this PDF file ANALISIS PENGGUNAAN STRATEGI MENERKA LALU MENGUJI KEMBALI DAN MELIHAT DARI SUDUT PANDANG LAIN DALAM MATEMATIKA NON RUTIN UNTUK PENYELESAIAN MENCARI NILAI x PADA SUATU PERSAMAAN | Ayuningrum | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika SOLUS
ANALISIS PENGGUNAAN STRATEGI MENERKA LALU MENGUJI KEMBALI
DAN MELIHAT DARI SUDUT PANDANG LAIN DALAM MATEMATIKA NON
RUTIN UNTUK PENYELESAIAN MENCARI NILAI x PADA SUATU PERSAMAAN
Satya Mardi Ayuningrum1, Rubono Setiawan2
1
Pendidikan Matematika, Universitas Sebelas Maret Surakarta
akusatyamardi@gmail.com
2
Pendidikan Matematika, Universitas Sebelas Maret Surakarta
rubono.matematika@staff.uns.ac.id
ABSTRAK
Terdapat berbagai strategi dalam memecahkan masalah matematika, diantaranya adalah menerka lalu
menguji kembali dan melihat dari sudut pandang lain. Penelitian ini akan menjelaskan tentang
bagaimana memecahkan suatu permasalahan tentang mencari nilai x pada suatu persamaan dengan
menggunakan kombinasi dua strategi sekaligus yakni menerka lalu menguji kembali dan melihat dari
sudut pandang lain. Permasalahan yang disajikan merupakan soal olimpiade SMA baik tingkat
kabupaten, tingkat provinsi maupun tingkat nasional. Metode penelitian menggunakan metode research
and development yang berbasis kajian teori. Strategi menerka lalu menguji kembali dan melihat dari
sudut pandang lain lebih efektif untuk menyelesaikan permasalahan tentang mencari nilai x pada suatu
persamaan karena banyak manipulasi aljabar yang bisa dilakukan sehingga soal yang dikerjakan akan
lebih mudah untuk diselesaikan. Pelaksanaan pemecahan masalah ini juga harus disesuaikan dengan
langkah Polya yang terdiri dari empat tahapan. Langkah Polya dipakai agar cara menjawab
permasalahan yang disajikan lebih terstruktur
Kata Kunci : melihat dari sudut pandang lain, menerka lalu menguji kembali, langkah polya, aljabar
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 63
ISSN 2614-0357
PENDAHULUAN
baik tingkat kabupaten, provinsi, ataupun
Masalah adalah sebuah kata yang
nasional.
Tingkat
kesulitan
soal
yang
sering terdengar oleh kita. Namun sesuatu
termasuk dalam soal – soal olimpiade
akan menjadi masalah tergantung bagaimana
memang sedikit lebih tinggi dibandingkan
seseorang mendapatkan masalah tersebut
dengan soal – soal yang biasa diberikan guru
sesuai
Dalam
saat di dalam kelas sehingga soal olimpiade
pendidikan matematika SMA mungkin saja
bisa dikategorikan sebagai masalah non
siswa
rutin.
dengan
kemampuannya.
dengan
kemampuan
rendah
menggangap suatu hal merupakan sebuah
Kemampuan pemecahan masalah sangat
masalah
penting artinya bagi siswa.
namun
kemampuan
tinggi
merupakan
sebuah
bagi
hal
siswa
dengan
tersebut
bukan
pembelajaran sependapat bahwa kemampuan
Masalah
pemecahan masalah dapat dibentuk melalui
masalah.
Para ahli
merupakan suatu konflik yang merupakan
bidang
hambatan bagi siswa dalam menyelesaikan
diajarkan.
S.
tugas belajarnya di dalam kelas. Namun
menyatakan
pemecahan
suatu masalah harus diselesaikan agar proses
dipandang sebagai proses di mana siswa
berpikir siswa terus berkembang.
menemukan kombinasi aturan-aturan yang
studi
dan
disiplin
Nasution
ilmu
yang
(2008:170)
masalah
dapat
Dalam dunia matematika masalah
telah dipelajarinya terlebih dahulu yang
digolongkan
yaitu
digunakannya untuk memecahkan masalah
masalah rutin dan non rutin. Masalah rutin
tidak sekedar aturan-aturan yang diketahui,
adalah masalah yang dapat diselesaikan dan
akan tetapi juga menghasilkan pelajaran
dikerjakan siswa dengan mudah dimana
baru. Pembahasan mengenai pemecahan
masalah – masalah tersebut tidak asing bagi
masalah matematika tidak terlepas dari tokoh
siswa
utamanya, yaitu George Polya. Menurut
dapat
sebab
menjadi
masalah
dua,
tersebut
sering
diberikan guru saat pembelajaran di sekolah ,
Polya
sedangkan masalah non rutin adalah masalah
pemecahan masalah
yang jarang ditemui siswa saat pembelajaran
terdiri atas empat langkah pokok, yaitu:
di sekolah dan cenderung memerlukan
1. Memahami masalah
pemahaman yang lebih agar siswa bisa
2. Menyusun rencana penyelesaian
menyelesaikannya jika siswa tidak memiliki
3. Melaksanakan rencana penyelesaian
keterampilan memecahkan masalah tersebut
4. Memeriksa kembali
maka masalah tersebut akan sulit dikerjakan
oleh siswa. Masalah non rutin biasanya
diberikan dalam bentuk soal- soal olimpiade
(dalam
Siswono,2008:
36-37)
dalam matematika
Dalam memecahkan masalah matematika
baik itu soal olimpiade maupun soal yang
64 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
rutin diperlukan strategi- strategi tertentu
banyak
agar siswa dapat memecahkan soal dengan
menyelesaikan soal yang berkaitan dengan
baik. Terdapat berbagai strategi dalam
masalah non rutin. Strategi melihat dari
memecahkan masalah matematika, (menurut
sudut pandang lain sering digunakan untuk
Yusuf Hartono, 2014:4) diantaranya adalah
menyelesaikan
bekerja mundur, penemuan pola, melihat dari
yang melibatkan manipulasi aljabar , jika
sudut
menyederhanakan
diketahui suatu bentuk aljabar maka bentuk
masalah serupa, mempertimbangkan kasus
tersebut dapat dimanipulasi menjadi bentuk
ekstrim,
diagram,
aljabar lain yang lebih sederhana sehingga
menebak dengan cerdas dan mengetesnya,
proses penyelesaian soal tersebut akan lebih
memperhitungkan
mudah.
pandang
lain,
membuat
gambar/
semua
kemungkinan,
digunakan
siswa
permasalahan
Analisa
untuk
matematika
terhadap
kesamaan
mengorganisasi data, dan bernalar logis. Dari
unsur/pola merupakan kunci dari strategi ini.
kesepuluh strategi ini, terdapat ciri- ciri
Dalam strategi tersebut siswa tidak hanya
khusus
mudah
mengerjakan soal dengan cara yang formal
ataupun
atau pada umumnya digunakan. Namun bisa
soal
dikerjakan
seperti
dengan
apa
salah
yang
satu
kombinasi dari strategi yang ada.
dengan mengubah dan melihat soal tersebut
Strategi yang sering di gunakan siswa
dari sudut pandang lain. Pada tulisan ini
adalah menerka lalu menguji kembali.
pembahasan dibatasi mengenai mencari nilai
Terkadang ada beberapa soal yang bisa
x pada suatu persamaan. Hal ini berdasarkan
dikerjakan
contoh soal yang di temui pada soal
oleh
siswa
tanpa
harus
mengerjakannya dengan menggunakan suatu
Olimpiade
rumus tertentu dan menghasilkan proses
tingkat
perhitungan yang cukup rumit. Dengan
Nasional yang menggunakan variable x.
menggunakan strategi menerka lalu menguji
Matematika
Kabupaten,
Nasional
Provinsi
pada
maupun
Berdasarkan uraian di atas, penulis
kembali tersebut akan lebih mempermudah
tertarik
siswa untuk menyelesaian soal dengan cara
kombinasi
yang sederhana dengan menerka jawaban
menyelesaikan
yang kira-kira merupakan jawaban dari
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA,
permasalahan tersebut. Namun dalam hal ini
dalam tulisan ini akan dibahas mengenai
menerka yang dimaksud tidak menerka
kombinasi strategi menerka lalu menguji
secara asal namun didasarkan atas suatu
kembali dan melihat dari sudut pandang lain.
faktor. Selain strategi menerka lalu menguji
Selain itu, penulis juga akan membahas
kembali adapula strategi pemecahan masalah
mengenai
dengan melihat dari sudut pandang lain
berdasarkan pada langkah-langkah Polya
untuk
membahas
strategi
penyelesaian
masalah
penerapan
mengenai
aljabar
strategi
dalam
pada
tersebut
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 65
ISSN 2614-0357
untuk penyelesaian masalah aljabar pada
menguji validitas dan keefektifan produk
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA.
tersebut dalam penerapannya.
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk
mengetahui
bagaimana
Untuk mendapatkan permasalahan
penggunaan
yang diangkat pada penelitian ini, penulis
kombinasi kombinasi strategi menerka lalu
melakukan survey dengan melihat dan
menguji kembali dan melihat dari sudut
mengumpulkan referensi soal matematika
pandang
non rutin pada Olimpiade SMA yang
lain
permasalahan
untuk
terkait
menyelesaikan
aljabar
dalam
diselenggarakan
baik
pada
tingkat
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA
Kabupaten, tingkat Provinsi maupun tingkat
dan
Nasional. Dan diperoleh hasil soal pada
penerapannya
berdasarkan
langkah
Polya.
ranah aljabar dikeluarkan paling sedikit satu
METODE PENELITIAN
soal
pada
setiap
tahunnya.
Dengan
Penelitian ini merupakan penelitian
pertimbangan tersebut penulis melakukan
teoritis yang menggunakan metode research
analisis bagaimana cara mengerjakan soal
and development berbasis kajian teori.
pada ranah aljabar dengan cara yang mudah
Sugiyono (2009: 297) menyampaikan bahwa
dan efektif sehingga siswa lebih mudah
Research and Development adalah metode
untuk mengerjakan soal tersebut tanpa perlu
penelitian
untuk
menggunakan rumus umum dimana rumus
menghasilkan produk tertentu, dan menguji
umum tersebut berisi tentang perhitungan
keefektifan
atau penjabaran yang cukup panjang. Oleh
yang
digunakan
metode
tersebut.
