TOPIK 1 BARISAN DAN DERET

PEMBAHASAN SOAL BABAK FINAL TINGKAT SMK

TOPIK 1 BARISAN DAN DERET

OLEH
GEDE DENY WILYARTA (0048)
SMK NEGERI BALI MANDARA

UNMAS MATHEMATICS COMPETITION VIII
TAHUN 2016

0

TOPIK 1
BARISAN DAN DERET
Menjelaskan tentang:
a. Pembuktian mengenai rumus dari jumlah n suku pertama deret geometri
(Sn) adalah :

Sn=

a ( 1−r n )
a ( r n −1 )
atau S n =
1−r
r−1

u1 , u2 , u 3 , …, u n

Jika

u1 +u 2 +u3 +…+ un

adalah

barisan

geometri

adalah deret geometri dimana un =ar

n−1

maka
adalah

suku ke-n dari deret tersebut.
b. Contoh penggunaan rumus berupa soal dan pembahasan sesuai dengan
topik barisan dan deret di atas.
Pembahasan:
a. Pembuktian
2

2

3

3

n

a , ar , ar , ar , …, ar , dengan −1>r>1

Misalkan sebuah deret

dan

n

a, ar , ar , ar , …, ar , dengan −1< x r > 1
Kita kurangkan r.Sn dengan Sn

1

r . S n− S n =a ( r +r 2 +3 +r 4 +…+ r n ) − a ( 1+r + r 2 +r 3 +… r n−1 )
S n ( r −1 )=a ( r+ r 2 +3 +r 4 +…+r n )− a ( 1+r +r 2 + r 3 +…r n−1 )
S n ( r −1 )=a ( ( r +r 2 +3 +r 4 +…+r n ) −( 1+r +r 2 +r 3 +…r n−1 ) )
S n ( r −1 )=a (−1+r −r +r 2 −r 2 + r 3 −r 3 +…+ r n )
S n ( r −1 )=a ( r n−1 −1 ) [ dengan pemfaktoran ]
Sn=


a ( r n−1 −1 )
[ pindahkan r n−1−1 ke ruas kanan
r−1

]

Untuk -1 < r < 1
Kita kurangkan Sn dengan r.Sn

S n − r . S n =a ( 1+r +r 2 +r 3 +…r n−1 ) −a ( r +r 2 +3 +r 4 +…+ r n )
S n ( 1−r )=a ( 1+r + r 2 +r 3 +… r n−1 )−a ( r+ r 2 +3 +r 4 +…+r n )
S n ( 1−r )=a ( ( 1+r +r 2 + r 3 +…r n−1 )− ( r +r 2 +3 +r 4 +…+r n ) )
S n ( 1−r )=a ( 1−r +r −r 2 +r 2−r 3 +r 3 −…−r n )
S n ( 1−r )=a ( 1−r n ) [ dengan pemfaktoran ]
S n=

a ( 1−r n )
[ pindahkan 1−r ke ruas kanan ]
1−r

(Terbukti).

b. Contoh Soal
1. Seorang anak memiliki kebiasaan ketika melihat tali ia akan memotongnya
menjadi 3 bagian yang sama panjang, lalu 1 bagian dari 3 bagian tersebut
akan dibagi lagi menjadi 3, dan begitu seterusnya. Pada suatu hari ia
menemukan sehelai tali lalu ia memotongnya tanpa menghitung berapa
panjang tali mula-mula. Apabila diketahui ia memotong sebanyak 363 kali
dan diketahui panjang potongan kecil tali pada akhir pemotongan adalah 7
cm. Berapakah panjang tali mula-mula?
2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter. Setelah menyentuh lantai

bola akan memantul

1
2

kali dari ketinggian bola itu sebelumnya.

Berapakah panjang lintasan gerak bola tersebut tepat pada pantulan ke-10?

Jawab:
1. Kita harus menganalisis pola pemotongan yang dilakukan.

2



Panjang tali awal sebelum dipotong adalah a



Untuk memotong menjadi 3 bagian sama panjang itu membutuhkan 3 kali
pemotongan (pemotongan tahap pertama)



Untuk memotong ketiga bagian tali yang sama panjang itu membutuhkan
9 kali pemotongan (pemotongan tahap kedua)

Maka kita dapat pola banyaknya pemotongan yang anak itu lakukan yaitu

3, 9,27 , 81, 243, dst.
a=3
un
9
r=
= =3
u n−1 3
S n =363
a( r n −1) 3(3n −1)
S n=
=
r−1
3−1
n+1
3 −3
363=
2
n+1
726=3 −3

n+1
3 =726+3
3n+1 =729
n+1 =3 log 729
n+1=6
n=6−1
n=5
Maka pemotongannya terjadi dalam 5 tahap yaitu

3, 9,27 , 81, 243 . Tahap

kelima akan membuat tali tersebut menjadi 243 bagian sama panjang. Karena
panjang potongan tali pada akhir pemotongan yaitu 7 cm maka panjang tali
mula-mula adalah 243×7=1501 cm .
2. Dalam kasus ini lintasan gerak bola tersebut terdiri dari 2 deret geometri yaitu
deret gerak jatuh bola tersebut dan gerak naik bola tersebut. Maka deret gerak
bola jatuh akan terdiri dari 10 suku dan gerak bola naik terdiri dari 9 suku.

3

2

Deret lintasan gerak bola jatuh adalah

9

() ()

2

Deret gerak bola naik adalah

3

1
1
1
1
2, . 2,
. 2,

. 2, …,
.2
2
2
2
2
.
3

()

8

1
1
1
1
1, .1,
.1,
. 1, …,

.1
2
2
2
2
. Maka

() ()

()

panjang lintasannya adalah sebagai berikut.

a ( 1−r n )
1
, diketahui r=
1−r
2
1
1 2
1 3
1
2+ . 2+
. 2+
.2+…+
2
2
2
2

Sn =

[

( ) ( ) ( ) ][
() ()
2 1−( )
( 12 ) +1(1−(12 ) ) =2(1−11024 ) +1(1−1512 )
10

10

1
1 2
1 3
1 9
. 2 + 1+ .1+
. 1+
. 1+ …,+
.1
2
2
2
2

9

1
1
1
1
1−
2
2
2
2
1023
511
1023
511
2
1
1024
512
512
512
+
=
+
1
1
1
1
2
2
2
2
1023
511 2046 1022 3068
2
+2
=
+
=
=5 . 99 m
512
512 512 512 512
1−

( ) ( )( )( )
( ) ( )

4

()

]