BANYAK SISWA JURUSAN Listrik Elektronika
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Dra. Yuli Winarsih ; Ismundari Puspitasari, S.Pd.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
STATISTIK DAN STATISTIKA
Banyak persoalan dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angkaangka. Kumpulan angka-angka itu sering disusun atau disajikan dalam bentuk daftar
atau tabel. Sering daftar atau tabel tersebut disertai dengan gambar-gambar, dan
disebut dengan statistik. Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan
kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau
diagram, yang menggambarkan suatu persoalan.
Dari hasil pengamatan atau penelitian, dalam laporannya sering diperlukan
suatu uraian, penjelasan atau kesimpulan tentang persoalan yang diamati atau diteliti.
Sebelum membuat kesimpulan, keterangan atau data yang terkumpul terlebih
dahulu dipelajari, diolah atau dianalisis, dan berdasarkan pengolahan data inilah
baru dibuat kesimpulan. Mulai dari pengumpulan data, pengolahan data dan
pengambilan kesimpulan haruslah mengikuti cara-cara yang benar dan dapat
dipertanggungjawabkan. Ini semua merupakan pengetahuan tersendiri yang dinamakan
dengan statistika. Jadi statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan
cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan
kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.
POPULASI DAN SAMPEL
Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun mengukur,
kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota
kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat- sifatnya disebut populasi.
Sebagian yang diambil dari populasi disebut sampel. Jika kita ingin mempelajari
sifat-sifat nilai matematika dari siswa SMK Bina Bangsa, maka nilai matematika
semua siswa SMK Bina Bangsa merupakan populasi. Jika jumlah seluruh siswa SMK
Bina Bangsa sebanyak1000
siswa,
untuk
mempelajari
sifat-sifat
nilai
matematikanya tentu memerlukan waktu yang lama, dana yang tidak sedikit, tenaga
yang tidak sedikit dan lain sebagainya. Untuk tetap dapat mempelajari sifat nilai
matematika dari 1000 siswa tersebut dengan keterbatasan-keterbatasan yang telah
disebutkan di muka, maka dilakukan dengan mengambil sebagian nilai dari 1000 siswa
tersebut, yang dinamakan sampel. Pengambilan sampel ini haruslah
yang
representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya tercerminkan
pula dalam sampel yang diambil.
MACAM-MACAM DATA
Keterangan mengenai sesuatu hal disebut data atau data statistik. Data yang
berbentuk kategori disebut data kualitatif sedangkan data yang berbentuk bilangan
disebut data kuantitatif. Contoh data kualitatif adalah: baik, buruk, berhasil, gagal,
senang, rusak, puas, dan sebagainya. Pada data kuantitatif, dari nilainya dikenal 2
golongan, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang
didapatkan dengan cara menghitung atau membilang, sedangkan data kontinu
didapatkan dengan cara mengukur.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2
Contoh data diskrit adalah sebagai berikut:
1. Sebuah keluarga mempunyai anak 3 laki-laki dan 2 perempuan.
2. Di Kecamatan Gamping terdapat 5 SMP Negeri dan 1 SMA Negeri.
3. Di kelas I-A SMK Patriot terdapat 25 siswa laki-laki dan 15 siswa
perempuan.
Contoh data kontinu adalah sebagai berikut:
1. Tinggi badan 5 orang siswa adalah: 160 cm, 163 cm, 159 cm, 170 cm, dan
167 cm.
2. Berat badan 3 orang siswa adalah: 45 kg, 50 kg, dan 53 kg.
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
Untuk keperluan laporan atau analisis yang lain, data yang dikumpulkan, baik
data dari populasi ataupun sampel, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang
jelas dan baik. Ada 2 macam penyajian data yang sering dipakai, yaitu tabel atau
daftar dan grafik atau diagram.
1) Tabel baris-kolom
Hasil Ujian Nasional SMK “ A “
Tahun 2009
BANYAK SISWA
JURUSAN
Listrik
Elektronika
Bangunan Gedung
Mesin
Otomotif
Jumlah
LULUS
TIDAK LULUS
50
48
49
50
47
244
0
2
1
0
3
6
JUMLAH
50
50
50
50
50
250
2) Tabel Distribusi Frekuensi
Nilai Matematika Siswa Kelas XIIA SMK PUTRA MANDIRI
Nilai Matematika
BANYAKNYA SISWA(f)
41 - 50
51-60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
JUMLAH
3
5
18
9
2
1
38
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
1) Diagram batang
Banyak Siswa 5 SMK di Kota Baru
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1562
1019
818
743
432
SMK A
SMK B
SMK C
SMK D
SMK E
Berapa banyak siswa SMK D? Berapa banyak seluruh siswa SMK di kota Baru?
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
3
2) Diagram Garis
Penggunaan Mesin Jahit di perusahaan konveksi
Tahun 1971 s/d 1980
700
600
500
400
300
200
100
1971 1972
1973 1974
1975 1976 1977
1978
1979 1980
Pada tahun berapa terjadi kenaikan paling tinggi dalam penggunaan mesin jahit?
3)Diagram Lingkaran
Keperluan dana masing-masing pos suatu instansi
Pos E
10%
Pos F
8%
Pos A
28%
Pos D
22%
Pos C
14%
Pos B
18%
Jika dana keseluruhan Rp 540.000.000,00 maka berapa rupiah keperluan dana untuk pos B?
Menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok berdasarkan aturan Sturgess
Perhatikan nilai matematika untuk 80 orang siswa berikut ini:
79
49
48
21
81
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
30
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
26
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, kita
lakukan sebagai berikut:
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
4
a. Tentukan jangkauan; j = Data maks – data min = 99 – 21 = 78.
b. Tentukan banyak kelas;
Menurut aturan Sturgess, banyak kelas k = 1 + (3,3) log n
= 1 + (3,3)log 80
= 1 + (3,3)(1,9031)
= 7,2802.
≈ 8 (selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas)
j 78
c. Tentukan panjang interval kelas ; i = =
= 9,75 ≈ 10
k
8
nilai i selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas.
d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data
terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang
dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan
menggunakan harga-harga yang telah dihitung.
e. Dengan i = 10 dan memulai dengan data terkecil, maka int er va l kelas pertama
berbentuk 21–30, kelas kedua 31–40, kelas ketiga 41–50, dan seterusnya.
f. Dengan menggunakan tabulasi dapat dibuat table distribusi frekuensi berdasarkan hasil
diatas.
Nilai Ujian
Tabulasi
Frekuensi
21 – 30
3
///
//
31 – 40
2
///
41 – 50
3
////
51 – 60
5
//// //// ////
61 – 70
14
//// //// //// //// //
71 – 80
22
//// //// //// ////
81 – 90
19
//// //// //
91 – 100
12
Jumlah ( ∑ )
80
Istilah-istilah dari tabel distribusi frekuensi berkelompok diatas adalah :
*Batas atas (Ba)
*Kelas (k)
Kelas 61 – 70 batas atasnya 70
Ada 8 kelas yaitu : 21 – 30 ; 31 – 40;
Kelas 91 – 100 batas atasnya .......
.........;..........;..........; .........;..........;..........
*Tepi bawah (Ltb)
*Panjang interval kelas (i)
i = .....
Kelas 81– 90 tepi bawahnya 80,5
Kelas 51– 60 tepi bawahnya .......
*Banyak data (n, ∑ f )
*Tepi atas (Lta)
n = ∑ f = ......
Kelas 51– 60 tepi atasnya 60,5
*Batas bawah (Bb)
Kelas 91– 100 tepi atasnya .......
Kelas 51 – 60 batas bawahnya 51
Kelas 71 – 80 batas bawahnya .......
Latihan 1
Buatlah tabel distribusi frekuensi kelompok data berikut :
27 34 54 57 3 33 27 21 4 10 35 20 39 28 33 43 40 37 18 36
12 14 29 30 9 24 53 19 20 7 26 22 50 25 1 25 56 46 19 47
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
5
4) Histogram dan polygon frekuensi
Adalah diagram dari tabel distribusi frekuensi. Histogram dari tabel distribusi
frekuensi diatas adalah :
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
Tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan kita hubungkan dan sisi terakhir
dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk
yangdidapat dinamakan polygon frekuensi.
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
5) Ogive
Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah
lengkungan halus yang bentuknya sesuai dengan bentuk polygon tersebut. Lengkungan
yang didapat dinamakan kurva frekuensi atau biasa disebut dengan ogive.
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
RATAAN / RATA-RATA HITUNG / MEAN
Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyak data.
a. Untuk data tunggal : x1 , x2 , x3 , x4 , …., xn rataannya dirumuskan :
x + x2 + x3 + x 4 + ..... + x n ∑ xi
=
x= 1
n
n
b. Untuk data dalam tabel distribusi frekuensi, rataannya dirumuskan : x =
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
∑ f .x
∑f
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 1
Tentukan rataan dari data :
a. 2, 6, 7, 5, 5, 4, 10, 8, 6, 9
b.