Sementara
dalam bidang pendidikan Borg and Gall
karena
(1985)
menggunakan
dalam
menyatakan
Sugiyono
bahwa,
(2009:
penelitian
4)
itu
penulis
penelitian
memilih
untuk
research
and
dan
development sebab dalam penelitian ini
and
penulis mencoba untuk mengembangkan
pengembangan
(Research
Development/R&D),
merupakan
metode
cara penyelesaian soal dengan strategi yang
penelitian
digunakan
untuk
lebih efektif namun tidak mengurangi makna
mengembangkan atau memvalidasi produk-
dalam soal yang disajikan. Sehingga akan
produk yang digunakan dalam pendidikan
menambah wawasan bagi siswa bahwa
dan pembelajaran. Dari kedua pendapat ahli
dalam menyelesaikan suatu soal tidak melulu
tersebut maka dapat ditarik kesimpulan
menggunakan rumus umum namun juga bisa
bahwa Research and Development adalah
menggunakan strategi lain yang lebih efektif.
metode
yang
penelitian
bertujuan
untuk
menghasilkan produk-produk tertentu serta
Pada
melakukan
tahap
perencanaan
perencanaan
yakni
penulis
dengan
mengumpulkan soal-soal olimpiade SMA
66 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
baik tingkat Kabupaten, tingkat Provinsi
maupun
maupun tingkat Nasional pada ranah aljabar.
merupakan soal yang termasuk ke dalam
Pada penelitian ini penulis memilih tipe soal
ranah aljabar. Soal – soal matematika bertipe
mengenai mencari nilai x pada suatu
mencari nilai x pada suatu persamaan
persamaan baik persamaan kuadrat maupun
merupakan soal non rutin yang mendorong
persamaan
siswa berpikir logis dan melatih siswa untuk
berderajat
tinggi.
Setelah
soal
yang
dilakukan pengumpulan soal, selanjutnya
memecahkan
penulis
mempertimbangkan
melakukan
analisis
untuk
berderajat
tinggi
masalah
strategi
dengan
mana
yang
menyelesaikan soal tersebut menggunakan
sesuai dengan karakteristik soal tersebut.
kombinasi strategi melihat dar sudut pandang
Selain itu soal non rutin tentang mencari
lain dan menerka lalu menguji kembali.
nilai x dalam suatu persamaan ini membuat
Dalam
siswa
pelaksanaannya
menggunakan
langkah
penulis
polya
juga
lebih
memahami
konsep
soal.
dalam
Biasanya soal dengan tipe tersebut disajikan
menganalisis permasalahan matematika yang
dalam bentuk sutau persamaan dimana
disajikan dengan tujuan agar analisis yang
maksud dari soal tersebut siswa diminta
dilakukan lebih terstruktur dan mudah
untuk mencari nilai x atau himpunan dari
dipahami.
nilai x jika nilai x nya lebih dari satu.
Pada pelaksanaanya penulis mencoba
Soal
Olimpiade
Sains
Nasional
untuk menyelesaikan suatu soal pada ranah
Matematika SMA terkait dengan mencari
aljabar tentang mencari nilai x pada suatu
nilai x dalam suatu persamaan , tidak selalu
persamaan dengan menggunakan kombinasi
muncul dalam setiap tingkatan seleksi dan
strategi melihat dari sudut pandang lain dan
setiap tahun penyelenggaraan. Soal tipe
menerka lalu menguji kembali. Hasilnya soal
tersebut mungkin hanya dimunculkan pada
pada ranah aljabar tentang mencari nilai x
seleksi tingkat kabupaten/kota saja, adapula
pada suatu persamaan dapat diselesaikan
yang dimunculkan
dengan menggunakan kombinasi dua strategi
provinsi maupun tingkat nasional saja.
tersebut. Sebab pada soal dapat dikerjakan
Adapun soal yang terkait mencari nilai x
dengan manipulasi bentuk aljabar yang
dalam suatu persamaan ini tidak bnayak
terkandung didalam strategi melihat dari
dimunculkan dalam bentuk pilihan ganda
sudut pandang lain.
namun lebih cenderung dalam bentuk essay.
hanya
pada
tingkat
Menurut analisa penulis, soal terkait mencari
HASIL DAN PEMBAHASAN
nilai x dari suatu persamaan muncul merata
Soal tentang mencari nilai x dalam
diberbagai tingkat seleksi baik seleksi tingkat
suatu persamaan baik persamaan kuadrat
kabupaten maupun seleksi tingkat provinsi
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 67
ISSN 2614-0357
dan bahkan soal tipe ini pernah menjadi
salah satu soal tingkat internasional pada
dari persamaan kuadrat yaitu a
+
+
= 0. Dengan a,b,c merupakan koefisien
tahun 1992. Untuk dapat menyelesaikan soal
dan x adalah variabel dari persamaan
bertipe mencari nilai x dari suatu persamaan,
tersebut. Jika kita faktorkan maka akan
kita dapat mengkombinasikan antara 2
didapat bentuk (ax +
strategi yaitu strategi melihat dari sudut
pemfaktoran tersebut dapat dilihat bahwa
pandang lain dan strategi menerka lalu
nilai c didapat dari hasil perkalian dari 2
menguji kembali.
bilangan yang merupakan salah satu dari
1.
STRATEGI
MENERKA
LALU
)( +
). Dari
faktor c. Misal sebagai contoh kita memiliki
MENGUJI KEMBALI
persamaan
Strategi menerka lalu menguji kembali
tersebut difaktorkan maka akan didapatkan
+ 2 − 3 = 0. Jika persamaan
merupakan
salah
satu
strategi
yang
hasil (x + 3) (x – 1). Dari pemfaktoran
digunakan
untuk
menyelesaikan
soal
tersebut jika bilangan 3 kita kalikan dengan 1
matematika. Dalam strategi ini tidak terlepas
akan dihasilkan bilangan 3 yang sesuai
dengan
untuk
dengan konstanta yang ada pada persamaan
memperkirakan tebakan kita supaya sesuai
awal, selain itu dari perkalian tersebut akan
dengan persyaratan dalam soal. Akan tetapi,
didapatkan hasil bahwa koefisien dari a dan
perlu dibedakan antara asal menerka dengan
b sesuai dengan persamaan yang dimiliki
menerka dengan pertimbangan. Jika hanya
sebelumnya.. Alasan pemilihan bilangan 1
sekedar menerka maka akan membutuhkan
dan 3 karena bilangan tersebut merupakan
banyak sekali pengetesan sehingga tidak
faktor dari 3. Oleh karena pertimbangan
efektif. Oleh sebab itu strategi ini kita
tersebut penulis memilih menerka konstanta
gunakan
mempertimbangkan
dan faktor dari konstanta tersebut sebagai
intelegensi dalam menerka sehingga lebih
acuan untuk menerka nilai x. Karena jika
efektif dan tidak berkali – kali melakukan
misal kita memilih bilangan yang bukan
pengetesan. Hubungannya dengan soal yang
merupakan faktor dari 3 yakni (x – 6) dan
memiliki tipe mencari nilai x dari suatu
( + ). Memang benar jika kedua bilangan
kemampuan
dengan
kita
persamaan, strategi ini dapat digunakan
untuk menyelesaikan soal tersebut. Langkah
awal yang dilakukan yakni dengan melihat
konstanta yang ada di suatu persamaan.
Setelah itu kita menerka bilangan berapa
yang menjadi faktor dari konstanta tersebut.
Seperti yang kita tahu bahwa rumus umum
tersebut
dikalikan
akan
menghasilkan
bilangan 3, namun masalah lain yang muncul
adalah jika dilakukan perkalian maka hasil
kali dari kali dari pemfaktoran tersebut tidak
menghasilkan koefisien b yang sama dengan
persamaan yang dimiliki sebelumnya. Hal
68 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
tersebut
juga
berlaku
pada
persamaan
b. Jika
berderajat tinggi, namun sebelumnya dapat
= | 2x-8 | maka nilai x yang tepat
adalah ...
dilakukan penyederhanaan bentuk menjadi (Olimpiade Sains Nasional Tingkat
persamaan
kuadrat
untuk
menerapkan
Kabupaten 2004)
konsep tersebut. Langkah berikutnya yang
Untuk menyelesaikan soal ini dengan
dilakukan yakni dengan mengetes bilangan
strategi menerka lalu menguji kembali.
yang kita tebak menjadi salah satu faktor
Langkah yang dilakukan yakni sama seperti
konstanta tersebut , jika jawabannya benar
pada langkah untuk menyelesaikan soal
maka faktor tersebut merupakan salah satu
sebelumnya. Coba perhatikan bentuk | 2x-8 |
nilai x yang memenuhi.
jika dilihat dari bentuk tersebut kita dapat
a. Himpunan semua nilai x yang memenuhi
simpulkan bahwa konstanta nya adalah 8.
(
−1) +(
(Olimpiade
− 2) = 1
Sains
Tahun 2010).
Dari pernyataan tersebut maka dapat kita
Tingkat
Provinsi
terka faktor dari 8 adalah ±1 , ± 2 , ± 4 , dan
±8. Selanjutnya langkah yang dilakukan
Soal ini bisa kita selesaikan dengan
yakni menguji kembali apakah faktor yang
strategi menerka lalu menguji kembali .
kita terka sebelumnya merupakan nilai x
Langkah awal yang dilakukan yakni dengan
yang memenuhi persamaan tersebut.
melihat bentuk ( − 1 ) + (
c. Tentukan semua nilai x yang memenuhi
− 2) . Dari
bentuk tersebut kita bisa melihat konstanta
pada persamaan tersebut adalah 1 pada
bentuk ( − 1 )
(
dan 2 pada bentuk
− 2) . Kemudian setelah mengetahui
konstanta yang ada pada persamaan tersebut,
langkah yang dilakukan adalah menerka
faktor dari konstanta. Oleh sebab itu kita
dapat menerka bahwa ± 1 dan ± 1 , ± 2
merupakan
faktor
dari
masing-masing
konstanta yang ada. Selanjutnya langkah
yang dilakukan yakni menguji kembali
apakah faktor yang kita terka sebelumnya
merupakan
nilai
persamaan tersebut.
x
yang
memenuhi
persamaan
+ 3x =
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Dari
persamaan
tersebut
bisa
dilihat
konstantanya adalah 8. Kemudian langkah
selanjutnya adalah menganalisis faktor dari 8
yakni ±1 , ±2 , ±4, ±8. Kemudian faktor
tersebut diujikan kembali pada persamaan
yang didapat. Jika didapatkan hasil yang
sama maka bilangan tersebut merupakan
nilai x yang tepat.
2.
STRATEGI
MELIHAT
DARI
SUDUT PANDANG LAIN
Strategi melihat dari sudut pandang lain
dapat digunakan untuk menyelesaikan soal
mencari nilai x dari suatu persamaan. Dalam
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 69
ISSN 2614-0357
soal – soal non rutin soal yang memiliki tipe
b ). Misalkan untuk mencari nilai x pada soal
mencari nilai x dari suatu persamaan
berikut ini :
disajikan dengan persamaan kuadrat maupun
a. Himpunan
berderajat tinggi. Bukan suatu masalah
apabila
soal
tersebut
memuat
suatu
persamaan kuadrat, namun yang menjadi
masalah
adalah
disajikan
jika
persamaan
merupakan
soal
memenuhi (
(Olimpiade
semua
x
yang
− 1 ) + ( − 2) = 1
Sains
Tahun 2010).
nilai
Tingkat
Provinsi
yang
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan
persamaan
menggunakan strategi melihat dari sudut
berderajat tinggi tentu akan membuat siswa
pandang
merasa kesulitan dalam melakukan operasi
persamaan kuadrat dan persamaan berderajat
pengurangan atau penjumlahan sebab setelah
tiga. Biasanya siswa akan menguraikan
dilakukan penguraian akan dihasilkan angka
kedua
yang cukup panjang yang memerlukan
menjumlahkannya.
ketelitian
memakan waktu yang lama sebab diperlukan
agar
tidak
salah
dalam
menghitungnya.
pandang
lain
digunakan
untuk
menyelesaikan soal yang memiliki tipe
mencari nilai x dari suatu persamaan yakni
dengan
menganalisa
apakah
persamaan
tersebut dapat diubah menjadi bentuk lain
atau dengan kata lain mencari ekuivalensi
dari suatu bentuk. Seperti yang kita tahu
−
dengan
persamaan
memanipulasi
tersebut
Cara
tersebut
dan
akan
ketelitian karena dari hasil penguraian
Oleh karena itu strategi melihat dari
sudut
lain
merupakan rumus yang kita kenal
dengan rumus selisih kuadrat dimana rumus
tersebut memiliki bentuk lain yaitu (a – b ) (
a + b ). Sehingga jika kita menemukan soal
tersebut akan dihasilkan suatu persamaan
yang panjang dan memiliki variabel dengan
pangkat yang berbeda – beda.
