Pengoptimalan Jumlah Produksi Roti Dengan Menggunakan Metode Branch And Cut(Studi Kasus: Toko Roti Hoya)
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan
untuk menunjukkan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier,
sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi
pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis
yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan
beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan (Aminudin, 2005).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi dari
fungsi tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan
ketaksamaan fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematika
untuk menjelaskan persoalan yang dihadapi. Sifat “linier” memberi arti bahwa
seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian
kata “program” merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian
program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu
hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara
alternatif yang layak (Dantzig & Thapa, 1997).
Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier
sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber
yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara terbaik yang mungkin
dapat dilakukan. Formulasi model matematika dari persoalan pengalokasian
sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus,
1997).
∑
Universitas Sumatera Utara
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dari fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dari fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
Program linier bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang
khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem di mana nilai variabelvariabel keputusan dalam penyelesaian optimal haruslah merupakan bilangan
integer . Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan bulat
mengingat jumlahnya tidak mungkin dalam bentuk pecahan, seperti rumah,
pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang
dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus
dipenuhi (Sitorus, 1997):
1.
Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan
dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut
fungsi tujuan.
2.
Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu
terlambat dan biaya terendah.
3.
Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.
Universitas Sumatera Utara
4.
Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai
dengan yang disebut dalam model matematika.
5.
Keterkaitan Variabel
Variabel-variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Jenis-jenis Fungsi Program Linier
Model program linier merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalahmasalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model
program linier dikenal 2 (dua) jenis fungsi, yaitu:
1.
Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan
tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan
pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau
biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan
sebagai Z.
2.
Fungsi Kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara
matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan
secara optimal ke berbagai kegiatan.
2.1.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk
memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematika, yaitu
(Siswanto, 2006):
1.
Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan tidak negatif.
2.
Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang
berupa fungsi maksimum atau minimum di mana tingkat pencapaian tujuan
Universitas Sumatera Utara
ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas
waktu produksi kemampuan yang dimiliki.
3.
Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program
linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel
keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu
masalah.
2.1.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam menggunakan model program linier, diperlukan beberapa asumsi sebagai
berikut:
1.
Asumsi Linieritas (Linearity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat
dalam fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan
menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2.
Asumsi Kesebandingan (Propotionality)
a. Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding
dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga
sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3.
Asumsi Penambahan (Additivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian
silang pada model, baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4.
Asumsi Pembagian (Divisibility)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan
berupa bilangan bulat (integer) atau bilangan pecahan.
5.
Asumsi Kepastian (Certainty)
Setiap parameter yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien
teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti, bukan merupakan suatu
nilai dengan peluang tertentu.
Universitas Sumatera Utara
6.
Asumsi Ketidaknegatifan (Nonnegativity)
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
2.1.5 Istilah-istilah yang digunakan dalam Program Linier
Dalam program linier, dikenal dengan istilah-istilah sebagai berikut:
1.
Solusi Fisibel dan Solusi Infisibel
Solusi fisibel adalah solusi yang memenuhi semua syarat pembatas,
sedangkan solusi infisibel adalah solusi yang sekurang-kurangnya memuat
tidak memenuhi salah satu syarat pembatas.
2.
Solusi Optimal
Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memiliki nilai fungsi tujuan paling
menguntungkan. Nilai fungsi tujuan paling menguntungkan adalah nilai
terbesar untuk fungsi tujuan maksimum, dan nilai terkecil untuk fungsi tujuan
minimum. Kebanyakan masalah dalam program linier hanya memiliki sebuah
nilai optimum, akan tetapi dimungkinkan adanya jawaban optimum yang
tidak tunggal. Jika ditemukan jawaban optimum tidak tunggal umumnya
jawaban optimum tersebut adalah banyak.
3. Solusi Fisibel Titik Ujung (ekstrim)
Solusi fisibel titik ujung (ekstrim) adalah solusi yang terletak pada titikujung (titik ekstrim).
2.2 Program Bilangan Bulat
Menurut Mulyono (2004), program bilangan bulat dibutuhkan ketika keputusan
harus dalam bentuk bilangan integer. Model matematika dari program bilangan
bulat sebenarnya sama dengan model program linier, dengan tambahan batasan
bahwa variabel keputusannya harus bilangan integer . Program bilangan bulat
adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau
beberapa variabel bernilai bulat non negative.
Program bilangan bulat (integer programming) merupakan bentuk
perluasan dari program linier. Persoalan program bilangan bulat menginginkan
Universitas Sumatera Utara
solusi yang diperoleh adalah bilangan bulat bukan bilangan pecahan. Contoh
persoalan yang sering ditemui misalnya menentukan banyaknya mobil yang harus
diproduksi, banyaknya unit rumah yang akan dibangun pada suatu proyek
perumahan, banyaknya orang yang diperlukan untuk mengerjakan suatu proyek
dan sebagainya. Program bilangan bulat memiliki model matematika yang sama
dengan model program linier pada umumnya hanya saja ditambah batasan bahwa
variabelnya harus bilangan bulat sebagai berikut (Syahputra, 2012).
∑
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
2.2.1 Beberapa Jenis Keputusan Persoalan Integer Programming
2.2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat Murni (Pure Integer Programming)
Pure Integer Programming (PIP) merupakan pemrograman bilangan bulat di
mana semua nilai variabel keputusan haruslah bilangan bulat. Bentuk umum pure
integer programming sama dengan bentuk umum program bilangan bulat yang
terdapat pada rumus 2.2.
