Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel: dua persamaan linier
dan dua variabel yang hanya
memiliki satu titik penyelesaian.
Bentuk umum:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Mencari himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan linier dua
variabel ada 4 cara:
1. metode grafk
2. metode subsitusi
3. metode eliminasi
4.
metode eliminasi
subsitusi
dan
METODE SUBSITUSI
Metode subsitusi dimulai
dengan menyatakan sebuah
variabel dari salah satu sistem
persamaan linier dua variabel
dalam variabel lain.
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + y
= 6 dan x – y = - 3.
Pembahasa
n
2x + y = 6 dan x – y = - 3.
x – y = -3 maka x = y - 3.
Subsitusikan nilai x ke
persamaan yang lain
2x + y
=6
x = y -3
2(y - 3) + y = 6
x=4–3
2y – 6 + y = 6
x=1
3y = 12
HP ={(1,4)}
y=
4
METODE
ELIMINASI
Metode eliminasi: cara untuk
mendapatkan nilai pengganti
suatu variabel melalui
penghilangan variabel yang
lain. Untuk mengeliminasi
suatu variabel, langkah
pertama yang dilakukan
adalah menyamakan
koefsien variabel tersebut.
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + y
= 6 dan x – y = - 3.
Pembahasa
n
2x + y =
6
x
–
y
=
2x + y = 6
3 x – y = -3
+
3x = 3
x=1
Karena variabel x
atau y koefisiennya
ada yang sama,
maka langsung
dapat di eliminasi.
Subsitusikan nilai x ke salah satu persamaan
2x + y = 6
2(1) + y = 6
2 +y=6
y=6–2
y=4
HP ={(1,4)}
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + 3y
= 12 dan x + 2y = 7.
Pembahasa
Karena variabel x
n
atau y koefisiennya
2x + 3y =
tidak ada yang sama,
12
maka tidak dapat
x + 2y = 7
2x + 3y = x 1 langsung di eliminasi.
x2
12
x + 2y =
2x
+
3y
=
12
7
2x + 4y = 14 -y = -2 , atau y = 2
Subsitusikan nilai y ke salah satu persamaan
2x + 3y = 12
2x + 3(2) = 12
2x + 6 = 12
2x = 12 – 6
2x= = 6, maka x = 3
HP
={(3,2)}
1
Penyelesaian sistem persamaan 3x
– 2y=12 dan 5x + y = 7 adalah x =
p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . .
..
a. 17
b. 1
c. -1
d. -17
Pembahasan
3x –2y = 12
5x + y = 7 maka y = 7 – 5x
Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 ).
3x – 2y = 12
3x – 2( 7 – 5x) = 12
3x – 14 + 10x = 12
13x = 12 + 14
x = 2 maka, p = 2
Subsitusikan nilai x = 2, ke persamaan (2)
y = 7 – 5x
y = 7 – 5( 2)
y = 7 – 10
y = -3 ,
maka q = -3
Nilai 4p + 3q = 4(2) + 3(-3)
=8–9
= -1
2
Himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan x – 2y = 10
dan 3x + 2y = -2 adalah . . . .
a. {(-2,-4)}
b. {(-2 ,4)}
c. {(2, -4)}
d. {(2, 4)}
Pembahasan
I. x – 2y = 10 x = 2y + 10
II. 3x + 2y = -2
Subsitusikan persamaan (1) ke (2).
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = - 2
8y = -32
y =-4
Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)
x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x= 2
Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.
3
Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x
+ 2y = 29 adalah . . .
a. {(7, 4)}
b. {(7,-4)}
c. {(-4, 7)}
d. {(4, 7)}
4
Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17,
Maka nilai dari 2x – y = . . . .
a. -7
b. -5
c. 5
d. 7
Gunakan cara eliminasi :
Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
x 3 6x +15y = 33
x 5 20x -15y = -85 +
26x = -52
x = -2
Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = - 7.
2x + 5y = 11
4x - 3y = -17
5
Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor itik Rp
55.000,00 sedangkan harga 3 ekor
ayam dan 5 ekor itik Rp 47.500,00.
