LOGIKA MATEMATIKA (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)
TEORI HIMPUNAN
SMTS 1101 / 3SKS
LOGIKA MATEMATIKA
Disusun Oleh :
Dra. Noeryanti, M.Si
_______________________________________________ 87
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
DAFTAR ISI
Cover pokok bahasan
..................................................................
87
.....................................................................................
88
Judul Pokok Bahasan .........................................................................
89
4.1. Pengantar ....................................................................................
89
4.2. Kompetensi ..................................................................................
89
4.3. Uraian Materi
89
Daftar isi
.................................................................
4.3.1 Cara Menulis Himpunan
...............................................
90
............................................
91
4.3.3. Operasi-operasi Himpunan .............................................
95
4.3.2 Macam-macam Himpunan
a. Gabungan
..............................................................
95
b. Irisan
...............................................................
96
c. Komplemen
.........................................................
97
d. Selisih
........................................................
98
....................................................
98
4.3.4 Hukum-hukum Aljabar Himpunan..................................
98
4.3.5. Pergandaan Himpunan
................................................
100
4.3.6 Keluarga Himpunan ........................................................
102
4.3.7. Partisi (penggolongan) .....................................................
103
e. Selisih simetris
Rangkuman
....................................................................................
Soal-penyelesaian
Soal-soal latihan
104
.................................................................
107
.............................................................................
113
______________________________________________ 88
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
TEORI HIMPUNAN
4.1
Pengantar
Setelah mahasiswa mempelajari tentang materi pokok proposisi di bab
sebelumnya, diharapkan mampu menggunakanya dalam pembahasan di modul ini.
Disisni akan membahas tentang konsep-konsep dasar teori himpunan yang sering
digunakan di bidang lain.
4.2
Kompetensi
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan:
a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori himpunan secara benar.
b. Mampu melakukan hitungan-hitungan dalam operasi-operasi himpunan antara
lain gabungan, irisan, komplemen, selisih, pergandaan himpunan, dan partisi.
c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan.
4.3
Uraian Materi
Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan,
atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya, perlu
adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang
berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki
bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat
tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau
kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang,
bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen
dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan
secara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan
obyek mana yang bukan menjadi anggota.
Contoh (4.1):
1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
2
2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x − 3 x − 4 = 0
______________________________________________ 89
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
3. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, ± 2, ± 6, ± 8, . . . . .
2
4. Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi x + 3 = 0
Himpunan-himpunan yang akan dibahas disini kita beri simbol dengan huruf
besar dari abjad : A, B, C, ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggota
dari himpunanya ditulis dengan huruf kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.
Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x ∈ A. Dan jika x bukan
anggota dari himpunan A, maka ditulis x ∉ A.
4.3.1. Cara Penulisan Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh
di atas diraskan sangat bertele-tele tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara
menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan,
ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
1.
Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung
kurawal.
Contoh (4.2):
a.
A = { a, b, c, x, k } artinya
A merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
a, b, c, x, dan k.
b.
B = {Niken, Aisya, Aji} artinya
B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
Niken, Aisya dan Aji.
c. C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x2 – 3x – 4 = 0
Jadi C = {-1, 4}
2.
Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.
Contoh (4.3):
D = himpunan bilangan riil.
E = himpunan orang-orang asing.
3.
Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.
______________________________________________ 90
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.4):
F = {x / x adalah bilangan riil}
G = {x / x adalah orang asing}
4.3.2.
Macam-macam Himpunan.
Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,
himpunan terbagi menjadi beberapa macam :
1.
Himpunan kosong (himpunan hampa)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Sering dinyatakan sebagai ∅ atau { }.
Contoh (4.5) :
Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi x 2 + 3 = 0
Atau
H = {x / x = bilanganriil, x 2 + 3 = 0}
ditulis H = ∅
2.
Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas
semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari
Universal).
Contoh (4.6):
S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}
Dikatakan
S merupakan semesta dari himpunan A.
3.
Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).
Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan
tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.
______________________________________________ 91
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Contoh (4.7):
a. H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}
H disebut himpunan tak berhingga.
b. K = { Ani, Joko, Tuti}
K disebut himpunan berhingga.
4.
Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Dinyatakan dengan simbol : A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.
Contoh (4.8) :
Misal A = {x /x = bilangan bulat positif } dan B = {x /x = bilangan riil}
maka
A⊆B
Sebab setiap elemen dalam A merupakan elemen dalam B, tetapi tidak
sebaliknya.
Teorema (4.1):
“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
Artinya :
∀x x ∈ φ → x ∈ H . Implikasi ini bernilai benar. Dimana anteseden salah
dan konsekuennya benar.
Bukti : [Teorema 4.1]
Akan ditunjukkan : ∅ ⊆ H. menggunakan Reductio Ad Absurdum
Andaikan himpunan ∅ bukan himpunan bagian dari H,
ditulis ∅ ⊄ H atau ∅ ⊆ H
Diturunkan menjadi:
∅⊆H
↔
∀x x ∈ ∅ → x ∈ H
↔ ∃x x ∈ ∅ ⇒ x ∈ H
______________________________________________ 92
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
↔ ∃x x ∈ ∅ . ∧ . x ∈ H
↔ ∃x x ∈ ∅ .∧ . x ∉ H
( mustahil )
Karena himpunan kosong ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat terakhir
ini bernilai salah.
Pengandaian harus diingkar Yaitu himpunan kosong merupakan himpunan
bagian dari setiap himpunan dinyatakan ∅ ⊆ H.
Jadi terbukti bahwa himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap
himpunan.
Contoh (4.9):
Misal : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9}
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himunan B
5. Kesamaan Himpunan.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
A=B ↔
(∀x, x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x, x ∈ B → x ∈ A)
Akibat adanya definisi kesamaan dua himpunan ini, maka
a). A ⊂ B apabila A merupakan himpunan bagian murni dari B.
artiya A himpunan bagian dari b tetapi A ≠ B
b). A ⊆ B apabila A merupakan himpunan bagian dari B.
U
U
A
B
A⊂B ,A≠B
A=B
A=B
______________________________________________ 93
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Contoh (4.10) :
Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}
A, B dan C adalah himpunan – himpunan yang sama
Yaitu A = B = C
6.
Himpunan Berpotongan.
Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan
hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.
Contoh (4.11):
Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8}
A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.
7.
Himpunan Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika
kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.
Contoh (4.12):
Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}
B = {x /x = bilangan bulat negatif}
Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.
Telah dikemukakan diatas bahwa anggota dari suatu himpunan itu dapat
berupa obyek apa saja. Jadi dapat terjadi bahwa anggota suatu himpunan adalah
himpunan. Agar istilah yang digunakan tidak membingungkan, maka himpunan yang
mempunyai anggota himpunan ini kita namakan Famili himpunan. Diberi notasi
huruf besar latin:
A, B,C,D, .....
______________________________________________ 94
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.13):
a. Misalkan
A
= {{2,5}, {3},{4,6}}, maka
A
adalah suatu famili himpunan
dengan anggota-anggotanya adalah {2,5}, {3}, dan {4,6}
b. Pandang himpunan B = {1,3}, 2 ,{4,6,8},{5}, 7}. Himpunan B ini bukan suatu
famili himpunan karena 2 dan 7 bukan himpunan.
Contoh (4.13):
Misalkan A suatu himpunan. Famili semua himpunan bagian dari A ditulis
P(A). Jika A = {a, b, c, d} tentukan P(A)
Jawab:
Himpunan-himpunan bagian dari A adalah:
∅, {a}, {b}, {c}, {d},
{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d},
{a,b,c,d}
ada 16 anggota
Jadi P(A)= {∅, {a}, {b}, {c}, {d},{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},{a,b,c}, {a,b,d},
{a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}}
Catatan:
Jika A suatu himpunan dengan n-anggota, maka famili dari A ditulis P(A) dengan
n
jumlah anggotanya ada 2 .
n
4
Untuk contoh (4.13), n = 4 sehingga P(A) = 2 = 2 = 16
4.3.3. Operasi-Operasi Dalam Himpunan.
1.
Gabungan ( Union ).
Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B”, adalah
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau
sekaligus kedua-keduanya. Atau A ∪ B didefinisikan sebagai :
______________________________________________ 95
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
A
atau
B
x∈( A ∪ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∨. x ∈ B
A∪B
Diagram venn untuk A ∪ B adalah suatu daerah yang diberi tanda
Contoh (4.14):
Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e }
A ∪ B = { a, b, c, d, e }
B ∪ A = { a, b, c, d, e }
Kesimpulan A ∪ B = B ∪ A = { a, b, c, d, e }
A ∪ A = A dan B ∪ B = B
2.