2.2.1.2 Program Bilangan Bulat Campuran (Mixed Integer Programming)
Mixed Integer Programming (MIP) merupakan pemrograman bilangan bulat di
mana nilai variabel keputusannya bernilai bilangan bulat dan variabel yang lainya
Universitas Sumatera Utara
bernilai bilangan desimal atau pecahan. Bentuk umum mixed integer
programming yaitu (Syahputra, 2012).
∑
∑∑
di mana:
∑
∑∑
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan tidak harus bilangan bulat
koefisien variabel keputusan
dalam fungsi kendala
2.2.1.3 Program Bilangan Bulat Biner (Binary Integer Programming)
Bentuk lain dari masalah program bilangan bulat adalah Binary Integer
Programming (BIP). Dalam persoalan binary integer programming nilai variabel
keputusannya adalah bilangan biner (0 atau 1).
Dalam aplikasi sehari-hari, masalah binary integer programming
menyangkut masalah pengambilan keputusan, di mana jika solusi yang didapat
berupa angka 1 berarti menyatakan “ya” atau angka 0 berarti menyatakan “tidak”.
Bentuk umum dari binary integer programming, yaitu (Syahputra, 2012).
∑
Universitas Sumatera Utara
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
2.2.2 Metode Penyelesaian Integer Programming
Beberapa metode penyelesaian masalah program bilangan bulat adalah metode
pembulatan (rounding method) dan metode grafik (graphic method).
2.2.2.1 Metode Pembulatan (Rounding Method)
Metode pembulatan sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan masalah
yang dihadapi. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari
penyelesaian optimal dari problema dengan menggunakan metode program linier
biasa. Selanjutnya, metode pembulatan diterapkan dengan cara melakukan
pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang diperoleh dari
metode program linier (Sitorus, 1997).
Kelemahan utama metode ini ialah bahwa hasil pembulatan yang
dilakukan dapat menyimpang jauh dari penyelesaian optimal integer yang
sesungguhnya dalam penyelesaiannya dianggap tidak layak apabila hasilnya lebih
besar dari pada penyelesaian optimal pecahan (metode grafik). Hasil penyelesaian
optimal metode pembulatan tidak akan pernah nilai optimalnya lebih besar dari
pada hasil yang diperoleh dari metode grafik biasa (pecahan). Hal ini disebabkan
bahwa adanya persyaratan pembulatan yang tidak boleh keluar dari daerah
kelayakan dan tambahan kendala, yang kesemuanya mengakibatkan luas daerah
kelayakan bertambah kecil (Sitorus, 1997).
Universitas Sumatera Utara
2.2.2.2 Metode Grafik (Graphic Method)
Metode grafik relatif lebih mudah untuk menyelesaikan masalah program
bilangan bulat dengan dua variabel yaitu dengan menggambar grafik di atas kertas
grafik kemudian menggambarkan sekumpulan titik-titik bilangan bulat dalam
ruang solusi layak (Syahputra, 2012).
Metode grafik hanya dapat dilakukan apabila jumlah variabel keputusan
adalah dua. Metode ini menggunakan pendekatan pencarian. Untuk mencari
penyelesaian optimal, dilakukan dengan cara mencari titik penyelesaian optimal
yang terdapat di dalam daerah kelayakan dengan koordinatnya harus bilangan
integer yang mendekati titik optimal yang diperoleh dengan menggunakan metode
grafik biasa.
Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan pendekatan
grafik sebagai berikut:
Contoh 2.1
Tentukan nilai bilangan bulat
Maksimumkan
Kendala
Z=3
+
+
dari masalah berikut:
+4
6
9
adalah bilangan bulat
Model ini serupa dengan model program linier biasa. Perbedaannya terletak pada
kendala terakhir yang menginginkan solusi bernilai bilangan bulat positif, solusi
grafik untuk masalah ini ditunjukkan pada Gambar 2.1:
Gambar 2.1 Penyelesaian dengan Pendekatan Grafik
Universitas Sumatera Utara
Solusi optimum pada contoh 2.1 dapat dilihat berdasarkan Gambar 2.1
yaitu
,
dan
. Untuk mencari solusi optimum yang
bernilai bilangan bulat pada contoh 2.1, garis Z digeser secara sejajar dari titik
yang menunjukkan solusi optimum menuju titik asal. Solusi optimum yang benilai
bilangan bulat adalah titik bilangan bulat pertama yang bersinggungan dengan
garis Z yaitu
,
dan
.
2.3 Metode Simpleks
Pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk
menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks.
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak
selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah layak menuju
titik ekstrim optimum (Siagian, 2006).
Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, di
antaranya:
1.
Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu
tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2.
Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada
sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis
selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.
3.
Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang
iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi
kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi
kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah
variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non
negatif).
4.
Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih
tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah
sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5.
Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).
Universitas Sumatera Utara
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,
variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6.
Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel
surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7.
Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis
awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini
harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak
ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8.
Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk
menentukan baris pivot (baris kerja).
9.
Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang
memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk
tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis
pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non
basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai
positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu
dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai nol.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1.
Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
Universitas Sumatera Utara
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol
pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi
diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi
atau
diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistim batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) sebagai
harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2.
Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
Solusi
...
...
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (
negatif untuk kasus minimasi.
4.
...
) yang paling
) yang paling
Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
Universitas Sumatera Utara
5.
Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci.
6.
Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris
variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)
c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7.
Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris (
) sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak
ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan metode simpleks
sebagai berikut:
Contoh 2.2
Tentukan nilai bilangan bulat
maksimumkan
dan
Z=
kendala
dari masalah berikut:
+
+
60
+
48
adalah bilangan bulat
Penyelesaian:
a.
Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar sebagai berikut:
maksimumkan
Z=
+
kendala
b.
+
+
+
= 60
+
+
+
= 48
Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Iterasi 0 pada Contoh 2.2
8
6
0
0
Solusi
Universitas Sumatera Utara
c.
Variabel
Harga
Basis
Basis
0
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Memilih kolom kunci, dikarenakan pada masalah merupakan kasus
maksimasi maka dipilih nilai
yang paling positif sebagai berikut:
Tabel 2.3 Proses 1 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
d.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
0
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Memilih baris kunci yaitu dengan membagi kolom solusi dengan kolom
kunci yang telah dipilih, kemudian dipilih nilai yang paling terkecil sebagai
berikut:
(
maka
)
keluar dari variabel basis dan
masuk dalam variabel basis,
sehingga diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.4 Proses 2 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
e.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
8
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Menentukan nilai elemen cell yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci, kemudian setelah terpilih nilai elemen cell maka lanjut membagi
baris kunci dengan nilai elemen cell yang dipilih sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
dan menentukan baris yang lainnya yaitu dengan cara sebagai berikut:
serta menentukan baris
yang baru yaitu dengan cara sebagai berikut:
mengalikan nilai variabel basis pada kolom harga basis dengan kolom
masing-masing variabel, kemudian baris
dikurang dengan hasil
,
sehingga hasilnya diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Tabel Simpleks Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
f.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
8
1
0,5
0,25
0
15
0
0
3
-0,5
1
18
0
2
-2
0
120
Melakukan uji optimalisasi, dalam masalah ini kasusnya maksimasi maka
nilai pada baris
tidak ada lagi yang bernilai positif.
Dan terlihat bahwa pada Tabel 2.5 masih ada yang bernilai positif maka
dilanjutkan ke iterasi 2, proses pengerjaan pada iterasi 2 sama dengan proses
pengerjaan pada iterasi 1, sehingga diperoleh solusi optimumnya pada iterasi 2,
setelah menguji optimalisasi pada iterasi 2 terlihat bahwa baris
tidak ada
lagi yang bernilai positif, dapat dilihat Tabel 2.6 sebagai berikut:
Tabel 2.6 Solusi Optimum Awal pada Iterasi 2 Contoh 2.2
8
Variabel
Harga
Basis
Basis
0
0
Solusi
8
1
0
0,3333
-0,1667
12
6
0
1
-0,1667
0,3333
6
0
0
-1,6667
-0,6667
132
≥ 0, maka persoalan telah optimal dengan maksimum Z =
Karena baris
132 untuk
6
,
.
Universitas Sumatera Utara
2.4 Metode Branch and Bound
Menurut Fien Zulfikarijah (2004), branch and bound adalah metode umum untuk
mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali
diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960.
Metode branch and bound adalah salah satu metode untuk mendapatkan
penyelesaian optimal pada program linier yang menghasilkan variabel-variabel
keputusan bilangan bulat. Metode ini membatasi penyelesaian optimum yang akan
menghasilkan bilangan pecahan dengan cara membuat cabang atas dan bawah
bagi masing-masing variabel keputusan yang bernilai pecahan agar bernilai bulat
sehingga setiap pembatasan akan menghasilkan cabang baru.
Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu
masalah program linier dengan membuat submasalah. Ada dua konsep dasar
dalam metode branch and bound:
1.
Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-
subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.
2.
Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas dan batas
bawah untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.
Prosedur penyelesaian problema program linier integer dengan metode ini
adalah sebagai berikut:
1.
Penyelesaian Optimal Dengan Metode Program Linier Biasa
Problema yang dihadapi diselesaikan terlebih dahulu dengan menggunakan
metode program linier biasa (metode grafik atau metode simpleks) sampai
diperoleh hasil optimal.
2.
Pemeriksaan Penyelesaian Optimal
Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang
diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila ternyata nilai semua variabel
keputusan tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka penyelesaian
optimal telah tercapai. Apabila tidak, maka proses iterasi dilanjutkan.
3.
Penyusunan Subproblema (Branching)
Universitas Sumatera Utara
Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka peroblema tersebut
dimodifikasi ke dalam dua subproblema (branching) dengan memasukkan
kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut.
4.
Penentuan Nilai Batas (Bounding)
Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa merupakan
nilai batas atas bagi setiap subproblema. Sedangkan hasil optimal dengan
penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah bagi masing-masing
subproblema. Selanjutnya apabila subproblema yang memiliki batas atas
yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut
tidak perlu dianalisis lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan
hasil yang sama atau lebih baik dari pada nilai batas atas dari setiap
problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak,
maka subproblema yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih
selanjutnya menjadi subproblema baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2
sehingga demikian seterusnya.
Penggunaan metode branch and bound banyak sekali di antaranya
knapsack problem, integer programming, travelling sales problem, cutting stock
problem dan banyak lagi kegunaannya. Penggunaan metode ini tentulah untuk
mencari nilai pembulatan terbaik pada masing-masing masalah.
