Analisis Metode Branch and Bound Dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti (Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)

ANALISIS METODE BRANCH AND BOUND DALAM MENGOPTIMALKAN JUMLAH PRODUKSI ROTI

(Studi Kasus pada PT. RAMAH JAYA BAKERY)

DESI RATNA SARI ARITONANG 090803059

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2013

PERSETUJUAN

Judul : Analisis Metode Branch and Bound Dalam

Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti (Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)

Kategori : Skripsi

Nama : Desi Ratna Sari Aritonang

NomorIndukMahasiswa : 090803059

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Oktober 2013

KomisiPembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dra. Elly Rosmaini, M.Si Prof. Dr. Tulus, M.Si . Ph.D NIP. 19600520 198503 2002 NIP. 19620901 198803 1002

DisetujuiOleh

DepartemenMatematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

Analisis Metode Branch and Bound dalam Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti

(Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Oktober 2013

DESI RATNA SARI ARITONANG 090803059

PENGHARGAAN

Alhamduliilah hirobbil’alamin, puji dan syukur atas rahmat dan karunia yang dilimpahkan Allah SWT, penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul: “Analisis Metode Branch and Bound Untuk Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti (Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)” yang disusun sebagai syarat akademis dalam menyelesaikan program sarjana (S-1) Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Terimakasih penulis sampaikan kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Ibu Dra. Elly Rosmaini,M.Si selaku dosen pembimbing 1 dan pembimbing 2 penulis, yang telah meluangkan waktunya untuk membantu penulis dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini

2. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc dan Ibu Dra. Mardiningsih M.Si selaku Dekan dan Sekretaris Departemen Matematika fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Sumatera Utara

3. Bapak dan Ibu Dosen, beserta seluruh staf dan pegawai Departemen Matematika.

4. Teristimewa penulis ucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada Ayahanda M. Halim Aritonang , Ibunda A.R Br Hutabarat, Nurhabibah Aritonang (kakak), Rio Jenero Aritonang (Adik), Roy Malik Abdul Azis Aritonang (adik), Cut Ria Muliana Aritonang (adik), beserta keluarga besar yang selalu mendukung dan mendoakan serta memberi perhatian yang luar biasa kepada penulis selama ini.

5. Kepada rekan-rekan HMI Komisariat FMIPA USU (Bayu Mustakim, kakanda Averos Philiang, Adrian Lizardi, Rizky Batubara, Ryan Baihaqi, dll) atas dukungan dan semangatnya selama ini.

6. Teman-Teman DCCM (Sari C. Kembaren, Siti Rayani Simatupang, Siti Aisyah, Wiwit Widyawati, Yuan Annisa, Juliarti Hardika, Ida Yanti Hasibuan, Mardhatillah, Defita Sari, Yudhana Jumaindra, Ramadhani Siagian, Lintang

Gilang, Fendi Harahap, Syukri Jundi) yang telah memberikan banyak bantuan kepada penulis selama ini.

7. Abang dan kakak 2006, Adik-adik 2012 serta rekan-rekan matematika 2009 yang telah memberikan banyak bantuan dan kenangan selama perkuliahan.

Masih terdapat banyak kekurangan dalam penyusunan skripsi ini, maka dari itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan penelitian ini di masa yang akan datang.

Medan, Oktober 2013

ANALISIS METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENGOPTIMALKAN JUMLAH PRODUKSI ROTI

(Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)

ABSTRAK

PT. Ramah Jaya Bakery memproduksi roti atas tiga jenis rasa, yakni rasa kelapa, cokelat, dan melon. Masalah mengoptimalkan jumlah produksi akan dimodelkan ke dalam model matematika berupa program linier kemudian dilanjutkan dengan program integer, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan integer. Masalah program integer tersebut akan diselesaikan dengan metode branch and bound yang terlebih dahulu menghitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan metode simpleks. Sehingga dari analisis metode branch and bound diperoleh selisih nilai keuntungan sebesar 2,3% dari perkiraan keuntungan perusahaan .