Sehingga untuk mempersingkat cara
mengerjakan maka
bentuk (
−1)
+
( − 2) = 1 bisa kita ubah menjadi bentuk
( − 1 ) = 1 − ( − 2) . Dan bentuk
( − 1 ) bisa kita ubah menjadi bentuk (( x
– 1 )( − 1 ) ). Sehingga dengan begitu dari
persamaan awal berubah menjadi persamaan
baru dimana persamaan yang baru hanya
memuat variabel yang berderajat tertinggi 2.
yang merupakan suatu persamaan kuadrat
dengan bentuk
−
dapat kita manipulasi
b. Jika
= | 2x-8 | maka nilai x yang tepat
menjadi bentuk (a – b ) ( a + b ). Begitu pula
adalah ...
jika kita menemukan persamaan berderajat
(Olimpiade Sains Nasional Tingkat
tinggi
seperti
misal
(
−
dimanipulasi menjadi bentuk (
)
−
,
bisa
Kabupaten 2004)
) (a–
70 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Begitu juga dengan soal nomor dua
memiliki karakteristik yang sama dengan
=
2 +3
bisa
diselesaikan
dengan
strategi
melihat dari sudut pandang lain. Agar tidak
menjadi bentuk lain yakni (
=
contoh soal nomor satu. Soal nomor dua ini
juga
−2
8
-
). (
+ 3 ). Selanjutnya
dilakukan pemfaktoran seperti persamaan
kuadrat dengan memisalkan
+3 = .
kesulitan dalam mengerjakannya kita bisa
memanipulasi bentuk mutlak tersebut ke
Strategi
3.Kombinasi
Menerka
lalu
bentuk lain yang lebih sederhana dan mudah
Menguji Kembali dan Strategi Melihat
untuk dikerjakan atau dengan kata lain
Sudut
mencari ekuivalensi bentuk dari mutlak. Dari
Penyelesaian Masalah Matematika Non
soal tersebut maka bentuk dari | 2x-8 | dapat
Rutin Bertipe Mencari Nilai x dari
diubah menjadi bentuk
Suatu Persamaan.
(2 − 8 ) . Dengan
memanipulasi soal tersebut ke bentuk lain
Dalam
Pandang
Lain
menyelesaikan
suatu
dalam
masalah
tanpa mengubah maksud soal maka sama
matematika telah disajikan sepuluh macam
saja kita mengerjakan soal tersebut dengan
strategi
cara melihat dari sudut pandang lain yang
menyelesaikan permasalahan matematika,
lebih memudahkan kita untuk menyelesaikan
sehingga kita dapat memilih suatu strategi
masalah. Sehingga bisa dikatakan dengan
untuk menyelesaikan masalah namun kita
menggunakan strategi tersebut lebih efisien
juga dapat mengkombinasikan lebih dari satu
dan efektif dalam mengerjakan soal tipe
strategi untuk menyelesaikan suatu masalah
tersebut.
matematika. Penggunaan lebih dari satu
c. Tentukan semua nilai x yang memenuhi
strategi
persamaan
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Dalam soal ini juga bisa kita lakukan
manipulasi dengan menggunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain. Langkah
pertama yang dilakukan adalah dengan
menjadi bentuk
2
+ 3x =
2 +3
8
1
ditawarkan
diharapkan
untuk
mempermudah
penyelesaian permasalahan yang diberikan
+ 3x =
mengubah bentuk
yang
=
2 +3
8
2+3 −2
−2
yang
merupakan ekuivalensi bentuk. Kemudian
langkah selanjutnya mengubah bentuk
1
2 +3
sehingga proses yang dilakukan lebih efisien.
Oleh
karena
itu
perencanaan
dalam
menyelesaikan suatu masalah perlu dibuat.
Perencanaan dikatakan sebagai proyeksi apa
yang diperlukan. Yang diproyeksikan bisa
berbentuk
ide
atas
gagasan
setelah
melakukan verifikasi yaitu mana ide yang
diperlukan
dan
mana
yang
tidak.
Perencanaan dalam maksud lain adanya
tujuan yang ingin dicapainya, artinya tidak
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 71
ISSN 2614-0357
ada
perencanaan
tanpa
dari
baru. Untuk menjawab permasalahan atau
perencanaan itu. Ketika kita mempunyai
persoalan operasi mencari nilai x pada suatu
masalah,
persamaan,
misalnya
tujuan
soal
himpunan
langkah
selanjutnya
dapat
penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat
dikerjakan menggunakan langkah Polya,
untuk mencari faktor-faktornya, maka kita
agar pengerjaannya dapat terarah dan lebih
sudah ada pada rencana ke arah itu, dengan
terorganisir dengan baik. Karena telah
menuliskan proses pemecahan masalah yang
diketahui langkah pengerjaan dengan polya
sistematis
terdapat empat langkah pengerjaan, yaitu:
dan
mempunyai
langkah-
langkahnya.
memahami
Penyelesaian
menyusun
rencana
olimpiade
penyelesaian,
matematika untuk mencari nilai x pada suatu
penyelesaian,
persamaan, dapat digunakan kombinasi dua
Menggunakan langkah Polya bertujuan agar
strategi pemecahan masalah yang tepat dan
pengerjaan dapat terorganisasi dengan baik
efektif, yaitu dengan strategi menerka lalu
dan kita lebih memahami persoalan yang
menguji kembali dan strategi melihat dari
ditanyakan
sudut pandang lain. Langkah pertama yang
Penerapan Masalah
dilakukan
(OSP MATEMATIKA TAHUN 2010)
adalah
konstanta
Setelah
yang
itu
soal-soal
masalah,
dengan
ada
dalam
menganalisis
menentukan
persamaan.
faktor
( −1) +(
konstanta tersebut dengan menebak bilangan
Langkah selanjutnya yakni dengan menguji
kembali faktor yang di terka apakah benar
merupakan
nilai
x
yang
dari sudut pandang lain pada soal yang ada
memeriksa
kembali.
− 2) = 1
a. Memahami masalah
Diketahui
Terdapat
bentuk
persamaan
sebagai
berikut ( − 1 ) + ( − 2) = 1
memenuhi
persamaan tersebut. Untuk strategi melihat
dan
rencana
1. Himpunan semua nilai x yang memenuhi
dari
yang merupakan faktor dari konstanta.
melaksankan
Ditanya
Tentukan
nilai
x
yang
memenuhi
dengan melihat apakah soal tersebut dapat
persamaan tersebut
diubah ke bentuk yang lain sehingga menjadi
b. Menyusun suatu strategi
lebih sederhana dan lebih mudah untuk
Untuk menyelesaikan masalah tersebut akan
diselesaikan atau dengan kata lain mencari
digunakan 2 strategi, yaitu :
ekuivalensi
1). Menerka lalu menguji kembali
dari
suatu
bentuk.
Setelah
dilakukan strategi melihat sudut pandang lain
2). Melihat dari sudut pandang lain
akan didapatkan hasil pengerjaan yang lebih
sederhana dalam bentuk suatu persamaan
72 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Akan
dilakukan
penyelesaian
masalah
matematika tersebut dengan menggunakan
strategi yang dipilih sebagai berikut :
1. Dari bentuk (
− 2) =
kita simpulkan
−1)
konstantanya adalah 1 dimana faktor dari
1 yakni ±1. Selanjutnya dari bentuk
( − 2)
kita
simpulkan
− 2) = 1
( −1) =1-(
− 2)
( − 1 ) = (1 – ( x – 2)) (1+ ( x – 2 ))
1). Menerka lalu Menguji Kembali
Dari persamaan ( − 1 ) + (
( −1) +(
bahwa
( −1) =(-x+3)(x–1)
( − 1 ) – ( - x +3 ) ( x – 1 ) = 0
( x – 1 ) (( ( − 1 ) + (x – 3 )) = 0
(x–1)(
(x–1)(
−2 +1+
−
−2)=0
−3)=0
( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x + 1) = 0
Maka diperoleh nilai x yakni :
konstantanya adalah 2 dimana faktor dari
( x – 1) = 0 sehingga x = 1
2 yakni ±1 dan ± 2. Selanjutnya proses
( x – 2 ) = 0 sehingga x = 2
yang dilakukan adalah dengan menguji
( x + 1) = 0 sehingga x = -1
kembali apakah bilangan yang kita terka
maka nilai x yang memenuhi adalah 1 , - 1
sebagi faktor dari konstanta merupakan
dan 2
nilai
x
yang
memenuhi
persamaan
tersebut. Proses menguji kembali dapat
3).Meneliti lagi pekerjaan yang telah
dilihat dalam uraian pada strategi melihat
dilakukan
dari sudut pandang lain.
Hasil yang telah diperoleh akan diteliti
kembali dengan menguraikan soal yang
2). Melihat sudut pandang lain
memiliki bentuk: x2 - y2 = (x + y) (x – y )
Ingat bahwa suatu persamaan baik kuadrat
dan ( − ) = (x – y ) ( − ) .
dan berderajat tinggi dapat diubah ke
bentuk lain sebagai berikut :
2
2
x –y
( − )
= (x + y) (x – y)
= (x – y ) (
− )
Melihat sudut pandang lain dari soal
(
−1)
+ (
− 2)
= 1
dengan cara
menguraikan persamaan tersebut menjadi
bentuk pemfaktoran x2 – y2 = (x + y) (x –
y) yakni sebagai berikut :
Kemudian dilakukan penjabaran (
1) + (
−
− 2) = 1 sehingga diperoleh
penjabaran sebagai berikut :
Cara 1 :
( −1) +(
Dari
− 2) = 1
bentuk
( −1)
kita
menentukan bahwa konstantanya adalah
1. Kemudian dari hasil tersebut kita
menerka bahwa faktor 1 adalah ±1.
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 73
ISSN 2614-0357
Dari
bentuk
(
− 2)
kita
Ditanya
menentukan bahwa konstantanya adalah
Tentukan nilai x yang memenuhi
2. Kemudian dari hasil tersebut kita
persamaan tersebut
menerka bahwa faktor 2 adalah ±1 dan
±2.
