MODUL MATEMATIKA SMK BAB 2
A
B C
h
APROKSIMASI KESALAHAN
DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk
NAMA SISWA
: ………
.
KELAS
:
X ( SEPULUH ) …..
(2)
STANDAR KOMPETENSI
Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi
kesalahan
Kompetensi Dasar:
A.
Menerapkan konsep kesalahan pengukuran1. Pada pengukuran ada 3 macam cara pembulatan, yaitu : a. Pembulatan ke ukuran satuan terdekat
Contoh :
1. 20,6 g = 21 g dibulatkan ke gram terdekat
2. 145,14 m = 145,1 m dibulatkan ke persepuluh meter terdekat 3. 1,54 detik = 2 detik dibulatkan ke detik terdekat
b. Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal
Contoh :
53,1275 = 53,128 dibulatkan sampai tiga tempat desimal = 53,13 dibulatkan sampai dua tempat desimal = 53,1 dibulatkan sampai satu tempat desimal
c. Pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan
Aturan pembulatan ke angka signifikan :
1) Semua angka bukan nol adalah angka penting
2) Angka nol yang terletak diantara bukan nol termasuk angka penting
3) Biangan desimal yang kurang dari satu, angka nol yang terletak di sebelah kiri angka bukan nol, baik yang sebeah kiri atau sebelah kanan tanda koma tidak termasuk angka penting
4) Angka nol pada deretan terakhir sebuah bilangan termasuk angka penting Contoh :
1. 4,167 m empat angka penting
2. 0,305 ton angka nol di depan koma bukan angka penting ( aturan 3 ) sedangkan angka nol di antara 3 dan 5 merupakan angka penting ( aturan 2 ) sehingga 0,305 mempunyai 3 angka signifikan
3. 0,40 Amp Angka nol pada deretan terakhir termasuk angka penting, sedangkan angka nol di depan koma bukan angka penting. Sehingga 0,40 mempunyai 2 angka penting
4. 6.000 kg Angka nol pada deretan terakhir termasuk angka penting, sehingga 6.000 mempunyai empat angka penting
(3)
Latihan
1. Bulatkan 734,7548 m ke meter terdekat 2. Bulatkan 25,3101 gr ke kg terdekat
3. Bulatkan 1,342 sampai satu tempat decimal
4. Bulatkan 54, 0748 sampai dua tempat decimal
5. Bulatkan 20,1976 sampai satu tempat desimal
6. Bulatkan 9,5647 sampai dua tempat decimal
7. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 72,05
8. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 80,001
9. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 0,00009
10. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 2500
11. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 127,20
12. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 702,040
13. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 1000.10
14. Tentukan banyaknya angka signifikan pada bilangan 20.0560
(4)
2. Satuan Pengukuran Terkecil (SPT)
Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran. Contoh :
Tentukan satuan ukuran terkecil dari hasi pengukuran di bawah ini : a. 12 kg satuan ukuran terkecilnya adalah 1 kg
b. 5,9 m satuan ukuran terkecilnya adalah 0,1 m c. 6,17 dm satuan ukuran terkecilnya adalah 0,01 dm d. 1,125 cm satuan ukuran terkecilnya adalah 0,001 cm
3. Salah Mutlak (SM) atau Salah Absolut
SM =
2
1
SPT
Contoh :
Tinggi antena radio amatir adalah 26,8 m . Tentukan salah mutlaknya Jawab :
Hasil pengukuran = 26,8 m
Satuan pengukuran terkecilnya = 0,1 m jadi SM =
2
1
SPT
=
0
,
1
0
,
05
2
1
x
4. Salah Relatif (SR)SR =
HP
SM
HP = Hasil Pengukuran
5. Prosentase Kesalahan (PK)
PK = SR x 100 %
B.
