Materi Riset Operasi
Network Model (lanjut)
CPM (Critical Path Method)
Riset Operasi
Semester Genap 2011/2012
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
• Berfungsi untuk membuat jadwal dar project yang
komplek dan besar yang terdiri dari beberapa kegiatan
• CPM (Critical Path method)
• - digunakan untuk menentukan waktu yang
dibutuhkan untuk menyelesaikan project, menentukan
seberapa lama kegiatan dalam project dapat ditunda
tanpa menunda penyelesaian project
• - Waktu yang diperlukan setiap kegiatan dapat
diketahui dengan pasti
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh penggunaan CPM/PERT
• Designing and Marketing new product
• Completing a corporate merger
• Building a ship
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Project Network
• Merupakan precedence relationship antar
kegiatan
• Arc melambangkan kegiatan
• Node melambangkan penyelesaian
sekumpulan kegiatan
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Aturan Pembuatan Project Network
1. Node 1 merepresentasikan awal project
2. Finish node yang merepresentasikan penyelesaian
project harus dimasukkan dalam network
3. Beri nomor node sedemikian hingga node penyelesaian
kegiatan selalu lebih besar daripada node awal kegiatan
4. Kegiatan tidak boleh direpresentasikan lebih dari satu
arc dalam network
5. Dua node dapat dihubungkan paling banyak 1 arc
Untuk menghindari pelanggaran aturan 4 dan 5 gunakan
dummy activity dengan waktu nol
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh
Widgetco akan mengenalkan produk baru
(produk 3). Saty unit produk 3 diproduksi
dengan mengasembly 1 unit produk satu dan 1
unit produk dua. Sebelum produksi produk satu
dan dua bahan mentah harus dibeli dan pekerja
harus dilatih. Sebelum produk satu dan dua
diasembly menjadi produk tiga, produk dua
harus dites. Gambarkan project network untuk
project ini.
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh Kasus Project Scheduling
Aktivitas
Kegiatan
sebelumnya
A : pelatihan pekerja B : membeli bahan mentah
C : memproduksi
A, B
produk 1
D : memproduksi
A, B
produk 2
E : uji produk 2
D
F: assembly produk C, E
1 dan 2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Durasi aktivitas
(hari)
6
9
8
7
10
12
Aktivitas
A : pelatihan pekerja
Kegiatan
sebelumnya
-
Durasi aktivitas
(hari)
6
Jalur (tanda panah)
B : membeli bahan mentah
-
9
C : memproduksi produk 1
A, B
8
D : memproduksi produk 2
A, B
7
(3,5)
E : uji produk 2
D
10
F: assembly produk 1 dan 2
C, E
12
(3,4)
(4,5)
(1,2)
(1,3)
(5,6)
Kegiatan/event
Node: akhir kegiatan
2
A (6)
1
B (9)
8/20/17
D (7)
Dummy
(0)
3
4
E (10)
C (8)
5
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
CPM: Critical Path Method
• Untuk menentukan jangka waktu yang dibutuhkan untuk
menyelesaikan project.
• Untuk menentukan berapa lama aktivitas di dalam project
dapat tertunda tanpa menunda penyelesaian project.
• Early event time (ET): waktu paling awal suatu kegiatan dapat
dimulai.
• Late event time (LT): waktu paling akhir suatu kegiatan dapat
dimulai tanpa menunda penyelesaian project secara
keseluruhan.
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Penentuan Early Event Time (ET)
Untuk setiap node i:
• Langkah 1:
– Tentukan semua kegiatan yang berakhir di node i
• Langkah 2
– Untuk setiap kegiatan yang berakhir di node i tambahkan
ET(j) (j adalah node yang terhubung ke node i dari
kegiatan tsb), dengan durasi aktivitas.
• Langkah 3
– ET(i) adalah maksimum dari semua ET(j) yang dihitung di
langkah 2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
ET pada contoh kasus
2
A (6)
1
B (9)
• Untuk node 1:
D (7)
4
Dummy
(0)
3
E (10)
C (8)
5
ET 1 0
• Untuk node 2:
• Didahului oleh node 1
• Durasi kegiatan A: (1,2) 6 hari
ET 2 ET 1 6 6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
4
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
F (12)
• Untuk node 3:
• Didahului oleh node 1 dan node 2
• Durasi kegiatan B: (1,3) 9 hari
• Durasi kegiatan Dummy: (2,3) nol hari
ET 1 9 0 9
ET 3 max
9
ET ( 2) 0 6 0
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
4
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
4
Dummy
(0)
1
B (9)
3
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 4:
• Didahului oleh node 3
• Durasi kegiatan D: (3,4) 7 hari
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
ET 4 ET 3 7 9 7 16
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
F (12)
• Untuk node 5:
• Didahului oleh node 3 dan node 4
• Durasi kegiatan C: (3,5) 8 hari
• Durasi kegiatan E: (4,5) 10 hari
ET 3 8 9 8 17
ET 5 max
26
ET ( 4) 10 16 10 26
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
16
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 6:
• Didahului oleh node 5
• Durasi kegiatan F: (5,6) 12 hari
ET 6 ET 5 12 26 12 38
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
16
5
26
6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
ET pada contoh kasus
• Produk selesai di-assembly paling cepat 38
hari dari sejak dimulai.