Selanjutnya pada proses menguji kembali
dapat dilihat dari uraian pada strategi
melihat dari sudut pandang lain.
Cara 2 :
( − 1 ) + ( − 2) = 1
( − 1 ) = 1 - ( − 2)
( − 1 ) = (1 – ( x – 2)) (1+ ( x - 2 ))
( −1) =(-x+3)(x–1)
( − 1 ) – ( - x +3 ) ( x – 1 ) = 0
( x – 1 ) ( ( ( − 1 ) + (x – 3 ) = 0
(x–1)(
(x–1)(
−2 +1+ −3)=0
−
−2)=0
( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x + 1) = 0
Maka diperoleh nilai x yakni :
( x – 1) = 0 sehingga x = 1
( x – 2 ) = 0 sehingga x = 2
( x + 1) = 0 sehingga x = -1
maka nilai x yang memenuhi adalah 1 , - 1
dan 2
Menyusun suatu strategi
Untuk menyelesaikan masalah trsebut
akan digunakan 2 strategi, yaitu :
1). Menerka lalu menguji kembali
2). Melihat dari sudut pandang lain
Akan dilakukan penyelesaian masalah
matematika
tersebut
dengan
menggunakan strategi yang dipilih
sebagai berikut :
1). Menerka lalu Menguji Kembali
= | 2x-8 |. Dari bentuk
Dari persamaan
| 2x-8 | kita simpulkan konstantanya
adalah 8 dimana faktor dari 8 yakni ±1,
±2, ±4 dan ±8. Selanjutnya proses yang
dilakukan adalah dengan menguji kembali
apakah bilangan yang kita terka sebagai
faktor dari konstanta merupakan nilai x
yang
memenuhi
persamaan
tersebut.
Proses menguji kembali dapat dilihat
dalam uraian pada strategi melihat dari
(OSK MATEMATIKA TAHUN 2004)
2.
b.
Jika
= | 2x-8 | maka nilai x
yang tepat adalah
a. Memahami masalah
sudut pandang lain.
2). Melihat dari sudut pandang lain.
Memperhatikan persoalan diatas, dengan
menggunakan nalar yang tepat untuk
memanipulasi persamaan tersebut dengan
Diketahui
menggunakan sifat nilai mutlak yakni
berikut
| a | = √
Terdapat bentuk persamaan sebagai
= | 2x-8 |
dan menggunakan selisih
kuadrat x2 – y2 = (x + y) (x – y)
74 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Dilakukan pengerjaan soal dengan melihat
Selanjutnya pada proses menguji kembali
dari
dapat dilihat dari uraian pada strategi
sudut
pandang
lain
dengan
melakukan penjabaran persamaan tersebut
melihat dari sudut pandang lain.
dengan menggunakan sifat nilai mutlak
Cara 2
dan rumus selisih kuadrat :
= | 2x-8 |
= | 2x-8 |
(
(
(
(
= (2 − 8 )
(
) = ( (2 − 8 ) )
) = (2 − 8 )
+ 2x – 8 ) (
– 2x + 8) = 0
( − 2 )( x + 4 ) (
– 2x + 8) = 0
) = ( (2 − 8 ) )
(
) = (2 − 8 )
(
+ 2x – 8 ) (
(
) - (2 − 8 ) = 0
= (2 − 8 )
) - (2 − 8 ) = 0
– 2x + 8) = 0
( − 2 )( x + 4 ) (
– 2x + 8) = 0
Pada persamaan ( 2 + 2x – 8 ) = 0
Pada persamaan ( 2 + 2x – 8 ) = 0
( x – 2 ) = 0 maka x = 2
( x – 2 ) = 0 maka x = 2
( x + 4 ) = 0 maka x = - 4
( x + 4 ) = 0 maka x = - 4
pada persamaan (
pada persamaan (
x
– 2x + 8) = 0
±√
=
=
(
=
±√
)± (
.
)
. .
(irasional)
x
– 2x + 8) = 0
±√
=
=
(
=
±√
)± (
.
)
. .
(irasional)
Maka x yang memenuhi adalah 2 dan – 4
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Maka nilai x yang memenuhi adalah 2 dan -4
3). Meneliti kembali pekerjaan yang
dilakukan.
Cara 1 :
= | 2x-8 |
Dari bentuk | 2x-8 | kita menentukan
3. Tentukan semua nilai X yang memenuhi
persamaan
a. Memahami masalah
Diketahui
bahwa konstantanya adalah 8. Kemudian
dari hasil tersebut kita menerka bahwa
faktor 8 adalah ±1, ±2, ±4 dan ±8.
+ 3x =
Terdapat bentuk persamaan
sebagai berikut
+ 3x =
Ditanya
Tentukan nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 75
ISSN 2614-0357
b. Menyusun suatu strategi
(
Untuk menyelesaikan masalah trsebut akan
digunakan 2 strategi, yaitu :
penyelesaian
masalah
matematika tersebut dengan menggunakan
strategi yang dipilih sebagai berikut :
. Dari
+ 3x =
8 = ( − 4)( + 2)
−2 −
Oleh karena itu diperoleh
(
+ 3 − 4)(
+ 3 + 2)= 0
(x + 4)(x – 1 )(x +2) (x+1) = 0
1). Menerka lalu Menguji Kembali
Dari persamaan
−2 −8=0
Kemudian difaktorkan menjadi
2). Melihat dari sudut pandang lain
dilakukan
+3 )−8 =0
maka persamaannya
+3 )=
berubah menjadi
1). Menerka lalu menguji kembali
Akan
Misal (
+3 ) −2(
Jadi nilai x yang diperoleh yakni
(x + 4) = 0
x=-4
(x – 1 ) = 0
x=1
konstantanya adalah 8 dimana faktor dari 8
(x +2 ) = 0
x=-2
yakni ±1, ±2, ±4 dan ±8. Selanjutnya proses
( x + 1) = 0
x=-1
yang dilakukan adalah dengan menguji
Dari uraian diatas maka diperoleh nilai x
kembali apakah bilangan yang kita terka
yang memenuhi adalah 1 , - 1 , -2 , -4.
sebagi faktor dari konstanta merupakan nilai
3). Meneliti pekerjaan yang sudah
tersebut
bentuk
kita
simpulkan
x yang memenuhi persamaan tersebut.
Proses menguji kembali dapat dilihat dalam
dilakukan
Cara 1 :
uraian pada strategi melihat dari sudut
2). Melihat sudut pandang lain
Melihat sudut pandang lain dari soal
8
2 +3 −2 dengan
persamaan
cara
8
2 +3
−2
2
+ 3x
menguraikan
dari hasil tersebut kita menerka bahwa
faktor 8 adalah ±1, ±2, ±4 dan ±8.
Selanjutnya pada proses menguji kembali
pemfaktoran persamaan kuadrat sebagai
dapat dilihat dari uraian pada strategi
berikut
melihat dari sudut pandang lain.
8
2 +3 −2
+ 3x =
1
2 +3
(
1=
(
=
menjadi
bahwa konstantanya adalah 8. Kemudian
bentuk
2
tersebut
+ 3x =
Dari bentuk tersebut kita menentukan
pandang lain.
=
2
2 +3
=
)
8
Cara 2:
2
−2
- ). (
−
(
+3 )
+3 )
+ 3x =
1
2 +3
(
=
2 +3
=
8
2 +3
8
−2
−2
- ). (
+3 )
76 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
1=
(
(
)
−
+3 ) −2(
Misal (
(
+3 )=
berubah menjadi
suatu bentuk menjadi bentuk lain yang
+3 )
maka persamaannya
−2 −8=0
−2 −
Oleh karena itu diperoleh
(
+ 3 − 4)(
x=1
(x +2 ) = 0
x=-2
( x + 1) = 0
x=-1
persamaan
menerka
tersebut,
faktor
pada
konstanta yang ada dalam persamaan.
Baik
faktor
dari
konstanta,
persamaan
persamaan
derajat
kuadrat
maupun
tinggi.
Sehingga
sangat efektif jika digunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain dan
menerka lalu menguji kembali. Jika
Dari kajian ini, terdapat beberapa hal yang
dapat disimpulkan :
Dari hasil analisis contoh soal olimpiade
yang telah dikerjakan, soal tersebut telah
mengarah kepada aplikasi soal dari
aljabar tentang mencari nilai x pada
suatu persamaan. Ketiga contoh soal
dapat dengan mudah jika
dikerjakan dengan menggunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain dan
Penerapan
kemudian
pada
bentuk aljabar dalam bentuk persamaan.
KESIMPULAN
menerka
kembali
2. Dari ketiga soal tersebut mewakili
yang memenuhi adalah 1 , - 1 , -2 , -4.
tersebut
menguji
kembali faktor tersebut.
Dari uraian diatas maka diperoleh nilai x
1.
lalu
langkah selanjutnya adalah menguji
Jadi nilai x yang diperoleh yakni
(x – 1 )= 0
konstanta
merupakan
(x + 4)(x – 1 )(x +2) (x+1) = 0
x=-4
menerka
Setelah diterka faktor berapa saja yang
+ 3 + 2)= 0
(x + 4) = 0
dari soal tersebut. Kemudian penerapan
diterapkan dengan cara menentukan
Kemudian difaktorkan menjadi
8 = ( − 4)( + 2)
lebih sederhana tanpa mengurangi arti
+3 )−8=0
lalu
menguji
langkah
melihat
kembali.
sudut
pandang lain dimulai dengan melakukan
manipulasi aljabar dengan merubah
hanya diselesaikan dengan rumus umum
akan memakan waktu yang cukup lama
melihat rumitnya bentuk persamaan
yang ada. Oleh karena itu digunakan
kedua strategi tersebut agar persamaan
tersebut diubah menjadi persamaan yang
lain
sehingga
akan
menghasilkan
pengerjaan yang tidak rumit dan mudah
untuk diselesaikan.
REFERENSI
[1] Kurniawan dan Suryadi. (2007). Siap
Juara Olimpiade Matematika SMP.
Jakarta:Erlangga
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 77
ISSN 2614-0357
[2] Hadiansyah,D., Sudayana, R.
Sukandar,S.
(2016).
Kemampuan
Perbandingan
Proses
Masalah
dan
Pemecahan
Matematis
Antara
Implementasi Strategi Konflik Kognitif
Dengan Model Pembelajaran Discovery
Learning.
Jakarta:
Jurnal
Riset
Pendidikan. Vol. 2, No. 2:119-128.
[3]
Hamzah,A & Muhlisrarini.(2014).
Perencanaan dan Strategi Pembelajaran
Matematika. Jakarta: Rajawali Pers.
[4] Yusuf, H.,ed. (2014). Matematika:
Strategi
Pemecahan
Masalah.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
[5] Mujiyati (2015). Siap Jadi Juara OSN
Matematika.Yogyakarta:Pustaka
Baru
Press.
[6]
Siswono,
T.Y.E
Pembelajaran
(2008).
Matematika
Model
Berbasis
Pengajuan dan Pemecahan Masalah
untuk
Berpikir
Meningkatkan
Kreatif.
Kemampuan
Surabaya:
Unesa
University Press.