Kata Kunci : Program Linier, Metode Simpleks, program integer dan Branch and Bound

ABSTRACT

PT. Ramah Jaya Bakery produces bread on three types of flavors, the taste of coconut, chocolate, and melon. Problems optimize production quantities will be modeled into a mathematical model of a linear program followed by integer programming, where decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved by the branch and bound method first calculates the value of the decision variables using the simplex method. So from the branch and bound method of analysis obtained by the difference value of the estimated profit of the company's profits 2,3%.

Keywords: Linear Programming, Simplex Method, Integer Programming and Branch and Bound

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK vi

ABSTRACT vii

DAFTAR ISI viii

DAFTAR TABEL ix

DAFTAR GAMBAR x

Bab 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Tinjauan Pustaka 4

1.6 Kontribusi Penelitian 7

1.7 Metode Penelitian 7

Bab 2 Landasan Teori

2.1 Program Linier 9

2.1.1 Model Program Linier 10

2.1.2 Terminologi Program Linier 12

2.1.3 Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier 12

2.1.4 Unsur-unsur Program Linier 13

2.2 Program Integer (Integer Programming) 14

2.3 Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound) 16

Bab 3 Metode Penelitian

3.1 Merumuskan Masalah 23

3.2 Studi Literatur dan Studi Kasus 23

3.3 Pengamatan dan Pengumpulan Data 23

3.3.1 Proses Produksi 23

3.3.2 Jenis rasa Roti 25

3.3.3 Bahan Baku dan Waktu Produksi Roti 26

3.3.4 Harga Jual, Biaya Produksi, dan Keuntungan Penjualan 27

3.4 Pengolahan Data 27

3.5 Penarikan Kesimpulan 27

3.6 Skema Pengolahan Data 27

Bab 4 Pembahasan

4.1.1 Perumusan Fungsi Tujuan 30

4.1.2 Perumusan Fungsi Kendala 30

4.2 Pengolahan Data 31

4.3 Analisis Metode Branch and Bound 34

Bab 5 Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan 52

5.2 Saran 53

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1 Jenis-Jenis Roti 25

3.2 Bahan baku produksi roti 26

3.3 Waktu Produksi roti 26

3.4 Harga jual roti, biaya produksi roti dan 27 keuntungan penjualan roti

4.1 Data produksi roti 29

4.2 Tabel iterasi 1 metode simpleks dengan 31 Software QM

4.3 Tabel iterasi 2 metode simpleks dengan 32 Software QM

4.4 Tabel iterasi 3 metode simpleks dengan 32 Software QM

4.5 Tabel iterasi 4 metode simpleks dengan 32 Software QM

4.6 Tabel iterasi 5 metode simpleks dengan 33 Software QM

4.7 Tabel Solusi dari hasil iterasi 33

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Flowchart algoritma branch and bound 20 Untuk IP optimasi maksimum

2.2 _{Flowchart algoritma branch and bound 21}

Untuk IP optimasi minimum

3.1 Skema pengolahan data 28

4.1 Diagram Branch and Bound dalam 50

Dalam mengoptimalkan jumlah produksi roti

ANALISIS METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENGOPTIMALKAN JUMLAH PRODUKSI ROTI

(Studi Kasus: PT. Ramah Jaya Bakery)

ABSTRAK

PT. Ramah Jaya Bakery memproduksi roti atas tiga jenis rasa, yakni rasa kelapa, cokelat, dan melon. Masalah mengoptimalkan jumlah produksi akan dimodelkan ke dalam model matematika berupa program linier kemudian dilanjutkan dengan program integer, dimana variabel keputusan harus berupa bilangan integer. Masalah program integer tersebut akan diselesaikan dengan metode branch and bound yang terlebih dahulu menghitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan metode simpleks. Sehingga dari analisis metode branch and bound diperoleh selisih nilai keuntungan sebesar 2,3% dari perkiraan keuntungan perusahaan .

