LAKARAN GARIS IMBAS UNTUK RASUK
LAKARAN GARIS IMBAS UNIT UNTUK RASUK
7 Objektif Am
Memahami konsep beban bergerak yang menghasilkan lakaran garis imbas untuk daya tindak balas, daya ricih dan momen lentur pada sebarang kedudukan di atas rasuk.
Objektif Khusus
Di akhir unit ini pelajar sepatutnya dapat
a. mentakrifkan konsep garis imbas b. melakar gambarajah garis imbas bagi tindakbalas.
c. melakar gambarajah garis imbas bagi daya riceh
d. melakar gambarajah garis imbas bagi momen lentur
INPUT 7.1 Pengenalan
Untuk beban statik di atas rasuk, gambarajah momen lentur dan gambarajah daya riceh dapat menunjukkan perubahan momen dan riceh di sepanjang rasuk tersebut. Untuk beban yang bergerak di sepanjang rasuk, perubahan daya riceh dan momen lentur dapat digambarkan dengan baik dengan menggunakan gambarajah Garis Imbas.
Takrifan Garis Imbas
Garis Imbas mewakili perubahan samada pada tindak balas, riceh, momen dan juga anjakan pada titik tertentu dalam struktur pada masa beban titik bernilai 1 unit bergerak di sepanjang struktur. Apabila garis imbas pada sesuatu titik telah dibina, adalah mudah menentukan di mana posisi beban hidup yang akan menghasilkan kesan terbesar pada titik berkenaan.
Dari sebab-sebab di atas, garis imbas memainkan peranan penting di dalam merekabentuk jambatan, rel kren untuk industri, talisawat penghantar (conveyor belt) dan sebagainya di mana beban bergerak di sepanjang rentang berlaku.
Maka garis imbas ialah analisa untuk struktur yang mengalami beban
Imbas kembali ………………. Bergerak
Garis Imbas bagi rasuk disokong mudah
Dari analisa biasa, daya-daya yang perlu dicari ialah 1. daya tindakbalas 2. daya riceh 3. momen lentur
Daya tindakbalas
Pertimbangkan rasuk di bawah (Rajah 7.1):- Maka :- M B = 0 , 0 = R A (L)
- 1 unit beban bergerak dari A ke B.
- x ialah jarak unit beban yang diukur dari A pada sebarang kedudukan di atas rasuk.<
- – 1 (L – x) R A =
- --------------- ( 1 )
- – 1 (x) R B =
- ( 2 ) Dari persamaan (1) dan persamaan (2) nilai-nilai daya tindakbalas
L L x
) 1 * (
M A = 0 , 0 = R
B
(L)
L x
L A B R B R A x 1 unit
Rajah 7.1 Nota:
Contoh 7.1
Dari Rajah 7.2, lakarkan gambarajah garis imbas bagi i. Tindakbalas R A ii. Tindakbalas R B
Penyelesaian :- i. Tindakbalas R A :-
Dapatkan nilai R A dari persamaan (1) ; ( L x ) 1 *
R = , Bila x = 0 ; R = 1 A A L
Bila x = a ; R = b/L
A
Bila x = L ; R A = 0 x 1 unit B A
Rajah 7.2
R
A
R
B
a b
1.0 b/L
Gambarajah Garis Imbas Bagi R A x = 0 x = a x = L Nota :-
i. Tindakbalas R B :-
Dapatkan nilai R B dari persamaan (2) ;
x
R = , Bila x = 0 ; R = 0
B B L
Bila x = a ; R = a/L
B
Bila x = L ; R B = 1 x 1 unit B A R A R B a b
1.0 Gambarajah a/L
Garis Imbas Bagi R B
x = 0 x = a x = L Nota :- Nilai R sebenar adalah hasildharab oleh beban kenaan dengan odinit
B setentang pada gambarajah garis imbas bagi R B .
