E-BOOK METERI HAFALAN TPA (FOKUS TES MATEMATIKA)

B. Bi l angan Romawi

DASAR OPERASI BILANGAN DAN

Lambang Bilangan

BILANGAN ROMAWI

Romawi Asli

X 10

A. Hi tung Campuran

L 50

C 100 Urutan pengerjaan hitung campuran:

D 500

1. Jika dalam soal terdapat perkalian dan M 1000 pembagian, maka kerjakan dari kiri ke kanan.

• 3 x (–5) : 15 = (–15) : 15 = –1

Aturan Penulisan

• (–100) x 100 : 100 : (–100)

a. Sistem Pengulangan

= (–10000) : 100 : (–100) = (–100) : (–100) = 1 • Pengulangan paling banyak 3 kali.

2. Jika dalam soal terdapat perkalian, pembagian, • Bilangan Romawi yang boleh diulang I, X, C, penjumlahan, atau pengurangan, maka kerjakan

dan M.

perkalian atau pembagian dahulu, baru lanjutkan • Sedang yang tidak boleh diulang V dan L. penjumlahan atau pengurangan.

Contoh: Contoh: III =3

381 x 12 + 100 : 20 – 1000 = …

IIII ≠ 4 melainkan IV = 4 381 12 100 : 20 1000 ×+ − = 4572 5 1000 3577 +− = VV ≠ 10 melainkan X = 10

3. Jika dalam soal terdapat tanda kurung, maka

b. Sistem Pengurangan

kerjakan yang ada di dalam tanda kurung • Jika bersebelahan, bilangan kanan harus lebih terlebih dahulu.

besar dari bilangan yang ada di sebelah kiri. • Dilakukan paling banyak 1 angka.

2. 427 x (15 + 73) – 29.789 CM = 1000 – 100 = 900 = (427 x 88) – 29.789 = 37.576 – 29.789 = 7.787

© Pustaka Widyatama 2010 © Pustaka Widyatama 2010

PECAHAN DAN PERSEN • Dilakukan paling banyak 3 angka.

Contoh:

VII =5+1+1=7 VIIII ≠9

A. Pecahan Seni l ai

(tidak diperbolehkan: 4 kali penambahan) Pecahan senilai adalah bilangan pecahan yang nilainya XXXVIII = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 38

sama.

a a xn c Penggabungan antara pengurangan dan

d. Penggabungan

b b d xn

= MCMXCVII 3 3 x3 9

Tambahan Apabila suatu bilangan romawi diberi tanda setrip satu di atas maka dikalikan 1.000.

B. Menyederhanakan Pecahan

Apabila bertanda setrip dua di atas, maka dikalikan 1.000.000.

Dengan menyederhanakan pecahan, akan Contoh: didapatkan hasil yang terkecil dengan nilai yang

sama.

V = 5 x 1.000 = 5.000

C = 100 x 1.000.000 = 100.000.000 a a :n = c =

b b d :n Syarat:

a. Pembilang dan penyebut berangka besar dan masih dapat dibagi.

b. Pembilang dan penyebut dibagi dengan angka yang sama.

Pecahan Campuran Diubah ke Pecahan Biasa

c. Untuk menghasilkan hasil terkecil (sudah tidak bisa dibagi lagi), maka pembaginya adalah FPB (Faktor

Cara:

Persekutuan Terbesar) dari pembilang dan Bilangan bulat dikalikan penyebut ditambahkan penyebut. pembilang dan mengganti pembilang sebelumnya.

Contoh: b (a x c) + b

a 4 = ... =

12 FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari 4 dan 12

Contoh:

adalah

4, maka pembilang dan penyebut dibagi

3 (2 x 7) + 3 17

a. 2 =

dengan angka 4 untuk mendapatkan hasil yang

terkecil. 2 (20 x 3) + 2 62

D. Operasi Hi tung Pecahan Bi asa

C. Mengubah Pecahan

1. Penjumlahan

Pecahan Biasa Diubah ke Pecahan Campuran

Cara: Syarat: Penyebut dari pecahan disamakan terlebih

Pembilang lebih besar dari penyebut dahulu. Untuk menyamakan penyebut dapat menggunakan

Cara: KPK (Kelipatan Persekutuan

Terkecil)

Pembilang dari kedua penyebut.

dibagi penyebut, hasil menjadi bilangan

3 5 9 20 29 5 bulat dan sisanya sebagai pembilang. Contoh: += + = = 1

Contoh: 2. Pengurangan

a. = 5 : 3 = 1 sisa 2, maka jawabannya : 1

Cara:

3 3 Sama halnya dengan penjumlahan, penyebut

26 dari pecahan disamakan terlebih dahulu. Untuk

b. = 26 : 4 = 6 sisa 2,

4 menyamakan penyebut dapat menggunakan KPK

2 1 (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari kedua maka jawabannya : 6 atau 6 penyebut.

© Pustaka Widyatama 2010

Contoh: E. Operasi Hi tung Pecahan Desi mal

5 6 30 30 30 30 1. Menjumlah dan Mengurangkan Pecahan

30 a. Jika menemukan soal menjumlah dan mengurang‐ kan pecahan desimal, kerjakan dengan cara

3. Perkalian

susun ke bawah dan urutkan sesuai dengan nilai Cara: tempat.

Mengalikan di kedua bagian secara langsung,

Contoh:

pembilang dengan pembilang dan penyebut 9,25 dengan penyebut.

1. 9,25 + 5,6 = 14,85 karena : _____ 5,6 Contoh: + 14,85

Sedang untuk mempercepat, bila ada yang dapat

2. 9,25 – 5,6 = 3,65 karena : _____ 5,6 diperkecil

antara pembilang dan penyebut, maka 3,65 dapat disederhanakan terlebih dahulu.

b. Jika mendapat pengerjaan gabungan, pecahan 3 4 3

b. x = itu diubah menjadi pecahan biasa. 4 5 5

Contoh: 5 + 2,75 35% ... − =

4. Pembagian

4 Cara: Diubah menjadi:

Untuk mendapatkan hasil bagi, maka harus

= 7 = 7,65 765% = diubah menjadi perkalian terlebih dahulu. Untuk

100 mengubah ke perkalian, pecahan yang membagi

Mengalikan dan Membagi Pecahan Desimal

dibalik posisinya antara pembilang dan

a. Jika mendapatkan perkalian pecahan desimal, penyebut terlebih dahulu. kerjakan dengan cara susun ke bawah.

harus

Contoh: Contoh: 2,6 x 0,15 = 0,39 karena:

Jawab:

kerjakan dengan pembagian ke bawah.

Turun harga =

x Rp 8.500.000,00

= Rp 1.275.000,00 Contoh: 3,6 : 12 = 0,3 karena : ___ − Uang yang diterima Pak Sarwoko dari hasil

0 penjualan motor tersebut adalah

c. Jika mendapatkan pembagian pecahan desimal = Rp 8.500.000,00 ‐ Rp 1.275.000,00 = Rp dengan pecahan desimal, bilangan pembaginya

diubah menjadi bilangan bulat lebih dahulu.

3. Anung akan membeli sepasang sepatu seharga Contoh: Rp 80.000,00. Dia melihat ada label diskon 20 %.

4,5 : 0,9 = 5 karena diubah menjadi 45 : 9 = 5 Jadi, berapa jumlah uang yang harus dibayarkan Anung untuk membeli sepatu tersebut? Jawab:

F. PECAHAN PERSEN (%) DAN

x Rp 80.000,00 = Rp 16.000,00 PENERAPAN

Diskon =

100 Jumlah uang yang harus dibayarkan Anung untuk

Pecahan persen dikaitkan dengan perhitungan membeli sepatu tersebut bunga bank, potongan harga, laba‐rugi, dan lain‐lain.

= Rp 80.000,00 ‐ Rp 16.000,00 = Rp 64.000,00 Contoh:

1. Ardi menabung di bank sebesar Rp 250.000,00.

Diketahui bahwa besar bunga bank adalah 13% setahun. Berapa rupiah banyak tabungan Ardi setelah 1 tahun ? Jawab: Besar bunga bank 1 tahun

13 = x Rp 250.000,00 = Rp 32.500,00 100

Banyak tabungan Ardi setelah 1 tahun = Rp 250.000,00 + Rp 32.500,00 = Rp 282.500,00

2. Pak Sarwoko membeli motor seharga Rp 8.500.000,00. Pada saat dijual kembali harga motor itu turun 15%. Berapa rupiah uang yang diterima Pak Sarwoko dari hasil penjualan motor tersebut ?

