Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi
Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi
Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh
konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu
periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen,
harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling
berhubungan dan selera konsumen
Bentuk Umum Fungsi Permintaan :
Q = a – bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q
(quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan
yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah
yang diminta akan bertambah.
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh
produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode
tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia,
harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan
dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang
Bentuk Umum :
Q = -a + bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q
(quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,
hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan
apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.
Keseimbangan Pasar
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila
jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.
Syarat Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Contoh Soal :
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya adalah
Qs = – 4 + 9P
a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?
b. Tunjukkan secara geometri !
Jawab :
a.) Keseimbangan pasar :
Qd = Qs
10 – 5 P
= – 4 + 9P
14P
= 14
P
=
1 ≡ Pe
Q = 10 – 5P
Q = 5
≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas
produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak
sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang
yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat
digambarkan sebagai berikut.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran
bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak
persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t
Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe‘ – Pe
Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tk
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qe‘
Contoh soal :
Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaran
P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
1. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
2. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
3. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?
Jawab :
1. Keseimbangan pasar sebelum pajak
Qd = Qs
7 + Q = 16 – 2Q
P = 7+Q
3Q
= 9
P = 7+3
Qe = 3
Pe = 10
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
Keseimbangan pasar sesudah pajak
Fungsi penawaran menjadi :
P = 16 – 2Q + t
= 16 – 2Q + 3
= 19 – 2Q
Os = Qd
19 – 2Q = 7 + Q
3Q = 12
Qe‘ = 4
P = 19 – 2Q
= 19 – 8
Pe‘ = 11
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 4,11 )
1. T
= t x Qe‘
= 3.4
= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )
1. tk = Pe‘ – Pe
= 11 – 10
= 1 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 1,- )
tp = t – tk
= 3–1
= 2 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 2,- )
Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang
tersebut menjadi lebih rendah.
Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga
keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan
penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘
Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Qe‘
Contoh Soal :
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan penawarannya Qs
= -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.
a. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d. Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab ;
a.) Keseimbangan pasar sebelum subsidi
Qd = Qs Q = 12 – 2P
12 – 2P = -4 + 2P
= 12 – 8
P
= 16
Qe = 4
Pe = 4
( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))
b.) Keseimbangan pasar sesudah subsidi :
Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6
Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2
Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadi
P = ½Q+2–2
P = ½Q
Sehingga Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi :
-½Q+6 = ½Q
Qe‘ = 6
P = ½Q
Pe‘ = 3
( Keseimbangan pasar setelah subsidi E’ = ( 6, 3 ) )
c.) sk = Pe – Pe‘
sp = s – sk
= 4–3
= 2–1
= 1
= 1
(Besar subsidi untuk konsumen Rp. 1,- ) ( Besar subsidi untuk produsen = Rp. 1,- )
d.) Subsidi yang diberikan pemerintah
S = s x Qe‘
= 2.6
= 12
Fungsi Penawaran Khusus
Fungsi penawaran yang normal adalah mempunyai kemiringan positif.Sedangkan fungsi
penawaran khusus adalah fungsi penawaran yang mempunyai kemiringan nol dan tak
terhingga, seperti juga pada fungsi permintaan.Fungsi penawaran seperti ini deapat dilihat
pada gambar 6.
1. Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk
Setelah kita mempelajari fungsi permintaan dan fungsi penawaran, maka sekarang kita akan
menganalisis interaksinya untuk memperoleh keseimbangan pasar. Interaksi fungsi
permintaan Q = a – bP dan fungsi penawaran Q = a + bP sering disebut keseimbangan
pasar satu macam produk. Karena baik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran hanya
mempunyai satu variabel bebas.
Keseimbangan pasar ini akan menciptakan harga dan jumlah keseimbangan di pasar. Syarat
untuk mencapai keseimbangan pasar ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen
harus sama dengan jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen (Qd = Qs), atau harga
produk yang diminta sama dengan harga produk yang ditawarkan (Pd = Ps). keseimbangan
pasar secara aljabar dapat diperoleh dengan mengerjakan system persamaan linier antara
fungsi permintaan dan fungsi penawaran secara serentak (simultan). Sedangkan secara
geometri ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dengan kurva
penawaran.Hal ini ditunjukkan oleh pada gambar 7.
di mana: Qd
= Jumlah produk yang diminta
Qs = Jumlah produk yang ditawar
E = Keseimbangan pasar
Qe = Jumlah keseimbangan
Pe = Harga keseimbangan
Perhatikan bahwa pada gambar 7 perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran
terjadi pada kuadran I. Hal ini mempunyai arti ekonomi, karena baik harga maupun jumlah
keseimbangan mempunyai nilai positif. Namun adakalanya bisa terjadi perpotongan antara
kurva permintaan dan kurva penawaran tetapi bukan di kuadran I. Hal ini tentunya tidak
mempunyai arti ekonomi (lihat gambar 8).Karena salah satu variabel, yaitu jumlah
keseimbangan pasar (Qe) mempunyai nilai negatif.
