Materi Pelajaran Matematika SMA Semester 1/2 Kelas 12 BAB 3 Matriks
Matriks
Bab
79
III
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan kalian dapat
1. menjelaskan ciri suatu
matriks;
2. menuliskan informasi
dalam bentuk matriks;
3. melakukan operasi
aljabar atas dua matriks;
4. menentukan determinan matriks persegi
ordo 2;
5. menentukan invers
matriks persegi ordo 2;
6. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
dengan invers matriks;
7. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
dengan determinan;
8. menentukan determinan matriks persegi
ordo 3;
9. menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear tiga variabel.
Sumber: upload.wikimedia.org
Matriks
Motivasi
Apa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftar
nilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunan
penulisannya? Jika susunan tersebut dituliskan untuk per hari
atau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangat
panjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apa
yang kalian bayangkan tentang posisi berderet dari depan ke
belakang dan dari kiri ke kanan? Kasus-kasus di atas dapat
disajikan dengan mudah menggunakan matriks.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
80
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Peta Konsep
Matriks
membahas
Notasi dan Ordo
Jenis-Jenis
Matriks
Determinan dan
Invers
Operasi Matriks
membahas
terdiri atas
Transpose
Determinan
Invers
Penjumlahan
berguna untuk
Pengurangan
Penyelesaian
SPL
Perkalian dengan
Skalar
Perkalian Matriks
Kata Kunci
•
•
•
•
•
•
•
•
•
adjoin
aturan Sarrus
baris
determinan
entry
kesamaan matriks
kofaktor
kolom
lawan matriks
•
•
•
•
•
•
•
•
•
matriks
matriks baris
matriks diagonal
matriks identitas
matriks kolom
matriks persegi
minor
nonsingular
notasi matriks
•
•
•
•
•
•
•
ordo
perkalian matriks
persamaan matriks
singular
skalar
transformasi baris
elementer
transpose
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Matriks
81
Materi tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian.
Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk
mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain
determinan, vektor, dan transformasi geometri. Matriks
merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian
sistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks
sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan
dengan jajaran bilangan.
Sebelum lebih jauh mempelajari tentang matriks,
kerjakanlah latihan berikut agar kalian lebih mudah mempelajari
matriks.
Prasyarat
Kerjakan di buku
tugas
Cobalah kalian mencari informasi tentang harga-harga
kebutuhan pokok di beberapa pasar di sekitarmu, kemudian
isikan dalam kolom berikut.
Nama Pasar
Pasar A
Nama Barang
Beras (per kg)
Gula pasir (per kg)
Cabe merah (per kg)
......................
......................
......................
Pasar B
......................
......................
......................
Jelaskan tentang isi tabel tersebut. Apa arti dari elemen atau angka
dalam tabel tersebut?
A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
1. Pengertian Matriks
Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan
contoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannya
untuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris
dalam tabel berikut.
Mata Pelajaran
Matematika
Sejarah
TIK
B. Inggris
Ulangan I
Ulangan II
Ulangan III
Ulangan IV
7
8
5
7
8
7
7
9
9
8
8
10
8
6
6
8
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
82
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.
£7
²
²8
²5
²
²7
¤
Tugas: Observasi
• Kerjakan di buku tugas
Ambillah sebuah surat
kabar. Carilah daftar harga
dasar kebutuhan bahan
pokok, daftar hasil skor
pertandingan sepak bola,
atau daftar nilai tukar mata
uang. Buatlah daftar tersebut
menjadi bentuk matriks.
Bagaimanakah hasilnya,
apakah bentuknya lebih
ringkas?
8¥
7
´
³8
7 8 6´
³
atau
³5
7 8 6´
´
³
9 10 8 ´¦
7
8
9
8
7 8 6 µµ
7 8 6µ
µ
9 10 8
8
9
Dalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalami
kesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilai
Matematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, dan
baris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertama
menyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,
dan seterusnya.
Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut
baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah
kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom
disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang
ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada
matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6
dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat
dilihat dengan mudah pada matriks berikut.
7
³8
³
³5
³
7
8 9
7 8
7 8
9 10
8
6 µµ
6µ
µ
8
baris ke-1
baris ke-2
baris ke-3
baris ke-4
kolom ke-4
kolom ke-3
kolom ke-2
kolom ke-1
Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4
adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.
2. Notasi dan Ordo Matriks
Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf
kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen
matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, a ij untuk
menyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiap
elemen B, dan seterusnya.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Matriks
83
Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat
mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.
Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk
persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom.
Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.
a11 a12
³a
³ 21 a22
M
A= ³ M
³
³ a i1 a i2
³ a m1 a m2
.... a1 j
.... a 2 j
M
M
.... a ij
.... a mj
.... a1n
.... a 2n µµ
M
M µ
µ
.... ain µ
.... a mn µ
aij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Untuk ukuran m × n, sering kali disebut ordo suatu matriks
sehingga matriks A dapat ditulis Am × n .
Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskan
secara singkat ke dalam notasi A = (aij), B = (bij), dan seterusnya.
Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentang
ordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.
Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan
banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi dari
matriks A dinyatakan dengan A = (aij).
Contoh 1:
Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama
tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah
sebagai berikut.
Harga Per Kilogram dalam Rupiah
Tahun
2004
2005
2006
2007
a.
b.
c.
d.
Beras
Gula
Minyak Goreng
1.900
2.300
2.400
2.600
3.750
3.900
3.800
4.000
4.500
4.700
5.000
5.600
Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan
notasi A.
Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?
Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.
Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
84
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Jawab:
a.
b.
c.
d.
Contoh 2:
Problem
Solving
1 .900
³2.300
A= ³
³2.400
³
2.600
3.750 4.500
3.900 4.700µµ
3.800 5.000µ
µ
4.000 5.600
Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom
pada matriks A adalah 3.
Elemen-elemen pada baris kedua adalah a21 = 2.300,
a22 = 3.900, dan a23 = 4.700.
Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a13 = 4.500,
a23 = 4.700, a33 = 5.000, dan a43 = 5.600.
7
Bab
79
III
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari bab
ini, diharapkan kalian dapat
1. menjelaskan ciri suatu
matriks;
2. menuliskan informasi
dalam bentuk matriks;
3. melakukan operasi
aljabar atas dua matriks;
4. menentukan determinan matriks persegi
ordo 2;
5. menentukan invers
matriks persegi ordo 2;
6. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
dengan invers matriks;
7. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
dengan determinan;
8. menentukan determinan matriks persegi
ordo 3;
9. menentukan penyelesaian sistem persamaan
linear tiga variabel.
Sumber: upload.wikimedia.org
Matriks
Motivasi
Apa yang kalian amati ketika melihat daftar harga, daftar
nilai UN, atau daftar gaji? Apakah kalian memerhatikan susunan
penulisannya? Jika susunan tersebut dituliskan untuk per hari
atau per bulan atau bahkan per tahun pasti akan menjadi sangat
panjang. Perhatikan juga posisi tempat duduk peserta ujian. Apa
yang kalian bayangkan tentang posisi berderet dari depan ke
belakang dan dari kiri ke kanan? Kasus-kasus di atas dapat
disajikan dengan mudah menggunakan matriks.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
80
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Peta Konsep
Matriks
membahas
Notasi dan Ordo
Jenis-Jenis
Matriks
Determinan dan
Invers
Operasi Matriks
membahas
terdiri atas
Transpose
Determinan
Invers
Penjumlahan
berguna untuk
Pengurangan
Penyelesaian
SPL
Perkalian dengan
Skalar
Perkalian Matriks
Kata Kunci
•
•
•
•
•
•
•
•
•
adjoin
aturan Sarrus
baris
determinan
entry
kesamaan matriks
kofaktor
kolom
lawan matriks
•
•
•
•
•
•
•
•
•
matriks
matriks baris
matriks diagonal
matriks identitas
matriks kolom
matriks persegi
minor
nonsingular
notasi matriks
•
•
•
•
•
•
•
ordo
perkalian matriks
persamaan matriks
singular
skalar
transformasi baris
elementer
transpose
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Matriks
81
Materi tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian.
Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk
mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain
determinan, vektor, dan transformasi geometri. Matriks
merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian
sistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks
sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan
dengan jajaran bilangan.
Sebelum lebih jauh mempelajari tentang matriks,
kerjakanlah latihan berikut agar kalian lebih mudah mempelajari
matriks.
Prasyarat
Kerjakan di buku
tugas
Cobalah kalian mencari informasi tentang harga-harga
kebutuhan pokok di beberapa pasar di sekitarmu, kemudian
isikan dalam kolom berikut.
Nama Pasar
Pasar A
Nama Barang
Beras (per kg)
Gula pasir (per kg)
Cabe merah (per kg)
......................
......................
......................
Pasar B
......................
......................
......................
Jelaskan tentang isi tabel tersebut. Apa arti dari elemen atau angka
dalam tabel tersebut?
A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks
1. Pengertian Matriks
Untuk memahami pengertian tentang matriks, perhatikan
contoh berikut. Seorang siswa mencatat hasil ulangan hariannya
untuk pelajaran Matematika, Sejarah, TIK, dan Bahasa Inggris
dalam tabel berikut.
Mata Pelajaran
Matematika
Sejarah
TIK
B. Inggris
Ulangan I
Ulangan II
Ulangan III
Ulangan IV
7
8
5
7
8
7
7
9
9
8
8
10
8
6
6
8
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
82
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana.