© Pustaka Widyatama 2010

B. FPB

Faktor Persekutuan terBesar (FPB) dari dua bilangan KPK DAN FPB

adalah hasil kali semua faktor prima yang sama dan pangkat terendah.

Contoh: Cari FPB dari 84 dan 120.

Penyelesaian: Bi l angan Pri ma

Cara I, dengan menentukan faktor kelipatannya,

a. Bilangan prima adalah bilangan yang tepat

yaitu

mempunyai 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan

84 = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 81. bilangan itu sendiri.

Contoh: 60, 120.

2 mempunyai faktor 1 dan 2. Maka, FPB dari 84 dan 120 adalah 12.

3 mempunyai faktor 1 dan 3.

Cara II, dengan pohon faktor

5 mempunyai faktor 1 dan 5.

7 mempunyai faktor 1 dan 7. FPB 2 =×= 3 2 ⎬ 3 12 Jadi, bilangan prima = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

b. Faktor prima adalah bilangan prima yang dapat digunakan untuk membagi habis suatu bilangan. Contoh: Faktor prima dari 18 adalah 2 dan 3.

Faktor prima dari 30 adalah 2, 3, dan 5. Untuk menentukan FPB tiga bilangan caranya sama dengan FPB dua bilangan. Cara menentukan dapat

c. Faktorisasi prima adalah perkalian semua bilangan dilaksanakan dengan beberapa cara. prima yang merupakan faktor dari suatu

Contoh: bilangan. FPB dari 72, 96, dan 144 adalah 24. Contoh: Penyelesaian:

Faktorisasi prima dari 32 adalah = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Cara I:

5 dengan menentukan faktor kelipatannya,

=2 yaitu

Faktorisasi prima dari 40 adalah = 2 x 2 x 2 x 5

72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 =2 3 x5

96 = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 32, 48, 96 144 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24, 36, 48, 72, 144 Maka FPB dari 72, 96, dan 144 adalah 24.

Cara II: dengan pohon faktor

Cata II

Penentuan KPK dengan pohon faktor adalah = × 3 ⎫

perkalian dari semua faktor primanya. Jika ada 5 ⎪⎪ 96 3 = 2 × 3 ⎬ FPB 2 =×= 3 24

faktor yang sama, ambil nilai pangkat yang tertinggi. 144 = 2 4 3 2

Jadi, FPB dari 72, 96, dan 144 = 24.

PERBANDINGAN DAN SKALA

C. KPK

Kelipatan

Persekutuan Terkecil (KPK)

adalah

bilangan asli yang menjadi kelipatan persekutuan dua

bilangan atau lebih.

A. Perbandi ngan

KPK dua bilangan atau lebih adalah perkalian semua angka faktor prima ditulis dan cari pangkat yang

Perbandingan adalah membandingkan suatu terbesar. besaran dari dua nilai atau lebih dengan cara yang

sederhana. Contoh:

Cari KPK dari 84 dan 120.

Ditulis

Penyelesaian: A C

= Cara I,

A:BC:D =

atau

dengan menentukan kelipatan

persekutuannya, yaitu

Perbandingan Dua Nilai

A:Bp:q =

Maka, KPK dari 84 dan 120 adalah 840.

Mencari

A jika B diketahui.

Contoh:

p Perbandingan bola R dan T adalah 5 : 10. Jika jumlah

A:Bp:q = ⇒=× A B

q bola keduanya adalah 450. Tentukan jumlah bola R •

Mencari

B jika A diketahui.

dan T!

Penyelesaian: A:Bp:q = ⇒=× B A R

: T = 5 : 10 R + T = 450

Mencari perbandingan jika jumlahnya (A + B)

× 450 =× 5 30 150 = A:Bp:q

diketahui. Jumlah bola R =

Jika + A B diketahui, maka

10 10 30 p

× 450 = × 10 30 = 300 A =

Jumlah bola T =

15 pq +

× ( AB + ) ⇒= B × ( AB + )

pq +

Mencari nilai perbandingan jika selisihnya (A –

Jadi, jumlah bola R ada 150 bola dan jumlah bola T

B) diketahui. ada 300 bola.

A:Bp:q = Jika − A B diketahui, maka

Perbandingan Tiga Nilai

× ( AB −⇒= ) B × ( AB − )

A:B:C = p:q:r

Jika jumlah (A + B + C) diketahui, maka,

Nilai p – q selalu positif karena hanya

menunjukkan selisih nilai di antara keduanya.

× ( ABC ++

++ Contoh: B q = × ( ABC ++ )

pqr

Uang Adam dibandingkan uang Dian adalah 3: 5. Jika

pqr ++

uang Adam Rp 75.000,00, berapakah uang Dian?

× ( ABC ++ pqr ) ++

Penyelesaian:

A:B3:5 =

B =× Rp 75.000,00 Rp 125.000,00 =

3 Jadi, uang Dian Rp 125.000,00.

Jika jumlah (A + B) saja yang diketahui, maka,

× 6000000 p

Uang F =

A = 357 × ++

pq ( AB + + )

× ( AB + )

pq + r

× 6000000 pq +

× ( AB + )

Uang R =

Jika jumlah (A – B) saja yang diketahui, maka,

× ( AB − )

pq −

Jadi, uang L = Rp 1.200.000,00, q

F = Rp 2.000.000,00, dan pq −

× ( AB − ) uang

uang R = Rp 2.800.000,00. r

pq ( AB − )

Contoh:

− Perbandingan kelereng Vani: Veri: Vita = 3: 5: 7. Jika Catatan: selisih kelereng Vani dan Veri adalah 50, berapakah

Nilai p – q selalu positif karena hanya

kelereng masing‐masing?

menunjukkan selisih nilai di antara keduanya.

Penyelesaian: Vani : Veri: Vita = 3: 5: 7 Contoh: Vani – Veri = 50

Perbandingan uang L: F: R = 3: 5: 7. Jika jumlah uang 3 3 25

× 50 = × 3 25 75 = mereka Rp 6.000.000,00, berapakah uang masing‐

Kelereng Vani =

Penyelesaian: Kelereng Veri =

F: R = 3: 5: 7 7 7 25 L + F + R = Rp 6.000.000,00

Kelereng Vani =

2 Uang L =

× 6000000 Jadi, kelereng Vani, Veri, dan Vita adalah 75, 125 357 ++

© Pustaka Widyatama 2010

B. Perbandi ngan Seni l ai dan

Contoh: Sebuah besi panjangnya 2,5 m terletak tegak lurus di

Berbal i k Ni l ai lapangan terbuka, bayangan besi 50 cm. Di tempat yang sama, tentukan panjang bayangan suatu pohon

jika pohon tersebut tingginya 30 m. Perbandingan dapat dikatakan sebagai bentuk lain

Pembahasan:

dari pecahan. Perbandingan dibedakan menjadi dua,

2,5 m = 250 cm

yaitu perbandingan senilai dan perbandingan

30 m = 3000cm

berbalik nilai.

= 3000 x

1. Perbandingan senilai

250x = 50.3000

Perbandingan senilai adalah perbandingan yang

= 600 cm juga akan semakin besar. Sebaliknya, apabila nilai

apabila nilai awalnya diperbesar, maka nilai akhir

awal diperkecil maka nilai akhir juga akan menjadi Jadi, panjang bayangan tersebut 600 cm. semakin kecil.

2. Perbandingan berbalik nilai Nilai Awal (P)

Nilai Akhir (Q)

Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan x Sebanding a yang bercirikan bila nilai awal diperbesar maka nilai

y dengan b akhir menjadi lebih kecil. Sebaliknya, bila nilai awal diperkecil maka nilai akhir menjadi lebih besar.

Hubungan yang berlaku dari perbandingan di atas

adalah Nilai Awal (P)

Nilai Akhir (Q)

Sebanding y x a a dengan b

y b x a Hubungan yang berlaku adalah = .

b y Grafik perbandingan senilai adalah:

Bentuk grafik perbandingan berbalik nilai adalah:

Contoh: 5

Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 15 orang sebenarnya =× 30000 150000 = cm

Jarak

dalam waktu 3 bulan. Jika pekerjaan tersebut hanya Jadi, jarak sebenarnya kota A ke kota B adalah dikerjakan 9 orang, berapa lama pekerjaan tersebut

150.000 cm = 1,5 km.

dapat diselesaikan?

Pembahasan: Contoh:

Perbandingan yang berlaku di sini adalah Pada daerah berskala 1: 500, tergambar sebuah perbandingan berbalik nilai, yaitu:

lapangan yang berbentuk persegi panjang dengan

3 . 15 = 9x ⇒ 45 = 9x ⇒ x =

ukuran 14 cm dan lebar 9 cm. Berapakah m luas x 15 9 lapangan tersebut?