Contoh 3
Fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditiunjukkan oleh persamaan berikut:
Qd = 6 – 0,75P
Qs = -5 +2P
Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasara?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P
-2,75P = -11
P=4
Untuk memperoleh nilai P = 4 ke dalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran
sehingga,
Q = 6 – 0,75(4)
Q=6–3
Q=3
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3, 4).
Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75P.
Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6, 0)
Jika Q = 0, maka P= 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, 8)
Untuk fungsi penawaran Q = -5 + 2P.
Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5, 0)
Jika Q = 0, maka P= 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, )
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh gambar 9.
Contoh 4
Fungsi permintaan suatu ditunjukkan oleh Pd = 6 – 2Q dan gungsi penawaran adalah Ps = 12
+ Q,
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian
1. Syarat keseimbangan pasar Pd = ps
Bila Pd = ps, maka
-3Q
=
6
Q
=
-2
6-2Q
=
12+Q
Untuk memperoleh nilai P subtitusikan nilai Q = -2 ke dalam salah satu persamaan
permintaan atau penawaran sehingga,
P
=
6 – 2 (- 2)
P
=
6+4
P
=
10
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E (-2, 10).
1. Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan P = 6 – 2Q
Jika Q = 0 maka P = 6, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,6)
Jika, P =0 maka Q = -12 sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-12,0)
Grafik keseimbangan pasar yang tidak mempunyai arti ekonomi ini ditunjukan oleh gambar
10
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK
Interaksi antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sub bab sebelumnya
menyatakan bahwa jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan akan suatu produk
hanya dipengaruhi oleh harga produk itu sendiri. Tetapi sekarang kita akan memperluas
fungsi permintaan dan fungsi penawaran menjadi fungsi yang mempunyai dua variabel bebas.
Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan
adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubngan.
Misalkan ada dua macam produk X dan Y yang saling berhubungan dimana Qdx adalah
jumlah yang diminta untuk produk X ; Qdy adalah jumlah yang diminta untuk produk Y; Px
adalah harga barang X; dan Py adalah harga barang Y, maka fungsi permintaan untuk kedua
produk tersebut dapat ditulis menjadi
Qdx=a0-a1Px+a2Py
Qdy=b0-b1Px+b2Py
sedangkan fungsi penawaran untuk kedua produk tersebut dapat ditulis menjadi,
Qsx=-m0+m1Px+m2Py
Qsy=-n0+n1Px+n2Py
Dimana :
Qdx = jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px = harga produk X
Py = harga produk Y
A0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta
Keseimbangan pasara akan terjadi apabila jumlah yang diminta dari produk X sama dengan
jumlah yang ditawarkan dari produ X atau (Qdx = Qsx) ; dan jumlah yang diminta dari produk
Y sama dengn jumlah yang ditawarkan dari produk Y atau (Qdy = Qsy).
Harga dan jumlah keseimbangan dapat diperoleh dengan pemecahan keempat persamaan
linier diatas. Tahap pertama dalam pemecahan ini kita harus menghilangkan variabel Qdx dan
Qsx dengan cara eliminasi pada persamaan 7 dan 9. Tabap kedua, menghilangkann variabel
Qdy dan Qsy dengan cara yang sama, yatu persamaan 8 dan 10. Tahap selanjutnya, kita
kombinasikan hasil dari tahab pertama dan tahap kedua untuk memperoleh nilai-nilai dari
variabel Px dan Py. Tahap terakhir, subtitusikan nilai Px dan Py pada fungsi permintaan produk
X dan fungsi permintaan produk Y atau pada fungsi penawaran produk X dan fungsi
penawaran produk y untuk memperoleh nilai Qx dan Qy. Contoh
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai
hubungan subtitusi sebagai berikut:
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qdy = 6 + Px – Py
Dan
Qsx = -5 + 4Px – Py
Qsy = -4 – Px + 3Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Peenyelesaian
Gunakanlah syarat keseimbangan pasar, kemudian selesaikan persamaan 11 dan 13 serta
persamaan 12 dan 14 dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga dipeeroleh:
Qdx = Qsx
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qsx = -5 + 4Px – Py
0 = 10 – 6Px + 2Py
Qdy = Qsy
Qdy
= 6 + Px – Py
Qsy
= -4 – Px + 3Py
=10 + 2Px – 3Py
Persamaan 15 dan 16 dikerjakan lagi secara eliminasi, diperoleh:
0= 10 – 6Px + 2Py 0
= 20 – 12Px + 4Py
0=10 + 2Px – 3Py 0
= 10 + 2Px – 4Py
0
= 30 – 10Px + 0
106Px = 30
Px
=3
Subtitusikan nilai Px
2Py = 6Px – 10
2Py = 6(3) – 10
= 3 kedalam persamaan 15 untuk memperoleh nilai Py.