2.5 Metode Cutting Plane
Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan solusi optimum bagi
program bilangan bulat. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu
kendala yang dinamakan kendala gomory. Penambahan kendala gomory dilakukan
pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan (Siagian, 2006).
Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan program linier bilangan bulat, baik bilangan bulat murni maupun
campuran dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Kendala
gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum bulat (bernilai
pecahan). Kendala-kendala tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa
Universitas Sumatera Utara
ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak
pernah menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak (Taha, 1996).
Metode cutting plane digunakan untuk permasalahan yang variabel
keputusannya harus bernilai bilangan bulat. Program linier tidak efektif untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting
plane yang lebih efektif dan memberikan hasil yang lebih baik. Langkah-langkah
penyelesaian program bilangan bulat dengan metode cutting plane sebagai
berikut:
1.
Selesaikan masalah program bilangan bulat dengan menggunakan metode
simpleks. Jika masalah sederhana, kendala gomory dapat diselesaikan dengan
pendekatan grafik, sehingga pendekatan kendala gomory kurang efisien.
2.
Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bilangan
bulat, solusi optimum yang berupa bilangan bulat telah diperoleh dan proses
solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai
pecah, teruskan ke tahap 3.
3.
Buatlah suatu kendala gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual
simpleks. Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996).
Tabel 2.7 Solusi Optimum Masalah Program Linier
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
Solusi
...
...
di mana:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
variabel basis
variabel nonbasis
Perhatikan persamaan ke
di mana variabel
diasumsikan bernilai tidak
bilangan bulat sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
di mana:
∑∑
= variabel basis
variabel nonbasis
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala berupa
noninteger
sumber daya dalam fungsi kendala berupa noninteger
kemudian pisahkan
dan
menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non
negatif seperti berikut:
̅,
sehingga
̅̅̅̅,
sehingga
di mana
̅
di mana
̅̅̅̅
dapat lihat contoh berikut:
̅
̅̅̅̅
1
0
0
2
sehingga adapun kendala gomory yang diinginkan sebagai berikut:
∑∑
di mana:
slack gomory variable
bagian pecahan dari
bagian pecahan dari
variabel nonbasis
Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan dengan solusi
pecah dipilih untuk menghasilkan suatu kendala gomory. Namun, sebagai aturan
Universitas Sumatera Utara
main biasanya dipilih persamaan yang memiliki
maksimum. Adapun tabel baru
setelah penambahan kendala gomory disajikan pada Tabel 2.8 sebagai berikut:
Tabel 2.8 Penambahan Kendala Gomory
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
...
...
Solusi
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
...
0
0
0
…
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
1
...
...
...
Karena diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka
digunakan metode dual simpleks. Proses pembentukan kendala gomory berakhir
jika solusi optimum diperoleh bilangan bulat. Jika tidak, suatu kendala gomor y
baru dibuat kembali dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks
digunakan kembali untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika pada setiap iterasi
metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah
itu tidak memiliki solusi integer yang layak. Metode cutting plane mempunyai
dua kelemahan sebagai berikut:
1.
Kesalahan pembulatan yang muncul dalam perhitungan otomatis akan
mendistorsi data semula terutama dengan bertambahnya ukuran masalah.
2.
Solusi masalah tetap tidak layak, artinya tidak ada solusi integer yang dapat
diperoleh sampai solusi integer optimum dicapai. Ini berarti bahwa tidak ada
solusi integer yang baik jika perhitungan dihentikan sebelum mencapai solusi
integer yang optimum (Taha, 1996).
Kelemahan pertama dapat diatasi dengan penggunaan integer murni.
Metode ini dimulai dengan tabel awal yang semuanya terdiri dari integer yang
sesuai dengan metode dual simpleks. Kemudian dilakukan penambahan kendala
gomory sehingga penambahannya ke tabel akan mempertahankan sifat integer
dari semua koefisien (Taha, 1996, Dimyati, 1992).
Universitas Sumatera Utara
Kelemahan kedua dapat menggunakan metode cutting plane yang dimulai
dengan integer dan layak, tetapi tidak optimum. Iterasi yang berlanjut tetap layak
dan integer sampai solusi optimum dicapai (Taha, 1996, Dimyati, 1992).
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1 Program Linier
Program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif
penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan
untuk menunjukkan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier,
sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi
pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis
yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan
beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan (Aminudin, 2005).
Program linier berkaitan dengan maksimalisasi atau minimalisasi dari
fungsi tujuan linier dengan beberapa variabel yang memiliki kesamaan dan
ketaksamaan fungsi kendala. Program linier menggunakan model matematika
untuk menjelaskan persoalan yang dihadapi. Sifat “linier” memberi arti bahwa
seluruh fungsi matematis dalam model merupakan fungsi yang linier, demikian
kata “program” merupakan sinonim untuk perencanaan. Dengan demikian
program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu
hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik di antara
alternatif yang layak (Dantzig & Thapa, 1997).
Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier
sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber
yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara terbaik yang mungkin
dapat dilakukan. Formulasi model matematika dari persoalan pengalokasian
sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus,
1997).
∑
Universitas Sumatera Utara
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dari fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dari fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
Program linier bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang
khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem di mana nilai variabelvariabel keputusan dalam penyelesaian optimal haruslah merupakan bilangan
integer . Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan bulat
mengingat jumlahnya tidak mungkin dalam bentuk pecahan, seperti rumah,
pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).
2.1.1 Syarat Utama Program Linier
Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang
dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus
dipenuhi (Sitorus, 1997):
1.
Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan
dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut
fungsi tujuan.
2.
Alternatif Perbandingan
Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan,
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu
terlambat dan biaya terendah.
3.
Sumber Daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas.
Universitas Sumatera Utara
4.
Perumusan Kuantitatif
Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai
dengan yang disebut dalam model matematika.
5.
Keterkaitan Variabel
Variabel-variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
2.1.2 Jenis-jenis Fungsi Program Linier
Model program linier merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalahmasalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model
program linier dikenal 2 (dua) jenis fungsi, yaitu:
1.
Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan
tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan
pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau
biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan
sebagai Z.
2.
Fungsi Kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara
matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan
secara optimal ke berbagai kegiatan.
2.1.3 Karakteristik Program Linier
Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk
memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematika, yaitu
(Siswanto, 2006):
1.
Variabel Keputusan
Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap
keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan tidak negatif.
2.
Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang
berupa fungsi maksimum atau minimum di mana tingkat pencapaian tujuan
Universitas Sumatera Utara
ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas
waktu produksi kemampuan yang dimiliki.
3.
Fungsi Kendala
Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program
linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan
pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel
keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu
masalah.
2.1.4 Asumsi dalam Program Linier
Dalam menggunakan model program linier, diperlukan beberapa asumsi sebagai
berikut:
1.
Asumsi Linieritas (Linearity)
Fungsi tujuan (objective function) dan fungsi kendala (constraint) dibuat
dalam fungsi linier. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan
menggunakan beberapa cara, misalnya dengan menggunakan grafik.
2.
Asumsi Kesebandingan (Propotionality)
a. Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding
dengan nilai variabel keputusan.
b. Kontribusi variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga
sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.
3.
Asumsi Penambahan (Additivity)
Sifat penambahan mengasumsikan bahwa tidak terdapat bentuk perkalian
silang pada model, baik fungsi tujuan maupun fungsi kendala.
4.
Asumsi Pembagian (Divisibility)
Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan
berupa bilangan bulat (integer) atau bilangan pecahan.
5.
Asumsi Kepastian (Certainty)
Setiap parameter yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien
teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti, bukan merupakan suatu
nilai dengan peluang tertentu.
Universitas Sumatera Utara
6.
Asumsi Ketidaknegatifan (Nonnegativity)
Nilai variabel keputusan harus lebih besar atau sama dengan nol.
2.1.5 Istilah-istilah yang digunakan dalam Program Linier
Dalam program linier, dikenal dengan istilah-istilah sebagai berikut:
1.
Solusi Fisibel dan Solusi Infisibel
Solusi fisibel adalah solusi yang memenuhi semua syarat pembatas,
sedangkan solusi infisibel adalah solusi yang sekurang-kurangnya memuat
tidak memenuhi salah satu syarat pembatas.
2.
Solusi Optimal
Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memiliki nilai fungsi tujuan paling
menguntungkan. Nilai fungsi tujuan paling menguntungkan adalah nilai
terbesar untuk fungsi tujuan maksimum, dan nilai terkecil untuk fungsi tujuan
minimum. Kebanyakan masalah dalam program linier hanya memiliki sebuah
nilai optimum, akan tetapi dimungkinkan adanya jawaban optimum yang
tidak tunggal. Jika ditemukan jawaban optimum tidak tunggal umumnya
jawaban optimum tersebut adalah banyak.
3. Solusi Fisibel Titik Ujung (ekstrim)
Solusi fisibel titik ujung (ekstrim) adalah solusi yang terletak pada titikujung (titik ekstrim).
2.2 Program Bilangan Bulat
Menurut Mulyono (2004), program bilangan bulat dibutuhkan ketika keputusan
harus dalam bentuk bilangan integer. Model matematika dari program bilangan
bulat sebenarnya sama dengan model program linier, dengan tambahan batasan
bahwa variabel keputusannya harus bilangan integer . Program bilangan bulat
adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau
beberapa variabel bernilai bulat non negative.
Program bilangan bulat (integer programming) merupakan bentuk
perluasan dari program linier. Persoalan program bilangan bulat menginginkan
Universitas Sumatera Utara
solusi yang diperoleh adalah bilangan bulat bukan bilangan pecahan. Contoh
persoalan yang sering ditemui misalnya menentukan banyaknya mobil yang harus
diproduksi, banyaknya unit rumah yang akan dibangun pada suatu proyek
perumahan, banyaknya orang yang diperlukan untuk mengerjakan suatu proyek
dan sebagainya. Program bilangan bulat memiliki model matematika yang sama
dengan model program linier pada umumnya hanya saja ditambah batasan bahwa
variabelnya harus bilangan bulat sebagai berikut (Syahputra, 2012).
∑
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
2.2.1 Beberapa Jenis Keputusan Persoalan Integer Programming
2.2.1.1 Pemrograman Bilangan Bulat Murni (Pure Integer Programming)
Pure Integer Programming (PIP) merupakan pemrograman bilangan bulat di
mana semua nilai variabel keputusan haruslah bilangan bulat. Bentuk umum pure
integer programming sama dengan bentuk umum program bilangan bulat yang
terdapat pada rumus 2.2.
2.2.1.2 Program Bilangan Bulat Campuran (Mixed Integer Programming)
Mixed Integer Programming (MIP) merupakan pemrograman bilangan bulat di
mana nilai variabel keputusannya bernilai bilangan bulat dan variabel yang lainya
Universitas Sumatera Utara
bernilai bilangan desimal atau pecahan. Bentuk umum mixed integer
programming yaitu (Syahputra, 2012).