Nilai
6
7
8
9
Banyak siswa(Frek)
2
3
4
1
c.
Berat (kg)
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
Jawab:
a. x =
∑ xi = 2 + 6 + 7 + 5 + 5 + 4 + 10 + 8 + 6 + 9 = 6,2
10
n
b.
Nilai(x)
6
7
8
9
∑
Frek(f)
2
3
4
1
10
f.x
12
21
32
9
74
x=
∑ f .x = 74 = 7,4
∑ f 10
c.
Frek
3
4
2
1
6
Berat (kg)
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
∑
Frek(f)
3
4
2
1
10
xi
3
8
13
18
f.x
9
32
26
18
85
x=
∑ f .x
∑f
85
10
= 8,5
=
Latihan 2
Tentukan rataan dari data berikut :
1. a. Nilai lima kali ulangan Niko sbb: 8, 10, 9, 8, 8
b. Data 10 penyumbang gempa Sumbar sbb :
* 5 orang masing-masing Rp 400.000,00
* 2 orang masing-masing Rp 800.00,00
* sisanya masing-masing Rp 600.000,00
2.
Nilai
5
6
7
8
9
10
Frek
3
2
6
4
3
2
Nilai
Frekuensi
5
2
6
p
7
3
8
5
9
4
10
2
4.
Nilai
86 – 88
89 – 91
92 – 94
95 – 97
98 – 100
Frek
5
8
10
15
2
3. Jika rataan dari data berikut adalah 7,55 maka tentukan
nilai p
Menentukan rataan dengan menggunakan rataan sementara dan coding
Untuk menghindari perkalian yang lumayan besar, maka ada cara cepat menentukan
rataan yaitu menggunakan rataan sementara dan coding.
Cara rataan sementara
Cara Coding
x − xo
∑ f .d
∑ f .c ;
x = xo +
x = xo + i ⋅
dimana c = i
i
∑f
∑f
Keterangan : x o : rataan sementara
d : simpangan ( d = xi − x o )
i : panjang interval kelas
c : coding
Kedua cara tersebut mengharuskan untuk menentukan rataan sementara dulu (biasanya
dipilih yang mempunyai frekuensi paling banyak untuk menghindari perkalian yang lumayan
besar).
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 2
Tentukan rataan data berikut :
a.
Nilai Banyak siswa(Frek)
6
2
7
3
8
4
9
1
(menggunakan rataan sementara)
Jawab:
a.
Nilai(x) Frek(f) d = xi – x0
6
2
–1
7
3
0
8
4
1
9
1
2
∑
10
74
c.
Nilai
Frek
xi
b.
Nilai
Frek
86 – 88
5
89 – 91
8
92 – 94
10
95 – 97
15
98 – 100
2
(menggunakan rataan sementara dan coding)
f.d
–2
0
4
2
4
Dengan menggunakan rumus x =
Misal rataan sementara x0 = 7
∑ f .d
x = xo +
∑f
4
=7+
10
= 7,4
d = xi – x0
86 – 88
5
87
–9
89 – 91
8
90
–6
92 – 94
10
93
–3
95 – 97
15
96
0
98 – 100
2
99
3
∑
40
Cara rataan sementara
Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)
∑ f .d
x = xo +
∑f
− 117
= 96 +
40
= 93,075
≈ 93,08
Latihan 2
Latihan3
7
f.d
x − xo
c= i
i
–3
–2
–1
0
1
f.c
–45
–15
–48
–16
–30
–10
0
0
6
2
–117
–39
Cara coding
Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)
∑ f .c
x = xo + i ⋅
∑f
− 39
= 96 + 3 ⋅
40
= 96 − 2,925
= 93,075
≈ 93,08
∑ f .x ; rataan sementara;
∑f
dan coding, tentukan rataan dari data berikut !
Dari ketiga cara diatas, cara manakah yang paling mudah dalam menghitung tanpa kalkulator?
Berat
Frek
32 – 43
13
42 – 53
15
52 – 63
17
62 – 73
12
72 – 83
13
82 – 93
14
92 – 103
11
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
8
MODUS (Mo)
Adalah data (nilai) yang sering muncul (frekuensinya paling banyak).Nilai Modus bisa
lebih dari satu nilai (Multi modus)
Cara menentukan Modus :
1. Data tunggal dan Tabel distribusi frekuensi tunggal
Mo = nilai (data) yang sering muncul (frek. paling banyak)
2. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) Tentukan kelas modus
(ii) Rumus
d1
Mo = Ltb +
⋅i
d1 + d 2
Keterangan :
Ltb : Tepi bawah kelas modus
i
: panjang interval kelas
d1
: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh soal 3
Tentukan Modus dari data :
Jawab:
a. 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7
a. Mo = 3
b.
b. Mo = 8
Nilai
Frek
c. Kelas Modus : 26 – 30
6
5
d1 = 20 – 10 = 10
7
10
d
2 = 20 – 5 = 15
8
15
d1
9
4
Mo = Ltb +
i
d1 + d 2
c.
Berat (kg) Frek
10
= 25,5 +
⋅5
11 – 15
10
10 + 15
16 – 20
15
= 25,5 + 2
21 – 25
10
= 27,5
26 – 30
20
31 – 35
5
Latihan 4
Tentukan Modus dari data berikut :
1. a. 11, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 20
b. 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10
c. 1 , 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8
d. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 9
2. .
Berat (kg)
11
12
13
Frekuensi
1
6
4
3. a.
14
3
15
2
Panjang (cm)
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
Frek
10
13
15
12
5
Tinggi (cm)
21 – 23
24 – 26
27 – 29
30 – 32
Frek
4
3
4
2
b.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
9
MEDIAN (Me)
Adalah nilai tengah dari data urut.
Cara menentukan Modus :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
1
( n + 1)
2
(iii)Jika Median terletak pada urutan antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya,
maka Median dirumuskan
Me = xk + δ ( xk +1 − xk )
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) tentukan frekuensi komulatif
1
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n
2
(iii) Rumus
1
n − fk
Me = Ltb + 2
⋅i
f Me
(ii) Letak : data ke =
Keterangan :
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
: data ke k
xk
xk + 1 : data ke k + 1
Contoh soal 4
Tentukan Median dari data :
a. a. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b. 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 10
c.
Nilai
Frek
6
2
7
5
8
10
9
11
d.
Berat (kg) Frek
61 – 70
6
71 – 80
16
81 – 90
10
91 – 100
8
Ltb : tepi bawah kelas Median
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Median
fMe : frekuensi kelas Median
Jawab:
1
1
1
⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5
2
2
2
1
Me = Data ke 5 + (Data ke 6 – data ke 5)
2
1
= 4 + (5– 4) = 4,5
2
1
1
b. Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (11 + 1) = 6
2
2
Me = Data ke 6 = 5
c.
1
Nilai Frek fk Data ke- Letak : data ke = ⋅ ( n + 1)
2
6
2
2
1–2
1
1
= ⋅ (28 + 1) = 14
7
5
7
3–7
2
2
8
10 17 8 – 17
1
9
11 28 18 – 28 Me = data ke14+ (data ke15–data ke14)
2
∑
28
1
= 8 + (8– 8) = 8
2
a. Letak : data ke =
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
d.
Berat (kg)
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
∑
Frek
6
16
10
8
40
fk
6
22
32
40
Latihan 5
1
1
Data ke Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20
2
2
1 – 6 Kelas Me : 71 – 80
7 – 22
1
n − fk
23 – 32
2
⋅i
33 – 40 Me = Ltb +
f Me
1
⋅ 20 − 6
= 70,5 + 2
⋅ 10
16
4
= 70,5 + ⋅ 10
16
Tentukan Median dari data berikut :
1. a. 8, 5, 4, 3, 7, 10, 9, 7, 6, 8, 7
b. 7, 3, 1, 5, 8, 9, 10, 3, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5,
11, 7
2. a.
Nilai
Frek
6
2
7
4
8
3
9
1
b.
10
= 70,5 + 2,5 = 73
3. a.
Panjang (cm)
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
Frek
4
6
10
18
12
Tinggi (cm)
21 – 23
24 – 26
27 – 29
30 – 32
Frek
4
3
4
2
b.
Nilai
6
7
8
9
10
Frek
4
6
3
5
2
KUARTIL (Q)
Adalah nilai yang membagi data urut menjadi empat bagian yang sama.
Ada tiga nilai kuartil yaitu kuartil bawah (Q1) , kuartil tengah (Q2 = Me), dan kuartil atas
(Q3). Cara menentukan Kuartil :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii)Letak : kelas yang memuat
(ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana c = 1, 2, 3
4
c
data ke = n
(iii) Jika Kuartil ke c ( Qc ) terletak pada urutan
4
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
c
n − fk
desimalnya, maka Qc dirumuskan
4
=
+
⋅i
Q
Ltb
(iii)
Rumus
:
Qc = xk + δ ( xk +1 − xk )
c
f Qc
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
Keterangan :
c = 1, 2, 3
Qc : Kuartil ke c
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
: data ke k
xk
xk + 1 : data ke k + 1
Ltb : tepi bawah kelas Kuartil ke c
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Kuartil ke c
fQc : frekuensi kelas Kuartil ke c
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 5
Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut :
a. 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 9, 10
b.