2Py = 8
Py = 4
Subtitusikan nilai Px
= 3 dan nilai Py = 4 kedalam persamaan 11 dan 12 untuk
memperoleh nilai Qx dan Qy
Qx = 5 – 2(3) + 4 = 3; dan Qy = 6 + 3 – 4 = 5
Jadi nilai Qx=3; Qy=5; Px=3; dan Py=4
1. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda
Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dalam
ekonomi makro dialokasikan ke dua kategori penggunaan yaitu penggunaan konsumsi dan
ditabung, Jika dimisalkan Y = pendapatan nasional, C = konsumsi, dan S=tabungan maka
persamaannya adalah,
Y=C+S
Konsumsi dan tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linier
dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Jadi
apabila semakin besar pendapatan maka konsumsi dan tabungan juga akan semakin besar, hal
tersebut berlaku pula untuk kebalikkannya.
1.1. Fungsi Konsumsi
Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional, yang
secara umum dirumuskan sebagai berikut,
C = f(Y) = Co + cY
Keterangan,
Co
: konsumsi otonom
C
: MPC = …C/…Y
konstanta Co menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional
sebesar nol (mencerminkan konsumsi nasional minimum/autonomous consumption,
konsumsi otonom) yang pasti harus tersedia walaupun pendapatan nasional nihil. Secara
grafik Co merupakan penggal kurva konsumsi pada sumbu vertikal C. Koefisien “c”
mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan
nasional. Dalam bahasa ekonomi “c” adalah Marginal Propensity Consume.
1.2. Fungsi Tabungan
Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional yang
secara umum bentuk persamaannya adalah sebagai berikut,
S = g(Y) = So + sY
Keterangan,
So
: tabungan otonom
s
: MPS = …S/…Y
konstanta So menunjukkan besarnya tabungan otonom (autonomous saving) merupakan
penggal kurva tabungan pada sumbu vertikal S. Koefisien “s” adalah Marginal Propensity to
Save merupakan lereng dari kurva tabungan.
Kurva konsumsi dan tabungan dapat digambarkan secara bersama-sama pada sistem
sumbu silang seperti di bawah ini,
Garis bantu Y = C + S yang membentuk sudut 45 0 merupakan penjumlahan grafik kurva C
dan kurva S. Pada titik M nilai S = 0, berarti seluruh pendapatan dialokasikan untuk
keperluan konsumsi. Di sebelah kanan titik M pendapatan lebih besar daripada konsumsi
sehingga kelebihan pendapatan tersebut bisa ditabung, hal ini tercermin dari positifnya kurva
S. Sedangkan di sebelah kiri titik M pendapatan lebih kecil daripada konsumsi, berarti
sebagian konsumsi dibiayai bukan dari pendapatan sendiri melainkan dari sumber lain
misalnya pinjaman. Dalam kondisi ini t abungannya negatif (dissaving). Pada titik O
(0,0) seluruh konsumsi bahkan dibiayai bukan dari pendapatan, besarnya konsumsi sama
dengan tabungan negatif.
NON LINIER
3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non
linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan
lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis
keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya
dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada
perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.
Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E
= titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada
kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen
berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan
dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga
keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit.
Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah
keseimbangan menjadi lebih banyak.
Contoh Soal:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 19 – P2 , sedangkan
fungsi penawarannya adalah Qs = –8 + 2P2 . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan
yang tercipta di pasar ?