[7] Sugiyono. (2009). Metode Penelitian
Bisnis
(Pendekatan
Kuantitatif,
Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta
78 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
DAN MELIHAT DARI SUDUT PANDANG LAIN DALAM MATEMATIKA NON
RUTIN UNTUK PENYELESAIAN MENCARI NILAI x PADA SUATU PERSAMAAN
Satya Mardi Ayuningrum1, Rubono Setiawan2
1
Pendidikan Matematika, Universitas Sebelas Maret Surakarta
akusatyamardi@gmail.com
2
Pendidikan Matematika, Universitas Sebelas Maret Surakarta
rubono.matematika@staff.uns.ac.id
ABSTRAK
Terdapat berbagai strategi dalam memecahkan masalah matematika, diantaranya adalah menerka lalu
menguji kembali dan melihat dari sudut pandang lain. Penelitian ini akan menjelaskan tentang
bagaimana memecahkan suatu permasalahan tentang mencari nilai x pada suatu persamaan dengan
menggunakan kombinasi dua strategi sekaligus yakni menerka lalu menguji kembali dan melihat dari
sudut pandang lain. Permasalahan yang disajikan merupakan soal olimpiade SMA baik tingkat
kabupaten, tingkat provinsi maupun tingkat nasional. Metode penelitian menggunakan metode research
and development yang berbasis kajian teori. Strategi menerka lalu menguji kembali dan melihat dari
sudut pandang lain lebih efektif untuk menyelesaikan permasalahan tentang mencari nilai x pada suatu
persamaan karena banyak manipulasi aljabar yang bisa dilakukan sehingga soal yang dikerjakan akan
lebih mudah untuk diselesaikan. Pelaksanaan pemecahan masalah ini juga harus disesuaikan dengan
langkah Polya yang terdiri dari empat tahapan. Langkah Polya dipakai agar cara menjawab
permasalahan yang disajikan lebih terstruktur
Kata Kunci : melihat dari sudut pandang lain, menerka lalu menguji kembali, langkah polya, aljabar
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 63
ISSN 2614-0357
PENDAHULUAN
baik tingkat kabupaten, provinsi, ataupun
Masalah adalah sebuah kata yang
nasional.
Tingkat
kesulitan
soal
yang
sering terdengar oleh kita. Namun sesuatu
termasuk dalam soal – soal olimpiade
akan menjadi masalah tergantung bagaimana
memang sedikit lebih tinggi dibandingkan
seseorang mendapatkan masalah tersebut
dengan soal – soal yang biasa diberikan guru
sesuai
Dalam
saat di dalam kelas sehingga soal olimpiade
pendidikan matematika SMA mungkin saja
bisa dikategorikan sebagai masalah non
siswa
rutin.
dengan
kemampuannya.
dengan
kemampuan
rendah
menggangap suatu hal merupakan sebuah
Kemampuan pemecahan masalah sangat
masalah
penting artinya bagi siswa.
namun
kemampuan
tinggi
merupakan
sebuah
bagi
hal
siswa
dengan
tersebut
bukan
pembelajaran sependapat bahwa kemampuan
Masalah
pemecahan masalah dapat dibentuk melalui
masalah.
Para ahli
merupakan suatu konflik yang merupakan
bidang
hambatan bagi siswa dalam menyelesaikan
diajarkan.
S.
tugas belajarnya di dalam kelas. Namun
menyatakan
pemecahan
suatu masalah harus diselesaikan agar proses
dipandang sebagai proses di mana siswa
berpikir siswa terus berkembang.
menemukan kombinasi aturan-aturan yang
studi
dan
disiplin
Nasution
ilmu
yang
(2008:170)
masalah
dapat
Dalam dunia matematika masalah
telah dipelajarinya terlebih dahulu yang
digolongkan
yaitu
digunakannya untuk memecahkan masalah
masalah rutin dan non rutin. Masalah rutin
tidak sekedar aturan-aturan yang diketahui,
adalah masalah yang dapat diselesaikan dan
akan tetapi juga menghasilkan pelajaran
dikerjakan siswa dengan mudah dimana
baru. Pembahasan mengenai pemecahan
masalah – masalah tersebut tidak asing bagi
masalah matematika tidak terlepas dari tokoh
siswa
utamanya, yaitu George Polya. Menurut
dapat
sebab
menjadi
masalah
dua,
tersebut
sering
diberikan guru saat pembelajaran di sekolah ,
Polya
sedangkan masalah non rutin adalah masalah
pemecahan masalah
yang jarang ditemui siswa saat pembelajaran
terdiri atas empat langkah pokok, yaitu:
di sekolah dan cenderung memerlukan
1. Memahami masalah
pemahaman yang lebih agar siswa bisa
2. Menyusun rencana penyelesaian
menyelesaikannya jika siswa tidak memiliki
3. Melaksanakan rencana penyelesaian
keterampilan memecahkan masalah tersebut
4. Memeriksa kembali
maka masalah tersebut akan sulit dikerjakan
oleh siswa. Masalah non rutin biasanya
diberikan dalam bentuk soal- soal olimpiade
(dalam
Siswono,2008:
36-37)
dalam matematika
Dalam memecahkan masalah matematika
baik itu soal olimpiade maupun soal yang
64 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
rutin diperlukan strategi- strategi tertentu
banyak
agar siswa dapat memecahkan soal dengan
menyelesaikan soal yang berkaitan dengan
baik. Terdapat berbagai strategi dalam
masalah non rutin. Strategi melihat dari
memecahkan masalah matematika, (menurut
sudut pandang lain sering digunakan untuk
Yusuf Hartono, 2014:4) diantaranya adalah
menyelesaikan
bekerja mundur, penemuan pola, melihat dari
yang melibatkan manipulasi aljabar , jika
sudut
menyederhanakan
diketahui suatu bentuk aljabar maka bentuk
masalah serupa, mempertimbangkan kasus
tersebut dapat dimanipulasi menjadi bentuk
ekstrim,
diagram,
aljabar lain yang lebih sederhana sehingga
menebak dengan cerdas dan mengetesnya,
proses penyelesaian soal tersebut akan lebih
memperhitungkan
mudah.
pandang
lain,
membuat
gambar/
semua
kemungkinan,
digunakan
siswa
permasalahan
Analisa
untuk
matematika
terhadap
kesamaan
mengorganisasi data, dan bernalar logis. Dari
unsur/pola merupakan kunci dari strategi ini.
kesepuluh strategi ini, terdapat ciri- ciri
Dalam strategi tersebut siswa tidak hanya
khusus
mudah
mengerjakan soal dengan cara yang formal
ataupun
atau pada umumnya digunakan. Namun bisa
soal
dikerjakan
seperti
dengan
apa
salah
yang
satu
kombinasi dari strategi yang ada.
dengan mengubah dan melihat soal tersebut
Strategi yang sering di gunakan siswa
dari sudut pandang lain. Pada tulisan ini
adalah menerka lalu menguji kembali.
pembahasan dibatasi mengenai mencari nilai
Terkadang ada beberapa soal yang bisa
x pada suatu persamaan. Hal ini berdasarkan
dikerjakan
contoh soal yang di temui pada soal
oleh
siswa
tanpa
harus
mengerjakannya dengan menggunakan suatu
Olimpiade
rumus tertentu dan menghasilkan proses
tingkat
perhitungan yang cukup rumit. Dengan
Nasional yang menggunakan variable x.
menggunakan strategi menerka lalu menguji
Matematika
Kabupaten,
Nasional
Provinsi
pada
maupun
Berdasarkan uraian di atas, penulis
kembali tersebut akan lebih mempermudah
tertarik
siswa untuk menyelesaian soal dengan cara
kombinasi
yang sederhana dengan menerka jawaban
menyelesaikan
yang kira-kira merupakan jawaban dari
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA,
permasalahan tersebut. Namun dalam hal ini
dalam tulisan ini akan dibahas mengenai
menerka yang dimaksud tidak menerka
kombinasi strategi menerka lalu menguji
secara asal namun didasarkan atas suatu
kembali dan melihat dari sudut pandang lain.
faktor. Selain strategi menerka lalu menguji
Selain itu, penulis juga akan membahas
kembali adapula strategi pemecahan masalah
mengenai
dengan melihat dari sudut pandang lain
berdasarkan pada langkah-langkah Polya
untuk
membahas
strategi
penyelesaian
masalah
penerapan
mengenai
aljabar
strategi
dalam
pada
tersebut
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 65
ISSN 2614-0357
untuk penyelesaian masalah aljabar pada
menguji validitas dan keefektifan produk
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA.
tersebut dalam penerapannya.
Tujuan dari penulisan ini adalah untuk
mengetahui
bagaimana
Untuk mendapatkan permasalahan
penggunaan
yang diangkat pada penelitian ini, penulis
kombinasi kombinasi strategi menerka lalu
melakukan survey dengan melihat dan
menguji kembali dan melihat dari sudut
mengumpulkan referensi soal matematika
pandang
non rutin pada Olimpiade SMA yang
lain
permasalahan
untuk
terkait
menyelesaikan
aljabar
dalam
diselenggarakan
baik
pada
tingkat
Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA
Kabupaten, tingkat Provinsi maupun tingkat
dan
Nasional. Dan diperoleh hasil soal pada
penerapannya
berdasarkan
langkah
Polya.
ranah aljabar dikeluarkan paling sedikit satu
METODE PENELITIAN
soal
pada
setiap
tahunnya.
Dengan
Penelitian ini merupakan penelitian
pertimbangan tersebut penulis melakukan
teoritis yang menggunakan metode research
analisis bagaimana cara mengerjakan soal
and development berbasis kajian teori.
pada ranah aljabar dengan cara yang mudah
Sugiyono (2009: 297) menyampaikan bahwa
dan efektif sehingga siswa lebih mudah
Research and Development adalah metode
untuk mengerjakan soal tersebut tanpa perlu
penelitian
untuk
menggunakan rumus umum dimana rumus
menghasilkan produk tertentu, dan menguji
umum tersebut berisi tentang perhitungan
keefektifan
atau penjabaran yang cukup panjang. Oleh
yang
digunakan
metode
tersebut.
Sementara
dalam bidang pendidikan Borg and Gall
karena
(1985)
menggunakan
dalam
menyatakan
Sugiyono
bahwa,
(2009:
penelitian
4)
itu
penulis
penelitian
memilih
untuk
research
and
dan
development sebab dalam penelitian ini
and
penulis mencoba untuk mengembangkan
pengembangan
(Research
Development/R&D),
merupakan
metode
cara penyelesaian soal dengan strategi yang
penelitian
digunakan
untuk
lebih efektif namun tidak mengurangi makna
mengembangkan atau memvalidasi produk-
dalam soal yang disajikan. Sehingga akan
produk yang digunakan dalam pendidikan
menambah wawasan bagi siswa bahwa
dan pembelajaran. Dari kedua pendapat ahli
dalam menyelesaikan suatu soal tidak melulu
tersebut maka dapat ditarik kesimpulan
menggunakan rumus umum namun juga bisa
bahwa Research and Development adalah
menggunakan strategi lain yang lebih efektif.
metode
yang
penelitian
bertujuan
untuk
menghasilkan produk-produk tertentu serta
Pada
melakukan
tahap
perencanaan
perencanaan
yakni
penulis
dengan
mengumpulkan soal-soal olimpiade SMA
66 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
baik tingkat Kabupaten, tingkat Provinsi
maupun
maupun tingkat Nasional pada ranah aljabar.
merupakan soal yang termasuk ke dalam
Pada penelitian ini penulis memilih tipe soal
ranah aljabar. Soal – soal matematika bertipe
mengenai mencari nilai x pada suatu
mencari nilai x pada suatu persamaan
persamaan baik persamaan kuadrat maupun
merupakan soal non rutin yang mendorong
persamaan
siswa berpikir logis dan melatih siswa untuk
berderajat
tinggi.
