3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri - UKBM MTKA Wajib 3.6.2 Barisan dan Deret

BARISAN GEOMETRI

1.Identitas

  a. Nama Mata Pelajaran : Matematika XI (Wajib)

  c. Kompetensi Dasar :

  3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri

  4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)

  d. Materi Pokok : Barisan Arimetik dan Geometri

  e. Alokasi Waktu : 4 x 45 menit

  f. Tujuan Pembelajaran :

  g. Materi Pembelajaran

o Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Sinaga, Bornok,

dkk. 2015. Buku Siswa Matematika X Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, hal. 71 s.d. 96.

  Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning (Pembelajaran Penemuan) dan Problem Based Learning (Pembelajaran Berbasis Masalah)/projek, peserta didik diharapkan dapat Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri serta Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)

  

berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi,

berkreasi(4C).

  b. Semester : Ganjil

2.Peta Konsep

POLA BILANGAN

  Aplika _si ^Rumus _{Suku Ke- n} ^Aplika _si ^Aplika _si

  Barisan Aritmeti

  Rumus _{Suku Ke- n} ^{Jumlah n} _suku ^Aplikas _i ^{Jumlah n} _suku Deret _{Geometri Tak Hingga}

  Barisan Geometr

  Deret Aritmeti

  Deret Geometri

  Barisan Bilangan

  Deret Bilangan

3.Kegiatan Pembelajaran

  Pertemuan 5 dan 5

  a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan

memahami cerita di bawah ini.

  Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.

  b. Kegiatan Inti 1) Petunjuk Umum UKB a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk.

  2017. Buku Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, hal. 198 s.d. 115.

  b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.

  c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.

  d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, kalian boleh melanjutkan ke kegiatan belajar 2.

  Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi! Kegiatan Belajar 5 dan 6

  Informasi yang ada:  Misalkan banyak gandum pada kotak ke-n adalah U n

  Ada sebuah legenda dari Persia tentang deret geometri yang akan kita pelajari. Pada suatu masa, negeri itu diperintah oleh Raja yang kurang memikirkan kesejahteraan rakyat, sehingga rakyat hidup dalam kemiskinan. Sementara raja sendiri berlimpah kemewahan. Diceritakan pula bahwa raja tersebut pandai bermain catur. Suatu ketika raja menantang seseorang bermain catur. Sebelum permainan dimulai, orang tersebut mengajukan permintaan, jika dia menang dia menginginkan hadiah gandum sesuai banyak kotak-kotak pada papan catur dengan ketentuan 1 butir gandum pada kotak pertama, 2 butir gandum pada kotak kedua, 4 butir gandum pada kotak ketiga, demikian seterusnya sehingga banyak gandum pada setiap kotak adalah dua kali banyak gandum pada kotak sebelumnya. Raja dapat menerima permintaan itu. Ketika akhirnya orang itu menang, raja terkejut. Mengapa raja terkejut? Berapakah banyak gandum pada kotak terakhir (kotak ke-64)?

2) Kegiatan Belajar

  Banyak gandum pada setiap kotak adalah dua kali banyak gandum pada kotak

   sebelumnya.

  Coba kita sederhanakan dengan tabel: Kotak Suku Jumlah Barisan ke-n ke- gandum Geometri

  1 u ^{1 = a} ₂ 1 1 = 1.2 ₁ 2 u ₃ 2 2 = 1.2 ₂ 3 u 4 4 = 1.2 ₃ 4 u ₅ ⁴ 8 8 = 1.2 5 u ... ... ₆ 6 u ... ... ₆₄ 64 U ... ...

  Banyaknya gandum di atas membentuk barisan geometri dengan perbandingan yang tetap. 1, 2, 4, 8, ... Berapakah nilai perbandingan itu? Dari mana mendapat nilai perbandingan itu Jika nilai perbandingan itu adalah r dan barisan geometri tadi adalah u ^{1 , u 2 , u 3 , ..., u n -1 , u n}

  …

  maka rumus r =

  … Coba lihat pola dari tabel banyaknya gandum tersebut. u ^{1 u 2 u 3 u} ₂ ^{4 ... u n}

₃

a ar ar ar ... ...