Jawab :
Keseimbangan Pasar
Qd =
Qs
19 – P2 = –8 + 2P2
P2 =
9
P
=
3 ≡ Pe
Q
= 19 – P2
= 19 – 32
Q
= 10 ≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )
Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah)
per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :
Qs‘ = –8 + 2(P–1)2 = –8 + 2(P2–2P+1) = –6 –4P+ 2P2
Keseimbangan pasar yang baru :
Qd = Qs‘
19 – P2 = –6 – 4P + 2P2
3P2 – 4P – 25 = 0
Dengan rumus abc diperoleh P1= 3,63 dan P2 = –2,30, P2 tidak dipakai karena harga negative
adalah irrasional.
Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Qd atau Qs‘ diperoleh Q = 5,82.
Jadi, dengan adanya pajak : Pe‘ = 3,63 dan Qe‘ = 5,82
Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen
per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :
tk = Pe‘ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63
tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
T = Qe‘ x t = 5,82 x 1 = 5,82
PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA DLM MATEMATIKA
APLIKASI FUNGSI EKSPONENSIAL DALAM EKONOMI &
BISNIS
Fungsi pertumbuhan adalah salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dan logaritma
dalam bidang ekonomi dan bisnis (analisa ekonomi). Sifat utama fungsi ini adalah meningkat
secara menoton. Fungsi pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa
asimtut yang merupakan batas atas.
Pembahasan fungsi pertumbuhan pada bagian ini dibatasi hanya pada fungsi bunga
majemuk, pertumbuhan penduduk / biologis, kurva (fungsi) Gomperrtz dan kurva (fungsi)
pengajaran.
1. Fungsi Bunga Majemuk
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan
asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k 0 dibungakan k kali per tahun
dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun maka setelah n tahun, modal tersebut akan
menjadi :
Kn = K0
Apabila k sangat besar yaitu k →
(6.2)
, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu
atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan
menjadi :
Kn = Ko.er.k
Dengan,
Ko = Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol.
Kn = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n.
e = Bilangan basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...)
k = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun
n = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan
r = Besarnya bunga per tahun
jika fungsi Kn = Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut :
Gambar 6.11
(6.3)
Contoh 1
Seseorang menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun. Berapakah
jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun.
(a)
Bila bunga dibayarkan sekali setahun
(b)
Bila bunga dibayarkan per triwulan
(c)
Bila bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun
Penyelesaian
(a)
Bunga dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1
Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn = ....?
Kn = Ko (1 +
=4(1+
)n.k
)1x10
= 4 ( 1 + 0,05)10
= 4 (1,05)10
Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator)
Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak 6,515785 juta rupiah
PENERAPAN BARISAN DAN DERET
Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh
konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu
periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen,
harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling
berhubungan dan selera konsumen
Bentuk Umum Fungsi Permintaan :
Q = a – bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q
(quantity, jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan
yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah
yang diminta akan bertambah.
Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh
produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode
tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia,
harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan
dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatang
Bentuk Umum :
Q = -a + bP atau
Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q
(quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,
hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan
apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.
Keseimbangan Pasar
Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila
jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.
Syarat Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Contoh Soal :
Fungsi permintaan ditunjukan oleh persamaan Qd = 10 – 5P dan fungsi penawarannya adalah
Qs = – 4 + 9P
a. Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?
b. Tunjukkan secara geometri !
Jawab :
a.) Keseimbangan pasar :
Qd = Qs
10 – 5 P
= – 4 + 9P
14P
= 14
P
=
1 ≡ Pe
Q = 10 – 5P
Q = 5
≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 5,1 )
Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan Pasar
Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas
produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak
sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang
yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat
digambarkan sebagai berikut.
Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran
bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak
persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + t
Beban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe‘ – Pe
Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tk
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qe‘
Contoh soal :
Diketahui suatu produk ditunjukkan fungsi permintaan P = 7 + Q dan fungsi penawaran
P = 16 – 2Q. Produk tersebut dikenakan pajak sebesar Rp. 3,-/unit
1. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah pajak ?
2. Berapa besar penerimaan pajak oleh pemerintah ?
3. Berapa besar pajak yang ditanggung kosumen dan produsen ?
Jawab :
1. Keseimbangan pasar sebelum pajak
Qd = Qs
7 + Q = 16 – 2Q
P = 7+Q
3Q
= 9
P = 7+3
Qe = 3
Pe = 10
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak E ( 3,10 )
Keseimbangan pasar sesudah pajak
Fungsi penawaran menjadi :
P = 16 – 2Q + t
= 16 – 2Q + 3
= 19 – 2Q
Os = Qd
19 – 2Q = 7 + Q
3Q = 12
Qe‘ = 4
P = 19 – 2Q
= 19 – 8
Pe‘ = 11
Jadi keseimbangan pasar setelah pajak E’ ( 4,11 )
1. T
= t x Qe‘
= 3.4
= 12 ( Besarnya penerimaan pajak oleh pemerintah Rp. 12,- )
1. tk = Pe‘ – Pe
= 11 – 10
= 1 ( Besar pajak yang ditanggung konsumen Rp. 1,- )
tp = t – tk
= 3–1
= 2 ( Besar pajak yang ditanggung produsen Rp. 2,- )
Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Subsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang
tersebut menjadi lebih rendah.
Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga
keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan
penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s
Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘
Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk
Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Qe‘
Contoh Soal :
Permintaan akan suatu komoditas dicerminkan oleh Qd = 12–2P sedangkan penawarannya Qs
= -4 + 2P pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 2,- setiap unit barang.
a. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sebelum subsidi ?
b. Berapakah jumlah dan harga keseimbangan sesudah subsidi ?
c. Berapa bagian dari subsidi untuk konsumen dan produsen ?
d. Berapa subsidi yang diberikan pemerintah ?
Jawab ;
a.) Keseimbangan pasar sebelum subsidi
Qd = Qs Q = 12 – 2P
12 – 2P = -4 + 2P
= 12 – 8
P
= 16
Qe = 4
Pe = 4
( Keseimbangan pasar sebelum subsidi E = ( 4, 4 ))
b.) Keseimbangan pasar sesudah subsidi :
Qd = 12 – 2P => P = ½ Qd + 6
Qs = -4 + 2P => P = ½ Qs + 2
Sesudah Subsidi Fungsi Penawaran menjadi
P = ½Q+2–2
P = ½Q
Sehingga Kesimbangan pasar sesudah subsidi menjadi :
-½Q+6 = ½Q
Qe‘ = 6
P = ½Q
Pe‘ = 3
( Keseimbangan pasar setelah subsidi E’ = ( 6, 3 ) )
c.) sk = Pe – Pe‘
sp = s – sk
= 4–3
= 2–1
= 1
= 1
(Besar subsidi untuk konsumen Rp. 1,- ) ( Besar subsidi untuk produsen = Rp. 1,- )
d.) Subsidi yang diberikan pemerintah
S = s x Qe‘
= 2.6
= 12
Fungsi Penawaran Khusus
Fungsi penawaran yang normal adalah mempunyai kemiringan positif.Sedangkan fungsi
penawaran khusus adalah fungsi penawaran yang mempunyai kemiringan nol dan tak
terhingga, seperti juga pada fungsi permintaan.Fungsi penawaran seperti ini deapat dilihat
pada gambar 6.
1. Keseimbangan Pasar Satu Macam Produk
Setelah kita mempelajari fungsi permintaan dan fungsi penawaran, maka sekarang kita akan
menganalisis interaksinya untuk memperoleh keseimbangan pasar. Interaksi fungsi
permintaan Q = a – bP dan fungsi penawaran Q = a + bP sering disebut keseimbangan
pasar satu macam produk. Karena baik fungsi permintaan maupun fungsi penawaran hanya
mempunyai satu variabel bebas.
Keseimbangan pasar ini akan menciptakan harga dan jumlah keseimbangan di pasar. Syarat
untuk mencapai keseimbangan pasar ini adalah jumlah produk yang diminta oleh konsumen
harus sama dengan jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen (Qd = Qs), atau harga
produk yang diminta sama dengan harga produk yang ditawarkan (Pd = Ps). keseimbangan
pasar secara aljabar dapat diperoleh dengan mengerjakan system persamaan linier antara
fungsi permintaan dan fungsi penawaran secara serentak (simultan). Sedangkan secara
geometri ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva permintaan dengan kurva
penawaran.Hal ini ditunjukkan oleh pada gambar 7.
di mana: Qd
= Jumlah produk yang diminta
Qs = Jumlah produk yang ditawar
E = Keseimbangan pasar
Qe = Jumlah keseimbangan
Pe = Harga keseimbangan
Perhatikan bahwa pada gambar 7 perpotongan antara kurva permintaan dan kurva penawaran
terjadi pada kuadran I. Hal ini mempunyai arti ekonomi, karena baik harga maupun jumlah
keseimbangan mempunyai nilai positif. Namun adakalanya bisa terjadi perpotongan antara
kurva permintaan dan kurva penawaran tetapi bukan di kuadran I. Hal ini tentunya tidak
mempunyai arti ekonomi (lihat gambar 8).Karena salah satu variabel, yaitu jumlah
keseimbangan pasar (Qe) mempunyai nilai negatif.
