
x xs
atau
f .d
f
x T = titik tengah kelas
dimana :
f = frekwensi
x S = rata-rata sementara d = x T – x S
2. Rumus menentukan median data
1
2 n fk
M e TB k
F
dimana : M e = Median data
TB = Tepi bawah kelas median
k = panjang kelas atau interval kelas
n = Banyaknya data
f = Frekwensi kumulatif diatas kelas median
k
F = Frekwensi pada kelas median
Rumus diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini
D
E
E1
C
E2
B
F
G
A
L
Statistika
P
1
Dimana E1 = E 2 maka
A + B + C + D = fk
1
A + B + C + D + E1 =
n
2
f k + E1 =
1
2
n
jadi
E1 =
1
2
n – fk
Sehingga : M e = L + jarak LP
Dimana
E
jarak LP
= 1
i
E
1
n fk
jarak LP
= 2
i
F
1
2 n fk
Jarak LP = i
F
1
2 n fk
Jadi M e = L + i
F
3. Rumus menentukan modus data
d1
Mo TB k
d1 d 2
dimana : M o = Modus data
TB = Tepi bawah kelas modu
k = panjang kelas atau interval kelas
d1 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sebelumnya
d 2 = Selisih frekwensi kelas modus dengan frekwensi kelas sesudahnya
Rumua diatas diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Misalkan terdapat data dalam diagram berikut ini
B
C
F
E
D
A
L
Mo
Dari gambar diatas diperoleh M o = L + EF
Maka
EF
FD
=
AB
CD
EF
i EF
=
d1
d2
d 2 EF = (i – EF) d1
d 2 EF = i d1 – EF d1
Statistika
2
( d1 + d 2 )EF = i d1
sehingga
d1
d2 d2
EF = i
d1
d2 d2
Jadi M o = L + i
4. Rumus menentukan kuartil data ( Q ), Desil ( D i ) dan persentil ( Pi ),
i
Dengan cara yang sama seperti menurunkan rumus median, dapat pula ditentukan
rumus kuartil ( Q ), desil ( D i ) dan persentil ( Pi ), yakni :
i
i
4 n fk
i = 1, 2, 3, 4
Rumus kuartil : Q i TB k
F
i
10 n f k
i = 1, 2, 3, ... , 9
Rumus desil : D i TB k
F
i
100 n f k
Rumus Persentil : Pi TB k
F
dimana :
i = 1, 2, 3, ... , 99
TB = Tepi bawah kelas kuartil / desil / persentil
k = panjang kelas atau interval kelas kuartil / desil / persentil
n = Banyaknya data
f = Frekwensi kumulatif diatas kelas kuartil / desil / persentil
k
F = Frekwensi pada kelas kuartil / desil / persentil
5. Rumus menentukan simpangan rata-rata
1 n
Simpangan rata-rata (SR) =
x(t) i x
n i1
x(t) i = Data tengah kelas ke-i
Dimana : n = Banyaknya data
x
= Nilai rata-rata (mean)
6. Rumus menentukan simpangan baku
n
(x(t) i x) 2
Simpangan baku (s) =
Dimana : n
x
Statistika
i 1
n
= Banyaknya data
x(t) i = Data tengah kelas ke-i
= Nilai rata-rata (mean)
3
Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :
01.
Diketahui data nilai hasil ulangan matematika 20 orang
Nilai
f
siswa. Dari data tersebut tentukanlah :
60 65
4
(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5
5
66 70
(b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5
71 75
3
(c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5
76 80
81 85
6
2
Jawab
(a) Frekwensi kumulatif nilai kurang dari 75,5 = 4 + 5 + 3 = 12
(b) Frekwensi kumulatif nilai lebih dari 65,5 = 5 + 3 + 6 + 2 = 16
(c) Frekwensi kumulatif relatif nilai di atas 75,5 =
02.
Nilai
f
1 5
6 10
11 15
16 20
21 25
26 30
4
2
5
5
3
1
62
20
x 100% = 40%
Tentukanlah rataan data dari data pada tabel disamping,
dengan menggunakan dua cara
Jawab
Nilai
f
xt
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
4
2
5
5
3
1
20
3
8
13
18
23
28
f . xt
12
16
65
90
69
28
280
_
x
f .x t
f
_
280
x
20
_
x 14
Cara lain menentukan rataan (mean) data adalah dengan rataan sementara ( x s ),
yakni titik tengah interval kelas pertengahan. Untuk soal di atas kita ambil 18.