Jadi, waktu yang dibutuhkan 9 pekerja untuk

Penyelesaian:

menyelesaikan pekerjaan selama 5 bulan.

Panjang pada gambar = 14 cm, Lebar pada gambar = 9 cm. Skala = 1: 500.

C. Skal a Perbandi ngan pada Gambar

Maka,

Panjang sebenarnya = × 500 7000 = cm 70 m =

a: b

Dengan: Lebar 9 sebenarnya =× 500 = 4500 cm 45 m =

a: jarak pada gambar

b: jarak sebenarnya

Luas sebenarnya panjang sebenarnya lebar sebenarnya = × Contoh: = 2 × 70 45 3150 = m Skala peta 1: 10.000.

Artinya jika jarak peta adalah 1 cm, maka jarak

luas lapangan sebenarnya = 3.150 m 2 . sebenarnya adalah 10.000 cm.

Jadi,

Rumus: Jarak sebenarnya = skala x jarak pada gambar

Contoh: Diketahui skala peta adalah 1: 30.000. Jika jarak kota

A dan B di peta 5 cm, berapakah kota A dan kota B? Penyelesaian: Skala peta 1: 30.000 Jarak kota A ke kota B = 5 cm.

Contoh:

1. 30 dg = ... mg. Penyelesaian:

30 dg = 30 x 100 mg = 3.000 mg. SATUAN PENGUKURAN

2. 3.500 gr = ... hg. Penyelesaian:

Dari gr ke hg naik 2 tangga, maka dibagi dengan 100.

A. Satuan Ukuran Berat

3.500 g = 3.500: 100 hg = 35 hg.

3. 2 kg + 4 hg + 7 ons + 12 gr + 6 pon = ... gr. Satuan ukuran berat digunakan untuk mengetahui

Penyelesaian:

berat suatu benda. Alat untuk mengukur berat

2 kg = 2 x 1000 gr = 2.000 gr benda adalah timbangan atau neraca.

4 hg = 4 x 100 gr = 400 gr

7 ons = 7 x 100 gr = 700 gr

6 pon = 5 x 500 gr = 3.000 gr Maka,

2 kg + 4 hg + 7 ons + 12 gr + 6 pon = 2000 gr + 400 gr + 700 gr + 12 gr + 3.000 gr = 6.112 gr.

B. Satuan Ukuran Panj ang

Satuan ukuran panjang digunakan untuk mengukur panjang ruas garis, keliling bangun datar, panjang sisi bangun ruang dan jarak tempuh. Alat yang digunakan untuk mengukur panjang adalah meteran

ukuran berat lainnya

(penggaris

dan rol meter). Berikut adalah satuan

Satuan

1 kwintal = 100 kg ukuran = 100.000 gr panjang dalam sistem metrik.

ton

10 kuintal = 1.000 kg

3. 5,5 km + 4 hm + 30 dm = ... m. Penyelesaian: 5,5 km = 5,5 x 1000 m = 5.500 m

4 hm = 4 x 100 m = 400 m

30 dm = 30: 10 m = 3 m Maka, 5.500 m + 400 m + 3 m = 5.903 m.

C. Satuan Ukuran Luas

Satuan ukuran luas digunakan untuk menentukan luas suatu permukaan. Satuan ukuran luas dinyatakan dalam bentuk persegi atau pangkat dua.

Satuan ukuran panjang lainnya

1 inci = 2,45 cm

1 kaki = 30,5 cm

1 yard = 91,4 cm

1 mikron = 0,000001 m

1 mil (di laut) = 1.851,51 m

1 mil (di darat) = 1.666 m

1 mil (di Inggris) = 1.609,342 m

Penyelesaian: 1. 17 km = ... dam .

Dari dm ke mm turun 2 tangga, maka dikalikan Penyelesaian:

Dari 2 dengan 2 100. 45 dm = 45 x 100 mg = 4.500 mg. km ke dam turun 2 tangga, maka dikalikan

dengan 10.000.

2. 1.750 m = ... hm.

Penyelesaian: 17 km = 17 x 10.000 dam = 170.000 dam . 2 2 Dari

2. 100 m = ... dam m ke hm naik 2 tangga, maka dibagi dengan . 100.

Penyelesaian:

1.750 Dari 2 m = 1.750 : 100 hg = 17,5 hm. 2 m ke dam naik 1 tangga, maka dibagi

dengan 100.

100 2 2 m 2 = 100: 100 dam = 1 dam .

2 2 2 3. 5 km 2 + 41 hm + 1.300 dm = ... m . 2. 750 da = ... ha. Penyelesaian: Penyelesaian:

5 2 2 km 2 = 5 x 1.000.000 m = 5.000.000 m Dari da ke ha naik 3 tangga, maka dibagi dengan

41 2 2 hm 2 = 41 x 10.000 m = 410.000 m 1000.

2 2 1.300 2 dm = 1.300: 100 m = 13 m 750 da = 750: 1000 ha = 0,75 ha.

2 2 2 2 Maka, 2 5 km + 41 hm + 1.300 dm 3. 9 km + 33 ha + 2 are = ... m . =

2 2 5.000.000 m 2 + 410.000 m + 13 m Penyelesaian:

= 5.410.013 m 2 . 9 2 2 km 2 = 9 x 1.000.000 m = 9.000.000 m

33 2 2 ha = 33 hm 2 = 33 x 10.000 m = 330.000 m

2 2 2 2 are = 2 dam = 2 x 100 m = 200 m

Maka, Satuan Ukuran Luas (Are) 9 km + 33 ha + 2 are = ... m

2 2 2 9.000.000 m + 330.000 m + 200 m =

Selain dalam bentuk persegi, dikenal pula satuan . 9.330.200 m

luas dalam bentuk are.

Perlu diingat

1 2 ka = 10 ha

2 1 a = 1 dam

E. Satuan Ukuran Vol ume

1 ha = 1 hm

1 ca = 1 m 2

Satuan ukuran volume digunakan untuk mengetahui isi suatu benda atau bangun ruang. Satuan ukuran

volume dinyatakan dalam bentuk kubik (pangkat tiga).

Perlu diingat,

1 m 3 = 1mx1mx1m

1 3 km 3 = 1000 hm

1 3 km 3 = 1.000.000 dam

3 1 3 mm = 0,001 cm

3 1 3 mm = 0,000001 dm

Contoh:

1. 19 are = ... ca. Penyelesaian: Dari are ke ca turun 2 tangga, maka dikalikan dengan 100. 19 are = 19 x 100 ca = 1900 ca.

F. Satuan Ukuran Li ter

Perlu diingat

1 kl = 10 hl

1 kl = 1.000 l

1 3 kl = 1 m

1 3 l = 1 dm 3 = 1.000 cm

Dari dam ke dm turun 2 tangga, maka dikali

dengan 1.000.000.

dam = 56 x 1.000.000 dm = 56.000.000 dm .

2. 17.500 m = ... hm .

Penyelesaian:

Dari m ke hm naik 2 tangga, maka dibagi

dengan 1.000.000.

17.500 3 m 3 = 17.500: 1.000.000 hm = 0,0175

hm .

3. 0,0013 m + 70 dm – 940 cm = ... cm .

Penyelesaian:

Contoh:

m = 0,0013 x 1.000.000 cm = 13.500

Penyelesaian: dm = 70 x 1.000 cm = 70.000 cm Dari dal ke cl turun 3 tangga, maka dikalikan

13.500 cm + 70.000 cm – 940 cm = 84.440 cm . 15 dal = 15 x 1000 cl = 15.000 cl.

2. 175 l = ... hl. Penyelesaian: Dari l ke hl naik 2 tangga, maka dibagi dengan 100. 175 l = 175: 100 hl = 0,175 hl.

© Pustaka Widyatama 2010

3. 0,6 kl + 4,3 hl + 130 cl = ...dm 3 . Contoh: Penyelesaian: Ubahlah

satuan debit m 3 /detik menjadi liter/detik. 0,6

3 kl = 0,6 x 1000 dm 3 = 600 dm Penyelesaian:

3 hl = 4,3 x 100 dm 3 = 430 dm Caranya dengan mengalikan kedua ruas pada

3 130 3 cl = 130: 100 dm = 1,3 dm persamaan tersebut dengan 1.000.

Maka, 1

m / detik 1000 3 600 + 430 m + 1,3 m = 104,33 dm .