Harga 1 ekor ayam dan 1 ekor itik
berturut-turut adalah . . .
a Rp 15.833,33 dan Rp 9.500,00
b Rp 13.750,00 dan Rp 11.000,00
c Rp 7.500,00 dan Rp 5.000,00
d Rp 7.875, 14 dan Rp 4.750,00
Pembahasan
Misalkan: ayam = x dan itik =
y
4x + 5y = 55.000
3x + 5y = 47.500 –
x
= 7.500
Harga 1 ekor ayam
7.500,00
= Rp
Subsitusikan nilai x = 7.500
4x + 5y = 55.000
5y = 55.000 – 4(7.500)
5y = 55.000 – 30.000 =
25.000
y = 5.000
Harga 1 ekor itik = Rp 5.000,00
Jadi :
Harga 1 ekor ayam = Rp
7.500,00
Harga 1 ekor itik = Rp
5.000,00
6
Pada sebuah tempat parkir terdapat 84
kendaraan yang terdiri dari sepeda
motor dan mobil ( roda empat ). Setelah
dihitung jumlah roda seluruhnya ada
220. Jika tarif parkir untuk sepeda motor
Rp 300,00 dan untuk mobil Rp 500.00,
maka besar uang parkir yang diterima
tukasng parkir tersebut adalah . . .
a. Rp 30.400,00
b. Rp 30.800,00
c. Rp 36.400,00
d. Rp 36.800,00
Pembahasan
Misal: motor = x dan mobil = y
x + y = 84
x 2 2x + 2y =
164
2x + 4y = 220
x 1 2x + 4y =
220 -2y = 56
y = 28
Banyak mobil (roda 4) = 28.
Subsitusikan x = 28 pada
persamaan (1)
x + y = 84
x = 84 – 28
x = 56
Banyak motor = 56
Banyak uang parkir :
28x + 56y = 56(300) + 28(500)
= 16.800 + 14.000
= 30.800
Total uang parkir = Rp 30.800,00.
7
Harga 3 pasang sepatu dan 5 buah
tas adalah Rp 290.000,00.
sedangkan harga 4 pasang sepatu
dan 2 buah tas Rp 200.000,- Harga
3 pasang sepatu dan 2 buah tas
adalah . . .
a. Rp 190.000,00
b. Rp 180.000,00
c. Rp 170.000,00
d. Rp 150.000,00
Pembahasan
Misal: sepatu = x dan tas = y
3x + 5y = 290.000
x4
4x + 2y = 200.000
x3
12x + 20y
12x + 6y
14 y
y
= 1.160.000
= 600.000 –
= 560.000
= 40.000
Subsitusikan nilai y = 40.000
4x + 2y = 200.000
4x = 200.000 - 2( 40.000)
4x = 120.000
x = 30.000
harga 3 ps sepatu dan 2 buah tas
=
3x + 2y = 3(30.000) +
2( 40.000)
= 90.000 + 80.000
= 170.000
Jadi harganya = Rp 170.000,00
8
Harga 12 pensil dan 8 buku Rp
44.000,00 sedangkan harga 9
pensil dan 4 buku Rp 31.000,00.
Jumlah uang yang harus
dibayarkanj untuk 2 pensil dan 5
buku adalah . . .
a. Rp 11.000,00
b. Rp 15.000,00
c. Rp 17.000,00
d. Rp 21.000,00
Pembahasan
Misalkan: pensil = a dan buku
=b
12 a + 8 b = 44.000 x 1
9 a + 4 b = 31.000 x 2
12 a + 8 b = 44.000
18 a + 8 b = 62.000 -6a = -18.000
a = 3.000
Subsitusikan nilai a = 3.000
12 a + 8 b = 44.000
8 b = 44.000 – 12( 3000 )
8 b = 44.000 – 36.000 =
8.000
b = 1.000
Harga 2 pensil dan 5 buku adalah:
2 ( 3.000 ) + 5 ( 1.000 )
6.000 + 5.000 = 11.000
Jadi yang harus dibayar =Rp
11.000,00
9
Harga 3 potong baju dan 4 potong
celana Rp 450.000,00
sedangkan harga 5 potong baju
dan 2 potong celana Rp
400.000,00. harga 4 potong baju
dan 5 potong celana adalah . . .
a. Rp 150.000,00
b. Rp 170.000,00
c. Rp 575.000,00
d. Rp 790.000,00
Pembahasan :
Misalkan: baju = p dan celana
=q
3 p + 4 q = 450.000 x 1
5 p + 2 q = 400.000 x 2
3p + 4q =
10 p + 4 q =
-7p =
p=
450.000
800.000 -350.000
50.000
Subsitusikan nilai p = 50.000
3 p + 4 q = 450.000
4 q = 450.000 – 3( 50.000)
4 q = 450.000 - 150.000 =
300.000
q = 75.000
Harga 4 potong baju dan 5 potong
celana:
= 4 ( 50.000 ) + 5 ( 75.000 )
= 200.000
+ 375.000
= 575.000
Jadi Harganya
= Rp 575.000,00
Terima
Kasih…
Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel: dua persamaan linier
dan dua variabel yang hanya
memiliki satu titik penyelesaian.
