bab 4 persamaan diferensial tingkat satu derajat n
BAB IV
PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TI NGGI (1-n)
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara faktorisasi.
2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan y f(x,p).
3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan x f(y,p).
4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan diferensial Clairut.
Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi, antara lain tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang meliputi: cara faktorisasi, metode persamaan berbentuk y f(x,p), metode persamaan berbentuk
) , (y p f
x dan metode persamaan diferensial Clairut.
4.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Tingkat Satu Derajat Tinggi
Persamaan tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang ditulis dalam bentuk:
0
)
,
(
)
,
(
x
y
dx
N
x
y
dy
M
(2)
Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain, yakni ) , ( ) , ( y x N y x M dx dy
f(x,y)
dx dy 0 ) , (
f x y
dx dy
Sehingga dalam bentuk yang paling sederhana persamaan diferensial
tingkat satu derajat satu secara implisit dinyatakan dengan , , 0 dx dy y x f ,
Secara lengkap telah dibahas pada bab II. Dengan memisalkan p dx dy
maka bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu drajat satu dapat dinyatakan secara implisit f(x,y,p)0. Jika p berpangkat lebih dari satu maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi atau persamaan tingkat satu derajat n.
Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu derajat-n dinyatakan dengan: 0 ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( 1 2 2 1
1
y x P dx dy y x P dx dy y x P dx dy y x P dx dy y x
P n n
n n
n
o
dengan memisalkan p dx dy
, maka bentuk di atas dapat dinyatakan dengan
0 ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) ,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
P n n
n n
n o
atau secara implisit dinyatakan
, , , 2, 3,.... 1,
0 n n
p p p p p y x f Contoh:
1. ( 2 1) ( 2 2 ) 2 0
2 3 4 dx dy xy dx dy xy y x dx dy y x dx dy ....(1-4) 0 2 ) 2 2 ( ) 1 2
( 3 2
4
(3)
2. ( ) ( 2 2) ( 2 ) 0
2
xy x dx dy y xy x dx
dy
xy ...(1-2)
(xy)p2 (x2 xyy2)p(x2 xy)0
3. ( ) ( 2 2 ) ( 2 ) 0
2
2
y xy
dx dy y xy x x dx
dy x
x ...(1-2)
(x2 x)p2 (x2 x2xyy)p(y2 `xy)0
4.
4 2
2
dx dy x dx dy
y ...(1-4) y2px2p4
Persamaan tingkat satu derajat tinggi pada contoh di atas dapat ditentukan derajatnya. Persamaan pada contoh 1 dan 4 berderajat empat sedangkan contoh 2 dan 3 berderajat 2. Setelah ditentukan derajatnya, akhirnya dapat ditentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang diketahui.
4.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Satu Derajat Tinggi Persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang dinyatakan dalam bentuk f
x,y,p,p2,p3,....pn1,pn
0, selanjutnya dapat ditentukan selesaian umumnya setelah bentuk umum di atas dinyatakan dalam pemfaktoran yang paling sederhana. Bentuk pemfaktoran tersebut meliputi:1) Cara faktorisasi persamaan
2) persamaan diselesaikan ke bentuk y f(x,p) 3) persamaan diselesaikan ke bentuk x f(y,p) 4) metode persamaan diferensial Clairut.
1. Menyelesaikan Persamaan dengan Cara Faktorisasi
Metode ini dilakukan dengan memandang bentuk persamaan diferensial linear tingkat derajat tinggi
0 ) , ( )
, ( ... )
, ( )
, ( )
,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
(4)
ruas kiri sebagai polinomial dalam p. Karena polinomial maka dapat diselesaikan ke dalam n faktor real yaitu berbeda.
0 ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) ,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
Po n n n n n
1
2
3
... 1
0 p F p F p F p Fn p Fn
dimana F adalah fungsi dengan variabel x dan y. Dari bentuk di atas diperoleh
pF1
0,
pF2
0,
pF3
0,...,
pFn1
0,
pFn
0 ) , ( ), , ( ),.... , ( ), , ( ), ,( 2 3 1
1 x y p F x y p F x y p F x y p F x y
F
p n n
) , ( ), , ( ),...., , ( ), , ( ), ,
( 2 3 1
1 F x y
dx dy y x F dx dy y x F dx dy y x F dx dy y x F dx dy n n 0 ) , , ( ) , , ( )... , , ( ) , , ( ) , ,
( 2 3
1
f x y c f x y c f x y c fn x y c fn x y c
Sehingga selesaian umum persamaan diferensial linear
0 ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) ,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
Po n n n n n
adalah 0 ) , , ( ) , , ( )... , , ( ) , , ( ) , ,
( 2 3
1x y c f x y c f x y c f x y c f x y c
f n n
Setiap selesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk yang bervariasi sebelum digabungkan dalam perkalian.