3 1 liter /detik 1000

1000 liter /detik =

m / detik = 1 m /detik

G. Satuan Ukuran Debi t

atau 1 m /detik 1000 liter /detik 3 =

Rita akan mengisi sebuah ember dengan air dari

keran. Dalam waktu 1 menit, ember tersebut terisi 6 liter

H. air. Artinya, debit air yang mengalir dari keran Satuan Ukuran Waktu

itu adalah 6 liter/menit, ditulis 6 liter/menit.

Satuan beberapa jenis satuan waktu

debit biasanya digunakan untuk menentukan volume

Ada

yang harus kita ingat, yaitu air yang mengalir dalam suatu satuan waktu. Contoh: sebagai berikut.

1. Sebuah kolam diisi air dengan menggunakan Contoh:

10 dasawarsa waktu

1 = pipa yang debitnya 1 liter/detik. Artinya, dalam

abad

= 100 tahun

1 detik volume air yang mengalir dari pipa tersebut

1 dasawarsa = 10 tahun adalah 1 liter.

2. Debit air yang mengalir pada pintu air Manggarai = 8 tahun adalah

1 windu

500 m 3 /detik.

1 lustrum Artinya, dalam waktu 1 = 5 tahun

1 = detik volume air yang mengalir melalui pintu air

tahun

12 bulan

Manggarai = adalah 500 m .

52 minggu

= 365 hari Satuan

debit yang sering digunakan adalah 1 semester = 6 bulan liter/detik

3 /detik. dan m 1 catur wulan = 4 bulan

minggu = 7 hari

= 24 jam 1000

Ingat, 1 3 liter 1dm 3 = = m . 1 hari

1 Jadi, 3 liter /detik = m /detik . 1 menit

1 jam

= 60 menit = 3.600 detik

Jumlah hari pada tiap‐tiap bulan

I. Satuan Ukuran Suhu

Januari = 31 hari

Februari = 28 hari (29 hari pada tahun kabisat) Suhu menunjukkan derajat panas suatu benda. Alat Maret = 31 hari

untuk mengukur suhu atau perubahan suhu yaitu April = 30 hari

termometer.

Mei = 31 hari Juni =

30 hari 0

Juli = 31 hari

Agustus = 31 hari September = 30 hari Oktober = 31 hari November = 30 hari Desember = 31 hari Jumlah = 365 hari (366 hari untuk tahun

kabisat) Tahun kabisat adalah tahun yang habis dibagi 4. Contoh: 1996, 2000, 2004, dll.

4 o C), Contoh:

jenis satuan pengukuran suhu, yaitu Celcius ( Reamur o ( R),

fahrenheit ( o F) dan Kelvin (K). Untuk

1. 3 windu + 5 dasawarsa + 24 bulan = ... tahun. penulisan satuan ukuran suhu Kelvin tidak diikuti Penyelesaian:

windu = 3 x 8 tahun = 24 tahun

simbol

derajat.

dasawarsa = 5 x 10 tahun = 50 tahun

Perbandingan

24 satuan pengukuran suhu

bulan = 24: 12 = 2 tahun

2. 7 jam + 40 menit + 55 detik = detik. Penyelesaian:

7 jam = 7 x 3.600 detik = 25.200 detik

40 menit = 40 x 60 detik = 2400 detik Maka, 25.200 + 2.400 + 55 detik = 27.655 detik.

© Pustaka Widyatama 2010

4 J. Satuan Ukuran Juml ah (Kuanti tas)

° = ×° R C

5 Satuan kuantitas digunakan untuk menghitung ° = ×° C R

4 banyak barang. Satuan kuantitas yang biasa ⎛ digunakan 9 ⎞

adalah lusin, gros, kodi, dan rim. °= F ×° + ° = C 32 ⎜ ⎞ ⎟ ⎜ ×° + ° R ⎟ 32 Hubungan satuan kuantitas tersebut adalah:

1 gros = 12 lusin = 144 biji/batang °=×°− 4

( 1 ) lusin = 12 biji

R F 32

9 1 kodi = 20 lembar

°=×°− C ( F 32 )

5 1 rim = 500 lembar

K =°+ C 273

Rim

Rim merupakan satuan yang Contoh: biasanya digunakan untuk

1. 175 C ... F °=° menunjukkan banyaknya kertas.

Penyelesaian: 1 rim = 500 lembar

°= F ⎜ ×° C

5 ⎟ + 32 °= ⎜ × 175 °+ ⎟ 32 °= 315 °+ 32 °= 347 F ⎝ ° ⎠ ⎝ 5 ⎠

Jadi, 175 C 347 F °= °

Kodi

2. 131 F ... R °=° Penyelesaian: Kodi merupakan satuan yang 4 4

biasanya digunakan untuk °=×°−°=× R

F 32 )

menunjukkan banyaknya 4

pakaian.

1 kodi = 20 buah

Jadi, 131 F 44 R °=° Lusin

Lusin merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk

menunjukkan banyaknya suatu barang, seperti gelas, piring dan

sendok.

1 lusin = 12 buah

Gross

Gross merupakan satuan yang biasanya digunakan untuk

menunjukkan banyaknya suatu barang, seperti alat tulis (pensil,

JARAK DAN KECEPATAN spidol, pena) serta alat jahit

(benang atau resliting).

1 gross = 144 buah = 12 lusin

A. Pengerti an

Contoh:

1. 5 gross + 5 lusin = ... buah. Kecepatan adalah besarnya jarak atau panjang Penyelesaian: lintasan dibagi dengan waktu. Alat yang digunakan

5 gross = 5 x 144 biji = 720 buah untuk mengukur besarnya kecepatan disebut

5 lusin = 5 x 12 biji = 60 biji

speedometer.

Maka, 720 + 60 = 780 biji.

2. 7 lusin + 4 gross + 55 buah = ... kodi. Jarak = kecepatan x waktu Penyelesaian: Waktu = jarak : kecepatan

7 lusin = × 12 buah 4,2 kodi = Kecepatan = jarak : waktu

4 Satuan kecepatan = km/jam

4 gross = × 144 = 28,8 kodi

20 Satuan waktu

= jam

55 Satuan jarak

= km

55 buah = = 2,75 kodi

20 Contoh:

Maka, 4,2 + 28,8 + 2,75 = 35,75 kodi.

1. Motor Andi melaju selama 4 jam. Jika kecepatan rata ‐ratanya 80 km tiap jam, maka jarak yang

ditempuh adalah ... Penyelesaian:

Jarak = kecepatan x waktu = 80 km/jam x 4 jam = 320 km

2. Jarak kota Yogyakarta – Semarang 50 km. Beni naik sepeda dengan kecepatan 15 km per jam tanpa berhenti. Berapakah waktu yang diperlukan Beni untuk menempuh Yogyakarta – Semarang?

© Pustaka Widyatama 2010

Penyelesaian: Penyelesaian:

1 Waktu = jarak : jumlah kecepatan Waktu =

kecepatan 15 km/ jam

3 250 km

250 km

= = 3 jam 20 menit

60 km/jam + 40 km/jam 100 km/jam

3. Jarak rumah A – B = 100 km, ditempuh oleh = 2,5 jam 2jam 30 menit = Cecep dengan waktu 2 jam. Kecepatan rata‐rata

a. Mereka berpapasan pukul 07.00 + 02.30 = 09.30 Cecep menempuh jarak itu adalah ... km/jam.

b. Mereka berpapasan pada jarak dari Semarang Penyelesaian: = kecepatan Andi × waktu

jarak 100 km Kecepatan = = = 50 km/ jam = 60 km/jam x 2,5 jam = 150 km waktu

2 jam

C. Berpapasan dengan Waktu

B. Berpapasan dengan Waktu Berangkat Ti dak Sama Berangkat Sama

Langkah‐langkah:

1. Mencari jarak yang telah ditempuh A (orang

jarak

pertama).

Waktu berpapasan =

2. Mencari sisa jarak yang belum ditempuh, yaitu Berpapasan = waktu berangkat + waktu di jalan

jumlah kecepatan

Sisa jarak = jarak ditempuh – jarak sudah

Jarak bertemu,

ditempuh.

→ bila dari A, jarak = kecepatan A x waktu.

3. Mencari jumlah kecepatan, yaitu → bila dari B, jarak = kecepatan B x waktu

kecepatan

A + kecepatan B (orang kedua)

Contoh: 4. Waktu berpapasan =

jarak

Jarak jumlah kecepatan

Semarang – Jakarta 250 km. Andi naik mobil dari Semarang ke Jakarta dengan

Selanjutnya ditambahkan waktu berangkat orang kecepatan

60 km/jam. kedua. Budi naik sepeda motor dari Jakarta ke Semarang

Contoh:

dengan kecepatan 40 km/jam. Jarak kota X ke kota Y 65 km. Anggi berangkat dari Jika mereka berangkat berbarengan pada pukul

kota

X ke kota Y pukul 07.00 dengan sepeda motor

07.00, maka: yang ber‐kecepatan 40 km/jam. Adam berangkat

a. Pukul berapa mereka berpapasan? dari kota Y ke kota X pukul 07.30 dengan mobil yang

b. Pada jarak berapa dari Semarang mereka

berkecepatan 50 km/jam.

berpapasan?