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran6. Batas Atas (BA) atau Ukuran Terbesar atau Ukuran Maksimum, dan Batas Bawah (BB) atau Ukuran Terkecil atau Ukuran Minimum
Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak Batas Bawah = Hasil Pengukuran - Salah Mutlak Contoh :
Suatu pengukuran dinyatakan dalam bentuk jangkauan ( 73,4
0,02 ) mm tentukan batas bawah dan batas atas )Jawab
( 73,4
0,02 ) mm
0,02 adalah salah mutlaknya BA = HP + SM = 73,4 + 0,02 = 73,42(5)
7. Toleransi dalam pengukuran (TP)
TP = Batas Atas–Batas Bawah Contoh :
Tentukan salah relatif (SR), Persentase kesalahan (PK), Batas Atas (BA) , Batas Bawah (BB) , dan toleransi dalam pengukuran (TP) jika hasil pengukurannya panjang sebuah pipa 4,25 m ?
Jawab :
Hasil pengukuran = 4,25 m
Satuan pengukuran terkecinnya = 0,01 SM =
0
,
01
0
,
005
2
1
x
jadi SR = 0,00118 25
, 4
005 ,
0
HP SM
PK = SR x 100% = 0,00118 x 100% = 0,118 % BA = HP + SM = 4,25 m + 0,005 m = 4,255 m BB = HP–SM = 4,25 m - 0,005 m = 4,245 m TP = BA–BB = 4,255–4,245 = 0,01
Latihan:
1. Satuan pengukuran terkecil dari 20,65
adalah…..
2. Satuan pengukuran terkecil dari 5,341 adalah…….
3. Satuan pengukuran terkeci 234,01
adalah……..
4. Satuan pengukuran terkecil 10000,02
adalah………
5. Tentukan salah mutlak dari panjang kawat 2,45m
6. Tentukan salah mutlak dari pengukuran 0,575 mm
7. Tentukan salah relatif dari pengukuran gambar 5,5 cm
8. Tentukan salah relatif dari pengukuran 25,50 m tanah
(6)
satuan
pengukuran
terkecil
Salah
mutlak
salah
relatif
persentase
kesalahan
toleransi
3.1
l
7.6
cm
8.12
kg
12.18
m
16.185
g
48
detik
59
jam
0.12
ton
0.08
km
Hasil
pengukuran
9. Tentukan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran pipa 25,250 m
10. Tentukan prosentase kesalahan dari berat busi 35,5 gr
11. Tentukan batas bawah dan batas atas (7
0,5 ) kg12. Tentukan batas bawah dan batas atas ( 5
0,02 ) m13. Tentukan batas bawah dan batas atas (10,6
0,5 ) kg14. Tentukan batas bawah dan batas atas ( 2 4
0,5 ) kg(7)
8. Jumlah dua hasil pengukuran.
a. Jumlah Maksimum = BA1 + BA2
b. Jumlah Minimum = BB1 + BB2
c. SM = SM1+ SM2
Ket :
BA1= Batas atas hasil pengukuran 1 SM1= Salah mutlak 1
BA2= Batas atas hasil pengukuran 2 SM2= Salah mutlak 2
BB1= Batas bawah hasil pengukuran 1
BB2= Batas bawah hasil pengukuran 2
Contoh :
Dua potong pipa masing-masing panjangnya 3,2 cm dan 1,6 cm masing masing dibulatkan ke persepuluh cm . Jika kedua pipa tesebut disambungkan , Tentukan jumlah maksimum dan jumlah minimum ?
Jawab:
Pipa 1 Pipa 2
Panjangnya 3,2 cm Panjangnya 1,6 cm Ukuran terkecil 0,1 cm Ukuran terkecil 0,1 cm Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05 Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05 Batas atas = 3,2 + 0,05 = 3,25 Batas atas = 1,6 + 0,05 = 1,65
Batas bawah = 3,2 - 0,05 = 3,15 Batas bawah = 1,6 - 0,05 = 1,55
a. Jumlah Maksimum = BA1 + BA2= 3,25 + 1,65 = 4,9
b. Jumlah Minimum = BB1 + BB2= 3,15 + 1,55 = 4,7
9. Selisih dua hasil pengukuran.
a. Selisih Maksimum = BA1 - BA2
b. Seisih Minimum = BB1 - BB2
c. SM = SM1+ SM2
Contoh :
Dua hasil pengukuran suatu unit produksi adalah 8 cm dan 5 cm. Jika masing-masimg di bulatkan ke centimeter terdekat hitunglah selisih maksimum , selisih minimum dan salah mutlaknya ?