Setelah
soal
yang
dilakukan pengumpulan soal, selanjutnya
memecahkan
penulis
mempertimbangkan
melakukan
analisis
untuk
berderajat
tinggi
masalah
strategi
dengan
mana
yang
menyelesaikan soal tersebut menggunakan
sesuai dengan karakteristik soal tersebut.
kombinasi strategi melihat dar sudut pandang
Selain itu soal non rutin tentang mencari
lain dan menerka lalu menguji kembali.
nilai x dalam suatu persamaan ini membuat
Dalam
siswa
pelaksanaannya
menggunakan
langkah
penulis
polya
juga
lebih
memahami
konsep
soal.
dalam
Biasanya soal dengan tipe tersebut disajikan
menganalisis permasalahan matematika yang
dalam bentuk sutau persamaan dimana
disajikan dengan tujuan agar analisis yang
maksud dari soal tersebut siswa diminta
dilakukan lebih terstruktur dan mudah
untuk mencari nilai x atau himpunan dari
dipahami.
nilai x jika nilai x nya lebih dari satu.
Pada pelaksanaanya penulis mencoba
Soal
Olimpiade
Sains
Nasional
untuk menyelesaikan suatu soal pada ranah
Matematika SMA terkait dengan mencari
aljabar tentang mencari nilai x pada suatu
nilai x dalam suatu persamaan , tidak selalu
persamaan dengan menggunakan kombinasi
muncul dalam setiap tingkatan seleksi dan
strategi melihat dari sudut pandang lain dan
setiap tahun penyelenggaraan. Soal tipe
menerka lalu menguji kembali. Hasilnya soal
tersebut mungkin hanya dimunculkan pada
pada ranah aljabar tentang mencari nilai x
seleksi tingkat kabupaten/kota saja, adapula
pada suatu persamaan dapat diselesaikan
yang dimunculkan
dengan menggunakan kombinasi dua strategi
provinsi maupun tingkat nasional saja.
tersebut. Sebab pada soal dapat dikerjakan
Adapun soal yang terkait mencari nilai x
dengan manipulasi bentuk aljabar yang
dalam suatu persamaan ini tidak bnayak
terkandung didalam strategi melihat dari
dimunculkan dalam bentuk pilihan ganda
sudut pandang lain.
namun lebih cenderung dalam bentuk essay.
hanya
pada
tingkat
Menurut analisa penulis, soal terkait mencari
HASIL DAN PEMBAHASAN
nilai x dari suatu persamaan muncul merata
Soal tentang mencari nilai x dalam
diberbagai tingkat seleksi baik seleksi tingkat
suatu persamaan baik persamaan kuadrat
kabupaten maupun seleksi tingkat provinsi
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 67
ISSN 2614-0357
dan bahkan soal tipe ini pernah menjadi
salah satu soal tingkat internasional pada
dari persamaan kuadrat yaitu a
+
+
= 0. Dengan a,b,c merupakan koefisien
tahun 1992. Untuk dapat menyelesaikan soal
dan x adalah variabel dari persamaan
bertipe mencari nilai x dari suatu persamaan,
tersebut. Jika kita faktorkan maka akan
kita dapat mengkombinasikan antara 2
didapat bentuk (ax +
strategi yaitu strategi melihat dari sudut
pemfaktoran tersebut dapat dilihat bahwa
pandang lain dan strategi menerka lalu
nilai c didapat dari hasil perkalian dari 2
menguji kembali.
bilangan yang merupakan salah satu dari
1.
STRATEGI
MENERKA
LALU
)( +
). Dari
faktor c. Misal sebagai contoh kita memiliki
MENGUJI KEMBALI
persamaan
Strategi menerka lalu menguji kembali
tersebut difaktorkan maka akan didapatkan
+ 2 − 3 = 0. Jika persamaan
merupakan
salah
satu
strategi
yang
hasil (x + 3) (x – 1). Dari pemfaktoran
digunakan
untuk
menyelesaikan
soal
tersebut jika bilangan 3 kita kalikan dengan 1
matematika. Dalam strategi ini tidak terlepas
akan dihasilkan bilangan 3 yang sesuai
dengan
untuk
dengan konstanta yang ada pada persamaan
memperkirakan tebakan kita supaya sesuai
awal, selain itu dari perkalian tersebut akan
dengan persyaratan dalam soal. Akan tetapi,
didapatkan hasil bahwa koefisien dari a dan
perlu dibedakan antara asal menerka dengan
b sesuai dengan persamaan yang dimiliki
menerka dengan pertimbangan. Jika hanya
sebelumnya.. Alasan pemilihan bilangan 1
sekedar menerka maka akan membutuhkan
dan 3 karena bilangan tersebut merupakan
banyak sekali pengetesan sehingga tidak
faktor dari 3. Oleh karena pertimbangan
efektif. Oleh sebab itu strategi ini kita
tersebut penulis memilih menerka konstanta
gunakan
mempertimbangkan
dan faktor dari konstanta tersebut sebagai
intelegensi dalam menerka sehingga lebih
acuan untuk menerka nilai x. Karena jika
efektif dan tidak berkali – kali melakukan
misal kita memilih bilangan yang bukan
pengetesan. Hubungannya dengan soal yang
merupakan faktor dari 3 yakni (x – 6) dan
memiliki tipe mencari nilai x dari suatu
( + ). Memang benar jika kedua bilangan
kemampuan
dengan
kita
persamaan, strategi ini dapat digunakan
untuk menyelesaikan soal tersebut. Langkah
awal yang dilakukan yakni dengan melihat
konstanta yang ada di suatu persamaan.
Setelah itu kita menerka bilangan berapa
yang menjadi faktor dari konstanta tersebut.
Seperti yang kita tahu bahwa rumus umum
tersebut
dikalikan
akan
menghasilkan
bilangan 3, namun masalah lain yang muncul
adalah jika dilakukan perkalian maka hasil
kali dari kali dari pemfaktoran tersebut tidak
menghasilkan koefisien b yang sama dengan
persamaan yang dimiliki sebelumnya. Hal
68 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
tersebut
juga
berlaku
pada
persamaan
b. Jika
berderajat tinggi, namun sebelumnya dapat
= | 2x-8 | maka nilai x yang tepat
adalah ...
dilakukan penyederhanaan bentuk menjadi (Olimpiade Sains Nasional Tingkat
persamaan
kuadrat
untuk
menerapkan
Kabupaten 2004)
konsep tersebut. Langkah berikutnya yang
Untuk menyelesaikan soal ini dengan
dilakukan yakni dengan mengetes bilangan
strategi menerka lalu menguji kembali.
yang kita tebak menjadi salah satu faktor
Langkah yang dilakukan yakni sama seperti
konstanta tersebut , jika jawabannya benar
pada langkah untuk menyelesaikan soal
maka faktor tersebut merupakan salah satu
sebelumnya. Coba perhatikan bentuk | 2x-8 |
nilai x yang memenuhi.
jika dilihat dari bentuk tersebut kita dapat
a. Himpunan semua nilai x yang memenuhi
simpulkan bahwa konstanta nya adalah 8.
(
−1) +(
(Olimpiade
− 2) = 1
Sains
Tahun 2010).
Dari pernyataan tersebut maka dapat kita
Tingkat
Provinsi
terka faktor dari 8 adalah ±1 , ± 2 , ± 4 , dan
±8. Selanjutnya langkah yang dilakukan
Soal ini bisa kita selesaikan dengan
yakni menguji kembali apakah faktor yang
strategi menerka lalu menguji kembali .
kita terka sebelumnya merupakan nilai x
Langkah awal yang dilakukan yakni dengan
yang memenuhi persamaan tersebut.
melihat bentuk ( − 1 ) + (
c. Tentukan semua nilai x yang memenuhi
− 2) . Dari
bentuk tersebut kita bisa melihat konstanta
pada persamaan tersebut adalah 1 pada
bentuk ( − 1 )
(
dan 2 pada bentuk
− 2) . Kemudian setelah mengetahui
konstanta yang ada pada persamaan tersebut,
langkah yang dilakukan adalah menerka
faktor dari konstanta. Oleh sebab itu kita
dapat menerka bahwa ± 1 dan ± 1 , ± 2
merupakan
faktor
dari
masing-masing
konstanta yang ada. Selanjutnya langkah
yang dilakukan yakni menguji kembali
apakah faktor yang kita terka sebelumnya
merupakan
nilai
persamaan tersebut.
x
yang
memenuhi
persamaan
+ 3x =
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Dari
persamaan
tersebut
bisa
dilihat
konstantanya adalah 8. Kemudian langkah
selanjutnya adalah menganalisis faktor dari 8
yakni ±1 , ±2 , ±4, ±8. Kemudian faktor
tersebut diujikan kembali pada persamaan
yang didapat. Jika didapatkan hasil yang
sama maka bilangan tersebut merupakan
nilai x yang tepat.
2.
STRATEGI
MELIHAT
DARI
SUDUT PANDANG LAIN
Strategi melihat dari sudut pandang lain
dapat digunakan untuk menyelesaikan soal
mencari nilai x dari suatu persamaan. Dalam
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 69
ISSN 2614-0357
soal – soal non rutin soal yang memiliki tipe
b ). Misalkan untuk mencari nilai x pada soal
mencari nilai x dari suatu persamaan
berikut ini :
disajikan dengan persamaan kuadrat maupun
a. Himpunan
berderajat tinggi. Bukan suatu masalah
apabila
soal
tersebut
memuat
suatu
persamaan kuadrat, namun yang menjadi
masalah
adalah
disajikan
jika
persamaan
merupakan
soal
memenuhi (
(Olimpiade
semua
x
yang
− 1 ) + ( − 2) = 1
Sains
Tahun 2010).
nilai
Tingkat
Provinsi
yang
Soal tersebut dapat diselesaikan dengan
persamaan
menggunakan strategi melihat dari sudut
berderajat tinggi tentu akan membuat siswa
pandang
merasa kesulitan dalam melakukan operasi
persamaan kuadrat dan persamaan berderajat
pengurangan atau penjumlahan sebab setelah
tiga. Biasanya siswa akan menguraikan
dilakukan penguraian akan dihasilkan angka
kedua
yang cukup panjang yang memerlukan
menjumlahkannya.
ketelitian
memakan waktu yang lama sebab diperlukan
agar
tidak
salah
dalam
menghitungnya.
pandang
lain
digunakan
untuk
menyelesaikan soal yang memiliki tipe
mencari nilai x dari suatu persamaan yakni
dengan
menganalisa
apakah
persamaan
tersebut dapat diubah menjadi bentuk lain
atau dengan kata lain mencari ekuivalensi
dari suatu bentuk. Seperti yang kita tahu
−
dengan
persamaan
memanipulasi
tersebut
Cara
tersebut
dan
akan
ketelitian karena dari hasil penguraian
Oleh karena itu strategi melihat dari
sudut
lain
merupakan rumus yang kita kenal
dengan rumus selisih kuadrat dimana rumus
tersebut memiliki bentuk lain yaitu (a – b ) (
a + b ). Sehingga jika kita menemukan soal
tersebut akan dihasilkan suatu persamaan
yang panjang dan memiliki variabel dengan
pangkat yang berbeda – beda.