Bentuk umum:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Mencari himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan linier dua
variabel ada 4 cara:
1. metode grafk
2. metode subsitusi
3. metode eliminasi
4.
metode eliminasi
subsitusi
dan
METODE SUBSITUSI
Metode subsitusi dimulai
dengan menyatakan sebuah
variabel dari salah satu sistem
persamaan linier dua variabel
dalam variabel lain.
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + y
= 6 dan x – y = - 3.
Pembahasa
n
2x + y = 6 dan x – y = - 3.
x – y = -3 maka x = y - 3.
Subsitusikan nilai x ke
persamaan yang lain
2x + y
=6
x = y -3
2(y - 3) + y = 6
x=4–3
2y – 6 + y = 6
x=1
3y = 12
HP ={(1,4)}
y=
4
METODE
ELIMINASI
Metode eliminasi: cara untuk
mendapatkan nilai pengganti
suatu variabel melalui
penghilangan variabel yang
lain. Untuk mengeliminasi
suatu variabel, langkah
pertama yang dilakukan
adalah menyamakan
koefsien variabel tersebut.
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + y
= 6 dan x – y = - 3.
Pembahasa
n
2x + y =
6
x
–
y
=
2x + y = 6
3 x – y = -3
+
3x = 3
x=1
Karena variabel x
atau y koefisiennya
ada yang sama,
maka langsung
dapat di eliminasi.
Subsitusikan nilai x ke salah satu persamaan
2x + y = 6
2(1) + y = 6
2 +y=6
y=6–2
y=4
HP ={(1,4)}
Conto
h
Tentukan himpunan
penyelesian dari 2x + 3y
= 12 dan x + 2y = 7.
Pembahasa
Karena variabel x
n
atau y koefisiennya
2x + 3y =
tidak ada yang sama,
12
maka tidak dapat
x + 2y = 7
2x + 3y = x 1 langsung di eliminasi.
x2
12
x + 2y =
2x
+
3y
=
12
7
2x + 4y = 14 -y = -2 , atau y = 2
Subsitusikan nilai y ke salah satu persamaan
2x + 3y = 12
2x + 3(2) = 12
2x + 6 = 12
2x = 12 – 6
2x= = 6, maka x = 3
HP
={(3,2)}
1
Penyelesaian sistem persamaan 3x
– 2y=12 dan 5x + y = 7 adalah x =
p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . .
..
a. 17
b. 1
c. -1
d. -17
Pembahasan
3x –2y = 12
5x + y = 7 maka y = 7 – 5x
Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 ).
3x – 2y = 12
3x – 2( 7 – 5x) = 12
3x – 14 + 10x = 12
13x = 12 + 14
x = 2 maka, p = 2
Subsitusikan nilai x = 2, ke persamaan (2)
y = 7 – 5x
y = 7 – 5( 2)
y = 7 – 10
y = -3 ,
maka q = -3
Nilai 4p + 3q = 4(2) + 3(-3)
=8–9
= -1
2
Himpunan penyelesaian dari
sistem persamaan x – 2y = 10
dan 3x + 2y = -2 adalah . . . .
a. {(-2,-4)}
b. {(-2 ,4)}
c. {(2, -4)}
d. {(2, 4)}
Pembahasan
I. x – 2y = 10 x = 2y + 10
II. 3x + 2y = -2
Subsitusikan persamaan (1) ke (2).
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = - 2
8y = -32
y =-4
Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)
x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x= 2
Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.
3
Himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x
+ 2y = 29 adalah . . .
a. {(7, 4)}
b. {(7,-4)}
c. {(-4, 7)}
d. {(4, 7)}
4
Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17,
Maka nilai dari 2x – y = . . . .
a. -7
b. -5
c. 5
d. 7
Gunakan cara eliminasi :
Eliminasi x kalikan dengan koefisien x
x 3 6x +15y = 33
x 5 20x -15y = -85 +
26x = -52
x = -2
Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = - 7.
2x + 5y = 11
4x - 3y = -17
5
Harga 4 ekor ayam dan 5 ekor itik Rp
55.000,00 sedangkan harga 3 ekor
ayam dan 5 ekor itik Rp 47.500,00.