Jawab
unit produksi 1 unit produksi 2 Panjangnya 8 cm Panjangnya 5 cm Ukuran terkecil 1 cm Ukuran terkecil 1 cm
(8)
Salah mutlak =
2
1
x 1 =0,5 Salah mutlak =
2
1
x 1 =0,5 Batas atas = 8 + 0,5 = 8,5 Batas atas = 2 + 0,5 = 2,5 Batas bawah = 8–0,5 = 7,5 Batas bawah = 2–0,5 = 1,5
a. Selisih Maksimum = BA1 - BA2= 8,5 - 2,5 = 6
b. Selisih Minimum = BB1 - BB2= 7,5–1,5 = 6
c. SM = SM1+ SM2 = 0,5 +0,5 =1
10. Hasil kali dua hasil pengukuran.
a. Hasil kali Maksimum = BA1 x BA2
b. Hasil kali Minimum = BB1 x BB2
Contoh :
Berapakah batas–batas luas persegi panjang yang berukuran 5,2 m dan 3,8 m Jawab :
Panjangnya 5,2 m Lebarnya 3,8 m Ukuran terkecil 0,1 cm Ukuran terkecil 0,1 cm Salah mutlak =
2
1
x 0, 1 =0,05 Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05 Batas atas = 5,2 + 0,05 = 5,25 Batas atas = 3,8 + 0,05 = 3,85
Batas bawah = 5,2 - 0,05 = 5,15 Batas bawah = 3,8 + 0,05 = 3,75
Luas maksimum yang mungkin = ( 5,25 x 3,85 )m2= 20,2125 m2 Luas minimum yang mungkin = ( 5,15 x 3,75 ) m2= 19,3125 m2 Jadi luas sebenarnta terletak diantara 19,3125 m2dan 20,2125 m2
(9)
Latihan
1. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4 cm dan 5 cm
2. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta minimum dari hasil-hasil pengukuran 12 g dan 17 g
3. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4,3 m dan 4,7 m
4. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4,6 cm dan 11,8 cm
5. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 1,42 kg dan 0,90 kg
6. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 2,4 ton dan 8 ton
7. Suatu persegi panjang mempunyai panjang (7
0,5 ) cm dan lebar (4
0,5 )cm Tentukan :a. batas batas kelilingnya b. batas batas luasnya
8. Berapakah panjang kawat yang harus dibeli supaya pasti cukup untuk membuat bingkai bingkai betikut ini :
c. Persegi dengan sisi 8 cm
d. Lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm
9. Sepotong logam yang mempunyai panjang 20 cm dipotong sebagian yang panjangnya 6 cm . Berapakah batas-batas sisanya ?
10. Sebuah meja mempunyai ukuran panjang dan lebar masing-masing 2,4 m dan 1,7 m. Tentukan :
e. Keliling maksimum dan minimumnya
f. Luas maksimum meja dibulatkan dalam meter terdekat
(1)
2. Satuan Pengukuran Terkecil (SPT)
Satuan pengukuran terkecil adalah tingkat ketelitian dalam pengukuran. Contoh :
Tentukan satuan ukuran terkecil dari hasi pengukuran di bawah ini : a. 12 kg satuan ukuran terkecilnya adalah 1 kg
b. 5,9 m satuan ukuran terkecilnya adalah 0,1 m c. 6,17 dm satuan ukuran terkecilnya adalah 0,01 dm d. 1,125 cm satuan ukuran terkecilnya adalah 0,001 cm 3. Salah Mutlak (SM) atau Salah Absolut
SM =
2
1
SPT
Contoh :
Tinggi antena radio amatir adalah 26,8 m . Tentukan salah mutlaknya Jawab :
Hasil pengukuran = 26,8 m
Satuan pengukuran terkecilnya = 0,1 m
jadi SM =
2
1
SPT
=
0
,
1
0
,
05
2
1
x
4. Salah Relatif (SR)SR =
HP
SM
HP = Hasil Pengukuran 5. Prosentase Kesalahan (PK)
PK = SR x 100 %
B.