• ET(6) adalah panjang dari the longest path
i
ET(i)
pada network tsb.
• 1 → 3 → 4 → 5 →6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
1
0
2
6
3
9
4
16
5
26
6
38
Penentuan the Late Event Time (LT)
• Ditentukan dari node terakhir sampai ke node yang
pertama
• Langkah 1:
– Tentukan semua kegiatan yang berawal di node i
• Langkah 2:
– Untuk setiap kegiatan yang berawal di node i, kurangi LT(j) (j
adalah node yang terhubung ke node i dari kegiatan tsb),
dengan durasi aktivitas.
• Langkah 3:
– LT(i) adalah minimum dari semua LT(j) yang dihitung di langkah
2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT pada contoh kasus
2
4
D (7)
A (6)
Dummy
(0)
1
B (9)
E (10)
C (8)
3
• Untuk node 6:
• Node paling akhir
5
F (12)
LT 6 ET 6 38
• Untuk node 5:
• Menuju node 6
• Kegiatan F: (5,6) 12 hari
LT 5 LT 6 12 38 12 26
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 4:
• Menuju node 5
• Kegiatan E: (4,5) 10 hari
LT 4 LT 5 10
26 10 16
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
i
LT(i)
1
2
3
4
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
4
Dummy
(0)
1
B (9)
3
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 3:
• Menuju node 4 dan node 5
• Kegiatan D: (3,4) 7 hari
• Kegiatan C: (3,5) 8 hari
LT 4 7 16 7 9
LT 3 min
9
LT 5 8 26 8 18
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
3
4
16
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 2:
• Menuju node 3
• Kegiatan dummy: (2,3) 0 hari
LT 2 LT 3 0 9
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
3
9
4
16
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 1:
• Menuju node 2 dan node 3
• Kegiatan A: (1,2) 6 hari
• Kegiatan B: (1,3) 9 hari
LT 2 6 9 6 3
LT 1 min
0
LT (3) 9 9 9 0
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
9
3
9
4
16
5
26
6
38
Total Float
i
1
2
3
4
5
6
ET(i)
0
6
9
16
26
38
LT(i)
0
9
9
16
26
38
• Durasi kegiatan di dalam network
project schedulling tadi hanya
perkiraan dari implementasi
pengerjaan project
• Total float:
– Ukuran seberapa penting durasi
kegiatan harus sesuai perkiraan
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Total Float
• Total float aktivitas (i,j) TF(i,j):
– Berapa lama awal aktivitas (i,j) dapat tertunda dari
perkiraan tercepat, tanpa menunda selesainya
project secara keseluruhan
– Asumsi: tidak ada kegiatan lain yang tertunda.
• Tij: durasi kegiatan (i,j), k unit waktu
penundaan
ET i k tij LT ( j )
TF i, j LT ( j ) ET i tij
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
TF i, j 0
Total Float
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
3
B (9)
4
E (10)
C (8)
5
TF i, j LT ( j ) ET i tij
F (12)
6
A : TF 1,2 LT ( 2) ET 1 t12 9 0 6 3
8/20/17
i
ET(i)
LT(i)
1
0
0
2
6
9
3
9
9
4
16
16
5
26
26
6
38
38
B : TF 1,3 LT (3) ET 1 t13 9 0 9 0
C : TF 3,5 LT (5) ET 3 t35 26 9 8 9
D : TF 3,4 LT ( 4) ET 3 t34 16 9 7 0
E : TF 4,5 LT (5) ET 4 t45 26 16 10 0
F : TF 5,6 LT (6) ET 5 t56 38 26 12 0
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Total Float
Aktivitas
Total Float
A: (1, 2)
3
B: (1, 3)
0
C: (3, 5)
9
D: (3,4)
0
E: (4, 5)
0
F: (5,6)
0
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
8/20/17
• Aktivitas dengan total float 0: critical
activity
• Jalur dari node 1 ke node akhir
sepanjang critical activity: critical path
• CPM:
B, D, E, F
3
4
E (10)
C (8)
5
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
Linear Programming untuk menentukan
Critical Path
• Didefinisikan variabel untuk setiap node,
sebagai awal atau akhir dari suatu aktivitas.
