BARISAN DAN DERET 1 bilingual

(1)

(2)

Hal.: 2 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 2

Pola Barisan dan Deret Bilangan

Kompetensi Dasar :

Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika

Indikator :

1. Nilai suku ke- n suatu barisan aritmatika ditentukan menggunakan rumus

2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus

(3)

Hal.: 3 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 3

Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati speedometer pada motor tersebut?

Pada speedometer terdapat angka-angka 0,20, 40, 60, 80, 100, dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian

mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari

yang terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga

membentuk sebuah pola barisan

(4)

Hal.: 4 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 4

Bayangkan anda seorang penumpang taksi. Dia harus membayar biaya buka pintu Rp 15.000 dan argo Rp 2.500 /km.

15.000 17.500 20.000 22.500 …….

Buka pintu 1 km 2 km 3 km 4 km

(5)

Hal.: 5 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 5

NOTASI SIGMA

Konsep Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

………..

(1)

Pada bentuk (1)

Suku ke-

1 =

2 .

1 – 1

Suku ke-

2 =

3 =

2 .

2 – 1

Suku ke-

3 =

5 =

2 .

3 – 1

Suku ke-

4 =

7 =

2 .

4 – 1

Suku ke-

5 =

9 =

2 .

5 – 1

Suku ke-

6 =

11 =

2 .

6 – 1

Secara umum suku ke-

k

pada (1) dapat dinyatakan

dalam bentuk

2 k

– 1,

k



{

1, 2, 3, 4, 5, 6

}

(6)

Hal.: 6 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 6

NOTASI SIGMA

Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat

ditulis :







6 1 k

1)

-(2k

11

9

7

5

3

(7)

Hal.: 7 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 7

Bentuk







6

1 )

1

2 (

k

dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”

atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”

1 disebut batas bawah dan

6 disebut batas atas,

k dinamakan indeks

(ada yang menyebut variabel)







9

4 )

1 )

3 (

2 (

k

_





9

4 )

7

2 (

k

NOTASI SIGMA

(8)

Hal.: 8 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 8

NOTASI SIGMA

(9)

Hal.: 9 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 9

Nyatakan dalam bentuk sigma

1. a + a

b + a

b

+ a

b

+ … + a

b





 10 1 k

)

1 k

b

k

(a

)

1

4

2 (

)

1

3

2 (

)

1

2 (

)

1

2 (

)

1

2 (

4 1























 k

k

Contoh:

24

9

7

5

3 



Hitung nilai dari:

(10)

Hal.: 10 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 10

NOTASI SIGMA

n

1 n

_C

_b

ab

C

...

b

a

C

b

a

C

b

a

C

a



₁n n  1



n₂ n 2 2



n₃ n  3 3



n_n_ ₁











n

0 r

n

r

a

b

C

(11)

Hal.: 11 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 11

Sifat-sifat Notasi Sigma :

, Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n

.

...

.

1

₁ ₂ ₃

1 n n k

a

ak











 



n m k n m k

ak

C

Cak

.

2 

  







n m k n m k n m k

bk

ak

bk

ak

)

(

.

3 

     p n p m k n m k p ak ak . 4 C m n C n m k ) 1 ( .



  





   





n m k n p k p m k

ak

.

6

0 .

7 



  m m k

ak

NOTASI SIGMA

(12)

Hal.: 12 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 12

NOTASI SIGMA

Contoh1:

Tunjukkan bahwa

Jawab :



 







3 1 3 1

)

2

4 (

)

2

4 (

j k

j

i

30 )

3 .

4 (

)

2 .

4 (

)

2

1 .

4 (

)

2

4 (

3 1











 i

i

30 )

2

3 .

4 (

)

2 .

4 (

)

2

1 .

4 (

)

2

4 (

3 1











 j

j

(13)

Hal.: 13 BARISAN DAN DERET Adaptif Hal.: 13

NOTASI SIGMA



 



6 4 2 3 1 2

₆

6

k k

k



   





6 1 2 6 1 2 6 4 2 3 1

₆

6

k k k k

k

Hitung nilai dari

Contoh 2 :

Jawab:

= 6 (12 ₊₂2_{+ 3}2_{+ 4}2 _{+ 5}2_{+ 6}2₎

= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 6.91 = 546

(14)

Hal.: 14 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 14

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

 _{Bilangan-bilangan berurutan seperti pada speedometer memiliki selisih yang} sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan

 _{Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda)} dua suku yang berurutan selalu tetap

Bentuk Umum :

U1, U2, U3, …., Un

a, a + b, a + 2b,…., a + (n-1)b

(15)

Hal.: 15 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 15

(16)

Hal.: 16 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 16

(17)

Hal.: 17 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 17

(18)

Hal.: 18 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 18

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang

berurutan selalu tetap.