∑
∑∑
di mana:
∑
∑∑
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan tidak harus bilangan bulat
koefisien variabel keputusan
dalam fungsi kendala
2.2.1.3 Program Bilangan Bulat Biner (Binary Integer Programming)
Bentuk lain dari masalah program bilangan bulat adalah Binary Integer
Programming (BIP). Dalam persoalan binary integer programming nilai variabel
keputusannya adalah bilangan biner (0 atau 1).
Dalam aplikasi sehari-hari, masalah binary integer programming
menyangkut masalah pengambilan keputusan, di mana jika solusi yang didapat
berupa angka 1 berarti menyatakan “ya” atau angka 0 berarti menyatakan “tidak”.
Bentuk umum dari binary integer programming, yaitu (Syahputra, 2012).
∑
Universitas Sumatera Utara
∑∑
di mana:
fungsi tujuan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi tujuan
variabel keputusan
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala
sumber daya dalam fungsi kendala
2.2.2 Metode Penyelesaian Integer Programming
Beberapa metode penyelesaian masalah program bilangan bulat adalah metode
pembulatan (rounding method) dan metode grafik (graphic method).
2.2.2.1 Metode Pembulatan (Rounding Method)
Metode pembulatan sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan masalah
yang dihadapi. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari
penyelesaian optimal dari problema dengan menggunakan metode program linier
biasa. Selanjutnya, metode pembulatan diterapkan dengan cara melakukan
pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang diperoleh dari
metode program linier (Sitorus, 1997).
Kelemahan utama metode ini ialah bahwa hasil pembulatan yang
dilakukan dapat menyimpang jauh dari penyelesaian optimal integer yang
sesungguhnya dalam penyelesaiannya dianggap tidak layak apabila hasilnya lebih
besar dari pada penyelesaian optimal pecahan (metode grafik). Hasil penyelesaian
optimal metode pembulatan tidak akan pernah nilai optimalnya lebih besar dari
pada hasil yang diperoleh dari metode grafik biasa (pecahan). Hal ini disebabkan
bahwa adanya persyaratan pembulatan yang tidak boleh keluar dari daerah
kelayakan dan tambahan kendala, yang kesemuanya mengakibatkan luas daerah
kelayakan bertambah kecil (Sitorus, 1997).
Universitas Sumatera Utara
2.2.2.2 Metode Grafik (Graphic Method)
Metode grafik relatif lebih mudah untuk menyelesaikan masalah program
bilangan bulat dengan dua variabel yaitu dengan menggambar grafik di atas kertas
grafik kemudian menggambarkan sekumpulan titik-titik bilangan bulat dalam
ruang solusi layak (Syahputra, 2012).
Metode grafik hanya dapat dilakukan apabila jumlah variabel keputusan
adalah dua. Metode ini menggunakan pendekatan pencarian. Untuk mencari
penyelesaian optimal, dilakukan dengan cara mencari titik penyelesaian optimal
yang terdapat di dalam daerah kelayakan dengan koordinatnya harus bilangan
integer yang mendekati titik optimal yang diperoleh dengan menggunakan metode
grafik biasa.
Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan pendekatan
grafik sebagai berikut:
Contoh 2.1
Tentukan nilai bilangan bulat
Maksimumkan
Kendala
Z=3
+
+
dari masalah berikut:
+4
6
9
adalah bilangan bulat
Model ini serupa dengan model program linier biasa. Perbedaannya terletak pada
kendala terakhir yang menginginkan solusi bernilai bilangan bulat positif, solusi
grafik untuk masalah ini ditunjukkan pada Gambar 2.1:
Gambar 2.1 Penyelesaian dengan Pendekatan Grafik
Universitas Sumatera Utara
Solusi optimum pada contoh 2.1 dapat dilihat berdasarkan Gambar 2.1
yaitu
,
dan
. Untuk mencari solusi optimum yang
bernilai bilangan bulat pada contoh 2.1, garis Z digeser secara sejajar dari titik
yang menunjukkan solusi optimum menuju titik asal. Solusi optimum yang benilai
bilangan bulat adalah titik bilangan bulat pertama yang bersinggungan dengan
garis Z yaitu
,
dan
.
2.3 Metode Simpleks
Pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk
menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks.
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak
selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah layak menuju
titik ekstrim optimum (Siagian, 2006).
Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, di
antaranya:
1.
Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu
tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2.
Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada
sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis
selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.
3.
Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang
iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi
kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variabel buatan (jika fungsi
kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah
variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non
negatif).
4.
Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih
tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah
sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5.
Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).
Universitas Sumatera Utara
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,
variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6.
Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel
surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7.
Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika
kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis
awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini
harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak
ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8.
Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk
menentukan baris pivot (baris kerja).
9.
Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang
memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk
tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis
pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non
basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai
positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu
dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai nol.
Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):
1.
Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
Universitas Sumatera Utara
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
(artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol
pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi
diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack.
b. Untuk batasan bernotasi
atau
diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistim batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangat besar) sebagai
harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).
2.
Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
Solusi
...
...
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai (
positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai (
negatif untuk kasus minimasi.
4.
...
) yang paling
) yang paling
Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
Universitas Sumatera Utara
5.
Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci.
6.
Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris
variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell.
b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:
Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru)
c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.
7.
Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris (
) sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak
ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan metode simpleks
sebagai berikut:
Contoh 2.2
Tentukan nilai bilangan bulat
maksimumkan
dan
Z=
kendala
dari masalah berikut:
+
+
60
+
48
adalah bilangan bulat
Penyelesaian:
a.
Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar sebagai berikut:
maksimumkan
Z=
+
kendala
b.
+
+
+
= 60
+
+
+
= 48
Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Iterasi 0 pada Contoh 2.2
8
6
0
0
Solusi
Universitas Sumatera Utara
c.
Variabel
Harga
Basis
Basis
0
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Memilih kolom kunci, dikarenakan pada masalah merupakan kasus
maksimasi maka dipilih nilai
yang paling positif sebagai berikut:
Tabel 2.3 Proses 1 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
d.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
0
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Memilih baris kunci yaitu dengan membagi kolom solusi dengan kolom
kunci yang telah dipilih, kemudian dipilih nilai yang paling terkecil sebagai
berikut:
(
maka
)
keluar dari variabel basis dan
masuk dalam variabel basis,
sehingga diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.4 Proses 2 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
e.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
8
4
2
1
0
60
0
2
4
0
1
48
8
6
0
0
0
Menentukan nilai elemen cell yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci, kemudian setelah terpilih nilai elemen cell maka lanjut membagi
baris kunci dengan nilai elemen cell yang dipilih sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
dan menentukan baris yang lainnya yaitu dengan cara sebagai berikut:
serta menentukan baris
yang baru yaitu dengan cara sebagai berikut:
mengalikan nilai variabel basis pada kolom harga basis dengan kolom
masing-masing variabel, kemudian baris
dikurang dengan hasil
,
sehingga hasilnya diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Tabel Simpleks Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8
f.
Variabel
Harga
Basis
Basis
6
0
0
Solusi
8
1
0,5
0,25
0
15
0
0
3
-0,5
1
18
0
2
-2
0
120
Melakukan uji optimalisasi, dalam masalah ini kasusnya maksimasi maka
nilai pada baris
tidak ada lagi yang bernilai positif.
Dan terlihat bahwa pada Tabel 2.5 masih ada yang bernilai positif maka
dilanjutkan ke iterasi 2, proses pengerjaan pada iterasi 2 sama dengan proses
pengerjaan pada iterasi 1, sehingga diperoleh solusi optimumnya pada iterasi 2,
setelah menguji optimalisasi pada iterasi 2 terlihat bahwa baris
tidak ada
lagi yang bernilai positif, dapat dilihat Tabel 2.6 sebagai berikut:
Tabel 2.6 Solusi Optimum Awal pada Iterasi 2 Contoh 2.2
8
Variabel
Harga
Basis
Basis
0
0
Solusi
8
1
0
0,3333
-0,1667
12
6
0
1
-0,1667
0,3333
6
0
0
-1,6667
-0,6667
132
≥ 0, maka persoalan telah optimal dengan maksimum Z =
Karena baris
132 untuk
6
,
.
Universitas Sumatera Utara
2.4 Metode Branch and Bound
Menurut Fien Zulfikarijah (2004), branch and bound adalah metode umum untuk
mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali
diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960.
Metode branch and bound adalah salah satu metode untuk mendapatkan
penyelesaian optimal pada program linier yang menghasilkan variabel-variabel
keputusan bilangan bulat. Metode ini membatasi penyelesaian optimum yang akan
menghasilkan bilangan pecahan dengan cara membuat cabang atas dan bawah
bagi masing-masing variabel keputusan yang bernilai pecahan agar bernilai bulat
sehingga setiap pembatasan akan menghasilkan cabang baru.
Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu
masalah program linier dengan membuat submasalah. Ada dua konsep dasar
dalam metode branch and bound:
1.
Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-
subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.
2.
Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas dan batas
bawah untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.
Prosedur penyelesaian problema program linier integer dengan metode ini
adalah sebagai berikut:
1.
Penyelesaian Optimal Dengan Metode Program Linier Biasa
Problema yang dihadapi diselesaikan terlebih dahulu dengan menggunakan
metode program linier biasa (metode grafik atau metode simpleks) sampai
diperoleh hasil optimal.
2.
Pemeriksaan Penyelesaian Optimal
Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang
diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila ternyata nilai semua variabel
keputusan tersebut merupakan bilangan bulat positif, maka penyelesaian
optimal telah tercapai. Apabila tidak, maka proses iterasi dilanjutkan.
3.
Penyusunan Subproblema (Branching)
Universitas Sumatera Utara
Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka peroblema tersebut
dimodifikasi ke dalam dua subproblema (branching) dengan memasukkan
kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut.
4.
Penentuan Nilai Batas (Bounding)
Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa merupakan
nilai batas atas bagi setiap subproblema. Sedangkan hasil optimal dengan
penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah bagi masing-masing
subproblema. Selanjutnya apabila subproblema yang memiliki batas atas
yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut
tidak perlu dianalisis lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan
hasil yang sama atau lebih baik dari pada nilai batas atas dari setiap
problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak,
maka subproblema yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih
selanjutnya menjadi subproblema baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2
sehingga demikian seterusnya.
Penggunaan metode branch and bound banyak sekali di antaranya
knapsack problem, integer programming, travelling sales problem, cutting stock
problem dan banyak lagi kegunaannya. Penggunaan metode ini tentulah untuk
mencari nilai pembulatan terbaik pada masing-masing masalah.