x j : waktu yang bersesuaia n dengan terjadiny a node j
• Kendala:
– untuk setiap aktivitas (i, j): sebelum node j terjadi,
harus didahului oleh node i dan selesainya
aktivitas (i, j)
x j xi tij
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Linear Programming untuk menentukan
Critical Path
• Jika
x1 : awal project
xF : akhir project
• Fungsi obyektif (tujuan): meminimumkan
waktu penyelesaian project
z xF x1
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Model Linier dari Contoh
2
D (7)
A (6)
Dummy
(0)
1
B (9)
4
E (10)
C (8)
3
5
F (12)
min z x6 x1
s.t.
Kendala aktivitas A: (1,2)
x2 x1 6
Kendala aktivitas B: (1,3)
x3 x1 9
Kendala aktivitas
dummy: (2,3)
8/20/17
x3 x2
(lanjut)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
Model Linier dari Contoh
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
Kendala aktivitas C: (3,5)
Kendala aktivitas D: (3,4)
Kendala aktivitas E: (4,5)
Kendala aktivitas F: (5,6)
4
E (10)
C (8)
5
x5 x3 8
x4 x3 7
x5 x4 10
x6 x5 12
Non negativity
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
s.t.
min z x6 x1
x2 x1 6
x5 x3 8
x3 x1 9
x4 x3 7
x5 x4 10
x3 x2
x6 x5 12
Non negativity
Z
0
AktA
AktB
Akt Dummy
AktC
AktD
AktE
AktF
8/20/17
X1
1
-1
-1
X2
1
1
-1
X3
1
1
1
-1
-1
X4
1
X5
1
X6
1
1
1
-1
1
-1
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
1
rhs
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
6
9
0
8
7
10
12
CPM (Critical Path Method)
Riset Operasi
Semester Genap 2011/2012
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
• Berfungsi untuk membuat jadwal dar project yang
komplek dan besar yang terdiri dari beberapa kegiatan
• CPM (Critical Path method)
• - digunakan untuk menentukan waktu yang
dibutuhkan untuk menyelesaikan project, menentukan
seberapa lama kegiatan dalam project dapat ditunda
tanpa menunda penyelesaian project
• - Waktu yang diperlukan setiap kegiatan dapat
diketahui dengan pasti
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh penggunaan CPM/PERT
• Designing and Marketing new product
• Completing a corporate merger
• Building a ship
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Project Network
• Merupakan precedence relationship antar
kegiatan
• Arc melambangkan kegiatan
• Node melambangkan penyelesaian
sekumpulan kegiatan
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Aturan Pembuatan Project Network
1. Node 1 merepresentasikan awal project
2. Finish node yang merepresentasikan penyelesaian
project harus dimasukkan dalam network
3. Beri nomor node sedemikian hingga node penyelesaian
kegiatan selalu lebih besar daripada node awal kegiatan
4. Kegiatan tidak boleh direpresentasikan lebih dari satu
arc dalam network
5. Dua node dapat dihubungkan paling banyak 1 arc
Untuk menghindari pelanggaran aturan 4 dan 5 gunakan
dummy activity dengan waktu nol
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh
Widgetco akan mengenalkan produk baru
(produk 3). Saty unit produk 3 diproduksi
dengan mengasembly 1 unit produk satu dan 1
unit produk dua. Sebelum produksi produk satu
dan dua bahan mentah harus dibeli dan pekerja
harus dilatih. Sebelum produk satu dan dua
diasembly menjadi produk tiga, produk dua
harus dites. Gambarkan project network untuk
project ini.
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh Kasus Project Scheduling
Aktivitas
Kegiatan
sebelumnya
A : pelatihan pekerja B : membeli bahan mentah
C : memproduksi
A, B
produk 1
D : memproduksi
A, B
produk 2
E : uji produk 2
D
F: assembly produk C, E
1 dan 2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Durasi aktivitas
(hari)
6
9
8
7
10
12
Aktivitas
A : pelatihan pekerja
Kegiatan
sebelumnya
-
Durasi aktivitas
(hari)
6
Jalur (tanda panah)
B : membeli bahan mentah
-
9
C : memproduksi produk 1
A, B
8
D : memproduksi produk 2
A, B
7
(3,5)
E : uji produk 2
D
10
F: assembly produk 1 dan 2
C, E
12
(3,4)
(4,5)
(1,2)
(1,3)
(5,6)
Kegiatan/event
Node: akhir kegiatan
2
A (6)
1
B (9)
8/20/17
D (7)
Dummy
(0)
3
4
E (10)
C (8)
5
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
CPM: Critical Path Method
• Untuk menentukan jangka waktu yang dibutuhkan untuk
menyelesaikan project.