Contoh 3
Fungsi permintaan dan penawaran dari suatu barang ditiunjukkan oleh persamaan berikut:
Qd = 6 – 0,75P
Qs = -5 +2P
Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasara?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P
-2,75P = -11
P=4
Untuk memperoleh nilai P = 4 ke dalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran
sehingga,
Q = 6 – 0,75(4)
Q=6–3
Q=3
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3, 4).
Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75P.
Jika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6, 0)
Jika Q = 0, maka P= 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, 8)
Untuk fungsi penawaran Q = -5 + 2P.
Jika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5, 0)
Jika Q = 0, maka P= 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0, )
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh gambar 9.
Contoh 4
Fungsi permintaan suatu ditunjukkan oleh Pd = 6 – 2Q dan gungsi penawaran adalah Ps = 12
+ Q,
Berapakah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar tersebut!
Penyelesaian
1. Syarat keseimbangan pasar Pd = ps
Bila Pd = ps, maka
-3Q
=
6
Q
=
-2
6-2Q
=
12+Q
Untuk memperoleh nilai P subtitusikan nilai Q = -2 ke dalam salah satu persamaan
permintaan atau penawaran sehingga,
P
=
6 – 2 (- 2)
P
=
6+4
P
=
10
Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E (-2, 10).
1. Menggambarkan keseimbangan pasar:
Untuk fungsi permintaan P = 6 – 2Q
Jika Q = 0 maka P = 6, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,6)
Jika, P =0 maka Q = -12 sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-12,0)
Grafik keseimbangan pasar yang tidak mempunyai arti ekonomi ini ditunjukan oleh gambar
10
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM PRODUK
Interaksi antara fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sub bab sebelumnya
menyatakan bahwa jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan akan suatu produk
hanya dipengaruhi oleh harga produk itu sendiri. Tetapi sekarang kita akan memperluas
fungsi permintaan dan fungsi penawaran menjadi fungsi yang mempunyai dua variabel bebas.
Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan jumlah yang ditawarkan
adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2) harga produk lain yang saling berhubngan.
Misalkan ada dua macam produk X dan Y yang saling berhubungan dimana Qdx adalah
jumlah yang diminta untuk produk X ; Qdy adalah jumlah yang diminta untuk produk Y; Px
adalah harga barang X; dan Py adalah harga barang Y, maka fungsi permintaan untuk kedua
produk tersebut dapat ditulis menjadi
Qdx=a0-a1Px+a2Py
Qdy=b0-b1Px+b2Py
sedangkan fungsi penawaran untuk kedua produk tersebut dapat ditulis menjadi,
Qsx=-m0+m1Px+m2Py
Qsy=-n0+n1Px+n2Py
Dimana :
Qdx = jumlah yang diminta dari produk X
Qdy = jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx = jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy = jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px = harga produk X
Py = harga produk Y
A0, b0, m0, dan n0 adalah konstanta
Keseimbangan pasara akan terjadi apabila jumlah yang diminta dari produk X sama dengan
jumlah yang ditawarkan dari produ X atau (Qdx = Qsx) ; dan jumlah yang diminta dari produk
Y sama dengn jumlah yang ditawarkan dari produk Y atau (Qdy = Qsy).
Harga dan jumlah keseimbangan dapat diperoleh dengan pemecahan keempat persamaan
linier diatas. Tahap pertama dalam pemecahan ini kita harus menghilangkan variabel Qdx dan
Qsx dengan cara eliminasi pada persamaan 7 dan 9. Tabap kedua, menghilangkann variabel
Qdy dan Qsy dengan cara yang sama, yatu persamaan 8 dan 10. Tahap selanjutnya, kita
kombinasikan hasil dari tahab pertama dan tahap kedua untuk memperoleh nilai-nilai dari
variabel Px dan Py. Tahap terakhir, subtitusikan nilai Px dan Py pada fungsi permintaan produk
X dan fungsi permintaan produk Y atau pada fungsi penawaran produk X dan fungsi
penawaran produk y untuk memperoleh nilai Qx dan Qy. Contoh
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua macam produk yang mempunyai
hubungan subtitusi sebagai berikut:
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qdy = 6 + Px – Py
Dan
Qsx = -5 + 4Px – Py
Qsy = -4 – Px + 3Py
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar?