Contoh 7.2
Lakarkan gambarajah Garis Imbas bagi daya tindakbalas bagi rasuk disokong mudah dengan satu hujung tergantung seperti dalam Rajah 7.3. i. Tindakbalas R A ii. Tindakbalas R
B
1 unit x
Rajah 7.3
B A R B R A L b
Penyelesaian :-
i. Tindakbalas RA Dapatkan nilai R A dari persamaan (1) ;
( L x * )
1 R A = , Bila x = 0 ; R A = 1
L
Bila x = L ; R A = 0
L ( L b ) b
Bila x = L+ b ; R = = - ( )
A L L
1 unit x A R A R B
1.0
ii. Tindakbalas R
B :-
Dapatkan nilai R B dari persamaan (2) ;
x
R B = , Bila x = 0 ; R B = 0
L
Bila x = L ; R B = 1
L b b
Bila x = L ; R = = 1 +
B L L
1 unit x A R A R B
b
1.0
1
L Gambarajah Garis Imbas bagi R B x=L x=L+b x=0
Contoh 7.3
Lakarkan gambarajah Garis Imbas bagi daya tindakbalas bagi rasuk disokong mudah dengan kedua-dua hujung terjulur seperti dalam Rajah 7.4 . i. Tindakbalas R
B
ii. Tindakbalas R C
Penyelesaian :-
1 unit (x)
D
Rajah 7.4 A
B C R C R B a
L b Dapatkan nilai R B dari persamaan momen di C: M C = 0 0 = R B (L)
- – 1 (L + a – x)
L a x 1 ( ) *
R B = --------------- ( 3 )
L
Dapatkan nilai R C dari persamaan momen di B: M B = 0 0 = R C (L)
- – 1 (x-a)
x a ( ) *
R = ------------- ( 4 )
C
1 L
i. Tindakbalas R B :-
Dapatkan nilai R dari persamaan (3) ;
B
1 ( a * L x ) R B = L a
Bila x = 0 ; R B = 1 +
L
Bila x = a ; R B = 1 Bila x = a + L ; R B = 0
b
Bila x = a + L + b ; R = -
B L
1 unit x A R B R C
a
1 +
L
1.0 GambaRaja
h Garis x= a+L+b
Imbas bagi x= x= a
R x= a+L b
L
i. Tindakbalas R C :-
Dapatkan nilai R dari persamaan (4) ;
C
( x a ) *
R =
C
1 L
a
Bila x = 0 ; R C = -
L
Bila x = a ; R C = 0 Bila x = a + L ; R = 1
C
b
Bila x = a + L + b ; R C = 1 +
L
1 unit x A R R C
B b
1 +
L
1.0 Gambarajah
Garis Imbas
x=0
bagi R C
x=a x=a+L x=a+L+b
a
- L
AKTIVITI
7.1 Untuk memahirkan anda melakarkan gambarajah garis imbas, cuba
aktiviti-aktiviti berikut :- Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.
Arahan:
Berdasarkan kepada rasuk di bawah, lakarkan gambarajah garis imbas bagi daya tindakbalas.
Soalan 1
B D A 5m
5m
Soalan 2
A D B 8m 4m
Soalan 3
C A B E
MAKLUM BALAS AKTIVITI 7.1 Adakah anda telah mencuba soalan- soalan di atas? Jika “YA” , sila semak dengan jawapan-jawapan di bawah. Jawapan Soalan 1
bila x=0; R A =1 bila x=0; R B =0 bila x=5; R =0 bila x=5; R =1
A B
bila x=10; R A =-1 bila x=10; R B =2
Jawapan Soalan 2
bila x=0; R =1 bila x=0; R =0
A B
bila x=8; R A =0 bila x=8; R B =1 bila x=12; R A =-0.5 bila x=12; R B =1.5
Jawapan Soalan 3
bila x=0; R A =1.5 bila x=0; R B =-0.5 bila x=2; R A =1 bila x=2; R B =0 bila x=6; R A =0 bila x=6; R B =1 bila x=7; R =-0.25 bila x=7; R =1.25
A B
INPUT 7.2 LAKARAN GARIS IMBAS DAYA RICIH Pengenalan
Pertimbangkan rasuk sokong mudah sepertimana dalam Rajah 7.5 di bawah. Katakan kita ingin melakarkan gambarajah Garis Imbas daya riceh di C di atas rasuk.