Nilai Frek
6
3
7
2
8
4
9
1
Jawab:
c.
Berat (kg)
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
a. Data tunggal:1,3,3,3,4,5,5,6,6,7,9,9,10
Kuartil bawah (Q1)
1
1
1
Letak :data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 3
2
4
4
1
Q3 = Datake10 + (Data ke11 – data ke10)
2
1
= 7 + (9–7) = 8
2
b
Nilai Frek fk Data ke6
3
3
1–3
7
2
5
4–5
8
4
9
6–9
9
1
10
10
∑
10
Kuartil bawah (Q1)
3
1
1
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 2
4
4
4
Q1 = Data ke 2 +
=6+
=6
3
(6–6)
4
3
(Data ke 3 – data ke 2)
4
Frek
8
10
11
8
3
Kuartil tengah (Q2 = Me)
2
1
1
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5
4
2
2
Q2 = Data ke 5 +
1
Q1 = Data ke 3 + (Data ke 4 – data ke 3)
2
1
= 3 + (3– 3) = 3
2
Kuartil tengah (Q2 = Me)
2
1
Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 7
4
2
Q2 = Data ke 7 = 5
Kuartil Atas (Q3)
1
3
3
Letak:datake = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 10
2
4
4
11
=7+
1
(Data ke 6 – data ke 5)
2
1
(8–7) = 7,5
2
Kuartil Atas (Q3)
1
3
3
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 8
4
4
4
Q3 = Data ke 8 +
=8+
1
(Data ke 9 – data ke 8)
4
1
(8–8) = 8
4
c.
Berat (kg) Frek fk
51 – 60
8
8
61 – 70
10
18
71 – 80
11
29
81 – 90
8
37
91 – 100
3
40
∑
40
Kuartil bawah (Q1)
1
1
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 10
4
4
Kelas Q1 : 61 – 70
1
n − fk
Q1 = Ltb + 4
⋅i
f Q1
1
⋅ 40 − 8
= 60,5 + 4
⋅ 10
10
2
= 70,5 + ⋅ 10
10
= 72,5
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Data ke1–8
9 – 18
19 – 29
30 – 37
38 – 40
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Kuartil tengah (Q2=Me)
2
1
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20
4
2
Kelas Q2 : 71 – 80
2
n − fk
4
Q2 = Ltb +
⋅i
f Q2
Kuartil atas (Q3)
3
3
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 30
4
4
Kelas Q2 : 81 – 90
3
n − fk
4
Q3 = Ltb +
⋅i
f Q3
2
⋅ 40 − 18
= 70,5 + 4
⋅ 10
11
2
= 70,5 + ⋅ 10
11
= 70,5 + 1,82
= 72,32
Latihan 6
Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut :
1. a. 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10
b. 6, 3, 3, 10, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 8, 7, 6, 5, 6
c. 7, 8, 1, 5, 3, 9, 3, 10, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5,
11, 7
2. a.
Nilai
Frek
6
5
7
4
8
6
9
3
10
2
b.
Nilai
5
6
7
8
9
10
Frek
10
4
9
7
5
5
12
3
⋅ 40 − 29
= 80,5 + 4
⋅ 10
8
1
= 80,5 + ⋅ 10
8
= 80,5 + 1,25
= 81,75
3.
Panjang (cm)
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
Frek
30
20
10
25
15
4.
Nilai Ujian masuk Frek
51 – 60
12
61 – 70
18
71 – 80
25
81 – 90
15
91 – 100
10
Tabel diatas menunjukan nilai 80 peserta ujian masuk
penerimaan karyawan baru PT. Panasonic,Tbk.
a. Jika perusahaan hanya menerima 55 karyawan baru,
tentukan berapa nilai minimal karyawan yang diterima!
b. Jika yang memiliki nilai 85 ke atas di terima tentukan
berapa orang karyawan yang diterima!
DESIL (D)
Adalah nilai yang membagi data urut menjadi sepuluh bagian yang sama.
Ada sembilan nilai desil yaitu D1, D2,D 3, ….., D9. Cara menentukan Desil hampir sama
seperti cara menentukan kuartil, yaitu :
1. Data tunggal
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) Data diurutkan
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
(ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana
10
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
c = 1, 2, 3, 4, ..., 9
(i) tentukan frekuensi komulatif
(iii) Jika Desil ke c ( Dc ) terletak pada urutan
c
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
10
desimalnya, maka Dc dirumuskan
c
n − fk
Dc = xk + δ ( xk +1 − xk )
i
Dc = Ltb + 10
(iii) Rumus :
f Dc
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Keterangan :
c = 1, 2, 3, 4, ..., 9
Dc : Desil ke c
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
xk
: data ke k
13
xk + 1 : data ke k + 1
Ltb : tepi bawah kelas Desil ke c
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Desil ke c
f Dc : frekuensi kelas Desil ke c
PERSENTIL (P)
Adalah nilai yang membagi sekumpulan data urut menjadi 100 bagian yang sama.
Ada 99 Persentil yaitu P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , ..., P99. Cara menentukan Persentil hampir sama
seperti cara menentukan Kuartil yaitu :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
(n + 1)
(ii) Letak : data ke =
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
100
(i) tentukan frekuensi komulatif
dimana c = 1, 2, 3, 4, 5,..., 99
c
(iii) Jika Persentil ke c ( Pc ) terletak pada urutan
n
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke =
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
100
desimalnya, maka Pc dirumuskan
c
n − fk
Pc = xk + δ ( xk +1 − xk )
100
i
Pc = Ltb +
(iii) Rumus :
f Pc
Keterangan :
c = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99
: Persentil ke c
Pc
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
xk
: data ke k
Contoh soal 6
Tentukan Desil ke 3 (D3) dan
Persentil ke 90 (P90) dari data berikut :
Nilai Frek
5
6
6
18
7
20
8
16
9
12
10
8
Jawab :
Tabel distribusi frekuensi tunggal
Nilai Frek fk Data ke5
6
6
1–6
6
18
24
7 – 24
7
20
44
25 – 44
8
16
60
45 – 60
9
12
72
61 – 72
10
8
80
73 – 80
∑
80
xk + 1
Ltb
fk
f Pc
: data ke k + 1
: tepi bawah kelas Persentil ke c
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Persentil ke c
: frekuensi kelas Persentil ke c
Desil ke 3 (D3)
3
3
3
⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 24
10
10
10
3
D3 = Data ke 24 +
(Data ke 25 – data ke 24)
10
3
(7–6) = 6,3
=6+
10
Letak: datake =
Persentil ke 90 (P90)
90
9
9
⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 72
Letak:datake =
100
10
10
P90= Data ke 72 +
=9+
9
(Data ke 73 – data ke 72)
10
9
(10–9) = 9,9
10
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
14
Latihan 7
1. Diketahui data :
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9
Tentukan :
a. Desil ke 8 (D8)
b.Persentil ke 25 (P25)
2. Tentukan Desil ke 6 (D6) dan Persentil ke 40 (P40)
dari data berikut :
Berat (kg) Frek
51 – 60
15
61 – 70
10
71 – 80
30
81 – 90
25
91 – 100
20
SIMPANGAN RATA-RATA (SR)
Cara menentukan Simpangan rata-rata :
1. Data tunggal :
SR =
∑ xi − x
n
2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : SR =
∑ f xi − x
∑f
Keterangan :
: rata-rata / rataan / mean
: harga mutlak dari xi − x ( nilai positif dari xi − x )
x
xi − x
∑f
xi − x
: jumlah dari f xi − x
n= ∑f
: banyak data
Contoh soal 7
Tentukan simpangan dari data berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Jawab :
∑ xi = 2 + 3 + 3 + 4 + 7 + 7 + 9 = 5
x=
n
7
SR =
=
∑ xi − x
n
2−5 + 3−5 + 3−5 + 4−5 + 7−5 + 7−5 + 9−5
3 + 2 + 2 +1+ 2 + 2 + 4
=
7
7
= 2,285
≈ 2,29
Latihan 8
Tentukan Simpangan Rata-rata dari data :
1.
Nilai
Frek
6
10
7
4
8
3
9
2
10
1
2.