• Untuk menentukan berapa lama aktivitas di dalam project
dapat tertunda tanpa menunda penyelesaian project.
• Early event time (ET): waktu paling awal suatu kegiatan dapat
dimulai.
• Late event time (LT): waktu paling akhir suatu kegiatan dapat
dimulai tanpa menunda penyelesaian project secara
keseluruhan.
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Penentuan Early Event Time (ET)
Untuk setiap node i:
• Langkah 1:
– Tentukan semua kegiatan yang berakhir di node i
• Langkah 2
– Untuk setiap kegiatan yang berakhir di node i tambahkan
ET(j) (j adalah node yang terhubung ke node i dari
kegiatan tsb), dengan durasi aktivitas.
• Langkah 3
– ET(i) adalah maksimum dari semua ET(j) yang dihitung di
langkah 2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
ET pada contoh kasus
2
A (6)
1
B (9)
• Untuk node 1:
D (7)
4
Dummy
(0)
3
E (10)
C (8)
5
ET 1 0
• Untuk node 2:
• Didahului oleh node 1
• Durasi kegiatan A: (1,2) 6 hari
ET 2 ET 1 6 6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
4
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
F (12)
• Untuk node 3:
• Didahului oleh node 1 dan node 2
• Durasi kegiatan B: (1,3) 9 hari
• Durasi kegiatan Dummy: (2,3) nol hari
ET 1 9 0 9
ET 3 max
9
ET ( 2) 0 6 0
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
4
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
4
Dummy
(0)
1
B (9)
3
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 4:
• Didahului oleh node 3
• Durasi kegiatan D: (3,4) 7 hari
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
ET 4 ET 3 7 9 7 16
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
F (12)
• Untuk node 5:
• Didahului oleh node 3 dan node 4
• Durasi kegiatan C: (3,5) 8 hari
• Durasi kegiatan E: (4,5) 10 hari
ET 3 8 9 8 17
ET 5 max
26
ET ( 4) 10 16 10 26
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
16
5
6
ET pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 6:
• Didahului oleh node 5
• Durasi kegiatan F: (5,6) 12 hari
ET 6 ET 5 12 26 12 38
F (12)
6
i
ET(i)
1
0
2
6
3
9
4
16
5
26
6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
ET pada contoh kasus
• Produk selesai di-assembly paling cepat 38
hari dari sejak dimulai.
• ET(6) adalah panjang dari the longest path
i
ET(i)
pada network tsb.
• 1 → 3 → 4 → 5 →6
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
1
0
2
6
3
9
4
16
5
26
6
38
Penentuan the Late Event Time (LT)
• Ditentukan dari node terakhir sampai ke node yang
pertama
• Langkah 1:
– Tentukan semua kegiatan yang berawal di node i
• Langkah 2:
– Untuk setiap kegiatan yang berawal di node i, kurangi LT(j) (j
adalah node yang terhubung ke node i dari kegiatan tsb),
dengan durasi aktivitas.