Kata Kunci : Program Linier, Metode Simpleks, program integer dan Branch and Bound

ABSTRACT

PT. Ramah Jaya Bakery produces bread on three types of flavors, the taste of coconut, chocolate, and melon. Problems optimize production quantities will be modeled into a mathematical model of a linear program followed by integer programming, where decision variables must be integers. Integer programming problem will be solved by the branch and bound method first calculates the value of the decision variables using the simplex method. So from the branch and bound method of analysis obtained by the difference value of the estimated profit of the company's profits 2,3%.

Keywords: Linear Programming, Simplex Method, Integer Programming and Branch and Bound

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pertumbuhan UKM dalam negeri didominasi oleh industri makanan, salah satunya produk roti yang menunjukan bahwa minat masyarakat terhadap produk ini terus bertambah. Hal ini mengindikasikan bahwa usaha roti masih dapat terus berkembang dan merupakan salah satu pasar potensial untuk mencapai keuntungan optimum. Makanan merupakan kebutuhan utama manusia dalam menjalani kehidupan setiap hari. Seiring berjalannya waktu muncullah berbagai variasi makanan, salah satunya produk roti. Di Indonesia sendiri industri makanan terus berkembang, krisis global yang terjadi tidak banyak memberikan pengaruh terhadap keberadaan produk roti karena adanya waktu kadarluarsa .

Roti adalah produk pangan olahan yang merupakan hasil proses pemanggangan adonan yang telah difermentasi. Bahan utama dalam pembuatan roti terdiri dari tepung, air, ragi roti, gula, mentega dan garam sedangkan bahan tambahannya terdiri dari morivan dan instan plus. Jenis roti-roti yang di produksi di perusahaan tergantung pada rasa, antara lain, rasa coklat, kelapa, dan melon. Ketiga jenis rasa ini memiliki bahan dengan kandungan yang sama dan yang membedakannya hanya rasaa dan ukuran saja.

Pertumbuhan produksi roti pada perusahaan ini berkembang dengan pesat dan mendorong upaya efisiensi produksi dengan cara menghemat energi dan menurunkan biaya penggunaan bahan baku. Oleh karena itu industri roti perlu menetapkan pemakaian bahan baku yang digunakan untuk membuat roti tersebut. Bahan bakunya antara lain tepung, gula, garam, mentega, instan plus, dan mentega. Agar pembuatan roti untuk setiap jenis rasa mencapai optimal maka penulis menggunakan metode branch and bound.

Program linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat digambarkan sebuah contoh keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Dalam hal ini keputusan atau solusi untuk menghasilkan keuntungan tersebut dapat berbentuk integer dan noninteger.

Program integer adalah program linier (linear programming) yang merupakan sebuah model yang semua variabelnya harus mempunyai solusi yang bernilai integer. Program integer juga biasanya lebih dipilih untuk memodelkan suatu permasalahan dibandingkan dengan Program linier, karena program linier dengan hasil keputusan variabelnya berupa bilangan riil kurang baik dalam memodelkan permasalahan yang menuntut solusi berupa bilangan integer, misalnya jika akan memproduksi pesawat dan menghasilkan nilai x1 = 7,4 jet, maka pembulatan dapat mempengaruhi keuntungan atau biaya.

Model program integer biasanya dipilih untuk permasalahan yang variabel-variabelnya tidak dimungkinkan jika bertipe bilangan tidak integer, misalnya variabel jumlah mobil. Program integer dapat diselesaikan dengan cara, antar lain: menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi dan sebagainya. Salah satu cara yang cukup efektif untuk menyelesaikan program integer adalah dengan menggunakan metode branch and bound.

Setiap perusahaan tidak lepas dari aktivitas-aktivitas, PT. RAMAH JAYA BAKERY merupakan salah satu perusahaan dagang dengan aktivitas utamanya

sebuah perusahaan untuk mendapatkan keuntungan. Berdasarkan uraian diatas, penulis mengambil judul penelitian “ Analisis Metode Branch and Bound untuk Mengoptimalkan Jumlah Produksi Roti (Studi Kasus pada PT. RAMAH JAYA BAKERY).