Berat (kg)
1–3
4–6
7 –9
10 – 12
Frek
4
2
4
2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
15
RAGAM/VARIAN (R) DAN SIMPANGAN BAKU (S)
Cara menentukan Ragam dan Simpangan baku :
∑ (xi − x )
1. Data tunggal : R =
2
; S = Ragam
n
∑ f (xi − x )
2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : R =
∑f
2
; S = Ragam
Keterangan :
x
: rata-rata / rataan / mean
∑ (xi − x )
2
(
)2
2
f (xi − x )
: jumlah dari xi − x
∑ f (xi − x ) : jumlah dari
: banyak data
n= ∑f
2
Contoh soal 8
Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :
Nilai Frek
6
10
7
4
8
3
9
2
10
1
Jawab :
Nilai(x) Frek(f)
6
7
8
9
10
∑
10
4
3
2
1
20
f.x
(xi − x )2
60
28
24
18
10
140
1
0
1
4
9
(
f xi − x
)2
10
0
3
8
9
30
x=
∑ f ⋅ x = 140 = 7
20
∑f
∑ f (xi − x )
∑f
2
R=
=
30
= 1,5
20
S = Ragam = 1,5
2.
Latihan 9
Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :
1. 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Berat (kg)
1–3
4–6
7 –9
10 – 12
Frek
4
2
4
2
RUMUS-RUMUS YANG LAIN
diatas ada juga rumus-rumus yang lain yaitu :
a.Disamping
Jangkauan rumus-rumus
data (j) = rentang
d. Langkah (L)
j = Data terbesar – data terkecil
3
L = (Q3 − Q1 )
b.Hamparan (H) = Jangkauan antar kuartil
2
H = Q3 – Q1
e. Pagar Dalam & Pagar Luar
c. Simpangan Kuartil (Qd) = jangkauan
Pagar Dalam = Q1 – L
semi antar kuartil
Pagar Luar = Q3 + L
1
f.
Jangkauan
Persentil
Qd = (Q3 − Q1 )
2
JP = P90 − P10
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
16
ANGKA BAKU (NILAI STANDART)
Bimbim mendapatkan nilai ulangan Matematika 80 dengan rata-rata nilai
kelas = 70 dan simpangan bakunya 8. Untuk pelajaran Akuntansi ia mendapat nilai 90
dengan rata-rata nilai kelas = 80 dan simpangan bakunya 12. Yang manakah data yang
paling baik? Pada nilai pelajaran Matematika/Akuntansi?
Untuk menjawab itu maka diperlukan pengubahan data mentah ke nilai baku
x −x
z= i
(nilai standart) yang dirumuskan :
s
Keterangan : z
: angka baku / nilai standart
: data mentah/nilai mentah
xi
x
: rataan/mean
s
: simpangan baku.
Untuk permasalahan di atas :
x − x 80 − 70
=
= 1,25 (Nilai matematika menyimpang
Nilai standart matematika = z = i
8
s
1,25 diatas nilai rata-rata kelas)
xi − x 90 − 80
=
= 0,83 (Nilai akuntansi menyimpang
Nilai standart akuntansi = z =
12
s
0,83 diatas nilai rata-rata kelas)
Tampak bahwa nilai matematika Bimbim lebih baik dari nilai akuntansinya.
KOEFISIEN VARIASI (VARIABILITAS)
Untuk menentukan homogen (seragam) atau tidaknya sekumpulan data maka
s
dapat di lihat dari nilai koefisien variasinya. Dirumuskan : v = × 100%
x
Keterangan : v
: koefisian variasi/variabilitas
x
: rataan/mean
s
: simpangan baku
Semakin kecil nilai v, maka data semakin homogen (seragam). Sebaliknya semakin
besar nilai v maka dat semakin heterogen.
UKURAN KEMIRINGAN KURVA (SKEWNESS)
Miring tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien
kemiringan kurva (µ) yang dirumuskan :
x − Mo
s
3( x − Me)
2. Koefisien kemiringan Karl Pierson2 (KP2) = µ =
s
Q3 − 2 ⋅ Q2 + Q1
µ=
3. Koefisien kemiringan Bawley =
Q3 − Q1
1. Koefisien kemiringan Karl Pierson1 (KP1) = µ =
µ = 0 kurva simetris
x = Mo = Me
µ > 0 kurva positif
(condong ke kanan)
Mo < Me < x
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
µ < 0 kurva negatif
(condong ke kiri)
Mo > Me > x
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
17
UKURAN KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS)
Runcing tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien
keruncingan kurva (α) yang dirumuskan :
Q
α= d =
JP
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
Keteranga : α : koefisien keruncingan.
Qd : simpangan kuartil
JP : jangkauan persentil
Q3 : Kuartil atas
P10 : Persentil ke 10
α > 3 kurva runcing
α= 3 kurva sedang
α < 3 kurva tumpul
Leptokurtis
Mesokurtis
Platikurtis
KORELASI
Hubungan antara dua variabel yang menjadi pengamatan disebut korelasi. Nilai
yang dapat mengukur derajat hubungan kedua variabel tersebut disebut koefisien
variasi (r). Sedangkan nilai yang dapat mengukur tingkat korelasi disebut koefisien
penentu (KP).
Koefisien korelasi Karl Pierson= r =
Koefisien penentu (KP)
n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )
(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 )
KP = r2 x 100%
Contoh soal 9
Matematika
7
6
5
8
9
8
6
Bahasa Inggris
5
4
6
5
8
8
7
Data nilai matematika dan Bahasa Inggris suatu kelompok belajar. Tentukan koefisien
korelasi dan koefisien penentunya !
Jawab:
Misal: nilai Matematika = X ; nilai bahasa Inggris = Y ; n = 7
X
Y
X2
Y2
XY
7
5
49
25
35
6
4
36
16
24
5
6
25
36
30
8
5
64
25
40
9
8
81
64
72
8
8
64
64
64
6
7
36
49
42
∑ X = 49
∑ Y = 49
∑ X2 = 355
∑ Y2 = 279
∑ XY = 307
Koefisien korelasi :
r=
n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )
=
7 ⋅ 307 − 49 ⋅ 43
(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 ) (7 ⋅ 355 − 49 2 )(7 ⋅ 279 − 432 )
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
=
42
8736
= 0,45
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
18
Koefisien penentu:
KP = r2 x 100% = 0,452 x 100 % = 20,25 % = 0,2025
Latihan 10
1.Diketahui data sebagai berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Tentukan :
a. Jangkauan
e. Pagar dalam & pagar luar
b. Hamparan
f. koefisien variasi
c. Simpangan kuartil
g. Angka baku dari data : 9
d. Langkah
2. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 30 ; Q2 = 42 ; Q3 = 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva!
3. Dari sekelompok data diketahui Mo = 34 ; s = 2 ; koefisien kemiringan = 2,5. Tentukan rata-rata data tersebut!
4. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 20 ; Q3 = 40 ; P10 = 15 ; P90 = 48. Tentukan koefisien keruncingan kurva!
5.Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentu dari data berikut :
Donat Cokelat
2
3
5
4
9
6
Donat keju
4
2
6
7
5
7
== oOo ==
DAFTAR PUSTAKA
Kusrini, Modul Statistika SMK, Depdiknas, Jakarta, 2004
Masrihani, Tuti, dkk., Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan SMK
dan MAK Kelas XII, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
19
Untuk apa Statistika dipelajari?
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikandata.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah
'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic).
Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah
data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.
Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau
mendeskripsikan data; ini dinamakanstatistika deskriptif. Sebagian besar
konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas (teori peluang).
Beberapa istilah statistika antara lain: populasi,sampel, unit sampel,
dan probabilitas(peluang).
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu
alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial
(termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi,
dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai
macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling
dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak
pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak
cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi,
statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun
kecerdasan buatan (Artificial Intellegence)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
E-learning matematika, GRATIS
1
Penyusun : Dra. Yuli Winarsih ; Ismundari Puspitasari, S.Pd.
Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum.
Imam Indra Gunawan, S.Si.
STATISTIK DAN STATISTIKA
Banyak persoalan dinyatakan dan dicatat dalam bentuk bilangan atau angkaangka. Kumpulan angka-angka itu sering disusun atau disajikan dalam bentuk daftar
atau tabel. Sering daftar atau tabel tersebut disertai dengan gambar-gambar, dan
disebut dengan statistik. Jadi kata statistik telah dipakai untuk menyatakan
kumpulan data, bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau
diagram, yang menggambarkan suatu persoalan.
Dari hasil pengamatan atau penelitian, dalam laporannya sering diperlukan
suatu uraian, penjelasan atau kesimpulan tentang persoalan yang diamati atau diteliti.
Sebelum membuat kesimpulan, keterangan atau data yang terkumpul terlebih
dahulu dipelajari, diolah atau dianalisis, dan berdasarkan pengolahan data inilah
baru dibuat kesimpulan. Mulai dari pengumpulan data, pengolahan data dan
pengambilan kesimpulan haruslah mengikuti cara-cara yang benar dan dapat
dipertanggungjawabkan. Ini semua merupakan pengetahuan tersendiri yang dinamakan
dengan statistika. Jadi statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan
cara-cara pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan
kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.