Contoh:

b. Pada km ke berapa dari kota X mereka bertemu? Ceplis naik sepeda dari Yogya ke Semarang. Ia Penyelesaian: berangkat pukul 07.00 dengan kecepatan 40

1. Jarak yang sudah ditempuh Anggi km/jam. Dari Yogya, Doni menyusul dengan = (07.30 – 07.00) x 40 km/jam

60 km/jam pukul 07.45. Pukul berapa = 30 menit x 40 km/jam = 0,5 jam x 40 km/jam

kecepatan

Doni menyusul Ceplis?

= 20 km

Penyelesaian:

2. Sisa jarak = 65 km – 20 km = 45 km

1. Selisih berangkat = 07.40 – 07.00 = 45 menit

3. Jumlah kecepatan = ¾ jam = 40 km/jam + 50 km/jam = 90 km/jam

2. Jarak yang sudah ditempuh Ceplis

4. Waktu berpapasan = ¾ jam x 40 km/jam = 30 km

3. Selisih kecepatan = 60 km/jam – 40 km/jam Waktu berpapasan =

jarak

jumlah kecepatan

= 20 km/jam

45 km

4. Lama di jalan

= 1,5 jam 1 jam 30menit =

= 30 menit

20 km/jam

Jadi, Doni menyusul Ceplis pukul = 07.45 + 01.30 Jadi,

a. Mereka berpapasan pukul 07.30 + 00.30 = 08.00

b. Jarak dari kota X = (0,5 jam x 40 km/jam) + 20 km

= 20 km + 20 km = 40 km

D. Susul Menyusul Langkah‐langkah:

1. Mencari selisih waktu berangkat orang pertama (A) dan orang kedua (B).

2. Mencari jarak yang telah ditempuh A.

3. Mencari selisih kecepatan.

4. Mencari lama di jalan = jarak yang telah ditempuh A

selisih kecepatan

5. Menyusul = waktu berangkat B + lama di jalan.

© Pustaka Widyatama 2010

B. Bunga Tunggal

ARITMATIKA SOSIAL Jika, uang yang ditabung mula‐mula = M rupiah, bunga tunggal = B % tiap tahun, dan waktu

menabung = t tahun. Maka,

Bunga selama 1 tahun M B% =×

A. Untung dan Rugi Bunga selama t tahun M B% t =× ×

B Untung adalah hasil dari seorang pedagang yang

Bunga selama 1 bulan M =× %

menjual barang dagangannya lebih tinggi dari harga

B pembelian. Bunga selama t bulan M =× %t ×

adalah hasil dari seorang pedagang yang M Bunga menjual barang dagangannya lebih rendah dari

harga pembelian.

Contoh: Pedagang buah apel fuji super membeli dengan

Untung = harga penjualan > harga pembelian harga Rp 20.000,00 per kilogram. Jika apel tersebut Rugi = harga penjualan < harga pembelian

dijual dengan harga Rp 25.000,00 per kilogram, maka

Besar keuntungan = harga jual – harga beli

a. Untung atau rugi pedagang tersebut?

Besar kerugian = harga beli – harga jual

b. Jika untung, berapa keuntungannya? Dan jika rugi, berapa kerugiannya?

Penyelesaian:

Catatan: a. Harga pembelian Rp 20.000,00. Harga beli biasa disebut sebagai modal.

Harga penjualan Rp 25.000,00. Sehingga, Maka, Harga pembelian < harga penjualan,

Rp 20.000,00 < Rp 25.000,00. Besar keuntungan = harga jual – modal

Sehingga, pedagang mendapat keuntungan.

Besar kerugian = modal – harga jual b. Besar keuntungan = harga jual – harga beli

= Rp 25.000,00 – Rp 20.000,00 = Rp 5.000,00 Jadi, pedagang mendapatkan keuntungan sebesar Rp 5.000,00.

C. Persentase Untung dan Rugi

D. Menentukan Harga Pembel i an dan Penj ual an dari Persentase

Persentase untung rugi harga pembelian

Kerugi an atau Keuntungan

Persentase Untung =

Untung

Harga Pembelian

× Untung Persen Untung

Modal

Persentase Rugi =

Harga Pembelian

× Untung

Persen Rugi

Penjualan untung ( ) = Pembelian Untung + Penjualan rugi () = Pembelian Rugi −

Contoh:

Adam menjual roti dengan modal Rp 80.000,00 dan hasil yang didapat dari penjualan roti adalah Rp

Contoh:

120.000,00. Berapa persen keuntungan Adam ? Seorang pedagang es keliling setiap hari mendapat Penyelesaian: keuntungan

30 % atau Rp 18.000,00. Hitunglah Keuntungan = Harga jual – modal

harga pembelian dan penjualannya! = Rp 120.000,00 – Rp 80.000,00

Penyelesaian:

= Rp 40.000,00

Persentase untung = 30 %.

Besarnya keuntungan = Rp 18.000,00 Persentase Untung =

2 Penjualan = pembelian + untung = Rp 60.000,00 + Rp 18.000,00 Jadi, keuntungan Adam 50 %.

= Rp 78.000,00 Jadi, harga pembelian Rp 60.000,00 dan dijual

dengan harga Rp 78.000,00.

© Pustaka Widyatama 2010

E. Rabat, Bruto, Netto dan Tara Rabat = potongan harga (diskon)

Bruto = berat kotor Netto = berat bersih

Tara = selisih bruto dan netto

Bruto = Netto + Tara Netto = Bruto – Tara

Tara = Bruto – Netto

Contoh: Pada sebuah kantong semen yang sering kita lihat terdapat tulisan netto 50 kg. Jika berat kantongnya 300 gram, berapa brutonya? Penyelesaian: Netto = 50 kg.

Tara = 300 gram = 0,3 kg. Bruto = Netto + Tara = 50 kg + 0,3 kg = 5,3 kg

Jadi, berat bruto semen adalah 5,3 kg.

B. Hi mpunan Bagi an

HI MPUNAN

Jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan

B maka A disebut himpunan bagian atau

subset

B. Penulisan notasi himpunan bagian seperti

berikut.

A. Hi mpunan Kosong, Hi mpunan Nol ,

9 A ⊂ B dibaca A himpunan bagian B. dan Hi mpunan Semesta

9 A ⊄ dibaca A bukan himpunan bagian B. B

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak

Sifat

memiliki anggota. Himpunan kosong dinotasikan

9 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dengan Ø atau { }. dari setiap himpunan, dituliskan ∅⊂. A

9 Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari Himpunan nol adalah himpunan yang beranggota‐ kan

himpunan itu sendiri, dituliskan A ⊂ A . himpunan nol. Himpunan nol dituliskan {0}.

Contoh:

1. A = {siswa kelas VIII yang memiliki tinggi lebih Jika jumlah anggota suatu himpunan A adalah dari

3 meter}, artinya A = Ø atau A = { }. n(A)=N, maka banyaknya anggota himpunan bagian

dari

A sebanyak 2 N .

2. X = {bilangan ganjil yang habis dibagi dengan 2},

artinya X = Ø atau X = { }.

Contoh:

3. B = {bilangan cacah kurang dari 1}, artinya B = {0}.

P = {c, b, f}, himpunan bagian P adalah {c}, {b}, {f}, {c, b}, {c, f}, {b, f}, {c, b, f} dan { }.

Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang banyaknya himpunan bagian P adalah 2 = 8, memuat

Jadi,

semua anggota dalam pembicaraan. Him‐ termasuk himpunan kosong ({ }) dan P itu sendiri, punan

semesta dilambangkan S. yaitu {c, b ,f}.

Contoh:

1. = {a, b, c, d, e} dan X = {f, g, h, i}, maka S = {a,

b, c, d, e, f, g, h, i} atau S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}.

2. = {1, 2, 3}, maka S = {bilangan asli} atau S = {bilangan bulat}.