Irisan ( Intersection )
Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, adalah himpunan
yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B.
didefinikan sebagai:
(A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.
A
atau
B
x∈( A ∩ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∧. x ∈ B
A ∩B
Diagram venn A ∩ B digambarkan sebagai daerah yan diarsir (ditengah)
A
B
A ∩B= ∅
A
B
A ∩ B ≠∅
______________________________________________ 96
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.15):
Misalkan A ={ a, b, c } , B = { b, c, d, e } dan C = {a,b,c,e,f}
A ∩ B = { b, c }
B ∩ A = { b, c }
B ∩ C = {b, c, e}
(A ∩ B) ∩ C = { b, c }
A ∩ (B ∩ C) = { b, c }
Kesimpulan
1.
A ∩ A = A dan B ∩ B = B
2.
A∩ B = B∩ A
3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3.
Komplemen.
Komplemen dari himpunan A ditulis Ac atau Al adalah himpunan yang
anggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota A. Atau
Ac
didefinisikan sebagai :
A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }
S
A
atau
x ∈ A c ↔ (∀x) x ∉ A
Ac
Contoh (4.16):
Misalkan S = { a, b, c, d, e, f, g, h } dan A = { b, d, e, h }
A c = { a, c, f, g }
______________________________________________ 97
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
4.
Selisih Dua Himpunan
Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” atau “A ∩ Bc ” adalah
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota.
Atau A – B didefinikan sebagai:
A – B = { x /x ∈ A ∧ x ∉ B}
A
B
= {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc }
= A∩ B
c
A −B
Contoh (4.17):
Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h }
A – B = { a, c }
B – A = { b, c }
Kesimpulan: umumnya: A – B ≠ B – A
5.
Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri)
Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” adalah himpunan
yang anggota-anggotanya terdiri atas
anggota A yang bukan anggota B dan
anggota B yang bukan anggota A. Atau A ⊕ B didefinikan sebagai :
A ⊕ B = {x / x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}
atau
A ⊕ B = {x/x ∈ (A ∪ B) .∧. x ∉ (B ∩ A)}
A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
A ⊕B
Contoh (4.18):
Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h }
A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h }
______________________________________________ 98
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
A ∩ B = { b, d, e }
A ⊕ B = { a, c, f, g, h }
B ⊕ A = { a, c, f, g, h }
Kesimpulan A ⊕ B = B ⊕ A
4.3.4. Hukum-hukum Aljabar Hipunan
1. Hukum Idempoten: a. A ∪ A = A
b. A ∩ A = A
a. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
2. Hukum Assosiatif :
b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Hukum Komulatif: a. A ∪ B = B ∪ A
b. A ∩ B = B ∩ A
a. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. Hukum Distributif :
b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
c. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
d. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5. Hukum identitas: a. A ∪ ∅ = A
b. A ∩ S = A
b. A ∩ ∅ = ∅
a. A ∪ S = S
6. Hukum identitas:
c
b. A ∩ A = ∅
7. Hukum Komplemen:
a. A ∪ A c = S
8. Hukum Komplemen:
a. (Ac )c = A
9. Hukum De Morgan:
c
c
c
a. (A ∪ B) = A ∩ B
c
c
b. Sc = ∅ dan ∅ = S
c
c
b. (A ∩ B) = A ∪ B
______________________________________________ 99
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
4.3.5. Pergandaan Himpunan
Secara intuitif, pasangan (x,y) dikatakan pasangan terurut, atau berurutan
dengan x dikatakan urutan pertama dan y urutan kedua.
Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) dikatakan sama jika hanya jika a = c
dan b = d. Dapat ditulis sebagai :
(a, b) = (c, d) ↔
a = c . ∧ . b = d.
Dapat diperluas menjadi n–pasangan terurut yaitu :
(a1, a2, ….., an) = (b1, b2, ... bn) ↔
ai = bi, untuk i = 1, 2, …..n.
Contoh (4.17):
1)
(2, 5) dan (5, 2) merupakan dua pasangan yang berbeda.
2)
Setiap titik-titik pada koordinat kartesius menyetakan pasangan terurut
dari bilangan-bilangan riil.
3)
Himpunan {3, 2, 7} bukan pasangan terurut, sebab 3, 2 dan 7 tidak
mempunyai urutan.
Definisi: [Pergandaan Kartesius]
Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpuan A dan B
ditulis A x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan
x ∈ A
dan y ∈ B . Perkalian ini juga disebut “pergandaan Kartesius (Cartesian
product)”
Secara matematis dinyatakan sebagai:
{
}
A x B = (x,y) / x ∈ A ∧ y ∈ B
Atau
(x, y) ∈ A x B ↔ ∀(x, y) x ∈ A .∧. y ∈ B
______________________________________________ 100
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
•
Jika himpunan A mempunyai n-anggota dan himpunan B mempunyai manggota maka perkalian himpunan A x B mempunyai (nxm) anggota
•
Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B adalah himpunan
kosong, yaitu A = ∅ atau B = ∅,
•
maka A x B = ∅.
Jika H adalah suatu himpunan yang tidak kosong, maka hasil ganda terhadap
2
dirinya sendiri dinyatakan sebagai A x A atau A .
Contoh (4.18):
Misalkan H = {1, 3, 7},
maka
H x H = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,3), (3,7), (7,1), (7,3), (7,7)}
Diagram koordinatnya sbb: :
y
7
3
1
0
1
3
7
x
Diagram Koordinat H x H
•
Pada umumnya pergandaan himpunan tidak mempunyai sifat kumutatif yaitu
A x B ≠ B x A.
Contoh (4.19):
Ambil H = {a, b} dan K = {c, d}
maka
______________________________________________ 101
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
H x K = {(a, c), (a, d), (b, c), (b ,d)} dan
K x H = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}
Karena (a, c) ≠ (c, a), (a, d) ≠ (d, a), (b, c) ≠ (c, b) dan (b, d) ≠ (d, b)
maka (H x K) ≠ (K x H)
4.3.5. Keluarga Himpunan , Hipunan Kuasa dan Himpunan Indeks
1.
Keluarga himpunan
Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip
(Script Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf
besar biasa.
Contoh(4.20) :
A = { {2}, {a}, {1,3} }
B = {{1,3},{2},{2,3,5},{6,79}}
2.
Himpunan kuasa ,
Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2
A
adalah keluarga
himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.
Contoh(4.21) :
Misalkan A = {a, b}, maka
A
Himpunan kuasa dari A = 2 = { ∅, {a}, {b}, {a, b} }
Dengan banyakanggota nya = n(A) = n(2A) = 22 = 4 anggota.
3.
Himpunan indeks
Yang dimaksud himpunan indeks ditulis I adalah himpunan yang terdiri atas
indeks-indeks.
______________________________________________ 102
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.22) :
1. Misalkan I = {1, 2, 3,…..}
Maka
I
i∈I
Hi = H1 ∩ H2 ∩ ........ adalah keluarga himpunan
= H1 ∪ H2 ∪ ......
UHi
i∈I
adalah keluarga himpunan
2. Misalkan I = { α, β, χ, …..}
Maka
I
i∈I
Hi = Hα ∩ Hβ ∩ ......... adalah keluarga himpunan
= Hα ∪ Hβ ∪ ........ adalah keluarga himpunan
UHi
i∈I
4.3.6. Partisi ( penggolongan )
Suatu partisi pada himpunan X
adalah suatu cara untuk membagi
himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas, dan gabungan
dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X. Himpunan bagian pada
suatu partisi
disebut “sel” ( katakan A i = sel; i = 1, 2,....m ).
himpunan-himpunan bagian X
yaitu
Jadi koleksi dari
X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi
atau penggolongan jika memenuhi syarat :
(1)
X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =
(2)
Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j
m
UA
i
i =1
Contoh (4.23):
Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X.
(i) {{1, 3, 5}, {2, 5}, {4, 8, 9}}
(ii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}}
______________________________________________ 103
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(iii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}}
maka
(i) . Bukan partisi dari X, sebab 7∈ X , tetapi 7 tidak termasuk pada
suatu sel.
(ii). Bukan partisi dari X, sebab 5∈X dan 5∈{1, 3, 5}sekaligus 5∈{5, 7, 9}
(iii). Prtisi dari X, sebab X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Rangkuman
1.
Himpunan-himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad : A, B, C,
..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggotanya ditulis dengan huruf
kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.
2.
Ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
a.
Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda
kurung kurawal.
b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.
c.
3.
Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.
Macam-macam Himpunan.
a. Himpunan adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering
dinyatakan sebagai ∅ atau { }.
b.
Himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang
dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U.
c.
Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika
himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak
berhingga.
______________________________________________ 104
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
d.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dinyatakan
dengan simbol
4.
A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.
Teorema (4.1):
“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
5.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
A=B ↔
(∀x x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x x ∈ B → x ∈ A)
Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan hanya
6.
jika ada anggota A yang menjadi anggota B.
7.
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika kedua
himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.
8.
Operasi-Operasi Dalam Himpunan.
a. Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B” didefinisikan
sebagai : (A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
b. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, didefinikan sebagai:
(A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.
c.
Komplemen dari himpunan A ditulis A
c
didefinisikan sebagai :
A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }
d.
Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” didefinikan sebagai:
c
A – B = {x /x ∈ A ∧ x ∉ B} = {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc } = A ∩ B
e.
Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” didefinikan sebagai
______________________________________________ 105
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
A ⊕ B = {x/x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}
A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
9.
Hasil ganda kartesius (Cartesian product) dari dua himpunan H dan K ditulis “H
x K” didefinikan sebagai :
H x K ={ (x, y) / x ∈ H .∧. y ∈ K }
10. Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Script
Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar
biasa.
11. Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2
A
adalah keluarga
himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.
12. Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.
a.
I
i∈I
b.
Hi = H1 ∩ H2 ∩ ........
UHi
i∈I
c.
I
i∈I
d.
= H1 ∪ H2 ∪ ......
Hi = Hα ∩ Hβ ∩ .........
UHi
i∈I
13.
= Hα ∪ Hβ ∪ ........
Himpunan X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi ( penggolongan) jika
memenuhi syarat :
(1)
X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =
(2)
Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j
m
UA
i =1
i
______________________________________________ 106
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e}
Tentukan :
(a) P ∩ Q ; P ∪ Q ; P ∩ R ; P ∪ R ; Q ∩ R ;
Q∪R
(b) Apakan sifat assosiatif (P ∩ R) ∩ R = P ∩ ( Q ∩ R)
(c) Apakah sifat distributif P ∩ ( Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) dan
(d) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R) dipenuhi ? Jelaskan !
(e) Gambarkan diagram venn untuk soal 1a s/d 1f
Jawab :
(a) P ∩ Q = {c, d} ; P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f};
P ∩ R = {b, c, d}; P ∪ R = {a, b,
Q ∩ R = {c, d, e}; dan Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
c, d, e};
(b) Dipenuhi, sebab : (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) = {c, d} dan
(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) = {a, b, c, d, e, f}.
(c) Dipenuhi, sebab : P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {b, c, d} dan
P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ R) ∩ (P ∪ R) = {a, b, c, d, e}
(d) Diagram-diagram Venn.
S
P
Q
a
c
e
b
d
f
S
P
R
S
Q
S
c
b
a
c
d
e
b
d
f
e
P ∩ Q = {c, d}
P ∩ R = {b, c, d}
Q ∩ R = {c, d, e}
P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ R = {a, b, c, d, e}
Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
2. Untuk P, Q, dan R pada soal nomor 1, tunjukan apakah sifat-sifat berikut ini
dipenuhi
(a)
P ⊕ (Q ∪ R) = (P ⊕ Q) ∪ (P ⊕ R)
(b)
P ∪ (Q ⊕ R) = (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)
______________________________________________ 107
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Jawab :
(a) Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
P ⊕ (Q ∪ R) = {a, e, f}
P ⊕ Q = {a, b, e, f}
P ⊕ R = {a, e}
Jadi P ⊕ (Q ∪ R) ≠ (P ⊕ R) ∪ (P ⊕ R)
(b) Q ⊕ R = {b, f}
P ∪ (Q ⊕ R) = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ R = {a, b, c, d, e}
(P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R) = {f}
Jadi P ∪ (Q ⊕ R) ≠ (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)
3. Buktikan : Jika A ⊆ B maka Bc ⊆ Ac
Bukti : Untuk membuktikan ada 2 cara.
(a)
Secara langsung. (menggunakan kontraposisinya)
(b)
Secara tidak langsung. (menggunakan bukti kemustahilan)
Yang harus dibuktikan : A ⊆ C →
Bc ⊆ Ac
(a) Secara langsung
Dari ketentuan A ⊆ B berarti ∀x
x∈A → a∈B
∀x
x∉B → x∉A
Dengan kontraposisinya :
Ambil sembarang x ∈ Bc, berarti x ∉ B. Sehingga x ∉ A, yaitu x ∈ Ac.
Terbukti ∀x x ∈ Bc → x ∈ Ac. Jadi Bc ⊆ Ac
(b) Secara tidak langsung (bukti kemustahilan)
Dari ketentuan A ⊆ B, akan ditunjukkan Bc ⊆ Ac
atau
Diketahui : A ⊆ B berarti ∀x x ∈ A → x ∈ B
Akan ditunjukkan : Bc ⊆ Ac.
Bukti :
______________________________________________ 108
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Andaikan Bc ⊄ Ac berarti B c ⊆ A c menurut definisi
∀x x ∈ B c → x ∈ Ac
↔ ∃ x x ∈ Bc → x ∈ A c
↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ A c
↔
∃x x ∈ Bc . ∧ . x ∈ A
↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ B
diketahui
↔ ∃ x x ∈ ( Bc ∩ B )
↔ ∃x x ∈∅
(= mustahil)
Karena himpunan ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat “x ∈ ∅” pasti
bernilai salah.
Pengandaian harus diingkar, yaitu Bc ⊆ Ac
Jadi terbukti A ⊆ B → Bc ⊆ Ac .
4. Buktikan : A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) bernilai benar.
Jawab :
A – (B ∪ C) = {x / x ∈ A .∧. x ∉ (B ∪ C)}
= {x / x ∈ A .∧. x ∈ (B ∪ C)c}
= {x / x ∈ A .∧. x ∈ (Bc ∩ Cc)}
= {x / x ∈ A .∧. (x ∈ Bc .∧. x ∈ Cc)}
= {x / (x ∈ A .∧. x ∈ Bc) .∧. (x ∈ A .∧. x ∈ Cc)}
= {x / x ∈ A .∧. x ∉ B} .∩. {x / x ∈ A .∧. x ∉ C}
= (A – B) .∩. (A – C)
Jadi terbukti A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
5. Diketahui : A = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan :
(1) A x (B ( C)
______________________________________________ 109
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(2) (A x B) ∪ (A x C)
(3) A x (B ( C)
(4) (A x B) ∩ (A x C)
Jawab :
(1)
B ∪ C = {2, 3, 4}
A x (B ∪ C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
(2)
A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}
A x C = {(a, 3), (a, 4),(b, 3), (b, 4)}
(A x B) ∪ (A x C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
(3)
B ∩ C = {3}
A x (A ∩ C) = {(a, 3), (b, 3)}
(4)
A x B dan A x C lihat jawaban (2)
(A x B) ∩ (A x C) = {(a, 3), (b, 3)}
Perhatikan, dari jawaban (1) s/d (4) diperoleh :
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) dan A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
6. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, dan C = {3, 4, 5}.
Tentukan A x B x C.
Jawab :
Salah satu cara untuk menentukan A x B x C adalah dengan membuat “diagram
pohon” seperti di bawah ini.
______________________________________________ 110
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
2
1
4
2
2
4
2
3
4
3
4
5
3
4
5
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 2, 5)
(1, 4, 3)
(1, 4, 4)
(1, 4, 5)
3
4
5
3
4
5
(2, 2, 3)
(2, 2, 4)
(2, 2, 5)
(2, 4, 3)
(2, 4, 4)
(2, 4, 5)
3
4
5
3
4
5
(3, 2, 3)
(3, 2, 4)
(3, 2, 5)
(3, 4, 3)
(3, 4, 4)
(3, 4, 5)
a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
7. Buktikan :
b) (A x B) ∪ C = (A ∪ C) x (B ∪ C)
Jawab :
Ambil sembarang himpunan-himpunan A, B, dan C.
(a) A x (B ∪ C)
= {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ (B ∪ C)}
= {(x, y) / x ∈ A .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) .∨. (x ∈ A .∧. y ∈ C)}
= {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ B} ∪ {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ C)}
= (A x B) . ∪. (A x C)
Terbukti A x (B ∪ C) = (A x B) .∪. (A x C)
(b) (A x B) ∪ C
= {k / k ∈ (A x B) ∨ k ∈ C}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x, y) ∈ C} ……………..(*)
______________________________________________ 111
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(A ∪ C) x (B ∪ C) = {(x, y) / x ∈ (A ∪ C) .∧. y ∈ (B ∪ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∨. x ∈ C) .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
= (x ∈ C .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)} ………. (**)
dari (*) dan (**) diperoleh (A x B) ∪ C ≠ (A ∪ C) x (B ∪ C).