POPULASI DAN SAMPEL
Totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun mengukur,
kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota
kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat- sifatnya disebut populasi.
Sebagian yang diambil dari populasi disebut sampel. Jika kita ingin mempelajari
sifat-sifat nilai matematika dari siswa SMK Bina Bangsa, maka nilai matematika
semua siswa SMK Bina Bangsa merupakan populasi. Jika jumlah seluruh siswa SMK
Bina Bangsa sebanyak1000
siswa,
untuk
mempelajari
sifat-sifat
nilai
matematikanya tentu memerlukan waktu yang lama, dana yang tidak sedikit, tenaga
yang tidak sedikit dan lain sebagainya. Untuk tetap dapat mempelajari sifat nilai
matematika dari 1000 siswa tersebut dengan keterbatasan-keterbatasan yang telah
disebutkan di muka, maka dilakukan dengan mengambil sebagian nilai dari 1000 siswa
tersebut, yang dinamakan sampel. Pengambilan sampel ini haruslah
yang
representatif, dalam arti segala karakteristik populasi hendaknya tercerminkan
pula dalam sampel yang diambil.
MACAM-MACAM DATA
Keterangan mengenai sesuatu hal disebut data atau data statistik. Data yang
berbentuk kategori disebut data kualitatif sedangkan data yang berbentuk bilangan
disebut data kuantitatif. Contoh data kualitatif adalah: baik, buruk, berhasil, gagal,
senang, rusak, puas, dan sebagainya. Pada data kuantitatif, dari nilainya dikenal 2
golongan, yaitu data diskrit dan data kontinu. Data diskrit adalah data yang
didapatkan dengan cara menghitung atau membilang, sedangkan data kontinu
didapatkan dengan cara mengukur.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
2
Contoh data diskrit adalah sebagai berikut:
1. Sebuah keluarga mempunyai anak 3 laki-laki dan 2 perempuan.
2. Di Kecamatan Gamping terdapat 5 SMP Negeri dan 1 SMA Negeri.
3. Di kelas I-A SMK Patriot terdapat 25 siswa laki-laki dan 15 siswa
perempuan.
Contoh data kontinu adalah sebagai berikut:
1. Tinggi badan 5 orang siswa adalah: 160 cm, 163 cm, 159 cm, 170 cm, dan
167 cm.
2. Berat badan 3 orang siswa adalah: 45 kg, 50 kg, dan 53 kg.
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK TABEL
Untuk keperluan laporan atau analisis yang lain, data yang dikumpulkan, baik
data dari populasi ataupun sampel, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang
jelas dan baik. Ada 2 macam penyajian data yang sering dipakai, yaitu tabel atau
daftar dan grafik atau diagram.
1) Tabel baris-kolom
Hasil Ujian Nasional SMK “ A “
Tahun 2009
BANYAK SISWA
JURUSAN
Listrik
Elektronika
Bangunan Gedung
Mesin
Otomotif
Jumlah
LULUS
TIDAK LULUS
50
48
49
50
47
244
0
2
1
0
3
6
JUMLAH
50
50
50
50
50
250
2) Tabel Distribusi Frekuensi
Nilai Matematika Siswa Kelas XIIA SMK PUTRA MANDIRI
Nilai Matematika
BANYAKNYA SISWA(f)
41 - 50
51-60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
JUMLAH
3
5
18
9
2
1
38
PENYAJIAN DATA DALAM BENTUK DIAGRAM
1) Diagram batang
Banyak Siswa 5 SMK di Kota Baru
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
1562
1019
818
743
432
SMK A
SMK B
SMK C
SMK D
SMK E
Berapa banyak siswa SMK D? Berapa banyak seluruh siswa SMK di kota Baru?
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
3
2) Diagram Garis
Penggunaan Mesin Jahit di perusahaan konveksi
Tahun 1971 s/d 1980
700
600
500
400
300
200
100
1971 1972
1973 1974
1975 1976 1977
1978
1979 1980
Pada tahun berapa terjadi kenaikan paling tinggi dalam penggunaan mesin jahit?
3)Diagram Lingkaran
Keperluan dana masing-masing pos suatu instansi
Pos E
10%
Pos F
8%
Pos A
28%
Pos D
22%
Pos C
14%
Pos B
18%
Jika dana keseluruhan Rp 540.000.000,00 maka berapa rupiah keperluan dana untuk pos B?
Menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok berdasarkan aturan Sturgess
Perhatikan nilai matematika untuk 80 orang siswa berikut ini:
79
49
48
21
81
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
30
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
26
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, kita
lakukan sebagai berikut:
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
4
a. Tentukan jangkauan; j = Data maks – data min = 99 – 21 = 78.
b. Tentukan banyak kelas;
Menurut aturan Sturgess, banyak kelas k = 1 + (3,3) log n
= 1 + (3,3)log 80
= 1 + (3,3)(1,9031)
= 7,2802.
≈ 8 (selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas)
j 78
c. Tentukan panjang interval kelas ; i = =
= 9,75 ≈ 10
k
8
nilai i selalu bilangan bulat hasil pembulatan ke atas.
d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data
terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang
dari panjang kelas yang telah ditentukan. Selanjutnya daftar diselesaikan dengan
menggunakan harga-harga yang telah dihitung.
e. Dengan i = 10 dan memulai dengan data terkecil, maka int er va l kelas pertama
berbentuk 21–30, kelas kedua 31–40, kelas ketiga 41–50, dan seterusnya.
f. Dengan menggunakan tabulasi dapat dibuat table distribusi frekuensi berdasarkan hasil
diatas.
Nilai Ujian
Tabulasi
Frekuensi
21 – 30
3
///
//
31 – 40
2
///
41 – 50
3
////
51 – 60
5
//// //// ////
61 – 70
14
//// //// //// //// //
71 – 80
22
//// //// //// ////
81 – 90
19
//// //// //
91 – 100
12
Jumlah ( ∑ )
80
Istilah-istilah dari tabel distribusi frekuensi berkelompok diatas adalah :
*Batas atas (Ba)
*Kelas (k)
Kelas 61 – 70 batas atasnya 70
Ada 8 kelas yaitu : 21 – 30 ; 31 – 40;
Kelas 91 – 100 batas atasnya .......
.........;..........;..........; .........;..........;..........
*Tepi bawah (Ltb)
*Panjang interval kelas (i)
i = .....
Kelas 81– 90 tepi bawahnya 80,5
Kelas 51– 60 tepi bawahnya .......
*Banyak data (n, ∑ f )
*Tepi atas (Lta)
n = ∑ f = ......
Kelas 51– 60 tepi atasnya 60,5
*Batas bawah (Bb)
Kelas 91– 100 tepi atasnya .......
Kelas 51 – 60 batas bawahnya 51
Kelas 71 – 80 batas bawahnya .......
Latihan 1
Buatlah tabel distribusi frekuensi kelompok data berikut :
27 34 54 57 3 33 27 21 4 10 35 20 39 28 33 43 40 37 18 36
12 14 29 30 9 24 53 19 20 7 26 22 50 25 1 25 56 46 19 47
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
5
4) Histogram dan polygon frekuensi
Adalah diagram dari tabel distribusi frekuensi. Histogram dari tabel distribusi
frekuensi diatas adalah :
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
Tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan kita hubungkan dan sisi terakhir
dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk
yangdidapat dinamakan polygon frekuensi.
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
5) Ogive
Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah
lengkungan halus yang bentuknya sesuai dengan bentuk polygon tersebut. Lengkungan
yang didapat dinamakan kurva frekuensi atau biasa disebut dengan ogive.
Frekuensi
30
25
20
15
10
5
0
20,5
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5 100,5
Nilai
RATAAN / RATA-RATA HITUNG / MEAN
Rataan dari sekumpulan data adalah jumlah seluruh data dibagi banyak data.
a. Untuk data tunggal : x1 , x2 , x3 , x4 , …., xn rataannya dirumuskan :
x + x2 + x3 + x 4 + ..... + x n ∑ xi
=
x= 1
n
n
b. Untuk data dalam tabel distribusi frekuensi, rataannya dirumuskan : x =
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
∑ f .x
∑f
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 1
Tentukan rataan dari data :
a. 2, 6, 7, 5, 5, 4, 10, 8, 6, 9
b.
Nilai
6
7
8
9
Banyak siswa(Frek)
2
3
4
1
c.
Berat (kg)
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
Jawab:
a. x =
∑ xi = 2 + 6 + 7 + 5 + 5 + 4 + 10 + 8 + 6 + 9 = 6,2
10
n
b.
Nilai(x)
6
7
8
9
∑
Frek(f)
2
3
4
1
10
f.x
12
21
32
9
74
x=
∑ f .x = 74 = 7,4
∑ f 10
c.