© Pustaka Widyatama 2010

C. Di agram Venn dan Hubungan Contoh:

Antarhi mpunan X= {p, r, i, n, c, e}, Y = {p, a, r, i, s}, diagram Venn ‐nya adalah:

Diagram Venn

Y untuk menunjukkan hubungan antara dua himpun‐

adalah diagram yang digunakan X S

an atau lebih.

i i j Beberapa hubungan antarhimpunan berikut dapat

ditunjukkan dengan diagram Venn.

a. Saling lepas

c. Himpunan bagian

Dua himpunan X dan Y dikatakan saling lepas Suatu himpunan yang seluruh anggotanya jika tidak ada satu pun anggota himpunan X

merupakan bagian dari himpunan yang lain. yang menjadi anggota himpunan Y. Begitu juga

Dinotasikan X ⊂ Y .

sebaliknya. Contoh: Contoh: Himpunan

X = {1, 3, 5} dan Y = {1, 2, 3, 4, 5}.

X = {1, 4, 5} dan Y = {p, q, r} Diagram Venn‐nya adalah: Jadi,

X dan Y saling lepas, dan hubungan ini

dapat dinyatakan dengan diagram Venn S

berikut.

d. Himpunan ekuivalen

b. Berpotongan (Beririsan)

Dua himpunan X dan Y dikatakan ekuivalen bila Himpunan

X dan Y dikatakan berpotongan atau n(X) = n(Y). Himpunan X dan Y yang saling beririsan jika ada anggota himpunan X yang

ekuivalen dinotasikan X ~ Y. menjadi anggota himpunan Y.

Contoh:

X = {p, e, r, s, i, b} ,Y = {t, e, r, t, i, b} Karena n(X) = n(Y) = 6, maka X ~ Y.

e. Himpunan yang sama

Dua himpunan X dan Y dikatakan sama jika setiap anggota himpunan X merupakan

Contoh:

X = {bilangan cacah antara 2 dan 8} Y = {bilangan asli antara 2 dan 8} Diagram Venn:

X ∩= Y {p, r, i} . S

2. Gabungan (Union)

adalah himpunan yang anggota‐ i 4 3 Gabungan

i 6 anggotanya merupakan gabungan dari

i 7 anggota ‐anggota himpunan yang lain. Dinotasikan:

XY ∪ , dibaca “X union Y atau gabungan dari X

D. Operasi Hi mpunan X = {s, i, u, n, g}, Y = {i, n, d, a, h} Diagram Venn:

Operasi antar himpunan di antaranya adalah operasi

irisan, gabungan, dan komplemen.

1. Irisan (Intersection)

Irisan himpunan X dan Y adalah himpunan yang

anggotanya merupakan anggota X dan juga

anggota Y.

Komplemen

3. Komplemen suatu himpunan X adalah himpun‐

Dinotasikan:

XY ∩ dibaca “irisan himpunan X dan Y” an yang anggotanya bukan anggota himpunan

Contoh: A,

ditulis X c .

X = {p, r, i, n, c, e}, Y = {p, a, r, i, s}.

Contoh:

Diagram Venn:

X = {himpunan bilangan asli kurang dari 9} Y

= {himpunan bilangan prima kurang dari 12}

© Pustaka Widyatama 2010

F. Hukum De Morgan

Pada operasi himpunan berlaku hukum De Morgan berikut.

Artinya Y = {1, 4, 6, 8}

E. Si fat-si fat Operasi Hi mpunan

Operasi antarhimpunan mempunyai sifat komutatif dan assosiatif.

G. Juml ah Anggota Hi mpunan

1. Komutatif

( X ∪ Y ) ∪=∪ Z X ( Y ∪ Z )

Perhatikan ( diagram Venn dari himpunan X dan

X ∩ Y ) ∩=∩ Z X ( Y ∩ Z )

himpunan

Y berikut.

X ∪ ( Y ∩ Z )( = X ∪ Y )( ∩ X ∪ Z )

X ∪=∪ YY X

2. Assosiatif

( X ∪ Y ) ∪=∪ Z X ( Y ∪ Z ) ( X ∩ Y ) ∩=∩ Z X ( Y ∩ Z )

)( = X ∪ Y )( ∩ X ∪ Z )

Diperoleh hubungan berikut. nX ( ∪= Y )()()( nX + nY − nX ∩ Y )

Sedangkan untuk tiga himpunan, akan digunakan rumus:

nX ( ∪∪ Y Y )()()()( = nX + nY + nZ − nX ∩ Y )( − nX ∩ Z ) − nYZ ( ∩+ )( nX ∩∩ Y Z )

Contoh Soal

3. Dari 40 orang, 16 orang memelihara burung, 21 memelihara kucing, dan 12 orang memelihara

1. Diketahui n(S) adalah banyaknya anggota burung dan kucing. Jumlah orang yang tidak himpunan semesta. Jika n(X) = a; n(Y) = b; dan

memelihara burung ataupun kucing adalah n(X ∩ Y) = c, maka n( X ∪ Y) = . . . .

sebanyak . . . orang. Jawab: Jawab:

n(X) = a ; n(Y) = b, dan n(X ∩ Y) = c, maka S = {banyaknya anak} → n(S) = 40 dengan rumus gabungan dua himpunan

B = {anak yang memelihara burung} → n(B) =

diperoleh: 16

nX ( ∪= Y )()()( nX + nY − nX ∩ Y )

C = {anak yang memelihara kucing} → n(C) =

nX ( ∪=+− Y ) abc

B ∩ = {anak yang memelihara burung dan C

2. Bentuk sederhana dari ( C ∩∪∩ A )( A B )

kucing} → n(B ∩ C) = 12 Diagram

Cara pertama, menggunakan sifat:

( C ∩∪∩=∩∪∩ A )( AB )( AB )( C A ) =∩∪∩ ( AB )( A C )

C =∩∪

( BC ∪ ) =∩ B C C C

Atau dengan cara kedua, yaitu dengan melihat diagram Venn untuk bentuk tersebut, yaitu:

Jika ( BC ∪ ) = {jumlah seluruh anak yang

memelihara burung digabung dengan jumlah yang memelihara kucing},

maka nB ( ∪= C )()()( nB + nC − nB ∩ C ) nB ( ∪=+−= C ) 16 21 12 25

c Dan ( B ∪ C ) = {anak yang tidak memelihara

Daerah yang diarsir adalah bentuk dari:

burung ( ataupun kucing}

C ∩ ∪ ∩ , dan daerah tersebut A )( A B )

nBC c ( ∪ ) = nS ()( − nBC ∪ )

=∩∪ A ( B C )

Artinya, jumlah anak yang tidak memelihara burung ataupun kucing adalah 15 orang.

Sudut bertolak belakang sama besar

HUBUNGAN ANTAR SUDUT

Perhatikan gambar:

∠ 1 bertolak belakang dengan ∠⇒∠=∠ 3 1 3

A. Hubungan Antarsudut

∠ 2 bertolak belakang dengan ∠⇒∠=∠ 4 2 4

Hubungan antarsudut ada bermacam‐macam, di

Sudut sehadap sama besar

antaranya sudut saling berpenyiku (berkomplemen), Untuk memahami sudut sehadap sama besar, sudut saling berpelurus (bersuplemen), sudut

perhatikan penjelasan gambar berikut:

bertolak belakang, sudut sehadap, sudut

berseberangan, sudut elevasi, dan sudut depresi.

Sudut saling berpenyiku/komplemen

Dua sudut α dan β saling berpenyiku jika berlaku: 1 2

90 o

β o ∠ 1 A sehadap dengan B 1 ⇒∠=∠ A 1 B 1 α

o ∠ 2 A sehadap dengan B 2 ⇒∠ A 2 =∠ B 2 o ∠ 3 A sehadap dengan B 3 ⇒∠ A 3 =∠ B 3

Sudut saling berpelurus/suplemen

Dua dan o ∠ 4 A sehadap dengan B 4 ⇒∠ A 4 =∠ B

sudut α β saling berpelurus jika berlaku:

α+β= 180 o

Sudut berseberangan sama besar

Jumlah sudut segi empat

Perhatikan penjelasan gambar berikut! D

C Jumlah sudut pada

A 1 2 Segi empat:

4 3 ∠+∠+∠+∠ A B C D

1 2 A = 360

3 Sudut ‐sudut pada segi‐n beraturan Besar tiap sudut pada segi‐n beraturan adalah:

∠ 4 X berseberangan dengan ∠⇒∠=∠ Y 2 X 4 Y 2

3 X berseberangan dengan ∠⇒∠=∠ Y 1 X 3 Y 1 ( n2 −× ) 180

Sudut elevasi dan sudut depresi

Pada gambar di bawah, α merupakan sudut elevasi,

Contoh Soal

dan β merupakan sudut depresi.

