FUNGSI GENAP DAN GANJIL
SYARAT DIRICHLET
Misalkan adalah fungsi yang licin bagian demi bagian, berperioda 2 , maka deret fourier konvergen
1. Ke nilai untuk setiap titik di mana fungsi kontinu.
1
- 2. Ke nilai dimana fungsi 0+ 0− diskontinu.
bagi tiap titik
2
1
. Jika
0− 0+ menyatakan nilai rata-rata dari limit kiri dan limit kanan fungsi di titik
- Catatan:
2
1
- 2
- kontinu di . Jelas dipenuhi pula = (licin).
−
Contoh: 1 , −1 < < 0
= , 0 <
< 1 Fungsi tersebut adalah fungsi periodik dengan perioda 2. Tentukan konvergen ke nilai berapa deret Fourier
1
3
5
, , tersebut di titik-titik kekontinuan dan di titik-titik ke tak kontinuan = − = 0,1,3
2
2
2 Jawab:
Menurut syarat dirichlet maka dititik kekontinuan
1
konvergen ke 0 =
2
3
konvergen ke 1 =
2
5
konvergen ke 1 = −
2 Menurut syarat dirichlet maka dititik ketak kontinuan
1
1
= 0 konvergen ke 0 + 1 =
2
2
1
1
= 1konvergen ke 1 + 0 =
2
2
1
1
= 3 konvergen ke 1 + 0 =
2
2 FUNGSI GENAP DAN GANJIL
Fungsi , dan katakan fungsi ganjil jika dikatakan fungsi genap jika − = untuk setiap ∈ − =
. Berdasarkan pengertian ini, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu − untuk setiap ∈ dan grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik
0,0 . Contoh:
1. Fungsi
= cos adalah fungsi genap karena − = cos − = cos = untuk setiap =
∈ ℝ
3
3
3
2. Fungsi
- = setiap
= adalah fungsi ganjil karena − = − = − untuk − = −
∈ ℝ = 2
Jika . Jika = 0. adalah fungsi genap, maka fungsi ganjil maka
− −
Maka koefisien-koefisien untuk deret fourier untuk fungsi yang merupakan fungsi genap menjadi:
2 =
2 = cos
= 0 Maka deret Fourier untuk fungsi genpa menjadi:
∞
- 2
cos =
=1
Sedangkan untuk fungsi ganjil, koefisen-koefisien deret Fourier: = 0 = 0
2 = sin
Maka deret fourier untuk fungsi ganjil menjadi:
∞
sin =
=1
Contoh: Diketahui fungsi:
1
1
2
, < = − <
2
2 Periodik dengan perioda 1, sehingga + 1 = . Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier. Jawab:
1
1
2 Fungsi adalah suatu fungsi genap , akan teruraikan dalam deret cosinus.
= = 1, sehingga = =
2
2
= 0
1
2
2
1
1
1
1
1
2
3
2 = . = 4 = 4 =
1
3 3 8 −
6
2
1
1
2
2
2
2
2
= cos = 4 cos 2
1
1
2
2 Untuk menyelesaikan integral di atas harus digunakan integral parsial
1
2
sin 2 Misal
= ↔ = 2 dan = cos 2 ↔ =
2
1
2
2
1
2 = 4 sin 2 sin 2
−
2
1
2 Untuk
sin 2
1
cos 2 Misal
= ↔ = dan = sin 2 ↔ = − Maka
2
1
2
2
1
1
1
1
2 = 4 sin 2 cos 2 cos 2
−
- 2
2
2
2 −
2
1
1
= 4 sin 2 cos 2 sin 2 −
- 2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
4
2
- = 4 sin cos sin
− − 0 + 0 − 0
2
3
2
2
4
1
1 = 4 cos
= −1
2
2
4 Maka deret Fourier dari fungsi
:
∞
1 −1 cos 2
- 2
=
12
=1
DERET FOURIER SINUS DAN KOSINUS SEPARUH JANGKAUAN
Dalam kehidupan nyata sering kali fungsi hanya terdefinisi dalam suatu selang positif, 0 < < . Oleh karena itu, seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sumbu
, baik arah sumbu positif maupun ke arah sumbu negatif. Dalam hal ini ada tiga pilihan yang dapat dilakukan sehingga berikut:
1. Fungsi diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil-tidak genap dengan periodik = ; dan selang dasar 0 <
<
2. Selang dasar 0 <
< diperluas ke selang negatif secara simetris terhadap sumbu = 0 menjadi – < < dan fungsi diperluas menjadi fungsi periodik dengan perioda = 2 dalam hal ini punya dua pilihan diperluas ke fungsi genap atau ganjil. Contoh: Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada sehingga daerah: 1 0 <
− , < 1 = = 1 <
, < 2 Nyatakan dalam fungsi ini dalam:
a. Deret Fourier fungsi cosinus
b. Deret Fourier fungsi sinus
c. Deret Fourier fungsi cosinus-sinus Jawab:
1. Gambar fungsi jika diperluas kedalam fungsi cosinus (genap): 1
1 2 3 4 Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi genap dengan periode
= 4 maka diperoleh = 2, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya: = 0
2
1
2
2
1
1
1
1
2
- 2
= = = 0 = 1 − − = 1 −
2 2 −
2
1
2
1
2
1
1
2
- = = = 1 − cos cos − cos cos
2
2
2
2
2
1
1 Untuk akan digunakan integral parsial
cos
2
2
sin Misal
= ↔ = dan = cos ↔ =
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1 = sin = + sin sin cos cos −
2 2 n
2
2
2 π
2
4
4
4
- = sin cos 0 + cos 0
1 = cos
2
2
2
2 2 − 2 − Maka integral diatas menjadi
1
4
2
4
4
1 = 1 sin
1
2
2
2
1 cos − cos = cos = − cos −
2 2 − 2 2 − 2 − Maka deret fourier fungsi di atas adalah
∞
1
4 1 cos = cos
2
4 − 2 −
2
=1
2. Gambar fungsi jika diperluas kedalam fungsi sinus (ganjil): 1
- -2 -1 -1 1 2 Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi ganjil dengan periode = 4 maka diperoleh = 2, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya: = 0 dan = 0
- 2
- 2
- 1
- = cos sin + 0 + sin 0 cos sin − = −
- 2
- 1
- = =
- 1
- 1
- = cos cos sin + 0
- cos sin
2
1
2
1
1
2 = = = 1 − sin sin − sin sin
2
2
2
2
1
1 Untuk akan digunakan integral parsial
sin
2
2
cos Misal
= ↔ = dan = sin ↔ = −
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1 = cos cos = cos sin sin − −
2 n
2
2
2 π
2
4
4
2
4
2
2
2
2 2 −
2
2 Maka integral diatas menjadi
1
2
4
2
2
4
2
= cos sin = cos cos sin sin −
2 2 −
2 2 2 −
2
2
2
2
4
2
4 = + + cos cos sin = sin
−
2
2
2 2 −
2
2 − Maka deret fourier fungsi di atas adalah
∞
2
4 sin sin =
2
2
2 −
=1
3. Gambar fungsi -2 -1 jika diperluas kedalam fungsi cosinus-sinus (bukan ganjil-genap): 1 1 2 Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi bukan ganjil-genap dengan periode = 2 maka diperoleh
= 1, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya:
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
0 = 1 − = − = 1 − 1 2 2 −
2
1
2
1
2
1
1
1 = = = 1 − cos cos − cos cos
1
1 Dengan melihat jawaban nomor 1 kita peroleh
2
1
1
1 = sin sin cos
− +
2
2
2
1
1
1
1
1 = sin sin cos
− − − 0 − 0 − = 1 − cos
2 ,
1 =
2 1 − −1 = ,
2
2
2
1
2
1
1
1 = = = 1 − sin sin − sin sin
1
1 Dengan melihat nomor 2 kita peroleh
2
1
1
1 = cos cos sin
− − − +
2
1
1
1
1
1
− − − − − 0 = Maka deret fourier fungsi di atas adalah
∞
1
2
1
=
2
2
4 2 − 1
=1