Frek
3
4
2
1
6
Berat (kg)
1–5
6 – 10
11 – 15
16 – 20
∑
Frek(f)
3
4
2
1
10
xi
3
8
13
18
f.x
9
32
26
18
85
x=
∑ f .x
∑f
85
10
= 8,5
=
Latihan 2
Tentukan rataan dari data berikut :
1. a. Nilai lima kali ulangan Niko sbb: 8, 10, 9, 8, 8
b. Data 10 penyumbang gempa Sumbar sbb :
* 5 orang masing-masing Rp 400.000,00
* 2 orang masing-masing Rp 800.00,00
* sisanya masing-masing Rp 600.000,00
2.
Nilai
5
6
7
8
9
10
Frek
3
2
6
4
3
2
Nilai
Frekuensi
5
2
6
p
7
3
8
5
9
4
10
2
4.
Nilai
86 – 88
89 – 91
92 – 94
95 – 97
98 – 100
Frek
5
8
10
15
2
3. Jika rataan dari data berikut adalah 7,55 maka tentukan
nilai p
Menentukan rataan dengan menggunakan rataan sementara dan coding
Untuk menghindari perkalian yang lumayan besar, maka ada cara cepat menentukan
rataan yaitu menggunakan rataan sementara dan coding.
Cara rataan sementara
Cara Coding
x − xo
∑ f .d
∑ f .c ;
x = xo +
x = xo + i ⋅
dimana c = i
i
∑f
∑f
Keterangan : x o : rataan sementara
d : simpangan ( d = xi − x o )
i : panjang interval kelas
c : coding
Kedua cara tersebut mengharuskan untuk menentukan rataan sementara dulu (biasanya
dipilih yang mempunyai frekuensi paling banyak untuk menghindari perkalian yang lumayan
besar).
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 2
Tentukan rataan data berikut :
a.
Nilai Banyak siswa(Frek)
6
2
7
3
8
4
9
1
(menggunakan rataan sementara)
Jawab:
a.
Nilai(x) Frek(f) d = xi – x0
6
2
–1
7
3
0
8
4
1
9
1
2
∑
10
74
c.
Nilai
Frek
xi
b.
Nilai
Frek
86 – 88
5
89 – 91
8
92 – 94
10
95 – 97
15
98 – 100
2
(menggunakan rataan sementara dan coding)
f.d
–2
0
4
2
4
Dengan menggunakan rumus x =
Misal rataan sementara x0 = 7
∑ f .d
x = xo +
∑f
4
=7+
10
= 7,4
d = xi – x0
86 – 88
5
87
–9
89 – 91
8
90
–6
92 – 94
10
93
–3
95 – 97
15
96
0
98 – 100
2
99
3
∑
40
Cara rataan sementara
Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)
∑ f .d
x = xo +
∑f
− 117
= 96 +
40
= 93,075
≈ 93,08
Latihan 2
Latihan3
7
f.d
x − xo
c= i
i
–3
–2
–1
0
1
f.c
–45
–15
–48
–16
–30
–10
0
0
6
2
–117
–39
Cara coding
Misal xo = 96 (karena frek paling banyak)
∑ f .c
x = xo + i ⋅
∑f
− 39
= 96 + 3 ⋅
40
= 96 − 2,925
= 93,075
≈ 93,08
∑ f .x ; rataan sementara;
∑f
dan coding, tentukan rataan dari data berikut !
Dari ketiga cara diatas, cara manakah yang paling mudah dalam menghitung tanpa kalkulator?
Berat
Frek
32 – 43
13
42 – 53
15
52 – 63
17
62 – 73
12
72 – 83
13
82 – 93
14
92 – 103
11
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
8
MODUS (Mo)
Adalah data (nilai) yang sering muncul (frekuensinya paling banyak).Nilai Modus bisa
lebih dari satu nilai (Multi modus)
Cara menentukan Modus :
1. Data tunggal dan Tabel distribusi frekuensi tunggal
Mo = nilai (data) yang sering muncul (frek. paling banyak)
2. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) Tentukan kelas modus
(ii) Rumus
d1
Mo = Ltb +
⋅i
d1 + d 2
Keterangan :
Ltb : Tepi bawah kelas modus
i
: panjang interval kelas
d1
: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2
: selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Contoh soal 3
Tentukan Modus dari data :
Jawab:
a. 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7
a. Mo = 3
b.
b. Mo = 8
Nilai
Frek
c. Kelas Modus : 26 – 30
6
5
d1 = 20 – 10 = 10
7
10
d
2 = 20 – 5 = 15
8
15
d1
9
4
Mo = Ltb +
i
d1 + d 2
c.
Berat (kg) Frek
10
= 25,5 +
⋅5
11 – 15
10
10 + 15
16 – 20
15
= 25,5 + 2
21 – 25
10
= 27,5
26 – 30
20
31 – 35
5
Latihan 4
Tentukan Modus dari data berikut :
1. a. 11, 12, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 20
b. 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10
c. 1 , 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8
d. 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 9, 9
2. .
Berat (kg)
11
12
13
Frekuensi
1
6
4
3. a.
14
3
15
2
Panjang (cm)
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
Frek
10
13
15
12
5
Tinggi (cm)
21 – 23
24 – 26
27 – 29
30 – 32
Frek
4
3
4
2
b.
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
9
MEDIAN (Me)
Adalah nilai tengah dari data urut.
Cara menentukan Modus :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
1
( n + 1)
2
(iii)Jika Median terletak pada urutan antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian desimalnya,
maka Median dirumuskan
Me = xk + δ ( xk +1 − xk )
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) tentukan frekuensi komulatif
1
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n
2
(iii) Rumus
1
n − fk
Me = Ltb + 2
⋅i
f Me
(ii) Letak : data ke =
Keterangan :
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
: data ke k
xk
xk + 1 : data ke k + 1
Contoh soal 4
Tentukan Median dari data :
a. a. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b. 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 10
c.
Nilai
Frek
6
2
7
5
8
10
9
11
d.
Berat (kg) Frek
61 – 70
6
71 – 80
16
81 – 90
10
91 – 100
8
Ltb : tepi bawah kelas Median
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Median
fMe : frekuensi kelas Median
Jawab:
1
1
1
⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5
2
2
2
1
Me = Data ke 5 + (Data ke 6 – data ke 5)
2
1
= 4 + (5– 4) = 4,5
2
1
1
b. Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (11 + 1) = 6
2
2
Me = Data ke 6 = 5
c.
1
Nilai Frek fk Data ke- Letak : data ke = ⋅ ( n + 1)
2
6
2
2
1–2
1
1
= ⋅ (28 + 1) = 14
7
5
7
3–7
2
2
8
10 17 8 – 17
1
9
11 28 18 – 28 Me = data ke14+ (data ke15–data ke14)
2
∑
28
1
= 8 + (8– 8) = 8
2
a. Letak : data ke =
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
d.
Berat (kg)
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
∑
Frek
6
16
10
8
40
fk
6
22
32
40
Latihan 5
1
1
Data ke Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20
2
2
1 – 6 Kelas Me : 71 – 80
7 – 22
1
n − fk
23 – 32
2
⋅i
33 – 40 Me = Ltb +
f Me
1
⋅ 20 − 6
= 70,5 + 2
⋅ 10
16
4
= 70,5 + ⋅ 10
16
Tentukan Median dari data berikut :
1. a. 8, 5, 4, 3, 7, 10, 9, 7, 6, 8, 7
b. 7, 3, 1, 5, 8, 9, 10, 3, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5,
11, 7
2. a.
Nilai
Frek
6
2
7
4
8
3
9
1
b.
10
= 70,5 + 2,5 = 73
3. a.
Panjang (cm)
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
Frek
4
6
10
18
12
Tinggi (cm)
21 – 23
24 – 26
27 – 29
30 – 32
Frek
4
3
4
2
b.
Nilai
6
7
8
9
10
Frek
4
6
3
5
2
KUARTIL (Q)
Adalah nilai yang membagi data urut menjadi empat bagian yang sama.
Ada tiga nilai kuartil yaitu kuartil bawah (Q1) , kuartil tengah (Q2 = Me), dan kuartil atas
(Q3). Cara menentukan Kuartil :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii)Letak : kelas yang memuat
(ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana c = 1, 2, 3
4
c
data ke = n
(iii) Jika Kuartil ke c ( Qc ) terletak pada urutan
4
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
c
n − fk
desimalnya, maka Qc dirumuskan
4
=
+
⋅i
Q
Ltb
(iii)
Rumus
:
Qc = xk + δ ( xk +1 − xk )
c
f Qc
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
Keterangan :
c = 1, 2, 3
Qc : Kuartil ke c
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
: data ke k
xk
xk + 1 : data ke k + 1
Ltb : tepi bawah kelas Kuartil ke c
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Kuartil ke c
fQc : frekuensi kelas Kuartil ke c
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Contoh soal 5
Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut :
a. 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 9, 10
b.
Nilai Frek
6
3
7
2
8
4
9
1
Jawab:
c.
