STK 203 TEORI STATISTIKA I

  

STK 203

TEORI STATISTIKA I

  

III. PEUBAH ACAK KONTINU

  

III. Peubah Acak Kontinu

¹ PEUBAH ACAK KONTINU Ingat definisi peubah acak !

  Definisi : Peubah acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota ruang contoh S ke himpunan bilangan

  Æ R. nyata R; Y : S

  ³ Peubah Acak Kontinu

  Definisi 3.1. (Peubah Acak Kontinu): Jika Y adalah suatu peubah acak dengan ruang contoh S yang terdiri dari suatu selang (interval) atau gabungan dari beberapa selang, serta f(y) adalah fungsi non negatif sedemikian sehingga ∫

  S

  f(y) dy = 1 dan jika ada fungsi P(A), A ⊂ S dapat dinyatakan sebagai

  P(A) = P(Y ∈ A) =

  ∫ A

  f(y) dy , maka Y disebut peubah acak kontinu dan f(y) disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) dari Y.

III. Peubah Acak Kontinu

  Jika f(y) adalah fkp peubah acak Y dan A = {y|a < y < b} maka P(A) = P(Y ∈ A) dapat ditulis sbb

  P(a < Y < b) = ∫ a b f(y) dy

  Jika A = {a}, maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(Y = a) = ∫

  

a

a

  f(y) dy = 0, artinya jika Y peubah acak kontinu, maka peluang setiap himpunan yang terdiri dari satu titik adalah nol. Dengan demikian P(a < Y < b) = P(a

  ≤ Y ≤ b)

  Sifat Fungsi Sebaran Peubah Acak Kontinu

  Jika F (y) adalah fungsi sebaran (kumulatif) suatu peubah

  Y y

  acak kontinu Y dimana F (y) = ∫ f(t) dt , maka berlaku :

  Y ∞

• ≤ F ≤ 1

  1. 0 (y)

  Y

  2. F (y) merupakan fungsi tidak turun

  Y

  3. lim F (y) = 0 dan Lim F (y) = 1

  y Æ- Y y Æ Y ∞ ∞

≤

  4. F (y) merupakan fungsi kontinu kanan,

  Y

  lim F (y) = F (a)

  y Y Y Æa+

III. Peubah Acak Kontinu

  ⁵ Ilustrasi 3.1.

  Pada suatu percobaan, dipilih satu titik secara acak dari selang [a, b] dimana a < b. Misalkan Y adalah fungsi identitas yang terdefinisi pada selang [a, b], dengan demikian ruang contoh S = [a, b]. Anggap jika suatu

  Y

  interval A adalah anak gugus dari S , maka peluang

  Y

  kejadian A sebanding terhadap panjang A. Jika A = [a, y], y ≤ b maka P(A) = P(Y ∈ A) = P(a ≤ Y ≤ y) = c (y - a), dimana c konstanta keproporsionalan. Jika y = b maka P(A) = P(a ≤ Y ≤ b) = c (b - a) = 1, sehingga c = 1/(b-a).

  Ilustrasi (cont): Dengan demikian kita akan mempunyai suatu model peluang jika fungsi sebaran Y, yaitu F (y) didefinisikan :

  Y

  , y < a  

  F (y) = (y −

  a) (b −

  a), a ≤ y ≤ b

  Y 

   1 , b ≤ y 

  Sehingga f (y)=F’ (y)dapat dituliskan sbb:

  Y Y

1 (b −

  a) , a ≤ y ≤ b  f (y) =

  Y  , selainnya 

III. Peubah Acak Kontinu

  ⁷ Hubungan F (y) dengan f (y) Y Y

  

Jika Y peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran F (y), maka

Y

fungsi kepekatan peluang (fkp) bagi Y, dinotasikan f (y) adalah

  Y

asalkan turunan pertama dari F (y) terdefinisi. Dengan demikian

  

Y

berdasarkan kaidah kalkulus maka juga dapat ditulis Sifat dari f (y):

  Y ; Ilustrasi 3.2. Jika diketahui Y memiliki fkp f (y) sbb. _Y y lainnya

  Untuk menentukan F (y) kita perlu menghitung P(Y ≤ y) untuk semua _Y kemungkinan nilai y.

• Untuk y ≤ 0, kita peroleh • Untuk y ≥ 2, kita peroleh
• Untuk 0 < y < 2, kita per
• Jadi F (y) yang dimaksud adalah _Y

III. Peubah Acak Kontinu

  ⁹ Sifat fkp Jika Y peubah acak kontinu dengan fkp f (y), maka _Y (i)

  (ii) (iii)

  Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu Nilai harapan suatu peubah acak kontinu Y adalah : Ilustrasi 3.3.

  Jika diketahui Sehingga y lainnya

III. Peubah Acak Kontinu

  ¹¹ Jika Y adalah suatu peubah acak kontinu dengan fkp f (y) Y

  dan g(Y) adalah suatu fungsi dari peubah acak Y, maka… Ilustrasi 3.4.

  Jika diketahui _{2 2}

• Jika g(Y) = Y , maka E(Y ) :

  y lainnya

• Jika g(Y) = ln Y, maka E(ln Y) :

  Bentuk-bentuk khusus nilai harapan

  Jika Y peubah acak diskret dengan fmp f(y) dan y terdefinisi pada a , a , a , … maka akan berlaku

  1

  2

3 E(Y) = a f(a ) + a f(a ) + a f(a ) + … yang tidak lain

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  adalah rataan terboboti atau disebut juga rataan aritmetik atau nilai tengah suatu peubah acak. Dengan demikian nilai tengah dari suatu peubah acak

  µ Y

  Y, jika ada, adalah = E(Y) berlaku untuk Y diskret

  µ Y atau kontinu.

