Materi Riset Operasi OR9Sistem antrian

Sistem Antrian
Riset Operasi
Semester Genap 2011/2012

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Permasalahan Fasilitas drive in
•

Secara rata-rata 10 mobil per jam tiba di
suatu fasilitas drive in satu meja layan.

•

Diasumsikan rata-rata waktu layanan setiap
pelanggan adalah 4 menit,

•

Waktu antar kedatangan dan waktu
pelayanan menyebar secara eksponensial.

•

Terdapat beberapa permasalahan yang
menjadi ukuran performance dari fasilitas
layanan ini.
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Permasalahan Fasilitas Drive
In
1. Berapa peluang bahwa fasilitas tersebut
menganggur, atau idle?
2. Berapa rata-rata jumlah mobil yang
mengantri untuk dilayani?
3. Berapa rata-rata lama setiap mobil harus
menunggu sampai dia selesai dilayani?

4. Secara rata-rata berapa pelanggan yang
akan dilayani per jam oleh fasilitas
tersebut?
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Permasalahan Model Optimasi
Antrian
• Montir-montir yang bekerja pada suatu bengkel
perakitan komponen mesin perlu mencari
komponen yang diperlukan di gudang
komponen.
• Secara rata-rata terdapat 10 montir per jam
yang datang ke gudang untuk mencari
komponen.
• Di gudang bekerja seorang asisten untuk
membantu mencari komponen dengan gaji $6
per jam, dan butuh waktu 5 menit untuk
mencari setiap komponen yang dibutuhkan.

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

• Setiap montir menghasilkan barang
seharga $10 per jam, sehingga setiap jam
yang dihabiskannya di gudang berarti
merugikan perusahaan $10.
• Perlukah perusahaan mempekerjakan
pembantu asisten gudang dengan gaji $4
per jam yang mampu mengurangi waktu
pencarian komponen menjadi 4
menit/komponen?

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

• Semua permasalahan-permasalahan
tersebut dapat dipelajari solusinya di

dalam Sistem Antrian.

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Sistem Antrian (Queueing System)
• Input Process: sebaran peluang dari
pola kedatangan pelanggan sepanjang
waktu
• Service Distribution: sebaran peluang
dari waktu acak selesainya pelayanan
server bagi satu pelanggan
• Disiplin antrian: jumlah server dan
urutan pelayanan pelanggan.
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

• Beberapa contoh:

8/15/17

SITUASI

INPUT
PROCESS

PROSES
LAYANAN

DISIPLIN
ANTRIAN

Bank

Waktu
kedatanga
n antar
pelanggan

Waktu
pelayanan
oleh teller

-Jumlah
teller
-First
Comes First
Served

Kasir di
Supermark
et

Waktu
kedatanga
n antar
pelanggan

Waktu
layanan
oleh kasir

-Jumlah
teller
-First
Comes First
served

Fasilitas
Drive in

Waktu
Waktu
kedatanga layanan
n antar
oleh meja
Dr. Rahma Fitriani,
S.Si, M.Sc

pelanggan
layanan

-1 meja
layanan
-First
Comes First

Kebaikan yang dapat dievaluasi
pada Sistem Antrian
• Sebaran peluang jumlah pelanggan:
perencanaan kapasitas dan pelayanan ruang
mengantri → kepuasan dan pelayanan
pelanggan.
• Peluang server menganggur: Pemanfaatan
server atau optimalisasi jumlah server bekerja.
• Hasil dari sistem: berapa banyak pelanggan
terlayani.
• Lama waktu antrian: kepuasan pelanggan →
meminimumkanDr.biaya

(bahkan
risiko
8/15/17
Rahma Fitriani,
S.Si, M.Sc

Little’s Formula
• Sistem beroperasi pada waktu lama, pada
keadaan stabil (steady state):
L W

L : rata-rata jumlah pelanggan di dalam
sistem,
λ : laju kedatangan pelanggan ke dalam
sistem,
W : rata-rata lama waktu yang dihabiskan
pelanggan di dalam sistem
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Little’s Formula
• Hubungan Selanjutnya:
L0 W0
W W0  rata - rata waktu layanan

L0 : rata-rata jumlah pelanggan yang
menunggu di dalam sistem sebelum
dilayani
W0 : rata-rata lama waktu tunggu
sebelum dilayani
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Notasi Pada model Antrian
A / B / c
Sebaran
waktu
kedatangan

Sebaran
waktu
layanan

Jumlah server

Contoh:
• M/M/1: kedatangan proses
Poisson, waktu layanan
eksponensial, 1 server.
• M/M/∞: idem, server tak hingga
banyaknya: situasi ‘swalayan’.
• M/G/1: kedatangan proses
Poisson, waktu layanan
sembarang sebaran, 1 server
8/15/17

Pada dua notasi pertama:
• G=GI : sembarang sebaran
• M: sebaran eksponensial
(memoryless)
• Ek: sebaran gamma dengan
orde k (Erlang)
• D: deterministik

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Sistem M/M/1
• Proses kelahiran dan kematian:
– X(t): jumlah pelanggan yang berada di sistem
pada waktu t
– Kedatangan satu pelanggan pada selang waktu
[t, t+h) membuat X(t) bertambah satu dengan
peluang

P X t  h k  1 X t k  λh o(h), untukk 0,1,2,...
– Satu pelanggan selesai terlayani pada selang
waktu
[t, t+h) membuat X(t) berkurang satu
P X t  h k  1 X t k h  o(h), untuk
k 1,2,3,...
dengan peluang
8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Sistem M/M/1
• Parameter proses kelahiran dan
kematian:
– μk=μ, untuk k = 0, 1, 2, … : Parameter
kematian
– λk= λ, untuk k =1, 2, 3, … : Parameter
kelahiran, λ0= 0

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

Sistem M/M/1
• Sebaran equilibrium atau sebaran steady
state bagi jumlah pelanggan di dalam
sistem:
  lim P ( X (t ) k ) untuk k 0,1,2,...
k

t 

• Peluang pada suatu waktu tertentu
terdapat k pelanggan di dalam sistem

8/15/17

Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

k


 k    0 ,untukk 1,2,...


0 

1



 

k 0   

k



1


k


k 0

• Pembilang adalah deret geometrik terhingga jika λ
1 , sistem tidak
akan stabil.
8/15/17
Dr. Rahma Fitriani, S.Si, M.Sc

n

 



• Perhatikan:  n    1   ,n 0,1,2,

 
Adalah sebaran peluang bagi sebaran geometrik
dengan peluang sukses:


p  1  





Sehingga, rata-rata jumlah pelanggan di dalam
sistem L:

L  n n
n0

Adalah nilai harapan dari sebaran geometrik.
17

Penentuan L
 
X ~ Geometric  p  : p  1  
 
E X  

 

1  1  

1 p

E X  
 

p
 
 
1  


 
  


 

• Hasil tersebut dapat diterapkan untuk memperoleh L



L  n n 
 -
n 0

Traffic intensity: ukuran bagi system performance



L terbatas jika λ