1. Besar tiap sudut pada segi‐6 beraturan adalah: o

× 4 180 = o = 120 α

( n2 −× ) 180

2. Perhatikan gambar berikut.

B. Besar Sudut pada Bangun Datar

A 65 Jumlah sudut pada segitiga

B E Jika C pada gambar di atas garis AC//BD, maka Jumlah sudut pada

besar Segitiga: sudut DBE adalah . . . .

Pembahasan:

Garis AC//BD, maka ∠+∠+∠= ∠CAB = ∠DBE (merupakan A B C 180 o

pasangan sudut sehadap) o

∠ACB = ∠CBD = 45 (pasangan sudut

A B berseberangan)

⇒∠ o CBA +∠ CBD +∠ DBE = 180 o 2 sudut berpelurus → jumlahnya 180 ⇒ o 65 + 45 o

+∠ o DBE 180 =

2 sudut bertolak belakang → sama besarnya

⇒∠ DBE 180 = − ( 65 + 45

) sudut sehadap

2 → sama besarnya

= o − 110 = 70 p + x = 32,5 + 26 = 58,5 .

3. Besar sudut yang dilewati jarum pendek sebuah

5. Pada gambar di bawah ini, garis p//q, dan garis jarum jam dari pukul 11.00 hingga pukul 11.35

r//s. Jika besar sudut D 2 = 60 o , maka besar adalah ....

∠+∠+∠= C 1 B 4 A 1 . ... Pembahasan: Sudut jarum pendek

2 1 jam 5menit +

360 o

Sudut

30 jarum pendek 1 jam = o = ,

12 30 o

Sudut

jarum pendek 1/2 jam = o = 15 ,

jarum pendek 5 menit = Pembahasan: =

12 ∠ A 1 =∠ C 1 ( pasangan sudut sehadap )

Jadi, sudut yang dibentuk jarum dari pukul

∠ A 1 +∠ A 2 =∠ D 1 +∠ D 2 = 180

11.00 hingga 11.35 adalah = 15 + 2,5 = 17,5 . ∠ A

1 =∠ D 1 ( pasangan sudut sehadap , )

Sehingga:

4. Perhatikan gambar berikut.

1 = 180 −∠ D 2 = 180 − 60 = 120

∠ B 4 =∠ C 4 ( pasangan sudut sehadap , )

4 3 Sehingga: ∠=∠ C 4 4 D dan ∠ D 4 =∠ D 2

Diketahui garis g//m.

( pasangan sudut bertolak belakang . )

4 =∠ D 2 = 60 . Nilai p + x adalah . . . .

Jika ∠= P o 2 50 , P ∠= 3 5x , dan ∠ Q 1 = 4p . Artinya

Dapat disimpulkan:

1 4 1 = 120 + 60 + 120 = 300 Ingat sifat hubungan antara sudut:

∠+∠+∠ o

Pembahasan: C B A o

3. Perpangkatan

Operasi perpangkatan juga dapat dilakukan pada PEMFAKTORAN SUKU ALJABAR

bentuk aljabar. Perhatikan bentuk umum perpangkatan bentuk aljabar berikut.

+ y) n = (x + y)(x + y) . . . (x + y)

(dengan (x + y) sebanyak n)

A. Operasi Hi tung Al j abar

Misal,

pada (x + y) n .

1. Perkalian antarsuku dua

+ y) 0 =1

Pada perkalian suku dua dengan suku dua digunakan

+ y) 1 =x+y

sifat distributif berikut.

2 2 2 (x + y) =x + 2xy + y

(x 3 3 + y) 2 =x + 3x y 2 + 3xy 3 +y x ypq x(p q) y p q

4 4 3 2 2 3 4 ( + )( += ) ++ ( + ) (x + y) =x + 4x y + 6x y + 4xy +y

xp xq yp yq + + +

+ y) =x + 5x + 10x + 10x + 5xy +y Misal,

pada (x – y) n .

Contoh: (x

– y) 0 =1

9 (x + 4)(x – 2) = x(x – 2) + 4(x – 2)

– y) 1 =x–y

= 2 2 2 2 2 (x – 2x) + (4x – 8)= x + 2x – 8 (x – y) =x – 2xy + y

2 – y) =x – 3x y + 3xy –y =

3 2 3 9 (2x + 1)(3x + 2) = 2x(3x + 2) + 1(3x + 2) (x 3 2

2. Pembagian bentuk aljabar

Contoh:

Pembagian antarbentuk aljabar dapat menghasilkan 9 (x + 3) 2 2 2 =x 2 +2.x.3+3 = x + 6x + 9 pecahan

2 2 2 bentuk aljabar dan bilangan. 9 (x – 2) =x – 2. x . 2 + 2 = 2 x – 4x + 4

Contoh:

2x 2 + 4x 2x x 2 ( + ) x2 +

B. Pemfaktoran Bentuk Al j abar

4x 4x

128xy

( 2 64xy )

Pemfaktoran bentuk aljabar dapat berupa perkalian

64xy 64xy suatu bilangan dengan suku dua, perkalian antarsuku dua, dan bentuk kuadrat.

1. Pemfaktoran yang menghasilkan perkalian suatu

Kesimpulan:

bilangan dengan suku dua

p dan q merupakan faktor dari c. Sedangkan, b merupakan hasil penjumlahan p dan q (faktor‐

Bentuk umum dari pemfaktoran jenis ini dituliskan

faktor dari c).

sebagai berikut. Kesimpulan tersebut digunakan untuk mencari pemfaktoran bentuk kuadrat.

a. kx ky k x y += ( + )

Contoh:

Jadi,

bentuk kx + ky bila difaktorkan menjadi

a = 1, b = 5, dan c = 6. Faktor dari 6

yang

bilamana dijumlahkan menjadi 5 adalah 2 Jadi, bentuk kx – ky bila difaktorkan menjadi dan 3. Dengan demikian, pemfaktoran:

k(x – y). x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Bentuk umum tersebut diperoleh berdasarkan sifat

9 Bila a ≠ 1, maka bentuk umumnya tetap asosiatif dan distributif.

menjadi 2 ax + bx + c = 0. Ingatlah contoh Contoh: perkalian antarsuku dua berikut.

9 12x + 24y = 12(x + 2y)

Contoh:

9 18xy – 54x = 18x(y – 3)

2 (3x 2 + 1)(x + 2) = 3x + x + 6x + 2 = 3x + 7x + 2 Dengan

demikian, pemfaktoran 3x 2 + 7x + 2

2. Pemfaktoran bentuk kuadrat yang menghasilkan

adalah:

perkalian antarsuku dua

3x 2 + 7x + 2 = 3x 2 + x + 6x + 2 = x(3x + 1) + 2(3x + 1)

Bentuk kuadrat memiliki bentuk umum sebagai Dengan menggunakan sifat asosiatif diperoleh: berikut.

= (3x + 1)(x + 2) ax + bx + c = 0

9 Bila a = 1, maka bentuk kuadrat menjadi x 2 + bx

3. Pemfaktoran dari bentuk selisih dua kuadrat + c = 0. Ingatlah kembali perkalian antarsuku

dua berikut. Perhatikan bentuk perkalian antarsuku dua berikut. (x 2 + p)(x + q) = x + px + qx + pq

= x + (p + q)x + pq

2 – b)(a + b) = a 2 – ab + ab – b Dengan demikian, b = p + q dan c = pq.

2 2 = a –b

2 2 Bentuk 2 a –b disebut selisih dua kuadrat. Jadi, a –

b 2 memiliki bentuk perkalian (a – b)(a + b) atau (a + b)(a – b).