III. Peubah Acak Kontinu

  ¹³ Bentuk khusus nilai harapan Æ ragam

  2 Perhatikan untuk g(Y) = (Y - )

µ

  Y

  E[g(Y)] = ∫ g(y) f (y) dy

  y Y

  2

  = (y - ) f (y) dy

  ∫ µ y Y Y

  2

  σ adalah ragam Y, dinotasikan .

  Y

  2

  2

  σ = E[(Y - ) ]

  µ Y Y

  2

  2

  = E[Y – 2Y ]

• Y Y

  µ µ

  2

  2

  2

  = E(Y ) - 2

• Y Y

  µ µ

  2

  2

  = E(Y ) -

  µ Y Bentuk khusus nilai harapan Æ fungsi pembangkit momen tY

  Perhatikan untuk g(Y) = e

  tY

  E[g(Y)] = e f (y) dy

  ∫ y Y

  adalah fungsi pembangkit momen peubah acak Y dan dinotasikan dengan m (t).

  Y

  Jika dua buah peubah acak memiliki fungsi pembangkit momen yang sama, maka keduanya juga memiliki sebaran yang sama. Fungsi pembangkit momen bersifat unik dan menentukan sebaran peubah acak.

III. Peubah Acak Kontinu

  ¹⁵ Dengan demikian kita bisa menyatakan suatu peubah

  acak Y secara unik dalam tiga bentuk :

  1. Fungsi sebaran, F (y)

  Y

  2. Fungsi kepekatan peluang, f (y)

  Y

  3. Fungsi pembangkit momen, m (t)

  Y

  Momen suatu peubah acak

  Jika M (t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak

  Y (i)

  Y dan M (t) adalah turunan ke-i terhadap t dari M (t),

  Y Y

  maka :

  (1) ty

  M (t) = y e f (y) dy

  ∫ Y y Y (1)

  dan untuk t = 0, maka M (t) = y f (y) dy = E(Y)

  ∫ Y y Y (2)

  2 ty

  M (t) = y e f (y) dy

  ∫ Y y Y (2)

  2

  2

  dan untuk t = 0, maka M (t) = y f (y) dy = E(Y )

  ∫ Y y Y

  Dengan demikian

  (k) k ty

  M (t) = y e f (y) dy

  ∫ Y y Y (k) k k

  dan untuk t = 0, maka M (t) = y f (y) dy = E(Y )

  ∫ Y y Y adalah momen ke-k dari peubah acak Y. _{III. Peubah Acak Kontinu 17} Menentukan nilai tengah dan ragam melalui fpm

III. Peubah Acak Kontinu

  ¹⁹ Ilustrasi 3.5.

  Perhatikan peubah acak Y dengan fkp sbb. y lainnya

  

Fungsi pembangkit momen serta nilai harapan dan ragamnya adalah :

  2 Jadi E(Y), E(Y ) dan V(Y) adalah : untuk t < 0

  ²¹ Sifat nilai harapan Perhatikan peubah acak kontinu Y dengan fkp f

  Y (y) dan g

  1 , g

  2 , …, g k adalah fungsi dari Y serta c adalah suatu konstanta, maka :

III. Peubah Acak Kontinu

  Y ~ Seragam ( θ

  1 , θ

  2 )

  (1) fkp peubah acak Y : y lainnya

  (2) Fungsi pembangkit momen : (3) Nilai harapan dan ragam : Penurunan dan bukti sebagai latihan !!!

2 Y ~ Normal ( µ, σ )

  (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa f (y) adalah fkp. Misal dan _Y

  _Y 2 I > 0 dan jika f (y) fkp, maka I = 1 sehingga I = 1

III. Peubah Acak Kontinu

  ²³

2 Y ~ Normal ( µ, σ )

  

₂

_{2 2 2} θ, y = r sin θ sehingga x θ, maka I Misal x = r cos + y = r dan dxdy = r drd dapat ditulis sbb. yang merupakan bentuk koordinat polar.

  2 Y ~ Normal ( µ, σ ) (2) Fungsi pembangkit momen : Misal , sehingga

_{III. Peubah Acak Kontinu}

dengan ₂₅

  2 Y ~ Normal ( µ, σ ) (2) Fungsi pembangkit momen : Dengan demikian m (t) = _Y akhirnya m (t) = _Y Ilustrasi 3.6.

  2 (

  Perlihatkan bahawa yika Y ~ N ) maka

  µ, σ

  ~ N (0, 1) Bukti : _{III. Peubah Acak Kontinu} ⇒ adalah fpm N(0, 1) ₂₇ Y ~ Gamma ( α, β)

  (1) fkp peubah acak Y : y lainnya Akan diperlihatkan bahwa f (y) adalah fkp. Misal dan _Y maka : karena untuk t > 0 (fungsi gamma) Y ~ Gamma ( α, β) (2) fpm peubah acak Y : dengan maka suku sebelah kanan dapat ditulis sbb. fkp dengan demikian fpm peubah acak Y adalah

III. Peubah Acak Kontinu

  ²⁹ Y ~ Eksponensial ( β) (1) fkp peubah acak Y : y lainnya (2) fpm peubah acak Y : misal

  

, , untuk . Kenapa ? Latihan : Jika Y ~ Gamma ( ).

  α, β

  (1) Untuk α = 1, maka Y ~ Eksponensial ( β ) ₂ (2) Untuk = v/2 dan = 2, maka Y ~

  α β

  χ _(v)

III. Peubah Acak Kontinu

  ³¹