Perhatikan contoh-contoh dibawah ini 1. Tentukan selesaian persamaan
0 2 ) 2 2 ( ) 1 2 ( 2 3 4 dx dy xy dx dy xy y x dx dy y x dx dy Jawab
Nyatakan persamaan dalam bentuk polinomial p, didapat 0 2 ) 2 2 ( ) 1 2
( 3 2
4
p x y p x y xy p xyp
0 ) 2 )( )( 1 (
p p p x p y
y p x p p
p0, 1, , 2 y dx dy x dx dy dx dy dx dy 2 , , 1 ,
0
(5)
Bentuk di atas, masing-masing adalah persamaan dengan variabel terpisah Selesaiannya (yc)0,(yxc)0,(2yx2 c),(yce2x)0
Sehingga selesaian umumnya
0 ) (
), 2
( , 0 ) (
, 0 )
(yc yxc yx2 c yce2x
atau dapat dinyatakan dengan
0 ) )(
2 )( )(
(yc yxc yx2 c yce2x
2. Tentukan selesaian persamaan
0 ) (
) 1 2 ( )
( 2
2
xy x dx
dy y
x dx
dy xy Jawab
Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial p, didapat: 0
) (
) 1 2 ( )
(xy p2 x y p x2 xy 0
) )(
(
xp x y yp x
Persamaan di atas dapat diselesaikan, dengan cara 1) (xpx y)0
( x y)0
dx dy x
y x
dx dy
x
( )
1
x y dx dy
(persamaan diferensial linear)
Selesaiannya adalah yeP(x)dx
Q(x)eP(x)dx2 0
2
1 2 2
x catau xy x c
yx
2) (ypx)0 ( x)0
dx dy
y (persamaan variabel terpisah) ydyxdx0
(6)
Selesaiannya y2 x2 c0
Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh selesaian umum persamaan
0 ) (
) 1 2 ( )
( 2
2
xy x dx
dy y
x dx
dy
xy adalah
0 ) )(
2
( xyx2 c y2 x2 c
3. Tentukan selesaian persamaan
0 ) (
) 2
( )
( 2 2
2
2
y xy
dx dy y xy x x dx
dy x x
Jawab
Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial, dan diperoleh: 0
) (
) 2
( )
(x2 x p2 x2 x xyy p y2 xy
( 1)
0 x p y xp x y
1)
0,
0 x p y xp x y
Persamaan di atas, diselesaikan masing-masing 1)
x1)py
0( 1) 0
y
dx dy
x (persamaan variabel terpisah)
0
) 1 (
x dx y
dy
Selesaiannya adalah ln y ln x1 c Atau yc(x1)0
2) xpx y0
y x
dx dy
x
1
x y dx dy
(persamaan linear)
(7)
Diperoleh yxlncx0
Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh selesaian umum persamaan
0 ) (
) 2
( )
( 2 2
2
2
y xy
dx dy y xy x x dx
dy x x
adalah
yc(x1)
(yxlncx)02.Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y f(x,p) Persamaan
0 ) , ( )
, ( ... )
, ( )
, ( )
,
( 2 1
2 1
1
y x P p y x P p
y x P p y x P p y x
Po n n n n n
diubah dalam bentuk y f(x,p)
Turunkan y = f(x,p) terhadap variabel x didapat
x p p f x f dx dy
x p p f x f p
0 ,
,
dx dp p x
f (persaman diferensial tingkat satu derajat satu)
Diperoleh primitif (x,p,c)0
Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara y f(x,p)dan (x,p,c)0, apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan 0
2
16x2 p2yp3x (PD Linear tingkat satu derajat tiga) Jawab
0 2
16x2 p2yp3x
2 2 3
16 2
p x x p
y
(8)
2 16 22
p x px
y
Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh
4 2 2
2 2
16 2
p
dx dp p x xp dx
dp x p dx dy
dx dp p
x p
x dx
dp x p p
3 2 2
32 32
2
dx dp x xp dx
dp xp p
p4 4 3 32 32 2
2
0 )
32 (
) 32
( 3 3
dx dp x p
x x p
p
3 32
0
dx dp x p x p
Persamaan ini dipenuhi jika (p332x) = 0 atau 0
dx dp x p
Dari bentuk 0
dx dp x
p diperoleh
x dx p dp
dan p = Kx, K R Substitusikan p = Kx ke persamaan 16x2 2p2y p3x0 diperoleh 16x2 2(Kx)y(Kx)3x0
atau 2c2yc3x2 0 Dengan mengganti K 2c
Faktor p3 32x0 tidak diperhatikan, karena tidak memuat dx dp
.