8. Misalkan A = B ∩ C. Tentukan manakah dari pernyataan berikut ini yang
mempunyai nilai benar ?
(a) A x A = (B x B) ∩ (C x C)
(b) A x A = (B x C) ∩ (C x B).
Jawab :
(a) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
= {(x,y) /x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}
= {(x,y) / x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}
= {(x,y) / (x∈ B .∧. y ∈ B) .∧. (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
= {(x,y) / x ∈ b .∧. y ∈ B} ∩ {(x,y) /x ∈ C .∧. y ∈ C}
= (B x B) .∩. (C x C)
Jadi A x A = (B x B) ∩ (C x C)
(b) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
= {(x,y)/x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}
= {(x,y)/x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}
= {(x,y)/(x ∈ B .∧. y ∈ C) ∧ (x ∈ C .∧. y ∈ B)}
= {(x,y)/x ∈ B .∧. y ∈ C} ∩ {(x,y)/x ∈ C .∧. y ∈ C}
= (B x C) ∩ (C x B)
Jadi A x A = (B x C) ∩ (C x B)
9. Diketahui X = {a, b, c, d, e, f, g} dan himpunan bagian himpunan bagian
dari adalah,
______________________________________________ 112
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
(a) A1 = {a, c, e}, A2 = {b}, dan A3 = {d, g}
(b) B1 = {a, e, g}, B2 = {c, d}, dan B3 = {b, e, f}
(c)
C1 = {a, b, e, g}, C2 = {c}, dan C3 = {d, f}
(d)
D1 = {a, b, c, d, e, f, g}
Maka tentukan yang mana diantara (a) sampai dengan (d) yang
merupakan partisi dari X ?
Jawab:
(a) {A1,A2,A3} bukan partisi dari X, sebab f ∈ X , f ∉ A1, f ∉ A2 dan f∉ A3.
(b) {B1,B2,B3} bukan partisi dari X, sebab e∈X , tetapi e ∈ B1 dan e ∈ B3.
(c) {C1, C2, C3} partisi dari X, sebab X = {C1, C2, C3}
(d) {D1} merupakan partisi dari X.
10. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}.
Jawab :
Partisi dari X adalah : [{a, b, c, d}] ; [{a}, {b, c, d}], [{b}, {a, c, d}], [{c}, {a,
b, d}], [{d}, {a, b, c}] ;
[{a,b}, {c,d}] ; [{a,c}, {b,d}] ; [{a,d}, {b,c}] ; [{a}, {b}, {c,d}] ; [{a}, {c}, {b,d}];
[{a}, {d}, {b,c}] ; [{b}, {c}, {a, d}] ; [{b}, {d}, {a,c}] ; [{c}, {d}, {a,b}] ;
[{a}, {b}, {c}, {d}]
Ada 15 partisi yang berbeda dari X.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Apakah dari himpunan berikut ada yang sama ? Jelaskan
a. {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}
b. ∅, {0}, {∅}
2. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kosong.
(a) X = {x / x2 = 9 .∧. 2x = 4}
______________________________________________ 113
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(b) Y = {x / x ≠ x}
(c) Z = {x / x + 8 = 8}
3. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g}. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e,g}
dan C = {b, e, f, g}
Tentukan :
(a) A ∪ C
(d) Bc ∪ C
(g) C ⊕ Ac
(b) B ∩ A
(e) A ⊕ B
(h) (A – C)c
(c) C – B
(f) Cc ∩ A
(i) (A – Bc)c
(j)
(A ∩ Ac)c
4. Tentukan diagram Venn untuk soal no. 3
5. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c}, Q = {b, c, d} dan R = {a, d}.
Tentukan P x Q x R, kemudian tunjukkan bahwa (P x Q) x R = P x (Q x R)
6. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar untuk A, B dan C
himpunan-himpunan sembarang.
(a) A – (A – B) = A ∩ B
(b) (A – B)c = B ∪ Ac
(c) A – (B ∩ A) = A – B
(d) (A – B) ∩ B = ∅
(e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)
(g) A– (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
(h) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
7. Buktikan (menggunakan bukti kemustahilan) pernyataan-pernyataan berikut ini :
(a) Bc ⊆ Ac ⇒ A ⊆ B.
(b) A ⊆ Bc jika dan hanya jika A ∩ B = ∅
(c) A ∪ B = S jika dan hanya jika Ac ⊆ B (disini S = himpunan semesta)
(d) A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A
(e) Jika A ∩ B = ∅, maka B ∩ Ac = B
(f) Jika A ∩ B = ∅, maka A ∪ Bc = Bc
______________________________________________ 114
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
8. Tentukan himpunan kuasa dari :
(a) himpunan H = {1, 2, 3}
(b) himpunan N = {a, b, c, d}
9. Jika himpunan indeks I = {α, β, γ, ….} maka tunjukkan bahwa :
c
(a) U H i =
i∈I
Hi
c
UH
c
i
I
i∈I
c
(b) I H i =
i∈I
i∈I
10. Untuk setiap himpunan K dan untuk setiap himpunan indeks I, berlakulah :
(a) K ∪
I
i∈I
Hi =
I (K ∪ H )
i
i∈I
U H = U( K ∩ H )
(b) K ∩
i
(c) K −
I
i∈I
i∈I
Hi =
I (K − H )
U( K − H )
(d) K −
i
i∈I
U H
i
i∈I
=
i
i∈I
i
i∈I
11. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar.
(a) (H x K) ∩ M = (H x M) .∩. (K x M)
(b) H x (K ∩ M) = (H x K) ∩ (H x M)
(c) H x (K ∪ M) = (H x K) ∪ (H x M)
(d) (H – K) x M = (H x M) – ( K x M)
(e) H – (K x M) = (H – K) x (H – M)
(f) (H1 ∩ H2) x (K1 ∪ K2) = (H1 x K1) ∪ (H1 x K2) .∩. (H2 x K1) ∪ (H2 x K2)
(g) (H1 ∪ H2) x (K1 ∩ K2) = (H1 x K1) ∩ (H1 x K2) .∪. (H2 x K1) ∩ (H2 x K2)
12.
Apabila M ⊆ H dan N ⊆ K, maka tunjukkan bahwa (M x K) ∩ (H x N) = M x N.
13.
Tentukan partisi dari himpunan = {a, b, b, b, c, d}
______________________________________________ 115
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
SMTS 1101 / 3SKS
LOGIKA MATEMATIKA
Disusun Oleh :
Dra. Noeryanti, M.Si
_______________________________________________ 87
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
DAFTAR ISI
Cover pokok bahasan
..................................................................
87
.....................................................................................
88
Judul Pokok Bahasan .........................................................................
89
4.1. Pengantar ....................................................................................
89
4.2. Kompetensi ..................................................................................
89
4.3. Uraian Materi
89
Daftar isi
.................................................................
4.3.1 Cara Menulis Himpunan
...............................................
90
............................................
91
4.3.3. Operasi-operasi Himpunan .............................................
95
4.3.2 Macam-macam Himpunan
a. Gabungan
..............................................................
95
b. Irisan
...............................................................
96
c. Komplemen
.........................................................
97
d. Selisih
........................................................
98
....................................................
98
4.3.4 Hukum-hukum Aljabar Himpunan..................................
98
4.3.5. Pergandaan Himpunan
................................................
100
4.3.6 Keluarga Himpunan ........................................................
102
4.3.7. Partisi (penggolongan) .....................................................
103
e. Selisih simetris
Rangkuman
....................................................................................
Soal-penyelesaian
Soal-soal latihan
104
.................................................................
107
.............................................................................
113
______________________________________________ 88
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
TEORI HIMPUNAN
4.1
Pengantar
Setelah mahasiswa mempelajari tentang materi pokok proposisi di bab
sebelumnya, diharapkan mampu menggunakanya dalam pembahasan di modul ini.
Disisni akan membahas tentang konsep-konsep dasar teori himpunan yang sering
digunakan di bidang lain.
4.2
Kompetensi
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa diharapkan:
a. Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori himpunan secara benar.
b. Mampu melakukan hitungan-hitungan dalam operasi-operasi himpunan antara
lain gabungan, irisan, komplemen, selisih, pergandaan himpunan, dan partisi.
c. Terampil dalam mengerjakan soal-soal kuis / latihan.
4.3
Uraian Materi
Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan,
atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya, perlu
adanya pengertian tentang himpunan. Menghimpun adalah suatu kegiatan yang
berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki
bersama. Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat
tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau
kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang,
bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen
dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan
secara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan
obyek mana yang bukan menjadi anggota.