Menerapkan konsep operasi hasil pengukuran6. Batas Atas (BA) atau Ukuran Terbesar atau Ukuran Maksimum, dan Batas Bawah (BB) atau Ukuran Terkecil atau Ukuran Minimum
Batas Atas = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak Batas Bawah = Hasil Pengukuran - Salah Mutlak Contoh :
Suatu pengukuran dinyatakan dalam bentuk jangkauan ( 73,4
0,02 ) mm tentukan batas bawah dan batas atas )Jawab
( 73,4
0,02 ) mm
0,02 adalah salah mutlaknya BA = HP + SM = 73,4 + 0,02 = 73,42(2)
7. Toleransi dalam pengukuran (TP) TP = Batas Atas–Batas Bawah Contoh :
Tentukan salah relatif (SR), Persentase kesalahan (PK), Batas Atas (BA) , Batas Bawah (BB) , dan toleransi dalam pengukuran (TP) jika hasil pengukurannya panjang sebuah pipa 4,25 m ?
Jawab :
Hasil pengukuran = 4,25 m
Satuan pengukuran terkecinnya = 0,01
SM =
0
,
01
0
,
005
2
1
x
jadi SR = 0,00118
25 , 4
005 ,
0
HP SM
PK = SR x 100% = 0,00118 x 100% = 0,118 % BA = HP + SM = 4,25 m + 0,005 m = 4,255 m BB = HP–SM = 4,25 m - 0,005 m = 4,245 m TP = BA–BB = 4,255–4,245 = 0,01
Latihan:
1. Satuan pengukuran terkecil dari 20,65
adalah…..
2. Satuan pengukuran terkecil dari 5,341 adalah…….
3. Satuan pengukuran terkeci 234,01
adalah……..
4. Satuan pengukuran terkecil 10000,02
adalah………
5. Tentukan salah mutlak dari panjang kawat 2,45m
6. Tentukan salah mutlak dari pengukuran 0,575 mm
7. Tentukan salah relatif dari pengukuran gambar 5,5 cm
8. Tentukan salah relatif dari pengukuran 25,50 m tanah
(3)
satuan
pengukuran
terkecil
Salah
mutlak
salah
relatif
persentase
kesalahan
toleransi
3.1
l
7.6
cm
8.12
kg
12.18
m
16.185
g
48
detik
59
jam
0.12
ton
0.08
km
Hasil
pengukuran
9. Tentukan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran pipa 25,250 m
10. Tentukan prosentase kesalahan dari berat busi 35,5 gr
11. Tentukan batas bawah dan batas atas (7
0,5 ) kg12. Tentukan batas bawah dan batas atas ( 5
0,02 ) m13. Tentukan batas bawah dan batas atas (10,6
0,5 ) kg14. Tentukan batas bawah dan batas atas ( 2 4
0,5 ) kg(4)
8. Jumlah dua hasil pengukuran.
a. Jumlah Maksimum = BA1 + BA2 b. Jumlah Minimum = BB1 + BB2 c. SM = SM1+ SM2
Ket :
BA1= Batas atas hasil pengukuran 1 SM1= Salah mutlak 1 BA2= Batas atas hasil pengukuran 2 SM2= Salah mutlak 2 BB1= Batas bawah hasil pengukuran 1
BB2= Batas bawah hasil pengukuran 2
Contoh :
Dua potong pipa masing-masing panjangnya 3,2 cm dan 1,6 cm masing masing dibulatkan ke persepuluh cm . Jika kedua pipa tesebut disambungkan , Tentukan jumlah maksimum dan jumlah minimum ?