Sehingga untuk mempersingkat cara
mengerjakan maka
bentuk (
−1)
+
( − 2) = 1 bisa kita ubah menjadi bentuk
( − 1 ) = 1 − ( − 2) . Dan bentuk
( − 1 ) bisa kita ubah menjadi bentuk (( x
– 1 )( − 1 ) ). Sehingga dengan begitu dari
persamaan awal berubah menjadi persamaan
baru dimana persamaan yang baru hanya
memuat variabel yang berderajat tertinggi 2.
yang merupakan suatu persamaan kuadrat
dengan bentuk
−
dapat kita manipulasi
b. Jika
= | 2x-8 | maka nilai x yang tepat
menjadi bentuk (a – b ) ( a + b ). Begitu pula
adalah ...
jika kita menemukan persamaan berderajat
(Olimpiade Sains Nasional Tingkat
tinggi
seperti
misal
(
−
dimanipulasi menjadi bentuk (
)
−
,
bisa
Kabupaten 2004)
) (a–
70 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Begitu juga dengan soal nomor dua
memiliki karakteristik yang sama dengan
=
2 +3
bisa
diselesaikan
dengan
strategi
melihat dari sudut pandang lain. Agar tidak
menjadi bentuk lain yakni (
=
contoh soal nomor satu. Soal nomor dua ini
juga
−2
8
-
). (
+ 3 ). Selanjutnya
dilakukan pemfaktoran seperti persamaan
kuadrat dengan memisalkan
+3 = .
kesulitan dalam mengerjakannya kita bisa
memanipulasi bentuk mutlak tersebut ke
Strategi
3.Kombinasi
Menerka
lalu
bentuk lain yang lebih sederhana dan mudah
Menguji Kembali dan Strategi Melihat
untuk dikerjakan atau dengan kata lain
Sudut
mencari ekuivalensi bentuk dari mutlak. Dari
Penyelesaian Masalah Matematika Non
soal tersebut maka bentuk dari | 2x-8 | dapat
Rutin Bertipe Mencari Nilai x dari
diubah menjadi bentuk
Suatu Persamaan.
(2 − 8 ) . Dengan
memanipulasi soal tersebut ke bentuk lain
Dalam
Pandang
Lain
menyelesaikan
suatu
dalam
masalah
tanpa mengubah maksud soal maka sama
matematika telah disajikan sepuluh macam
saja kita mengerjakan soal tersebut dengan
strategi
cara melihat dari sudut pandang lain yang
menyelesaikan permasalahan matematika,
lebih memudahkan kita untuk menyelesaikan
sehingga kita dapat memilih suatu strategi
masalah. Sehingga bisa dikatakan dengan
untuk menyelesaikan masalah namun kita
menggunakan strategi tersebut lebih efisien
juga dapat mengkombinasikan lebih dari satu
dan efektif dalam mengerjakan soal tipe
strategi untuk menyelesaikan suatu masalah
tersebut.
matematika. Penggunaan lebih dari satu
c. Tentukan semua nilai x yang memenuhi
strategi
persamaan
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Dalam soal ini juga bisa kita lakukan
manipulasi dengan menggunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain. Langkah
pertama yang dilakukan adalah dengan
menjadi bentuk
2
+ 3x =
2 +3
8
1
ditawarkan
diharapkan
untuk
mempermudah
penyelesaian permasalahan yang diberikan
+ 3x =
mengubah bentuk
yang
=
2 +3
8
2+3 −2
−2
yang
merupakan ekuivalensi bentuk. Kemudian
langkah selanjutnya mengubah bentuk
1
2 +3
sehingga proses yang dilakukan lebih efisien.
Oleh
karena
itu
perencanaan
dalam
menyelesaikan suatu masalah perlu dibuat.
Perencanaan dikatakan sebagai proyeksi apa
yang diperlukan. Yang diproyeksikan bisa
berbentuk
ide
atas
gagasan
setelah
melakukan verifikasi yaitu mana ide yang
diperlukan
dan
mana
yang
tidak.
Perencanaan dalam maksud lain adanya
tujuan yang ingin dicapainya, artinya tidak
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 71
ISSN 2614-0357
ada
perencanaan
tanpa
dari
baru. Untuk menjawab permasalahan atau
perencanaan itu. Ketika kita mempunyai
persoalan operasi mencari nilai x pada suatu
masalah,
persamaan,
misalnya
tujuan
soal
himpunan
langkah
selanjutnya
dapat
penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat
dikerjakan menggunakan langkah Polya,
untuk mencari faktor-faktornya, maka kita
agar pengerjaannya dapat terarah dan lebih
sudah ada pada rencana ke arah itu, dengan
terorganisir dengan baik. Karena telah
menuliskan proses pemecahan masalah yang
diketahui langkah pengerjaan dengan polya
sistematis
terdapat empat langkah pengerjaan, yaitu:
dan
mempunyai
langkah-
langkahnya.
memahami
Penyelesaian
menyusun
rencana
olimpiade
penyelesaian,
matematika untuk mencari nilai x pada suatu
penyelesaian,
persamaan, dapat digunakan kombinasi dua
Menggunakan langkah Polya bertujuan agar
strategi pemecahan masalah yang tepat dan
pengerjaan dapat terorganisasi dengan baik
efektif, yaitu dengan strategi menerka lalu
dan kita lebih memahami persoalan yang
menguji kembali dan strategi melihat dari
ditanyakan
sudut pandang lain. Langkah pertama yang
Penerapan Masalah
dilakukan
(OSP MATEMATIKA TAHUN 2010)
adalah
konstanta
Setelah
yang
itu
soal-soal
masalah,
dengan
ada
dalam
menganalisis
menentukan
persamaan.
faktor
( −1) +(
konstanta tersebut dengan menebak bilangan
Langkah selanjutnya yakni dengan menguji
kembali faktor yang di terka apakah benar
merupakan
nilai
x
yang
dari sudut pandang lain pada soal yang ada
memeriksa
kembali.
− 2) = 1
a. Memahami masalah
Diketahui
Terdapat
bentuk
persamaan
sebagai
berikut ( − 1 ) + ( − 2) = 1
memenuhi
persamaan tersebut. Untuk strategi melihat
dan
rencana
1. Himpunan semua nilai x yang memenuhi
dari
yang merupakan faktor dari konstanta.
melaksankan
Ditanya
Tentukan
nilai
x
yang
memenuhi
dengan melihat apakah soal tersebut dapat
persamaan tersebut
diubah ke bentuk yang lain sehingga menjadi
b. Menyusun suatu strategi
lebih sederhana dan lebih mudah untuk
Untuk menyelesaikan masalah tersebut akan
diselesaikan atau dengan kata lain mencari
digunakan 2 strategi, yaitu :
ekuivalensi
1). Menerka lalu menguji kembali
dari
suatu
bentuk.
Setelah
dilakukan strategi melihat sudut pandang lain
2). Melihat dari sudut pandang lain
akan didapatkan hasil pengerjaan yang lebih
sederhana dalam bentuk suatu persamaan
72 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Akan
dilakukan
penyelesaian
masalah
matematika tersebut dengan menggunakan
strategi yang dipilih sebagai berikut :
1. Dari bentuk (
− 2) =
kita simpulkan
−1)
konstantanya adalah 1 dimana faktor dari
1 yakni ±1. Selanjutnya dari bentuk
( − 2)
kita
simpulkan
− 2) = 1
( −1) =1-(
− 2)
( − 1 ) = (1 – ( x – 2)) (1+ ( x – 2 ))
1). Menerka lalu Menguji Kembali
Dari persamaan ( − 1 ) + (
( −1) +(
bahwa
( −1) =(-x+3)(x–1)
( − 1 ) – ( - x +3 ) ( x – 1 ) = 0
( x – 1 ) (( ( − 1 ) + (x – 3 )) = 0
(x–1)(
(x–1)(
−2 +1+
−
−2)=0
−3)=0
( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x + 1) = 0
Maka diperoleh nilai x yakni :
konstantanya adalah 2 dimana faktor dari
( x – 1) = 0 sehingga x = 1
2 yakni ±1 dan ± 2. Selanjutnya proses
( x – 2 ) = 0 sehingga x = 2
yang dilakukan adalah dengan menguji
( x + 1) = 0 sehingga x = -1
kembali apakah bilangan yang kita terka
maka nilai x yang memenuhi adalah 1 , - 1
sebagi faktor dari konstanta merupakan
dan 2
nilai
x
yang
memenuhi
persamaan
tersebut. Proses menguji kembali dapat
3).Meneliti lagi pekerjaan yang telah
dilihat dalam uraian pada strategi melihat
dilakukan
dari sudut pandang lain.
Hasil yang telah diperoleh akan diteliti
kembali dengan menguraikan soal yang
2). Melihat sudut pandang lain
memiliki bentuk: x2 - y2 = (x + y) (x – y )
Ingat bahwa suatu persamaan baik kuadrat
dan ( − ) = (x – y ) ( − ) .
dan berderajat tinggi dapat diubah ke
bentuk lain sebagai berikut :
2
2
x –y
( − )
= (x + y) (x – y)
= (x – y ) (
− )
Melihat sudut pandang lain dari soal
(
−1)
+ (
− 2)
= 1
dengan cara
menguraikan persamaan tersebut menjadi
bentuk pemfaktoran x2 – y2 = (x + y) (x –
y) yakni sebagai berikut :
Kemudian dilakukan penjabaran (
1) + (
−
− 2) = 1 sehingga diperoleh
penjabaran sebagai berikut :
Cara 1 :
( −1) +(
Dari
− 2) = 1
bentuk
( −1)
kita
menentukan bahwa konstantanya adalah
1. Kemudian dari hasil tersebut kita
menerka bahwa faktor 1 adalah ±1.
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 73
ISSN 2614-0357
Dari
bentuk
(
− 2)
kita
Ditanya
menentukan bahwa konstantanya adalah
Tentukan nilai x yang memenuhi
2. Kemudian dari hasil tersebut kita
persamaan tersebut
menerka bahwa faktor 2 adalah ±1 dan
±2.
Selanjutnya pada proses menguji kembali
dapat dilihat dari uraian pada strategi
melihat dari sudut pandang lain.
