3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri - UKBM MTKA Wajib 3.6.1 Barisan dan Deret
BARISAN ARIMETIKA
1.Identitas
a. Nama Mata Pelajaran : Matematika XI (Wajib)
c. Kompetensi Dasar :
3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)
d. Materi Pokok : Barisan Arimetik dan Geometri
e. Alokasi Waktu : 8 x 45 menit
f. Tujuan Pembelajaran :
g. Materi Pembelajaran
o Lihat dan baca pada Buku Teks Pelajaran (BTP): Sinaga, Bornok,
dkk. 2015. Buku Siswa Matematika X Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, hal. 71 s.d. 96.Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Discovery Learning (Pembelajaran Penemuan) dan Problem Based Learning (Pembelajaran Berbasis Masalah)/projek, peserta didik diharapkan dapat Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri serta Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas)
berpikir kritis, berkomunikasi, berkolaborasi,
berkreasi(4C).b. Semester : Ganjil
2.Peta Konsep
POLA BILANGAN
Aplika si Rumus Suku Ke- n Aplika si Aplika si
Barisan Aritmeti
Rumus Suku Ke- n Jumlah n suku Aplikas i Jumlah n suku Deret Geometri Tak Hingga
Barisan Geometr
Deret Aritmeti
Deret Geometri
Barisan Bilangan
Deret Bilangan
3.Kegiatan Pembelajaran
Pertemuan 1 dan 2
a. Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan
memahami cerita di bawah ini.Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.
b. Kegiatan Inti 1) Petunjuk Umum UKB a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk.
2017. Buku Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, hal. 180 s.d. 196.
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, kalian boleh melanjutkan ke kegiatan belajar 2.
Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi ! Kegiatan Belajar 1
Perhatikan kalender tahun 2012 di samping Tuliskan angka-angka yang menunjukkan hari senin .......................................................................................
....................................................................................... Apa yang dapat anda ketahui tentang angka-angka tersebut? ....................................................................................... .......................................................................................
Pada malam pertunjukkan dalam rangka membantu korban bencana alam, ruangan tempat duduk untuk para penonton dibagi atas beberapa baris. Masing–masing baris terdiri dari 200 tempat duduk. Harga karcis baris terdepan Rp. 150.000,00 per orang dan harga kacis baris paling belakang sebesar Rp. 50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia berharap akan memperoleh uang sebesar Rp. 120.000.000,00. Berapakah harga karcis per orang dari sebelum baris paling belakang?
2) Kegiatan Belajar
Coba anda buat pola bilangan untuk hari lainnya. Hasil apa yang anda peroleh? .......................................................................................
....................................................................................... Bisakah anda mendefinisikan apa yang dimaksud dengan pola bilangan? ..............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................. Perhatikan pola bilangan berikut dan coba anda lanjutkan bilangan berikutnya serta sebuntkan nama pola bilangan tersebut.
Pola bilangan ....................................................
Pola bilangan ....................................................
Pola bilangan ....................................................
Pola bilangan ....................................................
Pola bilangan ....................................................
A. BARISAN BILANGAN
Dapatkan anda menuliskan dua angka berikutnya yang mungkin untuk masing-masing barisan bilangan di bawah ini: 1. 1, 3, 5, ..., ... 2. 500, 400, 320, 260, ..., ... 3. 1, 1, 2, 3, 5, ..., ... 4. 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., ... Barisan bilangan di atas sering muncul dalam kehidupan sehari-hari. Anda mungkin menjumpai barisan bilangan (1) jika mencari nomor rumah. Barisan (2) merupakan harga televisi dalam ribuan rupian yang disusutkan 20% pertahun. Barisan (3) dan
(4) adalah barisan Fibonaci yang dapat anda teliliti dalam susunan daun, segmen- segmen dalam buah nanas atau biji cemara.
Rabu ke-1
3
U 3 , ...,U n badalah barisan bilangan maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n adalah sebuah deret bilanagn.
Deret bilanganmerupakan jumlah dari suku-suku pada barisan bilangan. Jika U 1 , U 2 ,
5 31 31 = 7 . 5 – 4 Jadi, rumus berulang untuk barisan tanggal tersebut adalah U n = 7 n – 4
4 24 24 = 7 . 4 – 4
3 17 17 = 7 . 3 - 4
2 10 10 = 7 . 2 - 4
1 3 3 = 7. 1 – 4
Minggu Ke- Tanggal Pola
3 Rabu ke-2 3 + 7 = 10 Rabu ke-3 10 + 7 = 17 Rabu ke-4 17 + 7 = 24 Rabu ke-5 24 + 7 = 31 Jadi, jadwal latihan nasyid tersebut diperoleh dengan menambahkan 7 hari pada setiap suku. Suku-suku pada barisan tersebut sebagai berikut.
U 10 = (10) 2 – 2(10) – 1 = 79 2. Anda dapat mencari polanya sebagai berikut.
"Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang tersusun menurut pola tertentu" .
b. Suku kesepuluh dapat dicari sebagai berikut.
U 5 = (5) 2 – 2(5) – 1 = 14 Jadi, barisan bilangan tersebut adalah -2, -1, 2, 7, 14, ...
U 3 = (3) 2 – 2(3) – 1 = 2 U 4 = (4) 2 – 2(4) – 1 = 7
a. U 1 = (1) 2 – 2(1) – 1 = -2 U 2 = (2) 2 – 2(2) – 1 = -1
1. Bentuk barisannya
2. Suatu grup nasyid dijadwalkan latihan setiap Rabu pada bulan Agustus. Jika latihan pertama dilakukan pada tanggal 3, tentukan jadwal latihan nasyid pada bulan tersebut. Jawab:
b. Tentukan nilai suku ke-10
a. Tuliskan bentuk barisannya
1. Sebuah barisan didefinisikan U n = n 2 – 2n – 1, dengan n bilangan asli.
Contoh soal:
B. DERET BILANGAN
Ayoo berlatih!
Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah selesaikan soal-soal di bawah ini:
1. Aplikasikan konsep yang kalian dapat untuk menyelesaiakn masalah berikut.
Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut. 2
a. U n = 2n – n – 2
1 n(n+2)
U
b. n =
2 Alternatif Penyelesaian: ............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
2. Tentukan jumlah deret bilangan yang rumus suku ke-n nya diketahui.
a. U n = n – 5 untuk 10 bilangan yang pertama
n+1
b. U n = , untuk 4 bilangan yang pertama
2 n
Alternatif Penyelesaian ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................
Pertemuan 4 dan 5
a. Pendahuluan Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita di bawah ini.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini.
b. Kegiatan Inti 1) Petunjuk Umum UKB a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk.
2017. Buku Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan, hal. 180 s.d. 196.
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1 dan 2, kalian boleh melanjutkan ke kegiatan belajar 3 dan 4.
Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi! Kegiatan Belajar 3 dan 4 Alternatif Penyelesaian:
Untuk menentukan banyaknya kursi yang tersedia dalam gedung tersebut mulai dari baris pertama sampai baris ke sepuluh dapat diilustrasikan sebagai berikut:
Dalam sebuah gedung akan disusun kursi untuk acara Training.
Terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depannya. Bila dalam
gedung itu terdapat sepuluh baris kursi. Berapakah kursi yang
tersedia untuk acara training itu?c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang telah disediakan.
2) Kegiatan Belajar
Jumlah kursi tiap baris adalah
- 30 + 34 + 38 42 + ... +
64 Baris Baris Baris Baris Baris ke-1 ke-2 ke-3 ke-4 ke-10 u 1 + u + + 2 + u 3 u 4 ... + u
10 Catatan: untuk mencari jumlah kursi tiap baris adalah dengan menggunakan
rumus suku ke-n barisan aritmetika, yaitu : U n = a + (n – 1)b Misal U 10 = 30 + (10 – 1)4 = 64. Karena kita ingin mengetahui jumlah kursi yang tersedia di dalam gedung, maka itu artinya kita menjumlahkan kursi tiap barisnya: 30 + 34 + 38 + 42 + ... + 64 sebanyak 10 suku
Perhatikan pola dalam tabel berikut:
Suku Baris Jumlah kursi Jumlah kursi sampai baris ke- ke- ke- tiap baris (deret) U 1 = a
1
30 S 1 = 30 = 30
(30+34) 2
U 2
2
34 S 2 = 30 + 34 = = 64
2 (30+38) 3
U 3
3
38 S 3 = 30 + 34 + 38 = = 102
2 (30+42) 4
U 4
4
42 S 3 = 30 + 34 + 38 + 42 = = 144
2 ... ........................................................
U 5
5 ... ........................................................ U 6
6 ... U 7
7 ... U 8
8 ... U 9
9
(30+64 )10
U 10
10
64 S 10 = = .......................................
2 Susunlah jumlah suku-suku barisan aritmetika yang dinyatakan sebagai
berikut: S 1 = U 1 S 2 = U 1 + U 2 S = U + U + U 3 1 2 3 S 4 = U 1 + U 2 + U 3 + U 4 ..................................
................................................... S n = U 1 + U 2 + U 3 + .................... + U n
n merupakan bilangan asli Tuliskan kembali definisi Deret Aritmetika yang ada di buku paket matematika atau sumber lain
Deret Aritmetika adalah......................................................................................................
...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................
Untuk menemukan rumus jumlah n-suku pertama, gunakan definisi di atas: S n = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n artinya S n = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a + (n-1).b) ... (persamaan 1)
Dengan menggunakan sifat komutatif pada penjumlahan, maka persamaan 1 di ubah menjadi S n = (a+(n-1)b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a ... (persamaan 2)
Kita jumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2: S n = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n - 1)b) S
- n = (a+(n - 1)b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a
2S n = 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + ... + 2a + (n-1)b
2S n = n (2a + (n - 1)b) S n = ............................................ = ..........................................
Jadi, rumus jumlah n-suku pertama dari deret aritmetika adalah : Mari kita aplikasikan rumus Deret Aritmetika yang telah kita temukan. Sambil mempelajari buku matematika halaman 192 – 195. Kerjakanlah soal-soal di bawah ini.
1. Ditentukan deret aritmetika: 10 + 16 + 22 + . . . .
Carilah:
a. rumus suku ke-n,
b. rumus jumlah n suku pertama, dan c. jumlah 50 suku pertama.
2. Diketahui deret aritmetika 10 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 45 dan jumlah dua suku terakhir adalah 105. Tentukan jumlah semua suku deret itu.
3. Seorang pekerja mendapat kenaikan gaji Rp50.000,00 tiap bulan. Jumlah gajinya pada bulan Januari Rp1.200.000,00. Berapa jumlah total gaji yang dia peroleh pada akhir tahun?
c. Penutup Bagaimana kalian sekarang?
Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, 3, dan 4, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.
Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi
No Pertanyaan Ya Tida
k1. Apakah kalian telah memahami pengertian Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika?
2. Dapatkah kalian menjelaskan Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika?
3. Dapatkah kalian menyusun masalah kontekstual yang menjadi Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika?
4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika? Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.
Dimana posisimu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Komposisi Fungsi dalam rentang
0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Komposisi Fungsi, lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.
Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika! Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Pola Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika?, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja kalian masing-masing. Kerjakan Soal Uji Kompetensi 5.1 pada Buku Pegangan Siswa pada halaman 197 s.d. 198 nomor soal 1 s.d. 10.