1.2 PERUMUSAN MASALAH

Permasalahan pada perusahaan adalah modal awal yang terbatas untuk memproduksi roti maka perlu menentukan jumlah bahan baku optimal untuk memperoleh jumlah/banyaknya roti yang akan dibuat dari masing-masing jenis agar dapat mengefisienkan biaya produksi.

1.3BATASAN MASALAH

Agar pembahasan dapat diselesaikan dengan baik dan tidak menyimpang dari tujuan yang akan dicapai serta membuat pembahasan lebih terarah, maka penulis perlu membuat suatu batasan masalah, yaitu :

1. Dipilih 3 jenis rasa pada perusahaan, antara lain : rasa coklat, rasa kelapa, dan rasa melon.

2. Dalam menyelesaikan produksi, harga/biaya bahan baku dianggap konstan, tidak terpengaruh oleh waktu dan faktor-faktor lain.

3. Hal-hal yang berhubungan dengan masalah pengadaan bahan baku dianggap selalu tersedia .

1.4 TUJUAN PENELITIAN

Sesuai dengan judul skripsi ini, penulis bertujuan untuk memperlihatkan bahwa metode branch and bound pada program integer merupakan salah satu alternatif yang dapat digunakan dalam hal mengefisienkan bahan baku pembuatan roti pada PT. RAMAH JAYA BAKERY.

1.5TINJAUAN PUSTAKA

Adapun bahan referensi yang dipakai penulis sebagai bahan acuan atau tinjauan untuk tulisan ini adalah sebagai berikut:

Program linier merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber yang terbatas secara optimal. Dalam memecahkan masalah program linier menggunakan model matematis. Sebutan “linear” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi linier. Kata “programming” jangan dikacaukan dengan “computer programming”, seperti yang sering di dengar dalam pembicaraan sehari-hari. Jadi, program linier mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hal yang “optimal”, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik menurut model matematis di antara alternatif-alternatif yang mungkin, dengan menggunakan fungsi linier (Siagian, 2006).

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problem keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimumkan atau meminimumkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam menyelesaikan problem alokasi sumber daya (Parlin Sitorus, 1997).

Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk sebagai berikut: Max atau min

1 n

j j j

Z c x

=

=

∑

Kendala : 1 n

ij j i

j

a x atau b

=

≤ ≥

∑

untuk i = 1, 2, 3, ..., n. x_j ≥0 Untuk j = 1, 2, 3, ..., n.

Di mana :

Z = Fungsi tujuan yang harus dicari nilai optimalnya . j

x = Varabel keputusan j. j

c = nilai kontribusi dari variabel keputusan j. ij

a = koefisien dari variabel keputusan j dalam kendala ke – i i

b = sumber yang tersedia dalam kendala i

Program linier bilangan bulat (integer) merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem di mana nilai variabel-variabel keputusan dalam penyelesaian optimal haruslah merupakan bilangan integer. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bilangan integer mengingat jumlahnya tidak mungkin dalam bentuk pecahan, seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).

Karakteristik model matematika program integer adalah sama dengan model linier biasa, kecuali dalam program integer harus ada memuat suatu persayaratan bahwa variabel keputusan tertentu harus bilangan integer.

Apabila dalam program linier integer mensyaratkan :

1. Semua keputusan harus merupakan bilangan ineteger disebut All integer linear programming (AILP).

2. Hanya sebagian keputusan yang merupakan bilangan integer disebut Mixed integer linear programing (MILP).

3. Jika variabel keputusan harus bernilai 0 dan 1 disebut Zero one integer linear programming (ZOILP).

Untuk memudahkan dalam mendapatkan solusi optimal sesuai dengan persyaratan, metode branch and bound merupakan salah satu dari metode program integer. Pada dasarnya adalah strategi “mencabangkan dan membatasi”. Metode branch and bound adalah metode umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai permasalahan optimasi. Metode ini juga merupakan teknik solusi yang tidak terbatas hanya untuk permasalahan program integer saja. Tetapi juga merupakan pendekatan solusi yang dapat diterapkan untuk berbagai macam permasalahan yang berbeda. Prinsip yang mendasari metode branch and bound yaitu total set solusi yang fisibel dapat dibagi menjadi subset solusi yang lebih kecil. Subset-subset ini selanjutnya dapat dieavluasi secara sistematis sampai solusi yang terbaik ditemukan penerapan metode branch and bound pada masalah program integer digunakan bersama-sama dengan metode simpleks.