Cara 2 :
( − 1 ) + ( − 2) = 1
( − 1 ) = 1 - ( − 2)
( − 1 ) = (1 – ( x – 2)) (1+ ( x - 2 ))
( −1) =(-x+3)(x–1)
( − 1 ) – ( - x +3 ) ( x – 1 ) = 0
( x – 1 ) ( ( ( − 1 ) + (x – 3 ) = 0
(x–1)(
(x–1)(
−2 +1+ −3)=0
−
−2)=0
( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x + 1) = 0
Maka diperoleh nilai x yakni :
( x – 1) = 0 sehingga x = 1
( x – 2 ) = 0 sehingga x = 2
( x + 1) = 0 sehingga x = -1
maka nilai x yang memenuhi adalah 1 , - 1
dan 2
Menyusun suatu strategi
Untuk menyelesaikan masalah trsebut
akan digunakan 2 strategi, yaitu :
1). Menerka lalu menguji kembali
2). Melihat dari sudut pandang lain
Akan dilakukan penyelesaian masalah
matematika
tersebut
dengan
menggunakan strategi yang dipilih
sebagai berikut :
1). Menerka lalu Menguji Kembali
= | 2x-8 |. Dari bentuk
Dari persamaan
| 2x-8 | kita simpulkan konstantanya
adalah 8 dimana faktor dari 8 yakni ±1,
±2, ±4 dan ±8. Selanjutnya proses yang
dilakukan adalah dengan menguji kembali
apakah bilangan yang kita terka sebagai
faktor dari konstanta merupakan nilai x
yang
memenuhi
persamaan
tersebut.
Proses menguji kembali dapat dilihat
dalam uraian pada strategi melihat dari
(OSK MATEMATIKA TAHUN 2004)
2.
b.
Jika
= | 2x-8 | maka nilai x
yang tepat adalah
a. Memahami masalah
sudut pandang lain.
2). Melihat dari sudut pandang lain.
Memperhatikan persoalan diatas, dengan
menggunakan nalar yang tepat untuk
memanipulasi persamaan tersebut dengan
Diketahui
menggunakan sifat nilai mutlak yakni
berikut
| a | = √
Terdapat bentuk persamaan sebagai
= | 2x-8 |
dan menggunakan selisih
kuadrat x2 – y2 = (x + y) (x – y)
74 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
Dilakukan pengerjaan soal dengan melihat
Selanjutnya pada proses menguji kembali
dari
dapat dilihat dari uraian pada strategi
sudut
pandang
lain
dengan
melakukan penjabaran persamaan tersebut
melihat dari sudut pandang lain.
dengan menggunakan sifat nilai mutlak
Cara 2
dan rumus selisih kuadrat :
= | 2x-8 |
= | 2x-8 |
(
(
(
(
= (2 − 8 )
(
) = ( (2 − 8 ) )
) = (2 − 8 )
+ 2x – 8 ) (
– 2x + 8) = 0
( − 2 )( x + 4 ) (
– 2x + 8) = 0
) = ( (2 − 8 ) )
(
) = (2 − 8 )
(
+ 2x – 8 ) (
(
) - (2 − 8 ) = 0
= (2 − 8 )
) - (2 − 8 ) = 0
– 2x + 8) = 0
( − 2 )( x + 4 ) (
– 2x + 8) = 0
Pada persamaan ( 2 + 2x – 8 ) = 0
Pada persamaan ( 2 + 2x – 8 ) = 0
( x – 2 ) = 0 maka x = 2
( x – 2 ) = 0 maka x = 2
( x + 4 ) = 0 maka x = - 4
( x + 4 ) = 0 maka x = - 4
pada persamaan (
pada persamaan (
x
– 2x + 8) = 0
±√
=
=
(
=
±√
)± (
.
)
. .
(irasional)
x
– 2x + 8) = 0
±√
=
=
(
=
±√
)± (
.
)
. .
(irasional)
Maka x yang memenuhi adalah 2 dan – 4
(Olimpiade Sains Nasional Matematika)
Maka nilai x yang memenuhi adalah 2 dan -4
3). Meneliti kembali pekerjaan yang
dilakukan.
Cara 1 :
= | 2x-8 |
Dari bentuk | 2x-8 | kita menentukan
3. Tentukan semua nilai X yang memenuhi
persamaan
a. Memahami masalah
Diketahui
bahwa konstantanya adalah 8. Kemudian
dari hasil tersebut kita menerka bahwa
faktor 8 adalah ±1, ±2, ±4 dan ±8.
+ 3x =
Terdapat bentuk persamaan
sebagai berikut
+ 3x =
Ditanya
Tentukan nilai x yang memenuhi
persamaan tersebut
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 75
ISSN 2614-0357
b. Menyusun suatu strategi
(
Untuk menyelesaikan masalah trsebut akan
digunakan 2 strategi, yaitu :
penyelesaian
masalah
matematika tersebut dengan menggunakan
strategi yang dipilih sebagai berikut :
. Dari
+ 3x =
8 = ( − 4)( + 2)
−2 −
Oleh karena itu diperoleh
(
+ 3 − 4)(
+ 3 + 2)= 0
(x + 4)(x – 1 )(x +2) (x+1) = 0
1). Menerka lalu Menguji Kembali
Dari persamaan
−2 −8=0
Kemudian difaktorkan menjadi
2). Melihat dari sudut pandang lain
dilakukan
+3 )−8 =0
maka persamaannya
+3 )=
berubah menjadi
1). Menerka lalu menguji kembali
Akan
Misal (
+3 ) −2(
Jadi nilai x yang diperoleh yakni
(x + 4) = 0
x=-4
(x – 1 ) = 0
x=1
konstantanya adalah 8 dimana faktor dari 8
(x +2 ) = 0
x=-2
yakni ±1, ±2, ±4 dan ±8. Selanjutnya proses
( x + 1) = 0
x=-1
yang dilakukan adalah dengan menguji
Dari uraian diatas maka diperoleh nilai x
kembali apakah bilangan yang kita terka
yang memenuhi adalah 1 , - 1 , -2 , -4.
sebagi faktor dari konstanta merupakan nilai
3). Meneliti pekerjaan yang sudah
tersebut
bentuk
kita
simpulkan
x yang memenuhi persamaan tersebut.
Proses menguji kembali dapat dilihat dalam
dilakukan
Cara 1 :
uraian pada strategi melihat dari sudut
2). Melihat sudut pandang lain
Melihat sudut pandang lain dari soal
8
2 +3 −2 dengan
persamaan
cara
8
2 +3
−2
2
+ 3x
menguraikan
dari hasil tersebut kita menerka bahwa
faktor 8 adalah ±1, ±2, ±4 dan ±8.
Selanjutnya pada proses menguji kembali
pemfaktoran persamaan kuadrat sebagai
dapat dilihat dari uraian pada strategi
berikut
melihat dari sudut pandang lain.
8
2 +3 −2
+ 3x =
1
2 +3
(
1=
(
=
menjadi
bahwa konstantanya adalah 8. Kemudian
bentuk
2
tersebut
+ 3x =
Dari bentuk tersebut kita menentukan
pandang lain.
=
2
2 +3
=
)
8
Cara 2:
2
−2
- ). (
−
(
+3 )
+3 )
+ 3x =
1
2 +3
(
=
2 +3
=
8
2 +3
8
−2
−2
- ). (
+3 )
76 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018
ISSN 2614-0357
1=
(
(
)
−
+3 ) −2(
Misal (
(
+3 )=
berubah menjadi
suatu bentuk menjadi bentuk lain yang
+3 )
maka persamaannya
−2 −8=0
−2 −
Oleh karena itu diperoleh
(
+ 3 − 4)(
x=1
(x +2 ) = 0
x=-2
( x + 1) = 0
x=-1
persamaan
menerka
tersebut,
faktor
pada
konstanta yang ada dalam persamaan.
Baik
faktor
dari
konstanta,
persamaan
persamaan
derajat
kuadrat
maupun
tinggi.
Sehingga
sangat efektif jika digunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain dan
menerka lalu menguji kembali. Jika
Dari kajian ini, terdapat beberapa hal yang
dapat disimpulkan :
Dari hasil analisis contoh soal olimpiade
yang telah dikerjakan, soal tersebut telah
mengarah kepada aplikasi soal dari
aljabar tentang mencari nilai x pada
suatu persamaan. Ketiga contoh soal
dapat dengan mudah jika
dikerjakan dengan menggunakan strategi
melihat dari sudut pandang lain dan
Penerapan
kemudian
pada
bentuk aljabar dalam bentuk persamaan.
KESIMPULAN
menerka
kembali
2. Dari ketiga soal tersebut mewakili
yang memenuhi adalah 1 , - 1 , -2 , -4.
tersebut
menguji
kembali faktor tersebut.
Dari uraian diatas maka diperoleh nilai x
1.
lalu
langkah selanjutnya adalah menguji
Jadi nilai x yang diperoleh yakni
(x – 1 )= 0
konstanta
merupakan
(x + 4)(x – 1 )(x +2) (x+1) = 0
x=-4
menerka
Setelah diterka faktor berapa saja yang
+ 3 + 2)= 0
(x + 4) = 0
dari soal tersebut. Kemudian penerapan
diterapkan dengan cara menentukan
Kemudian difaktorkan menjadi
8 = ( − 4)( + 2)
lebih sederhana tanpa mengurangi arti
+3 )−8=0
lalu
menguji
langkah
melihat
kembali.
sudut
pandang lain dimulai dengan melakukan
manipulasi aljabar dengan merubah
hanya diselesaikan dengan rumus umum
akan memakan waktu yang cukup lama
melihat rumitnya bentuk persamaan
yang ada. Oleh karena itu digunakan
kedua strategi tersebut agar persamaan
tersebut diubah menjadi persamaan yang
lain
sehingga
akan
menghasilkan
pengerjaan yang tidak rumit dan mudah
untuk diselesaikan.
REFERENSI
[1] Kurniawan dan Suryadi. (2007). Siap
Juara Olimpiade Matematika SMP.
Jakarta:Erlangga
Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018 | 77
ISSN 2614-0357
[2] Hadiansyah,D., Sudayana, R.
Sukandar,S.
(2016).
Kemampuan
Perbandingan
Proses
Masalah
dan
Pemecahan
Matematis
Antara
Implementasi Strategi Konflik Kognitif
Dengan Model Pembelajaran Discovery
Learning.
Jakarta:
Jurnal
Riset
Pendidikan. Vol. 2, No. 2:119-128.
[3]
Hamzah,A & Muhlisrarini.(2014).
Perencanaan dan Strategi Pembelajaran
Matematika. Jakarta: Rajawali Pers.
[4] Yusuf, H.,ed. (2014). Matematika:
Strategi
Pemecahan
Masalah.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
[5] Mujiyati (2015). Siap Jadi Juara OSN
Matematika.Yogyakarta:Pustaka
Baru
Press.
[6]
Siswono,
T.Y.E
Pembelajaran
(2008).
Matematika
Model
Berbasis
Pengajuan dan Pemecahan Masalah
untuk
Berpikir
Meningkatkan
Kreatif.
Kemampuan
Surabaya:
Unesa
University Press.
[7] Sugiyono. (2009). Metode Penelitian
Bisnis
(Pendekatan
Kuantitatif,
Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta
78 | Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika (JPMM) Solusi Vol.II No.1 Januari 2018