  Jadi, rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

  

… …

  Dengan rasio barisan geometri adalah r =

  

… …

  Ingat kembali cerita raja yang terkejut tadi. Jadi, berapa butir gandum pada kotak terakhir? .................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................... Contoh soal:

  Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1

  Un = ar n-1 Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut. Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka

  S _n = a(1−r ⁿ ) 1−r untuk r < 1 , atau S _n = a(r ⁿ − 1 ) r−1 untuk r > 1

  )a Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah

  Sn - r Sn = a - ar n (1 - r) Sn = (1 -r n

  4

  3

  Sn = ar + ar

  3

  2

  Sn = a + ar

  3. Deret Geometri tak hingga Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un + .... disebut deret geometri dengan

  Mari kita aplikasikan rumus barisan geometri yang telah kita temukan. Sambil mempelajari buku paket halaman 198 – 215. Kerjakanlah soal-soal di bawah ini.

  2. Menentukan jumlah suku ke-n dari suatu deret geometri

  Tujuan: 1. Memahami deret geometri.

  Materi: Deret Geometri

  3. Jumlah penduduk suatu desa pada tahun 2010 diperkirakan 6.400 jiwa. Kenaikan jumlah penduduk adalah 2 kali lipat setiap tahunnya. Tentukan jumlah penduduk desa tersebut pada tahun 2004.

  b. 6, 3, 3/2, ……(U ^{10 )}

  a. 3, 6, 12, …… (U ^{20 )}

  2. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut!

  b. 16, –32, 64, –128, . . .

  a. 2, 6, 18, 54, . . .

  1. Tentukan suku pertama, rasio, dan rumus suku ke-n setiap barisan geometri berikut.

• ar
• ..... + ar n-1 r
• ar
• ..... + ar n-1
• ar n

  2. Mengidentifikasikan, menyajikan model matematika dan menyelesaikan masalah keseharian yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika, geometri dan yang lainnya.

  Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)

  Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal-soal Uji kompetensi 5.2 halaman 202 s.d. 203, nomor 1 s.d. 10

  Ayoo berlatih!

  Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)

  1−r =± ∞

  S _∞ = a (1±∞)

  2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n ^{→ ∞} nilai rn makin besar akibatny

  1−r

  S _∞ = a (1−0 ) 1−r = a

  1. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya

  Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus :

  1−r

  S _∞ = lim _n→∞ S _n = a

  Jumlah deret geomatri tak hingga adalah :

BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

  1. Mendeskripsikan konsep barisan dan deret pada konteks dunia nyata, seperti bunga, pertumbuhan dan peluruhan.

a) Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk 1) BUNGA TUNGGAL

  Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap). Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama waktunya dan umumnya berbanding senilai pula dengan besarnya modal.

  Jika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p % setahun maka:

  a. Setelah t tahun, besarnya bunga:

  I=M× p 100 × t

  b. Setelah t bulan, besarnya bunga:

  I=M× p 100 × t

  12

  c. Setelah t hari, besarnya bunga:

• Jika satu tahun 360 hari, maka:

  360

• Jika satu tahun 365 hari, maka:
• Jika satu tahun 366 hari (tahun kabisat), maka:

a. 2 tahun

  I=M× p 100 × t

  365

  I=M× p 100 × t

  366 Contoh:

  Budi meminjam uang sebesar Rp 1.000.000,00 kepada Edi dengan tingkat bunga 18% pertahun. Hitung besarnya bunga selama:

  I=M× p 100 × t

  b. 6 bulan

  c. 50 hari

  d. 2 tahun 6 bulan dan 50 hari!

  Alternatif Penyelesaian

  M = 1.000.000 dan p = 18

  a. Besarnya bunga selama 2 tahun

  p x M x t

  i =

  100

  18 x 1000000 x 2

  i = = 360000

  100

  Jadi besarnya bunga selama 2 tahun sebesar Rp 360.000,00

  b. Besarnya bunga selama 6 bulan:

  p t

  i = x M x

  100

  12

  18

  6

  i = x 1000000 x = 90000

  100

12 Jadi besarnya bunga adalah Rp 90.000,00

  c. Besarnya bunga selama 50 hari:

  p t

  i = x M x

  100 360

  18

  50

  i = x 1000000 x = 25000

  100 360

  Jadi besarnya bunga dalam 50 hari adalah sebesar Rp 25.000,00

  d. Besarnya bunga dalam 2 tahun 6 bulan dan 50 hari dapat dicari dengan jalan menjumlahkan bunga 2 tahun + bunga 6 bulan + bunga 50 hari: Atau dapat dicari dengan jalan menghitung waktu seluruhnya dalam hari, sehingga 2 tahun 6 bulan 50 hari = 950 hari, sehingga:

  p t

  i = x M x

  100 360 18 950

  i = x 1000000 x = 475000

  100 360

  Jadi besarnya bunga selama 2 tahun 6 bulan dan 50 hari adalah Rp 475.000,00

2) BUNGA MAJEMUK

  Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.