2. Tentukan selesaian persamaan 2
4 2px p x
y
Jawab
(9)
dx dp p x xp dx
dp x p dx
dy 4 3 2
4 2
2
dx dp p x xp dx
dp x p
p 2 2 4 4 3 2
0 4
2
2 4 3 2
dx dp p x xp dx
dp x p
1 2
02 3
p x
dx dp x p
Faktor
12p3x
0, diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari persamaan 02
dx dp x
p persamaan 2 0
p dp x
dx
diperoleh selesaian xp2 c.
Pada bentuk parameter diperoleh
2
p c
x , 2 c2
p c
y .
Hubungan yang terakhir didapat setelah
2
p c
x disubstitusi ke persamaan y 2px p4x2.
3. Tentukan selesaian persamaan 2
p yp
x
Jawab
p p x
y
Dengan menurunkan terhadap peubah x, diperoleh
dx dp p
dx dp x p y dx dy
2
3 ( 2) 0
dx dp p x p
p
dp dx
+
p p
x
3 = -
1 2
p p
(10)
Selesaiannya xeP(x)dx
Q(x)eP(x)dxdx Diperoleh
c p
p p
dp p
p x
1 ln
1
1 2
2 2
4. Tentukan selesaian persamaan 2
) 2
( p x p
y
Jawab
Turunkan persamaan terhadap x diperoleh
dx dp p x p dx
dy
) 2 (
2
p x dp dx
2 (persamaan diferensial linear)
Selesaianya xeP(x)dx
Q(x)eP(x)dxdxc e pe dp
x pe xe
p p p
p
2
2( ) 2 2 4 2Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh
2 2
2 , 8 (2 )
) 2 ( 2
p p
ce p p
y c ce p
x .
3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x f(y,p) Persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang berbentuk
0 ) , ( )
, ( ... )
, ( )
, ( )
,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
Po n n n n n
diubah dalam bentuk x f(y,p). Turunkan x f(y,p)terhadap variabel y didapat
dy dp p f y f dy dx
dy dp p f y f
p
1
(11)
0 ,
,
dy dp p y
F (persaman diferensial tingkat satu derajat satu)
selesaian
dy dp p y F
p , ,
1
untuk memperoleh primitif (x,p,c)0
Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara x f(y,p) dan (x,p,c)0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan
ysecara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh
1 Tentukan selesaian persamaan 0
4
2 2
3
y xyp p
Jawab
Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh
p y y p
x 4
2 2
Dengan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh
dy dp p
y p y
p dy dp y
p dy dx
2 2
2
1 4 2
2
2 2 4 22
1 2
y p p dy dp p
y y
p p
2
02 2 3
y p
dy dp y p
Integrasikan 2 0
dy dp y
p dan elimasikan di antara p2 Kydan
persamaan diferensial asal maka diperoleh 3
) 2 (
16yK K x dengan mengambil K 2c
2 Tentukan selesaian persamaan )
3 ( 4x py p2
(12)
Jawab.
Turunkan persamaan terhadap y diperoleh
dy dp p
y p
p dy dx
) 1 ( 3 ) 3 (
4 2 2
dy dp p
y p
p
p ( 3) 3 ( 1)
4 2 2
0 )
1 )( 4 (
) 1 ( 3
2 2
2
dp
p p
p p y
dy
(PD variabel terpisah)
Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh c p
p p
y ln 1 ln
5 3 2 ln 10
9 2 ln 10
9
ln 2
Maka
5 3 2 10
9 2
)
1
(
)
4
(
p
p
c
y
Substitusikan ke persamaan semula didapat
5 3 2 10
9 2
2
) 1 ( ) 4 (
) 3 ( 4
1
p p
p cp x
4.Persamaan Diferensial Clairut
Menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan metode persamaan diferensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y px f(p). Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y cx f(c)yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan c pada persamaan yang diketahui.