Contoh (4.1):
1. Himpuanan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
2
2. Himpuanan semua bilangan riel x yang memenuhi x − 3 x − 4 = 0
______________________________________________ 89
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
3. Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, ± 2, ± 6, ± 8, . . . . .
2
4. Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi x + 3 = 0
Himpunan-himpunan yang akan dibahas disini kita beri simbol dengan huruf
besar dari abjad : A, B, C, ..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggota
dari himpunanya ditulis dengan huruf kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.
Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x ∈ A. Dan jika x bukan
anggota dari himpunan A, maka ditulis x ∉ A.
4.3.1. Cara Penulisan Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh
di atas diraskan sangat bertele-tele tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara
menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan,
ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
1.
Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung
kurawal.
Contoh (4.2):
a.
A = { a, b, c, x, k } artinya
A merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
a, b, c, x, dan k.
b.
B = {Niken, Aisya, Aji} artinya
B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah
Niken, Aisya dan Aji.
c. C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x2 – 3x – 4 = 0
Jadi C = {-1, 4}
2.
Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.
Contoh (4.3):
D = himpunan bilangan riil.
E = himpunan orang-orang asing.
3.
Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.
______________________________________________ 90
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.4):
F = {x / x adalah bilangan riil}
G = {x / x adalah orang asing}
4.3.2.
Macam-macam Himpunan.
Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya,
himpunan terbagi menjadi beberapa macam :
1.
Himpunan kosong (himpunan hampa)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Sering dinyatakan sebagai ∅ atau { }.
Contoh (4.5) :
Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi x 2 + 3 = 0
Atau
H = {x / x = bilanganriil, x 2 + 3 = 0}
ditulis H = ∅
2.
Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas
semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari
Universal).
Contoh (4.6):
S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}
Dikatakan
S merupakan semesta dari himpunan A.
3.
Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit).
Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan
tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.
______________________________________________ 91
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Contoh (4.7):
a. H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}
H disebut himpunan tak berhingga.
b. K = { Ani, Joko, Tuti}
K disebut himpunan berhingga.
4.
Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Dinyatakan dengan simbol : A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.
Contoh (4.8) :
Misal A = {x /x = bilangan bulat positif } dan B = {x /x = bilangan riil}
maka
A⊆B
Sebab setiap elemen dalam A merupakan elemen dalam B, tetapi tidak
sebaliknya.
Teorema (4.1):
“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
Artinya :
∀x x ∈ φ → x ∈ H . Implikasi ini bernilai benar. Dimana anteseden salah
dan konsekuennya benar.
Bukti : [Teorema 4.1]
Akan ditunjukkan : ∅ ⊆ H. menggunakan Reductio Ad Absurdum
Andaikan himpunan ∅ bukan himpunan bagian dari H,
ditulis ∅ ⊄ H atau ∅ ⊆ H
Diturunkan menjadi:
∅⊆H
↔
∀x x ∈ ∅ → x ∈ H
↔ ∃x x ∈ ∅ ⇒ x ∈ H
______________________________________________ 92
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
↔ ∃x x ∈ ∅ . ∧ . x ∈ H
↔ ∃x x ∈ ∅ .∧ . x ∉ H
( mustahil )
Karena himpunan kosong ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat terakhir
ini bernilai salah.
Pengandaian harus diingkar Yaitu himpunan kosong merupakan himpunan
bagian dari setiap himpunan dinyatakan ∅ ⊆ H.
Jadi terbukti bahwa himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap
himpunan.
Contoh (4.9):
Misal : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9}
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himunan B
5. Kesamaan Himpunan.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
A=B ↔
(∀x, x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x, x ∈ B → x ∈ A)
Akibat adanya definisi kesamaan dua himpunan ini, maka
a). A ⊂ B apabila A merupakan himpunan bagian murni dari B.
artiya A himpunan bagian dari b tetapi A ≠ B
b). A ⊆ B apabila A merupakan himpunan bagian dari B.
U
U
A
B
A⊂B ,A≠B
A=B
A=B
______________________________________________ 93
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Contoh (4.10) :
Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}
A, B dan C adalah himpunan – himpunan yang sama
Yaitu A = B = C
6.
Himpunan Berpotongan.
Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan
hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.
Contoh (4.11):
Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8}
A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.
7.
Himpunan Lepas
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika
kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.
Contoh (4.12):
Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}
B = {x /x = bilangan bulat negatif}
Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.
Telah dikemukakan diatas bahwa anggota dari suatu himpunan itu dapat
berupa obyek apa saja. Jadi dapat terjadi bahwa anggota suatu himpunan adalah
himpunan. Agar istilah yang digunakan tidak membingungkan, maka himpunan yang
mempunyai anggota himpunan ini kita namakan Famili himpunan. Diberi notasi
huruf besar latin:
A, B,C,D, .....
______________________________________________ 94
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.13):
a. Misalkan
A
= {{2,5}, {3},{4,6}}, maka
A
adalah suatu famili himpunan
dengan anggota-anggotanya adalah {2,5}, {3}, dan {4,6}
b. Pandang himpunan B = {1,3}, 2 ,{4,6,8},{5}, 7}. Himpunan B ini bukan suatu
famili himpunan karena 2 dan 7 bukan himpunan.
Contoh (4.13):
Misalkan A suatu himpunan. Famili semua himpunan bagian dari A ditulis
P(A). Jika A = {a, b, c, d} tentukan P(A)
Jawab:
Himpunan-himpunan bagian dari A adalah:
∅, {a}, {b}, {c}, {d},
{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},
{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d},
{a,b,c,d}
ada 16 anggota
Jadi P(A)= {∅, {a}, {b}, {c}, {d},{a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},{a,b,c}, {a,b,d},
{a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}}
Catatan:
Jika A suatu himpunan dengan n-anggota, maka famili dari A ditulis P(A) dengan
n
jumlah anggotanya ada 2 .
n
4
Untuk contoh (4.13), n = 4 sehingga P(A) = 2 = 2 = 16
4.3.3. Operasi-Operasi Dalam Himpunan.
1.
Gabungan ( Union ).
Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B”, adalah
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A, atau anggota B, atau
sekaligus kedua-keduanya. Atau A ∪ B didefinisikan sebagai :
______________________________________________ 95
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
A
atau
B
x∈( A ∪ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∨. x ∈ B
A∪B
Diagram venn untuk A ∪ B adalah suatu daerah yang diberi tanda
Contoh (4.14):
Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e }
A ∪ B = { a, b, c, d, e }
B ∪ A = { a, b, c, d, e }
Kesimpulan A ∪ B = B ∪ A = { a, b, c, d, e }
A ∪ A = A dan B ∪ B = B
2.
Irisan ( Intersection )
Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, adalah himpunan
yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan sekaligus anggota B.
didefinikan sebagai:
(A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.
A
atau
B
x∈( A ∩ B ) ↔ ∀x x ∈ A .∧. x ∈ B
A ∩B
Diagram venn A ∩ B digambarkan sebagai daerah yan diarsir (ditengah)
A
B
A ∩B= ∅
A
B
A ∩ B ≠∅
______________________________________________ 96
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.15):
Misalkan A ={ a, b, c } , B = { b, c, d, e } dan C = {a,b,c,e,f}
A ∩ B = { b, c }
B ∩ A = { b, c }
B ∩ C = {b, c, e}
(A ∩ B) ∩ C = { b, c }
A ∩ (B ∩ C) = { b, c }
Kesimpulan
1.
A ∩ A = A dan B ∩ B = B
2.
A∩ B = B∩ A
3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3.
Komplemen.
Komplemen dari himpunan A ditulis Ac atau Al adalah himpunan yang
anggota-anggotanya dalam semesta (S) yang bukan anggota A. Atau
Ac
didefinisikan sebagai :
A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }
S
A
atau
x ∈ A c ↔ (∀x) x ∉ A
Ac
Contoh (4.16):
Misalkan S = { a, b, c, d, e, f, g, h } dan A = { b, d, e, h }
A c = { a, c, f, g }
______________________________________________ 97
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
4.
Selisih Dua Himpunan
Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” atau “A ∩ Bc ” adalah
himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas anggota A dan bukan anggota.
Atau A – B didefinikan sebagai:
A – B = { x /x ∈ A ∧ x ∉ B}
A
B
= {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc }
= A∩ B
c
A −B
Contoh (4.17):
Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, g, h }
A – B = { a, c }
B – A = { b, c }
Kesimpulan: umumnya: A – B ≠ B – A
5.