  a) Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

  Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.

  b) Perhitungan Nilai Akhir Modal

• Setelah satu tahun
• Setelah dua tahun
• P

  = 1.000.000 (1,03) ³ = 1.000.000 x 1,092727 = 1.092.727

  ( 1+

  P 100 )

  2

  Contoh soal

  Modal sebesar Rp 1.000.000,00 diperbungakan dengan dasar bunga majemuk 3% setahun. Hitunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun. Alternatif Penyelesaian Misalkan M = 1.000.000,00, n = 3 tahun, p = 3%.

  M ³ = M (1+i) ³ = 1.000.000 (1+0,03) ³

  Jadi nilai akhir setelah 3 tahun = Rp 1.092.727,00

  1+ P 100 )( 1+

  Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat dirumuskan sebagai :

  P n = P ^{1 R n -1} dimana R =1 + r P ^{1 =jumlah pada tahun pertama (basis)} P n =jumlah pada tahun ke-n r =persentase pertumbuhan per-tahun n =indeks waktu (tahun)

  Contoh Soal 1)

  M n

  = M (

  1+ P

  100 ) n

  P 100 ) = M

  M (

  M

   Dengan menggunakan rumus

  P 100

  (

1+

  100 M

  100 )

  1+ P

  M (

  2 =

  ) =

  100 )

  1+ P

  M (

  M =

  M ₁ = M + P 100

  Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p % setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah:

• Setelah n tahun

3) Model Pertumbuhan Penduduk

  Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Alternatif Penyelesaian: P1 = 1.000.000 R = 0,04 R = 1,04 ₁₅ P 2006 = P16= 1000000 (1,04)

  = 1.000.000 ( 1,800943) = 1.800.943

  Contoh Soal 2) Jumlah penduduk kota X pada tahun 1994 mencapai 2 juta jiwa. Bila jumlah penduduk di kota tersebut meningkat dengan laju 2,5% pertahun dan andaikan laju pertambhan itu tetap sebesar itu dalam setiap tahunnya, tentukanlah banyaknya penduduk di kota X pada tahun 1999.

  Alternatif Penyelesaian: Pertumbuhan penduduk pada dasarnya sama dengan pertambahan tabungan yang disimpan di Bank. Jadi, apabila banyaknya penduduk mula-mula P dengan tingkat kenaikan penduduk I%, sedangkan banyaknya penduduk setelah n tahun adalah P t , maka tentunya banyaknya penduduk pada saat n tahun adalah : _n

  P = P(1 + I) _n Jadi, dari soal di atas kita dapatkan, banyaknya penduduk di kota X pada tahun 1999 (setelah 5 tahun) menjadi : ₅ P = 2.000.000 (1 + 0,025) _{5 6 5}

  = 2 . 10 . (1,025) ₆ = 2 . 10 (1,1314) = 2.262.816 (dibulatkan).

c. Penutup Bagaimana kalian sekarang?

  Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, 3, dan 4, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.

  Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tida

k

  1. Apakah kalian telah memahami pengertian Barisan dan Deret Geometri?

  2. Dapatkah kalian menjelaskan Barisan dan Deret Geometri?

  3. Dapatkah kalian menyusun masalah kontekstual yang menjadi Barisan dan Deret

  Geometri?

  4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan Barisan dan Deret Geometri? Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

  Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Komposisi Fungsi dalam rentang

0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

  

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Komposisi

Fungsi, lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.

  Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Barisan dan Deret Geometri!

Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Pola Bilangan,

Barisan dan Deret Aritmatika?, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di

buku kerja kalian masing-masing. Kerjakan Soal Uji Kompetensi 5.3 pada Buku Pegangan Siswa pada halaman 212 s.d. 213 nomor soal 1 s.d. 10.