Peenyelesaian
Gunakanlah syarat keseimbangan pasar, kemudian selesaikan persamaan 11 dan 13 serta
persamaan 12 dan 14 dengan menggunakan metode eliminasi, sehingga dipeeroleh:
Qdx = Qsx
Qdx = 5 – 2Px + Py
Qsx = -5 + 4Px – Py
0 = 10 – 6Px + 2Py
Qdy = Qsy
Qdy
= 6 + Px – Py
Qsy
= -4 – Px + 3Py
=10 + 2Px – 3Py
Persamaan 15 dan 16 dikerjakan lagi secara eliminasi, diperoleh:
0= 10 – 6Px + 2Py 0
= 20 – 12Px + 4Py
0=10 + 2Px – 3Py 0
= 10 + 2Px – 4Py
0
= 30 – 10Px + 0
106Px = 30
Px
=3
Subtitusikan nilai Px
2Py = 6Px – 10
2Py = 6(3) – 10
= 3 kedalam persamaan 15 untuk memperoleh nilai Py.
2Py = 8
Py = 4
Subtitusikan nilai Px
= 3 dan nilai Py = 4 kedalam persamaan 11 dan 12 untuk
memperoleh nilai Qx dan Qy
Qx = 5 – 2(3) + 4 = 3; dan Qy = 6 + 3 – 4 = 5
Jadi nilai Qx=3; Qy=5; Px=3; dan Py=4
1. Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan dan Angka Pengganda
Pendapatan masyarakat suatu negara secara keseluruhan (pendapatan nasional) dalam
ekonomi makro dialokasikan ke dua kategori penggunaan yaitu penggunaan konsumsi dan
ditabung, Jika dimisalkan Y = pendapatan nasional, C = konsumsi, dan S=tabungan maka
persamaannya adalah,
Y=C+S
Konsumsi dan tabungan nasional pada umumnya dilambangkan sebagai fungsi linier
dari pendapatan nasional. Keduanya berbanding lurus dengan pendapatan nasional. Jadi
apabila semakin besar pendapatan maka konsumsi dan tabungan juga akan semakin besar, hal
tersebut berlaku pula untuk kebalikkannya.
1.1. Fungsi Konsumsi
Fungsi konsumsi menjelaskan hubungan antara konsumsi dan pendapatan nasional, yang
secara umum dirumuskan sebagai berikut,
C = f(Y) = Co + cY
Keterangan,
Co
: konsumsi otonom
C
: MPC = …C/…Y
konstanta Co menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat pendapatan nasional
sebesar nol (mencerminkan konsumsi nasional minimum/autonomous consumption,
konsumsi otonom) yang pasti harus tersedia walaupun pendapatan nasional nihil. Secara
grafik Co merupakan penggal kurva konsumsi pada sumbu vertikal C. Koefisien “c”
mencerminkan besarnya tambahan konsumsi sebagai akibat adanya tambahan pendapatan
nasional. Dalam bahasa ekonomi “c” adalah Marginal Propensity Consume.
1.2. Fungsi Tabungan
Fungsi tabungan menjelaskan hubungan antara tabungan dan pendapatan nasional yang
secara umum bentuk persamaannya adalah sebagai berikut,
S = g(Y) = So + sY
Keterangan,
So
: tabungan otonom
s
: MPS = …S/…Y
konstanta So menunjukkan besarnya tabungan otonom (autonomous saving) merupakan
penggal kurva tabungan pada sumbu vertikal S. Koefisien “s” adalah Marginal Propensity to
Save merupakan lereng dari kurva tabungan.
Kurva konsumsi dan tabungan dapat digambarkan secara bersama-sama pada sistem
sumbu silang seperti di bawah ini,
Garis bantu Y = C + S yang membentuk sudut 45 0 merupakan penjumlahan grafik kurva C
dan kurva S. Pada titik M nilai S = 0, berarti seluruh pendapatan dialokasikan untuk
keperluan konsumsi. Di sebelah kanan titik M pendapatan lebih besar daripada konsumsi
sehingga kelebihan pendapatan tersebut bisa ditabung, hal ini tercermin dari positifnya kurva
S. Sedangkan di sebelah kiri titik M pendapatan lebih kecil daripada konsumsi, berarti
sebagian konsumsi dibiayai bukan dari pendapatan sendiri melainkan dari sumber lain
misalnya pinjaman. Dalam kondisi ini t abungannya negatif (dissaving). Pada titik O
(0,0) seluruh konsumsi bahkan dibiayai bukan dari pendapatan, besarnya konsumsi sama
dengan tabungan negatif.