Jawab:
Pipa 1 Pipa 2
Panjangnya 3,2 cm Panjangnya 1,6 cm Ukuran terkecil 0,1 cm Ukuran terkecil 0,1 cm
Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05 Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05
Batas atas = 3,2 + 0,05 = 3,25 Batas atas = 1,6 + 0,05 = 1,65
Batas bawah = 3,2 - 0,05 = 3,15 Batas bawah = 1,6 - 0,05 = 1,55
a. Jumlah Maksimum = BA1 + BA2= 3,25 + 1,65 = 4,9 b. Jumlah Minimum = BB1 + BB2= 3,15 + 1,55 = 4,7
9. Selisih dua hasil pengukuran.
a. Selisih Maksimum = BA1 - BA2 b. Seisih Minimum = BB1 - BB2 c. SM = SM1+ SM2
Contoh :
Dua hasil pengukuran suatu unit produksi adalah 8 cm dan 5 cm. Jika masing-masimg di bulatkan ke centimeter terdekat hitunglah selisih maksimum , selisih minimum dan salah mutlaknya ?
Jawab
unit produksi 1 unit produksi 2
Panjangnya 8 cm Panjangnya 5 cm
(5)
Salah mutlak =
2
1
x 1 =0,5 Salah mutlak =
2
1
x 1 =0,5
Batas atas = 8 + 0,5 = 8,5 Batas atas = 2 + 0,5 = 2,5 Batas bawah = 8–0,5 = 7,5 Batas bawah = 2–0,5 = 1,5
a. Selisih Maksimum = BA1 - BA2= 8,5 - 2,5 = 6 b. Selisih Minimum = BB1 - BB2= 7,5–1,5 = 6 c. SM = SM1+ SM2 = 0,5 +0,5 =1
10. Hasil kali dua hasil pengukuran.
a. Hasil kali Maksimum = BA1 x BA2 b. Hasil kali Minimum = BB1 x BB2
Contoh :
Berapakah batas–batas luas persegi panjang yang berukuran 5,2 m dan 3,8 m Jawab :
Panjangnya 5,2 m Lebarnya 3,8 m
Ukuran terkecil 0,1 cm Ukuran terkecil 0,1 cm
Salah mutlak =
2
1
x 0, 1 =0,05 Salah mutlak =
2
1
x 0,1 =0,05
Batas atas = 5,2 + 0,05 = 5,25 Batas atas = 3,8 + 0,05 = 3,85
Batas bawah = 5,2 - 0,05 = 5,15 Batas bawah = 3,8 + 0,05 = 3,75
Luas maksimum yang mungkin = ( 5,25 x 3,85 )m2= 20,2125 m2 Luas minimum yang mungkin = ( 5,15 x 3,75 ) m2= 19,3125 m2 Jadi luas sebenarnta terletak diantara 19,3125 m2dan 20,2125 m2
(6)
Latihan
1. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4 cm dan 5 cm
2. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta minimum dari hasil-hasil pengukuran 12 g dan 17 g
3. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4,3 m dan 4,7 m
4. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 4,6 cm dan 11,8 cm
5. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 1,42 kg dan 0,90 kg
6. Carilah jumlah dan selisih maksimum serta . minimum dari hasil-hasil pengukuran 2,4 ton dan 8 ton
7. Suatu persegi panjang mempunyai panjang (7
0,5 ) cm dan lebar (4
0,5 )cm Tentukan :a. batas batas kelilingnya b. batas batas luasnya
8. Berapakah panjang kawat yang harus dibeli supaya pasti cukup untuk membuat bingkai bingkai betikut ini :
c. Persegi dengan sisi 8 cm
d. Lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm
9. Sepotong logam yang mempunyai panjang 20 cm dipotong sebagian yang panjangnya 6 cm . Berapakah batas-batas sisanya ?
10. Sebuah meja mempunyai ukuran panjang dan lebar masing-masing 2,4 m dan 1,7 m. Tentukan :
e. Keliling maksimum dan minimumnya
f. Luas maksimum meja dibulatkan dalam meter terdekat