£7
²
²8
²5
²
²7
¤
Tugas: Observasi
• Kerjakan di buku tugas
Ambillah sebuah surat
kabar. Carilah daftar harga
dasar kebutuhan bahan
pokok, daftar hasil skor
pertandingan sepak bola,
atau daftar nilai tukar mata
uang. Buatlah daftar tersebut
menjadi bentuk matriks.
Bagaimanakah hasilnya,
apakah bentuknya lebih
ringkas?
8¥
7
´
³8
7 8 6´
³
atau
³5
7 8 6´
´
³
9 10 8 ´¦
7
8
9
8
7 8 6 µµ
7 8 6µ
µ
9 10 8
8
9
Dalam membaca tabel di atas, siswa tidak mengalami
kesulitan karena dia sudah tahu bahwa baris ke-1 adalah nilai
Matematika, baris ke-2 nilai Sejarah, baris ke-3 nilai TIK, dan
baris ke-4 nilai Bahasa Inggris. Untuk kolom pertama
menyatakan nilai ulangan I, kolom ke-2 adalah nilai ulangan II,
dan seterusnya.
Dalam matematika, susunan bilangan yang ditulis menurut
baris dan kolom serta ditandai dengan tanda kurung di sebelah
kiri dan sebelah kanannya disebut matriks. Nama baris dan kolom
disesuaikan dengan urutannya. Masing-masing bilangan yang
ada di dalam tanda kurung tersebut disebut elemen matriks. Pada
matriks di atas, elemen matriks baris ke-2 kolom ke-4 adalah 6
dan elemen matriks baris ke-3 kolom ke-1 adalah 5. Hal ini dapat
dilihat dengan mudah pada matriks berikut.
7
³8
³
³5
³
7
8 9
7 8
7 8
9 10
8
6 µµ
6µ
µ
8
baris ke-1
baris ke-2
baris ke-3
baris ke-4
kolom ke-4
kolom ke-3
kolom ke-2
kolom ke-1
Pada matriks di atas, elemen matriks baris ke-3 kolom ke-4
adalah 6. Elemen matriks baris ke-2 kolom ke-3 adalah 8.
2. Notasi dan Ordo Matriks
Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf
kapital, seperti A, B, C, ..., sedangkan untuk menyatakan elemen
matriks ditulis dengan huruf kecil. Misalnya, a ij untuk
menyatakan tiap elemen matriks A, bij untuk menyatakan tiap
elemen B, dan seterusnya.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Matriks
83
Dari uraian yang telah disampaikan di atas, kita dapat
mendefinisikan pengertian matriks sebagai berikut.
Suatu matriks A berukuran m × n adalah susunan berbentuk
persegi panjang yang terdiri atas m baris dan n kolom.
Matriks A biasanya dinotasikan sebagai berikut.
a11 a12
³a
³ 21 a22
M
A= ³ M
³
³ a i1 a i2
³ a m1 a m2
.... a1 j
.... a 2 j
M
M
.... a ij
.... a mj
.... a1n
.... a 2n µµ
M
M µ
µ
.... ain µ
.... a mn µ
aij menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Untuk ukuran m × n, sering kali disebut ordo suatu matriks
sehingga matriks A dapat ditulis Am × n .
Kadang-kadang, bentuk umum matriks A dapat dituliskan
secara singkat ke dalam notasi A = (aij), B = (bij), dan seterusnya.
Dari uraian di atas dapat diberikan definisi yang jelas tentang
ordo matriks dan notasi matriks sebagai berikut.
Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks yang menyatakan
banyak baris diikuti dengan banyak kolom. Notasi dari
matriks A dinyatakan dengan A = (aij).
Contoh 1:
Hasil penelitian tentang keadaan harga-harga pokok selama
tahun 2004, 2005, 2006, dan 2007 di suatu daerah adalah
sebagai berikut.
Harga Per Kilogram dalam Rupiah
Tahun
2004
2005
2006
2007
a.
b.
c.
d.
Beras
Gula
Minyak Goreng
1.900
2.300
2.400
2.600
3.750
3.900
3.800
4.000
4.500
4.700
5.000
5.600
Susunlah data di atas ke dalam bentuk matriks dengan
notasi A.
Berapa banyak baris dan kolom dari matriks A?
Sebutkan elemen-elemen pada baris kedua.
Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga.
Di unduh dari: (www.bukupaket.com)
Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
84
Khaz Matematika SMA 3 IPS
Jawab:
a.
b.
c.
d.
Contoh 2:
Problem
Solving
1 .900
³2.300
A= ³
³2.400
³
2.600
3.750 4.500
3.900 4.700µµ
3.800 5.000µ
µ
4.000 5.600
Banyak baris pada matriks A adalah 4 dan banyak kolom
pada matriks A adalah 3.
Elemen-elemen pada baris kedua adalah a21 = 2.300,
a22 = 3.900, dan a23 = 4.700.
Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah a13 = 4.500,
a23 = 4.700, a33 = 5.000, dan a43 = 5.600.
7