NON LINIER
3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non
linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan
lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis
keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya
dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada
perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.
Keseimbangan Pasar :
Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E
= titik keseimbangan
Pe = harga keseimbangan
Qe = jumlah keseimbangan
Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada
kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen
berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan
dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga
keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit.
Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah
keseimbangan menjadi lebih banyak.
Contoh Soal:
Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Qd = 19 – P2 , sedangkan
fungsi penawarannya adalah Qs = –8 + 2P2 . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan
yang tercipta di pasar ?
Jawab :
Keseimbangan Pasar
Qd =
Qs
19 – P2 = –8 + 2P2
P2 =
9
P
=
3 ≡ Pe
Q
= 19 – P2
= 19 – 32
Q
= 10 ≡ Qe
Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )
Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah)
per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :
Qs‘ = –8 + 2(P–1)2 = –8 + 2(P2–2P+1) = –6 –4P+ 2P2
Keseimbangan pasar yang baru :
Qd = Qs‘
19 – P2 = –6 – 4P + 2P2
3P2 – 4P – 25 = 0
Dengan rumus abc diperoleh P1= 3,63 dan P2 = –2,30, P2 tidak dipakai karena harga negative
adalah irrasional.
Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Qd atau Qs‘ diperoleh Q = 5,82.
Jadi, dengan adanya pajak : Pe‘ = 3,63 dan Qe‘ = 5,82
Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen
per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :
tk = Pe‘ – Pe = 3,63 – 3 = 0,63
tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
T = Qe‘ x t = 5,82 x 1 = 5,82
PENERAPAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA DLM MATEMATIKA
APLIKASI FUNGSI EKSPONENSIAL DALAM EKONOMI &
BISNIS
Fungsi pertumbuhan adalah salah satu contoh aplikasi fungsi eksponen dan logaritma
dalam bidang ekonomi dan bisnis (analisa ekonomi). Sifat utama fungsi ini adalah meningkat
secara menoton. Fungsi pertumbuahan mempunyai beberapa bentuk, dengan atau tanpa
asimtut yang merupakan batas atas.
Pembahasan fungsi pertumbuhan pada bagian ini dibatasi hanya pada fungsi bunga
majemuk, pertumbuhan penduduk / biologis, kurva (fungsi) Gomperrtz dan kurva (fungsi)
pengajaran.
1. Fungsi Bunga Majemuk
Besarnya modal yang dibungakan tergantung dari waktu lamanya modal dibungakan
asal tingkat bunga konstan. Jika modal (pokok) sebesarnya k 0 dibungakan k kali per tahun
dengan bunga sebesar 100 r % (atau r) per tahun maka setelah n tahun, modal tersebut akan
menjadi :
Kn = K0
Apabila k sangat besar yaitu k →
(6.2)
, maksudnya bunga yang dibayarkan secara kontinyu
atau bunga ditambahkan terus menerus terhadap modal, maka persamaan (6.2) di atas akan
menjadi :
Kn = Ko.er.k
Dengan,
Ko = Modal awal atau besar modal pada tahun yang ke nol.
Kn = Modal akhir atau besar modal pada tahun yang ke n.
e = Bilangan basis dalam logaritma Natural (e = 2,718 ...)
k = Kelipatan bunga yang dibayar per tahun
n = Waktu lamanya modal (pokok) dibungakan
r = Besarnya bunga per tahun
jika fungsi Kn = Ko er.n dibuat grafiknya, secara umum bentuknya sebagai berikut :
Gambar 6.11
(6.3)
Contoh 1
Seseorang menabung uang sebesar 4 juta rupiah dengan bunga 5 % per tahun. Berapakah
jumlah uangnya (pokok tabungan + bunga) setelah 10 tahun.
(a)
Bila bunga dibayarkan sekali setahun
(b)
Bila bunga dibayarkan per triwulan
(c)
Bila bunga dibayarkan secara kontinyu per tahun
Penyelesaian
(a)
Bunga dibayarkan sekali setahun, berarti k = 1
Ko = 4 juta n = 10 tahun r = 5 % = 0,05 Kn = ....?
Kn = Ko (1 +
=4(1+
)n.k
)1x10
= 4 ( 1 + 0,05)10
= 4 (1,05)10
Kn = 6,515785 (pergunakan kalkulator)
Jadi, jumlah uang yang diterima setelah 10 tahun sebanyak 6,515785 juta rupiah
PENERAPAN BARISAN DAN DERET