Rajah 7.5
C B A a b
R
B
R A L
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan daya riceh pada titik C, 1 unit beban akan bergerak melalui dua bahagian iaitu:- i. Unit beban antara A dan C ( x a ) 1 unit
C
R A C
V x Per. 1:
- ( L x ) 1 = R Fy = 0 V C A – 1
R = A L
- ( L x ) 1 x
V C = - 1 V C = ….. (5)
L L
bila x = 0 ; Vc = 0 ii. Unit beban antara C dan B ( a x L ) 1 unit C
V C R A x
Fy = 0 V C = R A
- ( L x )
1 V C = ….... (6)
L
( L a ) b bila x = a ; Vc = =
L L
x = L ; Vc = 0
b L Gambarajah Garis Imbas untuk daya
(+)
riceh di C
C A B
(-)
a L
a b L
Nota :- Nilai daya riceh sebenar adalah hasildharab beban kenaan dengan odinit
Tandaan
i. Daya riceh adalah positif (+) jika jumlah daya paduan tegak di sebelah kiri keratan menuju ke atas.
(+ ve) ii. Daya riceh adalah negatif (-) jika jumlah daya paduan tegak di sebelah kanan keratan menuju ke atas.
(- ve) i. Bila x a , di mana x = jarak dari penatang kiri ke unit beban.
Imbas Kembali x
Vx =
L ii. Bila a x L , di mana x = jarak dari penatang kiri ke unit beban.
( L x )
V X =
L
Untuk memantapkan lagi pemahaman anda, sila lihat contoh 7.4 berikut :-
Contoh 7.4
Lakarkan gambarajah Garis Imbas bagi daya ricih pada titik C seperti dalam Rajah 7.6 C A B D
Rajah 7.6
2m 4m 1m
Penyelesaian :-
i. Unit beban antara A dan C ( x 2 ) x
Daripada Persamaan 5: V =
C L
Bila x = 0 , V = 0
C
2 Bila x = 2 , V C = = -0.33
6 ii. Unit beban antara C dan B ( 2 x 6 )
( L x )
Daripada Persamaan 6: V C =
L
(
6 2 )
Bila x = 2 , V C = = 0.67
6 ( 6 6 )
Bila x = 6 , V C = = 0
6 C A B D 2m 4m
1m
0.67 q
B
D
Menentukan nilai ordinit y dan z;
(Gunakan segitiga sebentuk Bqr dan BDt ) Y .
67 Z .
67 , .
5
4 1 .
4
y = 0.084 , z = 0.168
Maka ,
Gambarajah Garis Imbas Untuk Daya
0.67 Riceh di C 0.084 0.168
- 0.33
Contoh 7.5
Lakarkan Gambarajah Garis Imbas untuk daya riceh di titik C seperti dalam Rajah 7.7.
Rajah 7.7
A C B 2.5 m 7.5 m
Penyelesaian :-
i. Unit beban antara A dan C ( x 2 . 5 m ) x
Daripada Persamaan 5: V C =
L
Bila x = 0 , V C = 0 2 .
5
Bila x = 2.5 , V C = = - 0.25
10 ii. Unit beban antara C dan B ( 2 . 5 x 10 ) ( L x )
Daripada Persamaan 6: V C =
L
( 10 2 . 5 ) Bila x = 2.5 , V C = = 0.75
10 ( 10 10 )
Bila x = 10 , V C = = 0
10 A C B
2.5 m 7.5 m
0.75 Gambarajah Garis
Imbas Untuk Daya
(+)
Riceh di C
(-)
0.25
AKTIVITI
7.2 Untuk memahirkan anda melakarkan gambarajah garis imbas, cuba
aktiviti-aktiviti berikut :- Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.
Arahan:
Berdasarkan kepada rasuk di bawah, lakarkan gambarajah garis imbas bagi daya ricih di titik C.