2.5 Metode Cutting Plane
Metode cutting plane dikembangkan untuk menemukan solusi optimum bagi
program bilangan bulat. Metode ini dilakukan dengan menambahkan suatu
kendala yang dinamakan kendala gomory. Penambahan kendala gomory dilakukan
pada tabel optimal sehingga dapat mempersingkat perhitungan (Siagian, 2006).
Metode cutting plane merupakan metode yang digunakan untuk
menyelesaikan program linier bilangan bulat, baik bilangan bulat murni maupun
campuran dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Kendala
gomory diberikan jika nilai dari variabel keputusan belum bulat (bernilai
pecahan). Kendala-kendala tersebut secara efektif akan menyingkirkan beberapa
Universitas Sumatera Utara
ruang penyelesaian yang tidak berisi titik bilangan bulat yang layak, tetapi tidak
pernah menyingkirkan satupun titik bilangan bulat yang layak (Taha, 1996).
Metode cutting plane digunakan untuk permasalahan yang variabel
keputusannya harus bernilai bilangan bulat. Program linier tidak efektif untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut sehingga dikembangkan metode cutting
plane yang lebih efektif dan memberikan hasil yang lebih baik. Langkah-langkah
penyelesaian program bilangan bulat dengan metode cutting plane sebagai
berikut:
1.
Selesaikan masalah program bilangan bulat dengan menggunakan metode
simpleks. Jika masalah sederhana, kendala gomory dapat diselesaikan dengan
pendekatan grafik, sehingga pendekatan kendala gomory kurang efisien.
2.
Periksa solusi optimum. Jika semua variabel basis memiliki nilai bilangan
bulat, solusi optimum yang berupa bilangan bulat telah diperoleh dan proses
solusi telah berakhir. Jika satu atau lebih variabel basis masih memiliki nilai
pecah, teruskan ke tahap 3.
3.
Buatlah suatu kendala gomory dan cari solusi optimum melalui prosedur dual
simpleks. Kembali ke tahap 2 (Taha, 1996).
Tabel 2.7 Solusi Optimum Masalah Program Linier
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
Solusi
...
...
di mana:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
variabel basis
variabel nonbasis
Perhatikan persamaan ke
di mana variabel
diasumsikan bernilai tidak
bilangan bulat sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
di mana:
∑∑
= variabel basis
variabel nonbasis
koefisien variabel keputusan dalam fungsi kendala berupa
noninteger
sumber daya dalam fungsi kendala berupa noninteger
kemudian pisahkan
dan
menjadi bagian yang bulat dan bagian pecah non
negatif seperti berikut:
̅,
sehingga
̅̅̅̅,
sehingga
di mana
̅
di mana
̅̅̅̅
dapat lihat contoh berikut:
̅
̅̅̅̅
1
0
0
2
sehingga adapun kendala gomory yang diinginkan sebagai berikut:
∑∑
di mana:
slack gomory variable
bagian pecahan dari
bagian pecahan dari
variabel nonbasis
Pada umumnya, persamaan kendala yang berhubungan dengan solusi
pecah dipilih untuk menghasilkan suatu kendala gomory. Namun, sebagai aturan
Universitas Sumatera Utara
main biasanya dipilih persamaan yang memiliki
maksimum. Adapun tabel baru
setelah penambahan kendala gomory disajikan pada Tabel 2.8 sebagai berikut:
Tabel 2.8 Penambahan Kendala Gomory
...
Variabel
Harga
Basis
Basis
...
...
...
Solusi
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
...
...
...
0
0
...
0
0
0
…
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
...
1
...
...
...
Karena diperoleh solusi primal optimum tetapi tidak layak maka
digunakan metode dual simpleks. Proses pembentukan kendala gomory berakhir
jika solusi optimum diperoleh bilangan bulat. Jika tidak, suatu kendala gomor y
baru dibuat kembali dari tabel yang dihasilkan dan metode dual simpleks
digunakan kembali untuk mengatasi ketidaklayakan. Jika pada setiap iterasi
metode dual simpleks menunjukkan bahwa tidak ada solusi layak, berarti masalah
itu tidak memiliki solusi integer yang layak. Metode cutting plane mempunyai
dua kelemahan sebagai berikut:
1.
Kesalahan pembulatan yang muncul dalam perhitungan otomatis akan
mendistorsi data semula terutama dengan bertambahnya ukuran masalah.
2.
Solusi masalah tetap tidak layak, artinya tidak ada solusi integer yang dapat
diperoleh sampai solusi integer optimum dicapai. Ini berarti bahwa tidak ada
solusi integer yang baik jika perhitungan dihentikan sebelum mencapai solusi
integer yang optimum (Taha, 1996).
Kelemahan pertama dapat diatasi dengan penggunaan integer murni.
Metode ini dimulai dengan tabel awal yang semuanya terdiri dari integer yang
sesuai dengan metode dual simpleks. Kemudian dilakukan penambahan kendala
gomory sehingga penambahannya ke tabel akan mempertahankan sifat integer
dari semua koefisien (Taha, 1996, Dimyati, 1992).
Universitas Sumatera Utara
Kelemahan kedua dapat menggunakan metode cutting plane yang dimulai
dengan integer dan layak, tetapi tidak optimum. Iterasi yang berlanjut tetap layak
dan integer sampai solusi optimum dicapai (Taha, 1996, Dimyati, 1992).
Universitas Sumatera Utara