• Langkah 3:
– LT(i) adalah minimum dari semua LT(j) yang dihitung di langkah
2
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT pada contoh kasus
2
4
D (7)
A (6)
Dummy
(0)
1
B (9)
E (10)
C (8)
3
• Untuk node 6:
• Node paling akhir
5
F (12)
LT 6 ET 6 38
• Untuk node 5:
• Menuju node 6
• Kegiatan F: (5,6) 12 hari
LT 5 LT 6 12 38 12 26
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
• Untuk node 4:
• Menuju node 5
• Kegiatan E: (4,5) 10 hari
LT 4 LT 5 10
26 10 16
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
i
LT(i)
1
2
3
4
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
4
Dummy
(0)
1
B (9)
3
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 3:
• Menuju node 4 dan node 5
• Kegiatan D: (3,4) 7 hari
• Kegiatan C: (3,5) 8 hari
LT 4 7 16 7 9
LT 3 min
9
LT 5 8 26 8 18
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
3
4
16
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 2:
• Menuju node 3
• Kegiatan dummy: (2,3) 0 hari
LT 2 LT 3 0 9
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
3
9
4
16
5
26
6
38
LT pada contoh kasus
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
4
E (10)
C (8)
5
6
i
• Untuk node 1:
• Menuju node 2 dan node 3
• Kegiatan A: (1,2) 6 hari
• Kegiatan B: (1,3) 9 hari
LT 2 6 9 6 3
LT 1 min
0
LT (3) 9 9 9 0
8/20/17
F (12)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
LT(i)
1
2
9
3
9
4
16
5
26
6
38
Total Float
i
1
2
3
4
5
6
ET(i)
0
6
9
16
26
38
LT(i)
0
9
9
16
26
38
• Durasi kegiatan di dalam network
project schedulling tadi hanya
perkiraan dari implementasi
pengerjaan project
• Total float:
– Ukuran seberapa penting durasi
kegiatan harus sesuai perkiraan
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Total Float
• Total float aktivitas (i,j) TF(i,j):
– Berapa lama awal aktivitas (i,j) dapat tertunda dari
perkiraan tercepat, tanpa menunda selesainya
project secara keseluruhan
– Asumsi: tidak ada kegiatan lain yang tertunda.
• Tij: durasi kegiatan (i,j), k unit waktu
penundaan
ET i k tij LT ( j )
TF i, j LT ( j ) ET i tij
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
TF i, j 0
Total Float
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
3
B (9)
4
E (10)
C (8)
5
TF i, j LT ( j ) ET i tij
F (12)
6
A : TF 1,2 LT ( 2) ET 1 t12 9 0 6 3
8/20/17
i
ET(i)
LT(i)
1
0
0
2
6
9
3
9
9
4
16
16
5
26
26
6
38
38
B : TF 1,3 LT (3) ET 1 t13 9 0 9 0
C : TF 3,5 LT (5) ET 3 t35 26 9 8 9
D : TF 3,4 LT ( 4) ET 3 t34 16 9 7 0
E : TF 4,5 LT (5) ET 4 t45 26 16 10 0
F : TF 5,6 LT (6) ET 5 t56 38 26 12 0
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Total Float
Aktivitas
Total Float
A: (1, 2)
3
B: (1, 3)
0
C: (3, 5)
9
D: (3,4)
0
E: (4, 5)
0
F: (5,6)
0
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
8/20/17
• Aktivitas dengan total float 0: critical
activity
• Jalur dari node 1 ke node akhir
sepanjang critical activity: critical path
• CPM:
B, D, E, F
3
4
E (10)
C (8)
5
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
Linear Programming untuk menentukan
Critical Path
• Didefinisikan variabel untuk setiap node,
sebagai awal atau akhir dari suatu aktivitas.
x j : waktu yang bersesuaia n dengan terjadiny a node j
• Kendala:
– untuk setiap aktivitas (i, j): sebelum node j terjadi,
harus didahului oleh node i dan selesainya
aktivitas (i, j)
x j xi tij
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Linear Programming untuk menentukan
Critical Path
• Jika
x1 : awal project
xF : akhir project
• Fungsi obyektif (tujuan): meminimumkan
waktu penyelesaian project
z xF x1
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Model Linier dari Contoh
2
D (7)
A (6)
Dummy
(0)
1
B (9)
4
E (10)
C (8)
3
5
F (12)
min z x6 x1
s.t.
Kendala aktivitas A: (1,2)
x2 x1 6
Kendala aktivitas B: (1,3)
x3 x1 9
Kendala aktivitas
dummy: (2,3)
8/20/17
x3 x2
(lanjut)
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
6
Model Linier dari Contoh
2
A (6)
D (7)
Dummy
(0)
1
B (9)
3
Kendala aktivitas C: (3,5)
Kendala aktivitas D: (3,4)
Kendala aktivitas E: (4,5)
Kendala aktivitas F: (5,6)
4
E (10)
C (8)
5
x5 x3 8
x4 x3 7
x5 x4 10
x6 x5 12
Non negativity
8/20/17
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
F (12)
6
s.t.
min z x6 x1
x2 x1 6
x5 x3 8
x3 x1 9
x4 x3 7
x5 x4 10
x3 x2
x6 x5 12
Non negativity
Z
0
AktA
AktB
Akt Dummy
AktC
AktD
AktE
AktF
8/20/17
X1
1
-1
-1
X2
1
1
-1
X3
1
1
1
-1
-1
X4
1
X5
1
X6
1
1
1
-1
1
-1
DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
1
rhs
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
0>=
6
9
0
8
7
10
12