Jumlah Dua Himpunan (Selisih Simetri)
Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” adalah himpunan
yang anggota-anggotanya terdiri atas
anggota A yang bukan anggota B dan
anggota B yang bukan anggota A. Atau A ⊕ B didefinikan sebagai :
A ⊕ B = {x / x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}
atau
A ⊕ B = {x/x ∈ (A ∪ B) .∧. x ∉ (B ∩ A)}
A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
A ⊕B
Contoh (4.18):
Misalkan A = { a, b, c, d, e } dan B = { b, d, e, f, g, h }
A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h }
______________________________________________ 98
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
A ∩ B = { b, d, e }
A ⊕ B = { a, c, f, g, h }
B ⊕ A = { a, c, f, g, h }
Kesimpulan A ⊕ B = B ⊕ A
4.3.4. Hukum-hukum Aljabar Hipunan
1. Hukum Idempoten: a. A ∪ A = A
b. A ∩ A = A
a. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
2. Hukum Assosiatif :
b. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
3. Hukum Komulatif: a. A ∪ B = B ∪ A
b. A ∩ B = B ∩ A
a. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. Hukum Distributif :
b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
c. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
d. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
5. Hukum identitas: a. A ∪ ∅ = A
b. A ∩ S = A
b. A ∩ ∅ = ∅
a. A ∪ S = S
6. Hukum identitas:
c
b. A ∩ A = ∅
7. Hukum Komplemen:
a. A ∪ A c = S
8. Hukum Komplemen:
a. (Ac )c = A
9. Hukum De Morgan:
c
c
c
a. (A ∪ B) = A ∩ B
c
c
b. Sc = ∅ dan ∅ = S
c
c
b. (A ∩ B) = A ∪ B
______________________________________________ 99
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
4.3.5. Pergandaan Himpunan
Secara intuitif, pasangan (x,y) dikatakan pasangan terurut, atau berurutan
dengan x dikatakan urutan pertama dan y urutan kedua.
Dua pasangan terurut (a, b) dan (c, d) dikatakan sama jika hanya jika a = c
dan b = d. Dapat ditulis sebagai :
(a, b) = (c, d) ↔
a = c . ∧ . b = d.
Dapat diperluas menjadi n–pasangan terurut yaitu :
(a1, a2, ….., an) = (b1, b2, ... bn) ↔
ai = bi, untuk i = 1, 2, …..n.
Contoh (4.17):
1)
(2, 5) dan (5, 2) merupakan dua pasangan yang berbeda.
2)
Setiap titik-titik pada koordinat kartesius menyetakan pasangan terurut
dari bilangan-bilangan riil.
3)
Himpunan {3, 2, 7} bukan pasangan terurut, sebab 3, 2 dan 7 tidak
mempunyai urutan.
Definisi: [Pergandaan Kartesius]
Jika A dan B sembarang himpunan, maka perkalian dua himpuan A dan B
ditulis A x B adalah himpunan dari semua pasangan terurut berbentuk (x,y) dengan
x ∈ A
dan y ∈ B . Perkalian ini juga disebut “pergandaan Kartesius (Cartesian
product)”
Secara matematis dinyatakan sebagai:
{
}
A x B = (x,y) / x ∈ A ∧ y ∈ B
Atau
(x, y) ∈ A x B ↔ ∀(x, y) x ∈ A .∧. y ∈ B
______________________________________________ 100
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
•
Jika himpunan A mempunyai n-anggota dan himpunan B mempunyai manggota maka perkalian himpunan A x B mempunyai (nxm) anggota
•
Jika A dan B adalah dua himpunan kosong, maka A x B adalah himpunan
kosong, yaitu A = ∅ atau B = ∅,
•
maka A x B = ∅.
Jika H adalah suatu himpunan yang tidak kosong, maka hasil ganda terhadap
2
dirinya sendiri dinyatakan sebagai A x A atau A .
Contoh (4.18):
Misalkan H = {1, 3, 7},
maka
H x H = {(1,1), (1,3), (1,7), (3,1), (3,3), (3,7), (7,1), (7,3), (7,7)}
Diagram koordinatnya sbb: :
y
7
3
1
0
1
3
7
x
Diagram Koordinat H x H
•
Pada umumnya pergandaan himpunan tidak mempunyai sifat kumutatif yaitu
A x B ≠ B x A.
Contoh (4.19):
Ambil H = {a, b} dan K = {c, d}
maka
______________________________________________ 101
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
H x K = {(a, c), (a, d), (b, c), (b ,d)} dan
K x H = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}
Karena (a, c) ≠ (c, a), (a, d) ≠ (d, a), (b, c) ≠ (c, b) dan (b, d) ≠ (d, b)
maka (H x K) ≠ (K x H)
4.3.5. Keluarga Himpunan , Hipunan Kuasa dan Himpunan Indeks
1.
Keluarga himpunan
Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip
(Script Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf
besar biasa.
Contoh(4.20) :
A = { {2}, {a}, {1,3} }
B = {{1,3},{2},{2,3,5},{6,79}}
2.
Himpunan kuasa ,
Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2
A
adalah keluarga
himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.
Contoh(4.21) :
Misalkan A = {a, b}, maka
A
Himpunan kuasa dari A = 2 = { ∅, {a}, {b}, {a, b} }
Dengan banyakanggota nya = n(A) = n(2A) = 22 = 4 anggota.
3.
Himpunan indeks
Yang dimaksud himpunan indeks ditulis I adalah himpunan yang terdiri atas
indeks-indeks.
______________________________________________ 102
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Contoh (4.22) :
1. Misalkan I = {1, 2, 3,…..}
Maka
I
i∈I
Hi = H1 ∩ H2 ∩ ........ adalah keluarga himpunan
= H1 ∪ H2 ∪ ......
UHi
i∈I
adalah keluarga himpunan
2. Misalkan I = { α, β, χ, …..}
Maka
I
i∈I
Hi = Hα ∩ Hβ ∩ ......... adalah keluarga himpunan
= Hα ∪ Hβ ∪ ........ adalah keluarga himpunan
UHi
i∈I
4.3.6. Partisi ( penggolongan )
Suatu partisi pada himpunan X
adalah suatu cara untuk membagi
himpunan X menjadi beberapa himpunan bagian yang saling lepas, dan gabungan
dari himpunan-himpunan bagian tersebut sama dengan X. Himpunan bagian pada
suatu partisi
disebut “sel” ( katakan A i = sel; i = 1, 2,....m ).
himpunan-himpunan bagian X
yaitu
Jadi koleksi dari
X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi
atau penggolongan jika memenuhi syarat :
(1)
X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =
(2)
Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j
m
UA
i
i =1
Contoh (4.23):
Misalkan X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Perhatikan kelas-kelas pada himpunan bagian X.
(i) {{1, 3, 5}, {2, 5}, {4, 8, 9}}
(ii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}}
______________________________________________ 103
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(iii) {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}}
maka
(i) . Bukan partisi dari X, sebab 7∈ X , tetapi 7 tidak termasuk pada
suatu sel.
(ii). Bukan partisi dari X, sebab 5∈X dan 5∈{1, 3, 5}sekaligus 5∈{5, 7, 9}
(iii). Prtisi dari X, sebab X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Rangkuman
1.
Himpunan-himpunan diberi simbol dengan huruf besar dari abjad : A, B, C,
..….,K, L, M,……. ,X ,Y, Z. Sedangkan anggota-anggotanya ditulis dengan huruf
kecil a, b, …….. x, y, ….. dan seterusnya.
2.
Ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:
a.
Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda
kurung kurawal.
b. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.
c.
3.
Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.
Macam-macam Himpunan.
a. Himpunan adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering
dinyatakan sebagai ∅ atau { }.
b.
Himpunan semesta adalah himpunan dari semua obyek yang sedang
dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U.
c.
Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang
banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika
himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak
berhingga.
______________________________________________ 104
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
d.
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “
A ⊆ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Dinyatakan
dengan simbol
4.
A ⊆ B jika dan hanya jika (∀x) x∈A → x ∈ B.
Teorema (4.1):
“Himpunan kosong ∅ merupakan himpunan bagian setiap himpunan” atau
ditulis sebagai ∅ ⊆ H. ( dimana H adalah sembarang himpunan)
5.
Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika
A ⊆ B dan B ⊆ A. Dinyatakan dengan simbol
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A
A=B ↔
(∀x x ∈ A → x ∈ B) .∧. (∀x x ∈ B → x ∈ A)
Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A ∝ B” jika dan hanya
6.
jika ada anggota A yang menjadi anggota B.
7.
Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika kedua
himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.
8.