Berat (kg)
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
a. Data tunggal:1,3,3,3,4,5,5,6,6,7,9,9,10
Kuartil bawah (Q1)
1
1
1
Letak :data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 3
2
4
4
1
Q3 = Datake10 + (Data ke11 – data ke10)
2
1
= 7 + (9–7) = 8
2
b
Nilai Frek fk Data ke6
3
3
1–3
7
2
5
4–5
8
4
9
6–9
9
1
10
10
∑
10
Kuartil bawah (Q1)
3
1
1
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 2
4
4
4
Q1 = Data ke 2 +
=6+
=6
3
(6–6)
4
3
(Data ke 3 – data ke 2)
4
Frek
8
10
11
8
3
Kuartil tengah (Q2 = Me)
2
1
1
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 5
4
2
2
Q2 = Data ke 5 +
1
Q1 = Data ke 3 + (Data ke 4 – data ke 3)
2
1
= 3 + (3– 3) = 3
2
Kuartil tengah (Q2 = Me)
2
1
Letak : data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 7
4
2
Q2 = Data ke 7 = 5
Kuartil Atas (Q3)
1
3
3
Letak:datake = ⋅ (n + 1) = ⋅ (13 + 1) = 10
2
4
4
11
=7+
1
(Data ke 6 – data ke 5)
2
1
(8–7) = 7,5
2
Kuartil Atas (Q3)
1
3
3
Letak: data ke = ⋅ (n + 1) = ⋅ (10 + 1) = 8
4
4
4
Q3 = Data ke 8 +
=8+
1
(Data ke 9 – data ke 8)
4
1
(8–8) = 8
4
c.
Berat (kg) Frek fk
51 – 60
8
8
61 – 70
10
18
71 – 80
11
29
81 – 90
8
37
91 – 100
3
40
∑
40
Kuartil bawah (Q1)
1
1
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 10
4
4
Kelas Q1 : 61 – 70
1
n − fk
Q1 = Ltb + 4
⋅i
f Q1
1
⋅ 40 − 8
= 60,5 + 4
⋅ 10
10
2
= 70,5 + ⋅ 10
10
= 72,5
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
Data ke1–8
9 – 18
19 – 29
30 – 37
38 – 40
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Kuartil tengah (Q2=Me)
2
1
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 20
4
2
Kelas Q2 : 71 – 80
2
n − fk
4
Q2 = Ltb +
⋅i
f Q2
Kuartil atas (Q3)
3
3
Data ke = ⋅ n = ⋅ 40 = 30
4
4
Kelas Q2 : 81 – 90
3
n − fk
4
Q3 = Ltb +
⋅i
f Q3
2
⋅ 40 − 18
= 70,5 + 4
⋅ 10
11
2
= 70,5 + ⋅ 10
11
= 70,5 + 1,82
= 72,32
Latihan 6
Tentukan Q1 , Q2 , Q3 dari data berikut :
1. a. 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 9, 10
b. 6, 3, 3, 10, 9, 6, 7, 5, 4, 8, 8, 7, 6, 5, 6
c. 7, 8, 1, 5, 3, 9, 3, 10, 4, 6, 5, 8, 1, 2, 6, 7, 9, 3, 2, 5,
11, 7
2. a.
Nilai
Frek
6
5
7
4
8
6
9
3
10
2
b.
Nilai
5
6
7
8
9
10
Frek
10
4
9
7
5
5
12
3
⋅ 40 − 29
= 80,5 + 4
⋅ 10
8
1
= 80,5 + ⋅ 10
8
= 80,5 + 1,25
= 81,75
3.
Panjang (cm)
41 – 45
46 – 50
51 – 55
56 – 60
61 – 65
Frek
30
20
10
25
15
4.
Nilai Ujian masuk Frek
51 – 60
12
61 – 70
18
71 – 80
25
81 – 90
15
91 – 100
10
Tabel diatas menunjukan nilai 80 peserta ujian masuk
penerimaan karyawan baru PT. Panasonic,Tbk.
a. Jika perusahaan hanya menerima 55 karyawan baru,
tentukan berapa nilai minimal karyawan yang diterima!
b. Jika yang memiliki nilai 85 ke atas di terima tentukan
berapa orang karyawan yang diterima!
DESIL (D)
Adalah nilai yang membagi data urut menjadi sepuluh bagian yang sama.
Ada sembilan nilai desil yaitu D1, D2,D 3, ….., D9. Cara menentukan Desil hampir sama
seperti cara menentukan kuartil, yaitu :
1. Data tunggal
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) Data diurutkan
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
(ii) Letak : data ke = (n + 1) dimana
10
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
c = 1, 2, 3, 4, ..., 9
(i) tentukan frekuensi komulatif
(iii) Jika Desil ke c ( Dc ) terletak pada urutan
c
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke = n
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
10
desimalnya, maka Dc dirumuskan
c
n − fk
Dc = xk + δ ( xk +1 − xk )
i
Dc = Ltb + 10
(iii) Rumus :
f Dc
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
Keterangan :
c = 1, 2, 3, 4, ..., 9
Dc : Desil ke c
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
xk
: data ke k
13
xk + 1 : data ke k + 1
Ltb : tepi bawah kelas Desil ke c
fk
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Desil ke c
f Dc : frekuensi kelas Desil ke c
PERSENTIL (P)
Adalah nilai yang membagi sekumpulan data urut menjadi 100 bagian yang sama.
Ada 99 Persentil yaitu P1 , P2 ,P3 , P4 , P5 , ..., P99. Cara menentukan Persentil hampir sama
seperti cara menentukan Kuartil yaitu :
1. Data tunggal
(i) Data diurutkan
2. Tabel distribusi frekuensi tunggal
(i) tentukan frekuensi komulatif
c
(ii) sama seperti (ii) dan (iii) data tunggal
(n + 1)
(ii) Letak : data ke =
3. Tabel distrubusi frekuensi kelompok
100
(i) tentukan frekuensi komulatif
dimana c = 1, 2, 3, 4, 5,..., 99
c
(iii) Jika Persentil ke c ( Pc ) terletak pada urutan
n
(ii) Letak : kelas yang memuat data ke =
antara k dan (k+1) dan δ adalah bagian
100
desimalnya, maka Pc dirumuskan
c
n − fk
Pc = xk + δ ( xk +1 − xk )
100
i
Pc = Ltb +
(iii) Rumus :
f Pc
Keterangan :
c = 1, 2, 3, 4, 5, ..., 99
: Persentil ke c
Pc
n
: banyak data (= ∑ f )
i
: panjang interval kelas
xk
: data ke k
Contoh soal 6
Tentukan Desil ke 3 (D3) dan
Persentil ke 90 (P90) dari data berikut :
Nilai Frek
5
6
6
18
7
20
8
16
9
12
10
8
Jawab :
Tabel distribusi frekuensi tunggal
Nilai Frek fk Data ke5
6
6
1–6
6
18
24
7 – 24
7
20
44
25 – 44
8
16
60
45 – 60
9
12
72
61 – 72
10
8
80
73 – 80
∑
80
xk + 1
Ltb
fk
f Pc
: data ke k + 1
: tepi bawah kelas Persentil ke c
: frekuensi komulatif sebelum kelas
Persentil ke c
: frekuensi kelas Persentil ke c
Desil ke 3 (D3)
3
3
3
⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 24
10
10
10
3
D3 = Data ke 24 +
(Data ke 25 – data ke 24)
10
3
(7–6) = 6,3
=6+
10
Letak: datake =
Persentil ke 90 (P90)
90
9
9
⋅ (n + 1) = ⋅ (80 + 1) = 72
Letak:datake =
100
10
10
P90= Data ke 72 +
=9+
9
(Data ke 73 – data ke 72)
10
9
(10–9) = 9,9
10
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
14
Latihan 7
1. Diketahui data :
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9
Tentukan :
a. Desil ke 8 (D8)
b.Persentil ke 25 (P25)
2. Tentukan Desil ke 6 (D6) dan Persentil ke 40 (P40)
dari data berikut :
Berat (kg) Frek
51 – 60
15
61 – 70
10
71 – 80
30
81 – 90
25
91 – 100
20
SIMPANGAN RATA-RATA (SR)
Cara menentukan Simpangan rata-rata :
1. Data tunggal :
SR =
∑ xi − x
n
2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : SR =
∑ f xi − x
∑f
Keterangan :
: rata-rata / rataan / mean
: harga mutlak dari xi − x ( nilai positif dari xi − x )
x
xi − x
∑f
xi − x
: jumlah dari f xi − x
n= ∑f
: banyak data
Contoh soal 7
Tentukan simpangan dari data berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Jawab :
∑ xi = 2 + 3 + 3 + 4 + 7 + 7 + 9 = 5
x=
n
7
SR =
=
∑ xi − x
n
2−5 + 3−5 + 3−5 + 4−5 + 7−5 + 7−5 + 9−5
3 + 2 + 2 +1+ 2 + 2 + 4
=
7
7
= 2,285
≈ 2,29
Latihan 8
Tentukan Simpangan Rata-rata dari data :
1.