Soalan 1
C 2.5m
B D
A 5m 5m
Soalan 2
C A 4m D
B
4m 8m
Soalan 3
C D A 2m B E
MAKLUM BALAS AKTIVITI 7.2
L L x ) (
L L x ) (
Bila x = 2.5m ,V C = (2.5/5)
= 0.50
Bila x = 5m , V
C
= 0 Bila x = 10m, V C = -1 ii. Unit beban antara C dan D ( 4m 12m) Daripada Per. 6:
V C =
Bila x = 4m , V C = (4/8)
ii. Unit beban antara C dan D ( 2.5m 10m) Daripada Per. 6:
= 0.50
Bila x = 8m , V C = 0 Bila x = 12m, V
C
= -0.5 ii. Unit beban antara C dan E ( 2m 5m) Daripada Per 6: V
C
=
L L x ) (
V C =
Adakah anda telah mencuba soalan- soalan di atas? Jika “YA” , sila semak dengan jawapan-jawapan di bawah. Jawapan S1
i. Unit beban antara A dan B ( 0 x 2.5m) Daripada Per. 5: V C =
( 0 x 4m)
L x
Bila x = 0,
V C = 0 Bila x = 2.5m, V
C
= (-2.5/5) = -0.50
Jawapan S2
i. Unit beban antara A dan B
Daripada Per. 5: V C =
=
L x
Bila x = 0 ,
V C = 0 Bila x = 4 ,
V C = (-4/8) = -0.50
Jawapan S3
i. Unit beban antara A dan C ( 0 x 2m) Daripada Per. 5: V
C
L x
INPUT 7.3 LAKARAN GARIS IMBAS MOMEN LENTUR Pengenalan
Pertimbangkan rasuk sokong mudah sepertimana dalam Rajah 7.8 di bawah. Katakan kita ingin melakarkan gambarajah Garis Imbas momen lentur di C di atas rasuk.
Rajah 7.8
C B A a b
R
B
R
A
L
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan momen lentur pada titik C, unit beban akan bergerak melalui dua bahagian iaitu:- i. Unit beban antara A dan C ( x a ) 1 unit
C
R M A C x
Dari keseimbangan momen, ambil momen di titik C: M C + R A (a)
- – 1(a – x) = 0 M = (a (a)
C A
- – x) - R
- – a = 0
( L a )
(a)x = a ; M C = 0 -
L ba
- ve menunjukkan arah sebenar momen adalah M = -
C L lawan jam; berlawanan dengan arah andaian.
ii. Unit beban antara C dan B ( a x L ) 1 unit C
M C R A
Dari keseimbangan momen, ambil momen di titik C: M + R (a) = 0
C A
( L x ) M C = - R A (a) M C = - (a)
L
M + 1(x (b) = 0
C – a) - R B
M C = R B (b) - (x
- – a) ( L x )
M C = - (a) ………..Persamaan 8
L
( L a ) ab Bila x = a ; M =- (a) M = -
C C L L
( L L ) x = L ; M C = - (a) M C = 0
L
C
GambaRajah
B A
Garis Imbas untuk momen
(+)
lentur di C
Nota :-
Nilai momen lentur sebenar adalah hasildharab beban kenaan dengan odinit dan tandaan diambilkira.
Imbas Kembali
i. Bila x a , di mana x = jarak dari penatang kiri ke unit beban.
( L x )
M C = (a (a)
- – x) -
L
ii. Bila a x L , di mana x = jarak dari penatang kiri ke unit beban.
( )
L x
M C = - (a)
L Contoh 7.6
Lakarkan garis imbas untuk Momen Lentur di titik C bagi rasuk seperti dalam Rajah 7.9.
C A B
Rajah 7.9
2.5 m 7.5 m
Penyelesaian:-
i. Unit beban antara A dan C ( x 2 . 5 m ) ( L x )
M C = (a (a)
- – x) -
L
( 10 ) Bila x = 0 ; M C = (2.5 (2.5)
- – 0) -
10 M = 2.5 = 0
C C
- – 2.5 M
( 10 2 . 5 )
Bila x = 2.5 ; M C = (2.5 (2.5)
- – 2.5) -
10
( 7 . 5 )( 2 . 5 ) = - M C = - 1.875
10 ii. Unit beban antara A dan C ( 2 . 5 x 10 )
( L x ) M C = - (a)
L ( 10 2 .
5 )
Bila x = 2.5; M = - (2.5) = - 1.875
C M C
10
(10 10 )
Bila x = 10 ; M = - (2.5) M C = 0
C
10
GambarajahA C B
Garis Imbas C untuk M
1.875
Contoh 7.7
Lakarkan gambarajah garis imbas untuk momen lentur di titik C seperti dalam Rajah 7.10
Rajah 7.10
C 5m 2.5m
A B D
2.5m
Penyelesaian
i. Unit beban antara A dan C ( x 5 m ) ( L x )
M C = (a (a)
- – x) -
L
( 7 . 5 ) Bila x = 0 ; M C = (5-0) - (5) M C = 0 7 .
5 ii. Unit beban antara A dan C ( 5 x 7 . 5 )
x
M C = b ( x a )
L
5
Bila x = 5 ; M C = ( 2 .