Kemudian disusun tabel sebagai berikut :
Nilai
f
xt
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
21 – 25
26 – 30
4
2
5
5
3
1
20
3
8
13
18
23
28
Statistika
d = x t xs
–15
–10
–5
0
5
10
f.d
–60
–20
–25
0
15
10
–80
4
Selanjutnya dimasukkan ke rumus :
_
x xs
f .d
f
_
80
x 18
20
_
x 18 4
_
x 14
03. Dari data pada tabel disamping, tentukanlah nilai
mediannya
Jawab
Jumlah frekwensi = 20
Data tengah ada pada urut ke 10,5
Sehingga kelas median adalah : 61 – 65
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 60,5
k = 65 – 61 + 1 = 5
n = 20
fk = 3 + 4 = 7
F=5
Nilai
f
51 55
56 60
61 65
66 70
71 75
76 80
3
4
5
2
2
4
Nilai
f
21 25
26 30
31 35
36 40
41 45
46 50
4
5
8
6
5
3
1
2 n fk
M e TB k
F
1
2 (20) 7
M e 60,5 5
5
3
M e 60,5 5
5
M e 60,5 3
M e 63,5
04. Dari data disamping tentukanlah nilai
modusnya
Jawab
Kelas Modus adalah kelas yang paling
tinggi frekwensinya (f = 8), yakni 31 – 35
Selanjutnya dilengkapi nilai-nila :
Statistika
5
TB = 30,5
k = 35 – 31 + 1 = 5
d1 = 8 – 5 = 3
d2 = 8 – 6 = 2
d1
M o TB k
d1 d 2
3
M o 30,5 5
3 2
M o 30,5 3
M o 33,5
05. Dari data disamping tentukanlah
(a) Nilai kuattil bawah
(b) Nilai kuartil atasnya
Jawab
(a) Nilai kuartil bawah
Jumlah frekwensi : n = 24, maka
1
n 6
4
Nilai
f
31 36
37 42
43 48
49 54
55 60
61 66
1
5
4
7
5
2
Sehingga Q1 ada pada data ke 6
Jadi kelas kuartil bawah ( Q1 ) adalah : 37 – 42
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 36,5
k = 42 – 37 + 1 = 6
n = 24
fk = 1
F=5
1
4 n fk
Q1 TB k
F
1
4 (24) 1
Q1 36,5 6
5
5
Q1 36,5 6
5
Q1 36,5 6
Q1 42,5
(a) Nilai kuartil bawah
Jumlah frekwensi : n = 24, maka
3
n 18
4
Sehingga Q 3 ada pada data ke 8
Jadi kelas kuartil atas ( Q 3 ) adalah : 55 – 60
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
Statistika
6
TB = 54,5
k = 60 – 55 + 1 = 6
n = 24
fk = 1 + 5 + 4 + 7 = 17
F=5
Q3
Q3
3
4 n fk
TB k
F
3
4 (24) 17
54,5 6
5
1
Q 3 54,5 6
5
Q3 54,5 1,2
Q3 55,7
06. Jika data nilai ulangan pada tabel
disamping diambil 40% tebaik, maka
tentukanlah batas nilai pengambilan itu
Jawab
Batas nilai 40% tertinggi sama dengan batas
nilai 60% terendah, sehingga penentuan nilai
batas diambil dari desil ke-6 atau D 6
Jumlah frekwensi : n = 30, maka
Nilai
f
40 45
46 51
52 57
58 63
64 69
70 75
3
5
7
4
6
5
6
6
(30) = 18.
n
10
10
Sehingga D 6 ada pada data ke 18
Jadi kelas desil ke-6 ( D 6 ) adalah : 58 – 63
Selanjutnya dilengakpi nilai-nilai :
TB = 57,5
k = 63 – 58 + 1 = 6
n = 30
fk = 3 + 5 + 7 = 15
F=4
6
10 n f k
D6 TB k
F
6
10 (30) 15
D 6 57,5 6
4
3
D 6 57,5 6
4
D 6 57,5 4,5 =
07.
Nilai
1 5
6 10
11
15
Statistika
16 20
21 25
26 30
f
4
2
5
5
3
1
62,0
Dari data pada tabel disamping, tentukanlah nilai
simpangan bakunya
7
Jawab
Proses menentukan simpangan baku, dibantu dengan
tabel berikut ini :
f
xt
f . xt
xt x
(x t x ) 2
f.(x t x ) 2
1–5
4
3
12
–11
121
484
6 – 10
2
8
16
–6
36
72
11 – 15
5
13
65
–1
1
5
16 – 20
5
18
90
4
16
80
21 – 25
3
23
69
9
81
243
26 – 30
1
28
28
14
196
196
Nilai
20
280
Nilai rata-rata diperoleh : x
1080
280
20
= 14
Selanjutnya di hitung simpangan baku :
Statistika
s
1080
=
20
54 = 3 6
8