Operasi-Operasi Dalam Himpunan.
a. Gabungan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∪ B” didefinisikan
sebagai : (A ∪ B) = {x / x ∈ A .∨. x ∈ B}
b. Irisan dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ∩ B”, didefinikan sebagai:
(A ∩ B) = {x / x ∈ A.∧. x ∈ B}.
c.
Komplemen dari himpunan A ditulis A
c
didefinisikan sebagai :
A c = {x /x ∉ A ∧ x ∈ S }
d.
Selisih dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A – B” didefinikan sebagai:
c
A – B = {x /x ∈ A ∧ x ∉ B} = {x /x ∈ A ∧ x ∈ Bc } = A ∩ B
e.
Jumlah dua himpunan A dan himpunan B ditulis “A ⊕ B” didefinikan sebagai
______________________________________________ 105
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
A ⊕ B = {x/x ∈ (A – B) .∨. x ∈ (B – A)}
A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
9.
Hasil ganda kartesius (Cartesian product) dari dua himpunan H dan K ditulis “H
x K” didefinikan sebagai :
H x K ={ (x, y) / x ∈ H .∧. y ∈ K }
10. Yang dimaksud keluarga himpunan adalah himpunan dimana obyek-obyeknya
terdiri atas himpunan-himpunan. Biasanya dinyatakan dengan huruf skrip (Script
Letter) seperti A, B, ….. dan seterusnya, atau dapat juga dengan huruf besar
biasa.
11. Yang dimaksud himpunan kuasa dari himpunan A ditulis 2
A
adalah keluarga
himpunan yang obyek-obyeknya terdiri atas himpunan bagian (subset) dari A.
12. Himpunan indeks (ditulis I) adalah himpunan yang terdiri atas indeks-indeks.
a.
I
i∈I
b.
Hi = H1 ∩ H2 ∩ ........
UHi
i∈I
c.
I
i∈I
d.
= H1 ∪ H2 ∪ ......
Hi = Hα ∩ Hβ ∩ .........
UHi
i∈I
13.
= Hα ∪ Hβ ∪ ........
Himpunan X = {A1 , A 2 ,....., A m } disebut suatu partisi ( penggolongan) jika
memenuhi syarat :
(1)
X = A1 ∪ A 2 ∪ ....... ∪ A m =
(2)
Ai ∩ Aj = ∅; untuk setiap A i ≠ A j
m
UA
i =1
i
______________________________________________ 106
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c, d}, Q = {c, d, e, f} dan R = {b, c, d, e}
Tentukan :
(a) P ∩ Q ; P ∪ Q ; P ∩ R ; P ∪ R ; Q ∩ R ;
Q∪R
(b) Apakan sifat assosiatif (P ∩ R) ∩ R = P ∩ ( Q ∩ R)
(c) Apakah sifat distributif P ∩ ( Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) dan
(d) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R) dipenuhi ? Jelaskan !
(e) Gambarkan diagram venn untuk soal 1a s/d 1f
Jawab :
(a) P ∩ Q = {c, d} ; P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f};
P ∩ R = {b, c, d}; P ∪ R = {a, b,
Q ∩ R = {c, d, e}; dan Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
c, d, e};
(b) Dipenuhi, sebab : (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) = {c, d} dan
(P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) = {a, b, c, d, e, f}.
(c) Dipenuhi, sebab : P ∩ (Q ∩ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {b, c, d} dan
P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ R) ∩ (P ∪ R) = {a, b, c, d, e}
(d) Diagram-diagram Venn.
S
P
Q
a
c
e
b
d
f
S
P
R
S
Q
S
c
b
a
c
d
e
b
d
f
e
P ∩ Q = {c, d}
P ∩ R = {b, c, d}
Q ∩ R = {c, d, e}
P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ R = {a, b, c, d, e}
Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
2. Untuk P, Q, dan R pada soal nomor 1, tunjukan apakah sifat-sifat berikut ini
dipenuhi
(a)
P ⊕ (Q ∪ R) = (P ⊕ Q) ∪ (P ⊕ R)
(b)
P ∪ (Q ⊕ R) = (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)
______________________________________________ 107
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
Jawab :
(a) Q ∪ R = {b, c, d, e, f}
P ⊕ (Q ∪ R) = {a, e, f}
P ⊕ Q = {a, b, e, f}
P ⊕ R = {a, e}
Jadi P ⊕ (Q ∪ R) ≠ (P ⊕ R) ∪ (P ⊕ R)
(b) Q ⊕ R = {b, f}
P ∪ (Q ⊕ R) = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ Q = {a, b, c, d, e, f}
P ∪ R = {a, b, c, d, e}
(P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R) = {f}
Jadi P ∪ (Q ⊕ R) ≠ (P ∪ Q) ⊕ (P ∪ R)
3. Buktikan : Jika A ⊆ B maka Bc ⊆ Ac
Bukti : Untuk membuktikan ada 2 cara.
(a)
Secara langsung. (menggunakan kontraposisinya)
(b)
Secara tidak langsung. (menggunakan bukti kemustahilan)
Yang harus dibuktikan : A ⊆ C →
Bc ⊆ Ac
(a) Secara langsung
Dari ketentuan A ⊆ B berarti ∀x
x∈A → a∈B
∀x
x∉B → x∉A
Dengan kontraposisinya :
Ambil sembarang x ∈ Bc, berarti x ∉ B. Sehingga x ∉ A, yaitu x ∈ Ac.
Terbukti ∀x x ∈ Bc → x ∈ Ac. Jadi Bc ⊆ Ac
(b) Secara tidak langsung (bukti kemustahilan)
Dari ketentuan A ⊆ B, akan ditunjukkan Bc ⊆ Ac
atau
Diketahui : A ⊆ B berarti ∀x x ∈ A → x ∈ B
Akan ditunjukkan : Bc ⊆ Ac.
Bukti :
______________________________________________ 108
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
Andaikan Bc ⊄ Ac berarti B c ⊆ A c menurut definisi
∀x x ∈ B c → x ∈ Ac
↔ ∃ x x ∈ Bc → x ∈ A c
↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ A c
↔
∃x x ∈ Bc . ∧ . x ∈ A
↔ ∃ x x ∈ Bc . ∧ . x ∉ B
diketahui
↔ ∃ x x ∈ ( Bc ∩ B )
↔ ∃x x ∈∅
(= mustahil)
Karena himpunan ∅ tidak mempunyai anggota, maka kalimat “x ∈ ∅” pasti
bernilai salah.
Pengandaian harus diingkar, yaitu Bc ⊆ Ac
Jadi terbukti A ⊆ B → Bc ⊆ Ac .
4. Buktikan : A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) bernilai benar.
Jawab :
A – (B ∪ C) = {x / x ∈ A .∧. x ∉ (B ∪ C)}
= {x / x ∈ A .∧. x ∈ (B ∪ C)c}
= {x / x ∈ A .∧. x ∈ (Bc ∩ Cc)}
= {x / x ∈ A .∧. (x ∈ Bc .∧. x ∈ Cc)}
= {x / (x ∈ A .∧. x ∈ Bc) .∧. (x ∈ A .∧. x ∈ Cc)}
= {x / x ∈ A .∧. x ∉ B} .∩. {x / x ∈ A .∧. x ∉ C}
= (A – B) .∩. (A – C)
Jadi terbukti A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
5. Diketahui : A = {a, b}, B = {2, 3}, dan C = {3, 4}. Tentukan :
(1) A x (B ( C)
______________________________________________ 109
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(2) (A x B) ∪ (A x C)
(3) A x (B ( C)
(4) (A x B) ∩ (A x C)
Jawab :
(1)
B ∪ C = {2, 3, 4}
A x (B ∪ C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
(2)
A x B = {(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)}
A x C = {(a, 3), (a, 4),(b, 3), (b, 4)}
(A x B) ∪ (A x C) = {(a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
(3)
B ∩ C = {3}
A x (A ∩ C) = {(a, 3), (b, 3)}
(4)
A x B dan A x C lihat jawaban (2)
(A x B) ∩ (A x C) = {(a, 3), (b, 3)}
Perhatikan, dari jawaban (1) s/d (4) diperoleh :
A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) dan A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
6. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, dan C = {3, 4, 5}.
Tentukan A x B x C.
Jawab :
Salah satu cara untuk menentukan A x B x C adalah dengan membuat “diagram
pohon” seperti di bawah ini.