5 ) (
5 5 ) M C = -1.67 7 .5 7 .
5
Bila x = 7.5 ; M C = ( 2 .
5 ) ( 7 . 5 5 ) M C = 0 7 .
5
E
Gambarajah
Y
Garis Imbas
(-) C
untuk M C
A B
D (+) F
1.67 Tentukan Y (Gunakan segitiga sebentuk) BCF BDE 2 .
5 2 .
5 1 .
67 DE
DE = Y = 1.67
AKTIVITI
7.3 Untuk memahirkan anda melakarkan gambarajah garis imbas, cuba
aktiviti-aktiviti berikut :- Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.
Arahan:
Berdasarkan kepada rasuk di bawah, lakarkan gambarajah garis imbas bagi momen lentur di titik C.
Soalan 1
C 2.5m
A B D
5m 5m
Soalan 2
C A D 4m
B
4m 8m
Soalan 3
C D A 2m B E
MAKLUM BALAS AKTIVITI 7.3 Adakah anda telah mencuba soalan- soalan di atas? Jika “YA” , sila semak dengan jawapan-jawapan di bawah. Jawapan Soalan 1
x = 0 (beban unit di A): Mc = 0 x= 2.5m (beban unit di C) : Mc = 1.25 x = 5m (beban unit di B) : Mc = 0 x = 10m (beban unit di D): Mc = -2.5
Jawapan Soalan 2
x = 0 (beban unit di A): Mc = 0 x= 4m (beban unit di C) : Mc = 2.0 x = 8m (beban unit di B) : Mc = 0 x = 12m (beban unit di D): Mc = -2.0
Jawapan Soalan 3
x = 0 (beban unit di D): Mc = -1.0 x= 2m (beban unit di A) : Mc = 0 x = 6m (beban unit di C) : Mc = 1.0 x = 9m (beban unit di E): Mc = -0.5
PENILAIAN
KENDIRI
Anda telah sampai di penghujung Unit 7. Untuk menguji kefahaman anda cuba selesaikan soalan-soalan dalam ujian kendiri di bawah. Jika terdapat sebarang kemusykilan sila semak semula nota ataupun berjumpa terus dengan pensyarah “SELAMAT MENCUBA” Jawab setiap soalan dan kemudian semak dengan jawapan di halaman berikutnya.
Untuk setiap rasuk di bawah, lakarkan garis imbas sepertimana yang dikehendaki:- S1 (i). Daya tindakbalas di B
(ii). Daya riceh di C A C
B D 2.5m
2.5m 5m S2 (i). Daya riceh di C
(ii). Momen lentur di C C B
A D 4m 4m 4m S3 (i). Daya tindakbalas di B
(ii). Daya tindakbalas di D (iii). Daya riceh di C
(iv). Momen lentur di C
MAKLUM BALAS Sila semak jawapan yang anda perolehi dengan jawapan di bawah. Jawapan Soalan 1
i. bila x = 0, R = 0 ii. bila x = 0, V = 0
B C
bila x = 5m, R = 1.0 bila x = 2.5m, V = -0.5
B C
bila x = 10m, R B = 2.0 bila x = 2.5m, V C = 0.5 bila x = 5m, V C = 0 bila x = 10m, V C = -1.0
( jarak x diambil dari A) Jawapan Soalan 2
i. bila x = 0, V C = 0 ii. bila x = 0, M C = 0 bila x = 4m, V C = -0.5 bila x = 4m, M C = 2.0 bila x = 4m, V = +0.5 bila x = 8m, M = 0
C C
bila x = 8m, V C = 0 bila x = 12m, M C = -2.0 bila x = 12m, V C = -0.5
(jarak x di ambil dari A) Jawapan Soalan 3
i. bila x = 0, R B = 1.5 ii. bila x = 0, R D = -0.5 bila x = 2m, R B = 1.0 bila x = 2m, R D = 0 bila x = 6m, R B = 0 bila x = 6m, R D = 1.0 bila x = 7m, R = -0.25 bila x = 7m, R = 1.25
B D
iii. bila x = 0, V C = 0.5 bila x = 2m, V C = 0 bila x = 4m, V C = -0.5 bila x = 4m, V = 0.5
C bila x = 6m, V C = 0.
bila x = 7m , V C = -0.25 iv. bila x = 0, M C = 0.5 bila x = 2m, M = 0
C