Harga 1 ekor ayam dan 1 ekor itik
berturut-turut adalah . . .
a Rp 15.833,33 dan Rp 9.500,00
b Rp 13.750,00 dan Rp 11.000,00
c Rp 7.500,00 dan Rp 5.000,00
d Rp 7.875, 14 dan Rp 4.750,00
Pembahasan
Misalkan: ayam = x dan itik =
y
4x + 5y = 55.000
3x + 5y = 47.500 –
x
= 7.500
Harga 1 ekor ayam
7.500,00
= Rp
Subsitusikan nilai x = 7.500
4x + 5y = 55.000
5y = 55.000 – 4(7.500)
5y = 55.000 – 30.000 =
25.000
y = 5.000
Harga 1 ekor itik = Rp 5.000,00
Jadi :
Harga 1 ekor ayam = Rp
7.500,00
Harga 1 ekor itik = Rp
5.000,00
6
Pada sebuah tempat parkir terdapat 84
kendaraan yang terdiri dari sepeda
motor dan mobil ( roda empat ). Setelah
dihitung jumlah roda seluruhnya ada
220. Jika tarif parkir untuk sepeda motor
Rp 300,00 dan untuk mobil Rp 500.00,
maka besar uang parkir yang diterima
tukasng parkir tersebut adalah . . .
a. Rp 30.400,00
b. Rp 30.800,00
c. Rp 36.400,00
d. Rp 36.800,00
Pembahasan
Misal: motor = x dan mobil = y
x + y = 84
x 2 2x + 2y =
164
2x + 4y = 220
x 1 2x + 4y =
220 -2y = 56
y = 28
Banyak mobil (roda 4) = 28.
Subsitusikan x = 28 pada
persamaan (1)
x + y = 84
x = 84 – 28
x = 56
Banyak motor = 56
Banyak uang parkir :
28x + 56y = 56(300) + 28(500)
= 16.800 + 14.000
= 30.800
Total uang parkir = Rp 30.800,00.
7
Harga 3 pasang sepatu dan 5 buah
tas adalah Rp 290.000,00.
sedangkan harga 4 pasang sepatu
dan 2 buah tas Rp 200.000,- Harga
3 pasang sepatu dan 2 buah tas
adalah . . .
a. Rp 190.000,00
b. Rp 180.000,00
c. Rp 170.000,00
d. Rp 150.000,00
Pembahasan
Misal: sepatu = x dan tas = y
3x + 5y = 290.000
x4
4x + 2y = 200.000
x3
12x + 20y
12x + 6y
14 y
y
= 1.160.000
= 600.000 –
= 560.000
= 40.000
Subsitusikan nilai y = 40.000
4x + 2y = 200.000
4x = 200.000 - 2( 40.000)
4x = 120.000
x = 30.000
harga 3 ps sepatu dan 2 buah tas
=
3x + 2y = 3(30.000) +
2( 40.000)
= 90.000 + 80.000
= 170.000
Jadi harganya = Rp 170.000,00
8
Harga 12 pensil dan 8 buku Rp
44.000,00 sedangkan harga 9
pensil dan 4 buku Rp 31.000,00.
Jumlah uang yang harus
dibayarkanj untuk 2 pensil dan 5
buku adalah . . .
a. Rp 11.000,00
b. Rp 15.000,00
c. Rp 17.000,00
d. Rp 21.000,00
Pembahasan
Misalkan: pensil = a dan buku
=b
12 a + 8 b = 44.000 x 1
9 a + 4 b = 31.000 x 2
12 a + 8 b = 44.000
18 a + 8 b = 62.000 -6a = -18.000
a = 3.000
Subsitusikan nilai a = 3.000
12 a + 8 b = 44.000
8 b = 44.000 – 12( 3000 )
8 b = 44.000 – 36.000 =
8.000
b = 1.000
Harga 2 pensil dan 5 buku adalah:
2 ( 3.000 ) + 5 ( 1.000 )
6.000 + 5.000 = 11.000
Jadi yang harus dibayar =Rp
11.000,00
9
Harga 3 potong baju dan 4 potong
celana Rp 450.000,00
sedangkan harga 5 potong baju
dan 2 potong celana Rp
400.000,00. harga 4 potong baju
dan 5 potong celana adalah . . .
a. Rp 150.000,00
b. Rp 170.000,00
c. Rp 575.000,00
d. Rp 790.000,00
Pembahasan :
Misalkan: baju = p dan celana
=q
3 p + 4 q = 450.000 x 1
5 p + 2 q = 400.000 x 2
3p + 4q =
10 p + 4 q =
-7p =
p=
450.000
800.000 -350.000
50.000
Subsitusikan nilai p = 50.000
3 p + 4 q = 450.000
4 q = 450.000 – 3( 50.000)
4 q = 450.000 - 150.000 =
300.000
q = 75.000
Harga 4 potong baju dan 5 potong
celana:
= 4 ( 50.000 ) + 5 ( 75.000 )
= 200.000
+ 375.000
= 575.000
Jadi Harganya
= Rp 575.000,00
Terima
Kasih…