KALDIF 2.4 PENDAHULUAN LIMIT
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
2.4. PENDAHULUAN LIMIT
2 2 − −1
=
−1
0
�
=
0
Perhatikan : �
Untuk = 1
(Dgn kata lain, �
tidak terdefinisi di
Akan tetapi, bgm nilai �
Perhatikan :
�
tdk terdefinisi
0,8 0,9 0,99 0,999
2,6 2,8 2,98 2,998
Dapat dilihat bahwa :
“�
mendekati 3 jika
jika
mendekati 1 ?
1
?
1,001 1,01 1,1 1,2
3,002 3,02 3,2 3,4
mendekati 1, tetapi
Hal ini dapat dinyatakan dgn:
2 2 − −1
�
=3
−1
→1
Grafik �
=
2 2 − −1
−1
= 2 + 1, dgn
= 1)
≠ 1”
(Baca?)
adalah grafik kesamaan
≠ 1.
1
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
y
3
1
x
-2
2
1
-1
Dgn sedikit alajabar, kita dapat mencari nilai limit
� :
2 2− −1
2 +1
−1
�
�
=
→1
→1
−1
−1
�
2 + 1 = 2.1 + 1 = 3
=
→1
Knp boleh dicoret?
→ krn sdh ada jaminan �
→ 1 (yg berarti
hanya mendekati 1, bukan berarti = 1).
Contoh 1 :
�
→2
2 −4
−2
=?
(Bilamana dekat 2, maka
24
−2
dekat ke 4)
2
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
�
→2
Contoh 2 :
=
=
Contoh 3 :
�
→2
+4 −2 4
3 −6 2
+4
−2 2
9 −2 2
�
→2
+4
2+4
6
=
=
9
9
9
�
→1
y
3
1
x
-2
Diperoleh,
Kesimpulan?
�
�
−
→1
-1
1
2
= 0 dan
�
�
+
→1
=1
→ Bilamana suatu fungsi terdapat lompatan, mk
limit tidak ada pd setiap lompatan tsb. Dgn
demikian, diperkenalkan limit kiri & kanan.
3
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
DEFINISI (Limit Sepihak)
�
= � , berarti jika dekat tetapi pd
−�
→
sebelah kiri maka �
mendekati �.
�
= � , berarti jika dekat tetapi pd
+�
→
sebelah kanan maka �
mendekati �.
Teorema
�
�
→
Contoh 1:
=� � � ⟺
�
→
Diketahui : �
−�
=�=
�
→
+
�
−1 , utk < −1
= 2 + 1 , utk − 1
2
, utk > 2
2
�
�
ada? Jika ya, tentukan
→ −1
nilai & sketsakan grafiknya.
Apakah
4
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
Soal :
1.
Tentukan
2. Diketahui
�
=
�
→0
& sketsakan grafiknya.
1−
1−
, utk
−1
2
, utk − 1 <
1
, utk 1 < < 4
1 + 4 , utk
4
Tentukan:
�
i.
�
→1
�
ii.
�
→4
iii. Sketsa grafiknya.
5
[email protected]
2.4. PENDAHULUAN LIMIT
2 2 − −1
=
−1
0
�
=
0
Perhatikan : �
Untuk = 1
(Dgn kata lain, �
tidak terdefinisi di
Akan tetapi, bgm nilai �
Perhatikan :
�
tdk terdefinisi
0,8 0,9 0,99 0,999
2,6 2,8 2,98 2,998
Dapat dilihat bahwa :
“�
mendekati 3 jika
jika
mendekati 1 ?
1
?
1,001 1,01 1,1 1,2
3,002 3,02 3,2 3,4
mendekati 1, tetapi
Hal ini dapat dinyatakan dgn:
2 2 − −1
�
=3
−1
→1
Grafik �
=
2 2 − −1
−1
= 2 + 1, dgn
= 1)
≠ 1”
(Baca?)
adalah grafik kesamaan
≠ 1.
1
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
y
3
1
x
-2
2
1
-1
Dgn sedikit alajabar, kita dapat mencari nilai limit
� :
2 2− −1
2 +1
−1
�
�
=
→1
→1
−1
−1
�
2 + 1 = 2.1 + 1 = 3
=
→1
Knp boleh dicoret?
→ krn sdh ada jaminan �
→ 1 (yg berarti
hanya mendekati 1, bukan berarti = 1).
Contoh 1 :
�
→2
2 −4
−2
=?
(Bilamana dekat 2, maka
24
−2
dekat ke 4)
2
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
�
→2
Contoh 2 :
=
=
Contoh 3 :
�
→2
+4 −2 4
3 −6 2
+4
−2 2
9 −2 2
�
→2
+4
2+4
6
=
=
9
9
9
�
→1
y
3
1
x
-2
Diperoleh,
Kesimpulan?
�
�
−
→1
-1
1
2
= 0 dan
�
�
+
→1
=1
→ Bilamana suatu fungsi terdapat lompatan, mk
limit tidak ada pd setiap lompatan tsb. Dgn
demikian, diperkenalkan limit kiri & kanan.
3
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
DEFINISI (Limit Sepihak)
�
= � , berarti jika dekat tetapi pd
−�
→
sebelah kiri maka �
mendekati �.
�
= � , berarti jika dekat tetapi pd
+�
→
sebelah kanan maka �
mendekati �.
Teorema
�
�
→
Contoh 1:
=� � � ⟺
�
→
Diketahui : �
−�
=�=
�
→
+
�
−1 , utk < −1
= 2 + 1 , utk − 1
2
, utk > 2
2
�
�
ada? Jika ya, tentukan
→ −1
nilai & sketsakan grafiknya.
Apakah
4
[email protected]
Kalkulus Differensial – Nur Insani 2012
Soal :
1.
Tentukan
2. Diketahui
�
=
�
→0
& sketsakan grafiknya.
1−
1−
, utk
−1
2
, utk − 1 <
1
, utk 1 < < 4
1 + 4 , utk
4
Tentukan:
�
i.
�
→1
�
ii.
�
→4
iii. Sketsa grafiknya.
5
[email protected]