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan 2
4 p px
(13)
Selesaian umumnya adalah ycx 4c2
2. Tentukan selesaian persamaan 2
2 1 )
(y px p
Jawab
2 2
1 )
(y px p
2 1 p px
y
Selesaian umumnya
0 ) 1 )(
1
( 2 2
y cx c y cx c
2 2
1 )
(yc c
3. Tentukan selesaian persamaan 2
2 6 3px y p
y
Jawab
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut. Kalikan persamaan dengan y2 diperoleh y3 3y2px6y4p2
Gunakan transformasi v y3 maka
dx dy y dx
dv 2
3
, sehingga 2
4 2
3 3y px 6y p
y
2
3 2
dx dv dx
dv x
v
Selesaian umumnya 2
3 2
K Kx
v
2 3
3 2
K Kx
y
2 3
6 3cx c
(14)
4.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini 1) x2p2 xyp6y2 0
2) xp2 (y1x2)px(y1)0 3) xp2 2yp4x0
4) 3xp4 xpy0 5) 8yp2 2xpy0 6) y2p2 3pxy0 7) p2 xpy0
8) 10y3p2 4xpy0
9) xp5 yp4 (x2 1)p3 2xyp2 (x y2)p y0
10) xp2 ypy 0 11) p2 xpy0 12) y (1 p)x p2 13) y2p 1 p2
(15)
(1)
Selesaiannya xeP(x)dx
Q(x)eP(x)dxdx Diperoleh
c p p p dp p p x 1 ln 1 1 2 2 24. Tentukan selesaian persamaan 2
) 2
( p x p
y
Jawab
Turunkan persamaan terhadap x diperoleh
dx dp p x p dx dy ) 2 (
2
p x dp dx
2 (persamaan diferensial linear) Selesaianya xeP(x)dx
Q(x)eP(x)dxdxc e pe dp x pe xe p p p p
2
2( ) 2 2 4 2Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh 2 2
2 , 8 (2 )
) 2 ( 2 p p ce p p y c ce p
x .
3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x f(y,p) Persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang berbentuk
0 ) , ( ) , ( ... ) , ( ) , ( ) ,
(x y p P1 x y p 1P2 x y p 2 P1 x y pP x y
Po n n n n n
diubah dalam bentuk x f(y,p). Turunkan x f(y,p)terhadap variabel y didapat dy dp p f y f dy dx dp f f 1
(2)
0 , , dy dp p y
F (persaman diferensial tingkat satu derajat satu)
selesaian
dy dp p y F
p , ,
1
untuk memperoleh primitif (x,p,c)0
Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara x f(y,p) dan (x,p,c)0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan
ysecara terpisah sebagai fungsi parameter p.
Contoh
1 Tentukan selesaian persamaan 0
4
2 2
3
y xyp p
Jawab
Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh
p y y p x 4 2 2
Dengan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh dy dp p y p y p dy dp y p dy dx 2 2 2 1 4 2 2
2 2 4 22
1 2 y p p dy dp p y y p p
2
0 2 2 3
y p
dy dp y p
Integrasikan 2 0
dy dp y
p dan elimasikan di antara p2 Kydan persamaan diferensial asal maka diperoleh
3 ) 2 (
16yK K x dengan mengambil K 2c
(3)
Jawab.
Turunkan persamaan terhadap y diperoleh
dy dp p y p p dy dx ) 1 ( 3 ) 3 (
4 2 2
dy dp p y p p
p ( 3) 3 ( 1)
4 2 2
0 ) 1 )( 4 ( ) 1 ( 3 2 2 2 dp p p p p y dy
(PD variabel terpisah) Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh
c p
p p
y ln 1 ln
5 3 2 ln 10 9 2 ln 10 9
ln 2
Maka 5 3 2 10 9 2
)
1
(
)
4
(
p
p
c
y
Substitusikan ke persamaan semula didapat
5 3 2 10 9 2 2 ) 1 ( ) 4 ( ) 3 ( 4 1 p p p cp x
4.Persamaan Diferensial Clairut
Menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan metode persamaan diferensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y px f(p). Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y cx f(c)yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan c pada persamaan yang diketahui.
Contoh
1. Tentukan selesaian persamaan 2
4 p px
(4)
Selesaian umumnya adalah ycx 4c2
2. Tentukan selesaian persamaan 2
2 1 )
(y px p Jawab
2 2
1 )
(y px p 2 1 p px
y
Selesaian umumnya
0 ) 1 )(
1
( 2 2
y cx c y cx c
2 2
1 )
(yc c
3. Tentukan selesaian persamaan 2
2 6 3px y p
y
Jawab
Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut. Kalikan persamaan dengan y2 diperoleh y3 3y2px6y4p2 Gunakan transformasi v y3 maka
dx dy y dx
dv 2
3
, sehingga 2
4 2
3 3y px 6y p
y
2
3 2
dx dv dx
dv x
v
Selesaian umumnya 2
3 2
K Kx
v
2 3
3 2
K Kx
y
2 3
6 3cx c
(5)
4.3 Soal-soal
Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini 1) x2p2 xyp6y2 0
2) xp2 (y1x2)px(y1)0 3) xp2 2yp4x0
4) 3xp4 xpy0 5) 8yp2 2xpy0 6) y2p2 3pxy0 7) p2 xpy0
8) 10y3p2 4xpy0
9) xp5 yp4 (x2 1)p3 2xyp2 (x y2)p y0 10) xp2 ypy 0
11) p2 xpy0 12) y (1 p)x p2 13) y2p 1 p2 14) yp2 xp3y0
(6)