Nilai
Frek
6
10
7
4
8
3
9
2
10
1
2.
Berat (kg)
1–3
4–6
7 –9
10 – 12
Frek
4
2
4
2
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
15
RAGAM/VARIAN (R) DAN SIMPANGAN BAKU (S)
Cara menentukan Ragam dan Simpangan baku :
∑ (xi − x )
1. Data tunggal : R =
2
; S = Ragam
n
∑ f (xi − x )
2. Data dalam tabel distrubusi frekuensi : R =
∑f
2
; S = Ragam
Keterangan :
x
: rata-rata / rataan / mean
∑ (xi − x )
2
(
)2
2
f (xi − x )
: jumlah dari xi − x
∑ f (xi − x ) : jumlah dari
: banyak data
n= ∑f
2
Contoh soal 8
Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :
Nilai Frek
6
10
7
4
8
3
9
2
10
1
Jawab :
Nilai(x) Frek(f)
6
7
8
9
10
∑
10
4
3
2
1
20
f.x
(xi − x )2
60
28
24
18
10
140
1
0
1
4
9
(
f xi − x
)2
10
0
3
8
9
30
x=
∑ f ⋅ x = 140 = 7
20
∑f
∑ f (xi − x )
∑f
2
R=
=
30
= 1,5
20
S = Ragam = 1,5
2.
Latihan 9
Tentukan Ragam dan Sipangan baku dari data :
1. 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Berat (kg)
1–3
4–6
7 –9
10 – 12
Frek
4
2
4
2
RUMUS-RUMUS YANG LAIN
diatas ada juga rumus-rumus yang lain yaitu :
a.Disamping
Jangkauan rumus-rumus
data (j) = rentang
d. Langkah (L)
j = Data terbesar – data terkecil
3
L = (Q3 − Q1 )
b.Hamparan (H) = Jangkauan antar kuartil
2
H = Q3 – Q1
e. Pagar Dalam & Pagar Luar
c. Simpangan Kuartil (Qd) = jangkauan
Pagar Dalam = Q1 – L
semi antar kuartil
Pagar Luar = Q3 + L
1
f.
Jangkauan
Persentil
Qd = (Q3 − Q1 )
2
JP = P90 − P10
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
16
ANGKA BAKU (NILAI STANDART)
Bimbim mendapatkan nilai ulangan Matematika 80 dengan rata-rata nilai
kelas = 70 dan simpangan bakunya 8. Untuk pelajaran Akuntansi ia mendapat nilai 90
dengan rata-rata nilai kelas = 80 dan simpangan bakunya 12. Yang manakah data yang
paling baik? Pada nilai pelajaran Matematika/Akuntansi?
Untuk menjawab itu maka diperlukan pengubahan data mentah ke nilai baku
x −x
z= i
(nilai standart) yang dirumuskan :
s
Keterangan : z
: angka baku / nilai standart
: data mentah/nilai mentah
xi
x
: rataan/mean
s
: simpangan baku.
Untuk permasalahan di atas :
x − x 80 − 70
=
= 1,25 (Nilai matematika menyimpang
Nilai standart matematika = z = i
8
s
1,25 diatas nilai rata-rata kelas)
xi − x 90 − 80
=
= 0,83 (Nilai akuntansi menyimpang
Nilai standart akuntansi = z =
12
s
0,83 diatas nilai rata-rata kelas)
Tampak bahwa nilai matematika Bimbim lebih baik dari nilai akuntansinya.
KOEFISIEN VARIASI (VARIABILITAS)
Untuk menentukan homogen (seragam) atau tidaknya sekumpulan data maka
s
dapat di lihat dari nilai koefisien variasinya. Dirumuskan : v = × 100%
x
Keterangan : v
: koefisian variasi/variabilitas
x
: rataan/mean
s
: simpangan baku
Semakin kecil nilai v, maka data semakin homogen (seragam). Sebaliknya semakin
besar nilai v maka dat semakin heterogen.
UKURAN KEMIRINGAN KURVA (SKEWNESS)
Miring tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien
kemiringan kurva (µ) yang dirumuskan :
x − Mo
s
3( x − Me)
2. Koefisien kemiringan Karl Pierson2 (KP2) = µ =
s
Q3 − 2 ⋅ Q2 + Q1
µ=
3. Koefisien kemiringan Bawley =
Q3 − Q1
1. Koefisien kemiringan Karl Pierson1 (KP1) = µ =
µ = 0 kurva simetris
x = Mo = Me
µ > 0 kurva positif
(condong ke kanan)
Mo < Me < x
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
µ < 0 kurva negatif
(condong ke kiri)
Mo > Me > x
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
17
UKURAN KERUNCINGAN KURVA (KURTOSIS)
Runcing tidaknya kurva distribusi frekuensi dapat ditentukan dari koefisien
keruncingan kurva (α) yang dirumuskan :
Q
α= d =
JP
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
Keteranga : α : koefisien keruncingan.
Qd : simpangan kuartil
JP : jangkauan persentil
Q3 : Kuartil atas
P10 : Persentil ke 10
α > 3 kurva runcing
α= 3 kurva sedang
α < 3 kurva tumpul
Leptokurtis
Mesokurtis
Platikurtis
KORELASI
Hubungan antara dua variabel yang menjadi pengamatan disebut korelasi. Nilai
yang dapat mengukur derajat hubungan kedua variabel tersebut disebut koefisien
variasi (r). Sedangkan nilai yang dapat mengukur tingkat korelasi disebut koefisien
penentu (KP).
Koefisien korelasi Karl Pierson= r =
Koefisien penentu (KP)
n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )
(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 )
KP = r2 x 100%
Contoh soal 9
Matematika
7
6
5
8
9
8
6
Bahasa Inggris
5
4
6
5
8
8
7
Data nilai matematika dan Bahasa Inggris suatu kelompok belajar. Tentukan koefisien
korelasi dan koefisien penentunya !
Jawab:
Misal: nilai Matematika = X ; nilai bahasa Inggris = Y ; n = 7
X
Y
X2
Y2
XY
7
5
49
25
35
6
4
36
16
24
5
6
25
36
30
8
5
64
25
40
9
8
81
64
72
8
8
64
64
64
6
7
36
49
42
∑ X = 49
∑ Y = 49
∑ X2 = 355
∑ Y2 = 279
∑ XY = 307
Koefisien korelasi :
r=
n∑ XY − (∑ X )(∑ Y )
=
7 ⋅ 307 − 49 ⋅ 43
(n∑ X 2 − (∑ X )2 )(n∑ Y 2 − (∑ Y )2 ) (7 ⋅ 355 − 49 2 )(7 ⋅ 279 − 432 )
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
=
42
8736
= 0,45
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
18
Koefisien penentu:
KP = r2 x 100% = 0,452 x 100 % = 20,25 % = 0,2025
Latihan 10
1.Diketahui data sebagai berikut : 2, 3, 3, 4, 7, 7, 9
Tentukan :
a. Jangkauan
e. Pagar dalam & pagar luar
b. Hamparan
f. koefisien variasi
c. Simpangan kuartil
g. Angka baku dari data : 9
d. Langkah
2. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 30 ; Q2 = 42 ; Q3 = 50. Tentukan koefisien kemiringan kurva!
3. Dari sekelompok data diketahui Mo = 34 ; s = 2 ; koefisien kemiringan = 2,5. Tentukan rata-rata data tersebut!
4. Dari sekelompok data diketahui Q1 = 20 ; Q3 = 40 ; P10 = 15 ; P90 = 48. Tentukan koefisien keruncingan kurva!
5.Tentukan koefisien korelasi dan koefisien penentu dari data berikut :
Donat Cokelat
2
3
5
4
9
6
Donat keju
4
2
6
7
5
7
== oOo ==
DAFTAR PUSTAKA
Kusrini, Modul Statistika SMK, Depdiknas, Jakarta, 2004
Masrihani, Tuti, dkk., Matematika Program Keahlian Akuntansi dan Penjualan SMK
dan MAK Kelas XII, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2008
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan
www.matematika-pas.blogspot.com
E-learning matematika, GRATIS
19
Untuk apa Statistika dipelajari?
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,
mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikandata.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah
'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic).
Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah
data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.
Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau
mendeskripsikan data; ini dinamakanstatistika deskriptif. Sebagian besar
konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas (teori peluang).
Beberapa istilah statistika antara lain: populasi,sampel, unit sampel,
dan probabilitas(peluang).
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu
alam (misalnya astronomi dan biologi) maupun ilmu-ilmu sosial
(termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi,
dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai
macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling
dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak
pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta jajak
cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atau quick count. Di bidang komputasi,
statistika dapat pula diterapkan dalam pengenalan pola maupun
kecerdasan buatan (Artificial Intellegence)
MGMP Matematika SMK kota Pasuruan