Ada selembar kertas biru, akan dipotong-potong menjadi dua bagian.

(19)

Hal.: 19 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 19

(20)

Hal.: 20 BARISAN DAN DERET Adaptif Hal.: 20

(21)

Hal.: 21 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 21

Suku ke-n barisan Geometri adalah :

(22)

Hal.: 22 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 22

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Hubungan suku-suku barisan geometri

Seperti dalam barisan Aritmatika hubungan antara suku

yang satu dan suku yang lain dalam barisan geometri dapat dijelaskan sebagai berikut:

Ambil U12 sebagai contoh :

U₁₂= a.r11

U₁₂= a.r9_.r2 _{= U}

10. r2

U₁₂= a.r8_.r3 _{= U} 9. r3

U₁₂= a.r4_.r7_{= U} 5. r7

U₁₂ = a.r3_.r8_{= U} 4.r8

Secara umum dapat dirumuskan bahwa :

(23)

Hal.: 23 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 23

(24)

Hal.: 24 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 24

(25)

Hal.: 25 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 25

Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga.

Jika deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 , maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).

Untuk n = ∞ , rn mendekati 0

Sehingga S∞ =

Dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga

a = Suku pertama r = rasio

Jika r < -1 atau r > 1 , maka deret geometri tak hingganya akan divergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas

Deret Geometri tak hingga

r a



r

a

Sn





1 )

1 (

(26)

Hal.: 26 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 26

1. Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 +

… . .

Contoh :

3

1

2 3 1

_



u

r

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

27 3

2 18 3

1 1

1  _   



r a s

Jawab :

a = 18 ;

(27)

Hal.: 27 BARISAN DAN DERET Adaptif

Hal.: 27

2. Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari lantai, bola mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti ?

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Lihat gambar di samping!

Bola dijatuhkan dari A, maka AB dilalui satu kali, selanjutnya CD, EF dan seterusnya dilalui dua kali. Lintasannya membentuk deret geometri dengan a = 3 dan r = ¾

Panjang lintasan = 2 S_∞ - a

2 4 1 2 2 2 4 3 1 2 2 1 2                                       a r a = 14 Jadi panjang lintasan yang dilalui bola adalah14 m

(28)

Hal.: 28 BARISAN DAN DERET Adaptif

(1)

Hal.: 23

BARISAN DAN DERET

Adaptif

Hal.: 23

(2)

Hal.: 24

BARISAN DAN DERET

Adaptif

Hal.: 24

(3)

Hal.: 25

BARISAN DAN DERET

Adaptif

Hal.: 25

Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga.

Jika deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 , maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).

Untuk n = ∞ , rn mendekati 0

Sehingga S∞ =

Dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga

a = Suku pertama r = rasio

Jika r < -1 atau r > 1 , maka deret geometri tak hingganya akan divergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas

Deret Geometri tak hingga

r

a



1

r

a

Sn





1 )

1 (

(4)

Hal.: 26

BARISAN DAN DERET

Adaptif

Hal.: 26

1. Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 +

… . .

Contoh :

3

1

2 3 1

_



u

r

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

27

3

2

18

3

1

18

1 



_





r

a

s

Jawab :

a = 18 ;

(5)

Hal.: 27

BARISAN DAN DERET

Adaptif

Hal.: 27

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Lihat gambar di samping!

Bola dijatuhkan dari A, maka AB dilalui satu kali, selanjutnya CD, EF dan seterusnya dilalui dua kali. Lintasannya membentuk deret geometri dengan a = 3 dan r = ¾

Panjang lintasan = 2 S_∞ - a

2 4 1 2 2 2 4 3 1 2 2 1 2                                       a r a = 14 Jadi panjang lintasan yang dilalui bola adalah14 m

(6)

Hal.: 28

BARISAN DAN DERET

Adaptif