______________________________________________ 110
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
2
1
4
2
2
4
2
3
4
3
4
5
3
4
5
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 2, 5)
(1, 4, 3)
(1, 4, 4)
(1, 4, 5)
3
4
5
3
4
5
(2, 2, 3)
(2, 2, 4)
(2, 2, 5)
(2, 4, 3)
(2, 4, 4)
(2, 4, 5)
3
4
5
3
4
5
(3, 2, 3)
(3, 2, 4)
(3, 2, 5)
(3, 4, 3)
(3, 4, 4)
(3, 4, 5)
a) A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
7. Buktikan :
b) (A x B) ∪ C = (A ∪ C) x (B ∪ C)
Jawab :
Ambil sembarang himpunan-himpunan A, B, dan C.
(a) A x (B ∪ C)
= {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ (B ∪ C)}
= {(x, y) / x ∈ A .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) .∨. (x ∈ A .∧. y ∈ C)}
= {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ B} ∪ {(x, y) / x ∈ A .∧. y ∈ C)}
= (A x B) . ∪. (A x C)
Terbukti A x (B ∪ C) = (A x B) .∪. (A x C)
(b) (A x B) ∪ C
= {k / k ∈ (A x B) ∨ k ∈ C}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x, y) ∈ C} ……………..(*)
______________________________________________ 111
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(A ∪ C) x (B ∪ C) = {(x, y) / x ∈ (A ∪ C) .∧. y ∈ (B ∪ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∨. x ∈ C) .∧. (y ∈ B .∨. y ∈ C)}
= {(x, y) / (x ∈ A .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
= (x ∈ C .∧. y ∈ B) ∨ (x ∈ C .∧. y ∈ C)} ………. (**)
dari (*) dan (**) diperoleh (A x B) ∪ C ≠ (A ∪ C) x (B ∪ C).
8. Misalkan A = B ∩ C. Tentukan manakah dari pernyataan berikut ini yang
mempunyai nilai benar ?
(a) A x A = (B x B) ∩ (C x C)
(b) A x A = (B x C) ∩ (C x B).
Jawab :
(a) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
= {(x,y) /x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}
= {(x,y) / x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}
= {(x,y) / (x∈ B .∧. y ∈ B) .∧. (x ∈ C .∧. y ∈ C)}
= {(x,y) / x ∈ b .∧. y ∈ B} ∩ {(x,y) /x ∈ C .∧. y ∈ C}
= (B x B) .∩. (C x C)
Jadi A x A = (B x B) ∩ (C x C)
(b) Benar, sebab A x A = (B ∩ C) x (B ∩ C)
= {(x,y)/x ∈ (B ∩ C) .∧. y ∈ (B ∩ C)}
= {(x,y)/x ∈ B .∧. x ∈ C .∧. y ∈ B .∧. y ∈ C}
= {(x,y)/(x ∈ B .∧. y ∈ C) ∧ (x ∈ C .∧. y ∈ B)}
= {(x,y)/x ∈ B .∧. y ∈ C} ∩ {(x,y)/x ∈ C .∧. y ∈ C}
= (B x C) ∩ (C x B)
Jadi A x A = (B x C) ∩ (C x B)
9. Diketahui X = {a, b, c, d, e, f, g} dan himpunan bagian himpunan bagian
dari adalah,
______________________________________________ 112
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
(a) A1 = {a, c, e}, A2 = {b}, dan A3 = {d, g}
(b) B1 = {a, e, g}, B2 = {c, d}, dan B3 = {b, e, f}
(c)
C1 = {a, b, e, g}, C2 = {c}, dan C3 = {d, f}
(d)
D1 = {a, b, c, d, e, f, g}
Maka tentukan yang mana diantara (a) sampai dengan (d) yang
merupakan partisi dari X ?
Jawab:
(a) {A1,A2,A3} bukan partisi dari X, sebab f ∈ X , f ∉ A1, f ∉ A2 dan f∉ A3.
(b) {B1,B2,B3} bukan partisi dari X, sebab e∈X , tetapi e ∈ B1 dan e ∈ B3.
(c) {C1, C2, C3} partisi dari X, sebab X = {C1, C2, C3}
(d) {D1} merupakan partisi dari X.
10. Tentukan semua partisi dari X = {a, b, c, d}.
Jawab :
Partisi dari X adalah : [{a, b, c, d}] ; [{a}, {b, c, d}], [{b}, {a, c, d}], [{c}, {a,
b, d}], [{d}, {a, b, c}] ;
[{a,b}, {c,d}] ; [{a,c}, {b,d}] ; [{a,d}, {b,c}] ; [{a}, {b}, {c,d}] ; [{a}, {c}, {b,d}];
[{a}, {d}, {b,c}] ; [{b}, {c}, {a, d}] ; [{b}, {d}, {a,c}] ; [{c}, {d}, {a,b}] ;
[{a}, {b}, {c}, {d}]
Ada 15 partisi yang berbeda dari X.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Apakah dari himpunan berikut ada yang sama ? Jelaskan
a. {r, t, s}, {s, t, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}
b. ∅, {0}, {∅}
2. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kosong.
(a) X = {x / x2 = 9 .∧. 2x = 4}
______________________________________________ 113
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
Dra. Noeryanti, M.Si
(b) Y = {x / x ≠ x}
(c) Z = {x / x + 8 = 8}
3. Misalkan himpunan semesta S = {a, b, c, d, e, f, g}. A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e,g}
dan C = {b, e, f, g}
Tentukan :
(a) A ∪ C
(d) Bc ∪ C
(g) C ⊕ Ac
(b) B ∩ A
(e) A ⊕ B
(h) (A – C)c
(c) C – B
(f) Cc ∩ A
(i) (A – Bc)c
(j)
(A ∩ Ac)c
4. Tentukan diagram Venn untuk soal no. 3
5. Diketahui himpunan-himpunan P = {a, b, c}, Q = {b, c, d} dan R = {a, d}.
Tentukan P x Q x R, kemudian tunjukkan bahwa (P x Q) x R = P x (Q x R)
6. Tunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut ini benar untuk A, B dan C
himpunan-himpunan sembarang.
(a) A – (A – B) = A ∩ B
(b) (A – B)c = B ∪ Ac
(c) A – (B ∩ A) = A – B
(d) (A – B) ∩ B = ∅
(e) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(f) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C)
(g) A– (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
(h) (A−B) ∪ (B −A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)
7. Buktikan (menggunakan bukti kemustahilan) pernyataan-pernyataan berikut ini :
(a) Bc ⊆ Ac ⇒ A ⊆ B.
(b) A ⊆ Bc jika dan hanya jika A ∩ B = ∅
(c) A ∪ B = S jika dan hanya jika Ac ⊆ B (disini S = himpunan semesta)
(d) A ⊆ B jika dan hanya jika A ∩ B = A
(e) Jika A ∩ B = ∅, maka B ∩ Ac = B
(f) Jika A ∩ B = ∅, maka A ∪ Bc = Bc
______________________________________________ 114
MODUL LOGI KA MATEMATI KA
TEORI HI MPUNAN
8. Tentukan himpunan kuasa dari :
(a) himpunan H = {1, 2, 3}
(b) himpunan N = {a, b, c, d}
9. Jika himpunan indeks I = {α, β, γ, ….} maka tunjukkan bahwa :
c
(a) U H i =
i∈I
Hi
c
UH
c
i
I
i∈I
c
(b) I H i =
i∈I
i∈I
10. Untuk setiap himpunan K dan untuk setiap himpunan indeks I, berlakulah :
(a) K ∪
I
i∈I
Hi =
I (K ∪ H )
i
i∈I
U H = U( K ∩ H )
(b) K ∩
i
(c) K −
I
i∈I
i∈I
Hi =
I (K − H )
U( K − H )
(d) K −
i
i∈I
U H
i
i∈I
=
i
i∈I
i
i∈I
11. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar.
(a) (H x K) ∩ M = (H x M) .∩. (K x M)
(b) H x (K ∩ M) = (H x K) ∩ (H x M)
(c) H x (K ∪ M) = (H x K) ∪ (H x M)
(d) (H – K) x M = (H x M) – ( K x M)
(e) H – (K x M) = (H – K) x (H – M)
(f) (H1 ∩ H2) x (K1 ∪ K2) = (H1 x K1) ∪ (H1 x K2) .∩. (H2 x K1) ∪ (H2 x K2)
(g) (H1 ∪ H2) x (K1 ∩ K2) = (H1 x K1) ∩ (H1 x K2) .∪. (H2 x K1) ∩ (H2 x K2)
12.
Apabila M ⊆ H dan N ⊆ K, maka tunjukkan bahwa (M x K) ∩ (H x N) = M x N.
13.
Tentukan partisi dari himpunan = {a, b, b, b, c, d}
______________________________________________ 115
MODUL LOGI KA MATEMATI KA