PERSAMAAN GARIS LURUS Contoh:

9 x – 25 = x –5 = (x + 5)(x – 5)

9 x – 49 = x – 72 = (x – 7)(x + 7)

A. Bentuk Umum Persamaan Gari s

C. Penyederhanaan Bentuk

Lurus

Pecahan Al j abar

Bentuk umum persamaan garis lurus adalah: Agar dapat menyederhanakan bentuk pecahan

aljabar, terlebih dahulu teknik pemfaktoran harus

y = ax b + dikuasai.

ax by c + += 0

Contoh:

x 2 + 7x 12 + ( x + 3 ) ( x + 4 ) ( x + 4 )

Persamaan garis lurus dengan

x −− x 12

( gradien x + 3 ) ( x4 − ) ( x − 4 ) (kemiringan) tertentu

x 2 − 9x 18 + ( x3 − ) ( x6 − ) ( x6 − )

x + 2x 15 −

x3 − ) ( x + 5 ) ( x + 5 )

B. Gradi en Gari s Lurus

Contoh Soal

(1) Gradien dari dua titik P(x 1 ,y 1 ) dan Q(x 2 ,y 2 ). Rumus gradien garis yang melalui titik P dan Q

Selesaikan operasi berikut.

adalah:

1. x 2 − 12x 27 +=− ( x3x9 )( − )

x – 121 = x x – 11 = (x – 11)(x + 11) 1 − 2

2. x 2 2 2

x 2 − 8x 15 + ( x5 − )( x3 − ) x5 −

Contoh:

Tentukan gradien garis lurus yang melewati titik

x 2 + 3x 18 − ( x3 − ) ( x6 + ) x6 +

P(2,3) dan Q(4,9). Penyelesaian:

y − y 39 − − Gradien 6 1 =m= 2 = = = 3 x 1 − x 2 24 − − 2

(2) Gradien garis dari persamaan garis lurus

Contoh:

a. Jika persamaan garis lurus berbentuk: Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik P(5,7) dengan gradien 3.

y = mx + c → gradien = m

Pembahasan: y73x5 −= ( −⇒−= ) y 7 3x 15 −

Contoh: Jika dimiliki persamaan garis y = 3x + 5,

y = 3x 15 7 − +⇒= y 3x 8 −

artinya gradien = m = 3 (2) Persamaan garis melalui dua titik P(x 1 , y 1 ) dan

b. Jika persamaan garis lurus berbentuk:

Q(x 2 , y 2 ). Bentuk persamaan garis yang melalui dua titik ax + by += c 0 yaitu:

→ gradien = − a

b yy − 1 xx − 1 y − y 1

atau yy

1 ( xx − 1 ) y 2 − y 1 x 2 − x 1 x 2 − x 1

Contoh:

Jika dimiliki persamaan garis 2x + 7y + 3 = 0,

Contoh:

maka gradien persamaan garis tersebut Tentukan persamaan garis yang melalui P(2, 3) adalah: dan

ax + by += c 0 → m= − Q(3, 8)!

b Pembahasan:

+ 7y + 3 = 0 → m= − Bentuk

7 y 2 − y 1 x 2 − x 1 83 − 32 − Dengan perkalian silang, diperoleh:

y332 − )( −=− )( x283 )( −⇒−= ) y35x2 ( −=− ) 5x 10

C. Menentukan Persamaan Gari s

Lurus

y = 5x − 10 += 3 5x − 7

Cara menentukan persamaan garis lurus: (3) Persamaan garis yang melalui titik potong (1) Persamaan garis melalui titik P(a,b) dengan

sumbu ‐sumbu koordinat, yaitu P(p, 0) dan gradien m,

Q(0, q).

ybmxa −= ( − )

ax + b = cx + d (0,q)

Persamaan garis yang

melalui titik‐titik

y cx d =+

potong sumbu

koordinat: Contoh: Garis g: y = 3x dan garis h: y = x + 6 saling

berpotongan di titik Q, maka koordinat titik Q

Pembahasan: + qx= pq

Dari persamaan g: y = 3x dan h: y = x + 6

Contoh:

Tentukan → 3x = x + 6 → Æ 2x = 6 → x = 3

persamaan garis yang melalui P(3, 0) dan

Q(0, 6). karena x = 3, maka y = 3x ⇔ y = 3(3) = 9. Penyelesaian: Jadi, garis g dan h berpotongan di Q(3, 9). Dengan menggunakan rumus:

py + qx = pq ⇒ 6x + 3y =⋅⇒ 63 6x + 3y = 18 (2) Dua garis berpotongan saling tegak lurus

Jika kedua ruas dibagi 3 akan diperoleh

persamaan garis: 3x +y=6

Garis g dan k saling tegak

lurus, dan dinotasikan:

D. Hubungan Antara Dua Gari s

(1) Dua garis saling berpotongan

Hubungan yang berlaku antara garis g dan k yang p(x,y) saling tegak lurus tersebut adalah:

g 1 : y = ax + b

mm g ⋅ h =− 1

g 2 : y = cx + d

Contoh :

Titik potong P(x, y) diperoleh dari himpunan Jika garis 3x + by −= 2 0 tegak lurus dengan penyelesaian PLDV:

x + 2y += 7 0 . Tentukan nilai b!

Pembahasan: (3) Dua garis yang sejajar

3 Jika g: 3x + by −= 2 0 → m g =− y

1 k: x + 2y += 7 0 → m k =−

Garis g sejajar dengan garis h karena g ⊥ k , maka mm g ⋅ h =− 1 dinotasikan g//h, dan berlaku

3 1 3 m ⇔ = m −×−= =−

b 2 2b

x Jadi :

=−⇒=−⇒=− 1 3 2b b

2b 2 Contoh:

Contoh: Garis px + 3y −= 3 0 sejajar dengan garis Diketahui suatu persamaan garis lurus yang

2x −+= y 4 0 . Tentukan nilai p ! melewati titik P(k, 4) dan tegak lurus garis

Pembahasan:

x + 2y += 1 0 adalah p

Jika g: px + 3y −= 3 0

g =− , 2

= m(x + 1), maka nilai k adalah . . . .

Pembahasan: h: 2x −+= y 4 0 Æ m h = 2 . Dengan menggunakan rumus, jelas gradien garis

Karena g//h, artinya

2 m g = m h → −=⇔−=⇔=− 2 p 4 p 4 . 2 memiliki gradien m.

1 x + 2y += 1 0 adalah − . Garis y = m(x + 1)

Jadi , nilai p = –4.

Karena kedua garis tersebut tegak lurus, berlaku

hubungan:

1 m m ×− = − = –1

2 2 E. Si stem Persamaan Li near Dua ⇔−=−⇔= m 2 m2 Vari abel (SPLDV)

Jadi, persamaan garis y = m(x + 1) menjadi : y = 2(x + 1). Garis y = 2(x + 1) melewati titik (k, 4) maka 4 =

Bentuk umum Persamaaan Linear Dua Variabel 2(k + 1)

Langkah penyelesaian dengan metode

Mencari himpunan penyelesaian untuk dapat

eliminasi:

dilakukan dengan metode substitusi, eliminasi, dan (1) Samakan koefisien salah satu variabel x atau

campuran. y , (2) Eliminasikan persamaan tersebut sehingga

(1) Metode Substitusi

suku yang sama hilang (dengan operasi Untuk dapat memahami metode substitusi,

penjumlahan atau pengurangan), selesaikan perhatikan contoh berikut:

dan tentukan nilai satu variabel, Tentukan Himpunan Penyelesaian dari:

(3) Substitusikan nilai variabel yang ditemukan 3x y += 9 … (1)

untuk menemukan nilai variabel yang lain,

x 3y − =− 6 … (2) atau ikuti langkah 1 sampai 3 untuk variabel Dari PLDV di atas diperoleh:

yang lain.

3x +=⇒= y 9 x 3y − 6...(3)

Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1):

Contoh: 3(3y −+= 6) y 9 Tentukan Himpunan penyelesaian dari:

27 Pertama, kita akan coba mengeliminasi varibel x, Nilai y = disubstitusikan ke pers. (1):

10 10 10 10 10 30 10 Nilai y dapat langsung disubstitusi ke salah satu PLDV yang dimiliki, misalnya disubstitusi ke (1):

Jadi, HP = { , } → 3x +=⇔ y 9 3x + = 9

(2) Metode Eliminasi

10 10 10 10 10 30 10 Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel yang ada

dalam PLDV, yaitu variabel x atau y.

Jadi, HP = { , }

mm 1 2 =− 1 , sehingga:

1 ⋅ m 2 =−⇒ 1 m 2 =− 3

1. Koordinat titik pada garis y = 2x – 15 yang

terdekat dengan titik (0,0) adalah . . . . Artinya, persamaan garis yang kita cari Garis yang melalui titik (0,0) memiliki

bergradien ‐3. persamaan Persamaan garis tersebut juga melewati titik

y = mx. Jika garis ini melalui titik terdekat yang

(–2, 11), sehingga:

kita cari, maka garis ini akan tegak lurus y = 2x

y 11 m x − = 2 ( −− () 2 ) =− 3x2 ( +=−− ) 3x 6

– 15. Garis

y =−+ 3x 5

y = mx tegak lurus y = 2x– 15.

1 Jadi, persamaan garis tersebut adalah y = –3x + Sehingga m . 2 = –1 → m =− .

1 Sehingga diperoleh persamaan y = − x . 3. Terdapat

2 dua buah bilangan. Bilangan yang

1 jika ditambah empat kali bilangan yang Artinya garis y = − x akan memotong y = 2x –

besar

E-BOOK METERI HAFALAN TPA (FOKUS TES MATEMATIKA)