Dwi Hayu Agustini (2004) mengemukakan bahwa metode simpleks dikembangkan oleh George Dantzing pada tahaun 1947. Metode simpleks berbeda dengan metode grafik karena hanya dapat menyelesaikan kasus dengan paling banyak 3 variabel keputusan, sedangkan metode simpleks dapat digunakan untuk memecahkan kasus dengan banyak variabel keputusan .

Adapun proses penyusunan model matematika untuk fungsi tujuan dan kendala pada metode simpleks sama dengan proses pada metode grafik. Namun, proses perhitungan pada metode simpleks dilakukan secara rutin ( berulang ) dengan menggunakan pola yang sistematik hingga penyelesaian terbaik dicapai. Proses perhitungan yang rutin ini menunjukan nilai fungsi tujuan akan sama atau lebih besar dari penyelesaian pada iterasi sebelumnya. Hal ini memberi jaminan bahwa proses ini bergerak ke arah penyelesaian optimal.

1.6Kontribusi Penelitian

Penelitian ini memberikan kontribusi sebagai berikut :

1. Bagi pembaca untuk lebih memahami tentang metode Branch and Bound dalam menemukan solusi optimal yang integer dari suatu produksi.

2. Menjadi referensi bagi peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang berhubungan dengan Program Integer

3. Menjadi referensi oleh perusahaan terkait pengadaan jumlah sepeda motor agar memperoleh keuntungan penjualan yang optimal.

1.7Metodologi Penelitian

Metodologi peneilitian yang digunakan adalah Studi kasus yaitu dengan cara mengambil data yang berhubungan dengan masalah yang akan di bahas pada perusahaan yang bersangkutan. Adapun tahap-tahap dalam penelitian ini antara lain:

1. Melakukan studi yang berhubungan dengan Program Integer menggunakan metode Branch and Bound dari internet berupa jurnal, artikel dan buku.

2. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang berkaitan dengan topik penelitian. Data yang diambil:

a. Bahan-bahan yang digunakan yaitu: tepung, gula, garam, mentega, morivan dan instan plus.

b. Jenis roti diambil berdasarkan rasa yakni rasa kelapa, rasa coklat, dan rasa melon.

3. Pengambilan dan pengumpulan data tentang bahan-bahan yang digunakan untuk memproduksi jenis-jenis roti tersebut.

b. Data persediaan bahan baku di gudang selama seminggu. c. Harga jual dari masing-masing jenis roti.

4. Mengolah data yang diperoleh dari PT. RAMAH JAYA BAKERY dalam : a. Memodelkan fungsi tujuan dan fungsi kendala kedalam bentuk

program linier.

b. Menghitung nilai variabel keputusan dengan Software QM. c. Mencari nilai optimal dengan Metode Branch and Bound. 5. Kesimpulan dari hasil analisis

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Program Linier

Menurut Aminudin (2005), program linier merupakan suatu model matematika untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber yang tersedia. Kata linier digunakan untuk menunjukan fungsi matematika yang digunakan dalam bentuk linier, sedangkan program merupakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi pengertian program linier adalah suatu teknis perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya menggunakan model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa alternatif pemecahaan optimum terhadap persoalan.

Dimyati dan A. Dimyati (1987) juga mendefinisikan program linier sebagai suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas, dengan cara yang terbaik yang mungkin dapat dilakukan.

Masalah yang dialami perusahaan adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi. Perusahaan menginginkan tercapainya hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya ini. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu dan jarak.

Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah dirumuskan dengan baik, maka langkah berikutnya

adalah menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika, yang

terang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi (Siagian, 1987).

Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan diterapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap :

1. Menentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan menyatakan dalam simbol matematik

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu persamaan linier dari variabel keputusan

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan persamaan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumberdaya masalah itu

2.1.1 Model Program Linier

Bentuk umum model program linier :

optimumkan (maksimumkan atau minimumkan) :

1 n

j j j

z C x

=

=

∑

dengan kendala :

0 j

x ≥ _{untuk j}=_{1, 2, ...,n}

Fungsi tujuan :

Dengan kendala :

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 j

X ≥ _{untuk j = 1, 2, ..., n.}

Keterangan :

= fungsi tujuan yang merupakan nilai optimal (memaksimumkan atau meminimumkan)

= kenaikan nilai Z apabila ada penambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit dapat disebut juga koefisien pada variabel keputusan

= peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

= banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit j = kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit

kegiatan.

m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (Aminudin, 2005)

Model program linier ini merupakan bentuk dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik program linier. Dalam model program linier dikenal 2 (dua) macam fungsi, yaitu :

1. Fungsi Tujuan (objective function) adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimum atau biaya minimum. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.

2. Fungsi kendala (constraint function) adalah bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

2.1.2 Terminologi Program Linier

Terminologi umum untuk model program linier adalah sebagai berikut:

1. Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) di sebut fungsi tujuan atau objective function

2. Fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu : a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi batasan sebanyak m. b. Fungsi batasan non-negative constrains yaitu variabel x_j ≥0 3. Variabel-variabel x_j disebut sebagai variabel keputusan.

2.1.3 Asumsi-Asumsi Dasar Program Linier

Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan program linier menjadi absah, adapun asumsi program linier adalah sebagai berikut :

1. Asumsi kesebandingan (proposionality)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additivity)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

3. Asumsi pembagian (divisibility)

Dalam persoalan program linier, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan.

4. Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

2.1.4 Unsur-Unsur Program Linier

Setiap model program linier paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala.

a. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat. Variabel keputusan ini tidak negatif.

b. Fungsi Tujuan

Adapun tujuan dalam program linier adalah masalah optimasi yakni tujuan memaksimumkan atau meminimumkan sesuatu di mana tingkat pencapaian tujuan ini dibatasi oleh kendala yang mencerminkan keterbatasan dari kapasitas waktu produksi kemampuan yang dimiliki.

c. Kendala Tujuan

Kendala merupakan batasan-batasam yang harus diperhatikan dalam penyelesaian program linier. Kendala tersebut dibuat dalam fungsi linier.

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan program linier ini, yaitu cara grafik dan metode simpleks (Dimyati dan A.Dimyati, 1992).

1. Metode Grafik

Metode grafik hanya dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier dengan 2 variabel keputusan, karena keterbatasan kemampuan suatu grafik dalam menyampaikan sesuatu.

2. Metode Simpleks

Metode simpleks merupakan suatu cara pemecahan masalah yang memiliki lebih dari 3 variabel keputusan. Dan lebih efisien dibangdingkan dengan metode grafik yang hanya dapat memecahkan masalah dengan dua variabel keputusan .

2.2 Program Integer

bukan pecahan. Dengan perkataan lain dari antara berbagai bilangan integer, harus dicari nilai-nilai variabel yang fisibel (layak) dan membuat fungsi tujuan (Objective function) maksimum (Supranto, 1980).

Menurut Mulyono (2004), program integer dibutuhkan ketika keputusan harus dalam bentuk bilangan integer. Model matematis dari program integer sebenarnya sama dengan model program linier, dengan tambahan batasan bahwa variabel keputusannya harus bilangan integer. Program integer adalah suatu program linier dengan tambahan persyaratan bahwa semua atau beberapa variabel bernilai bulat non negative.

Secara umum menurut P. Siagian (2006) model persoalan pemrograman bilangan bulat (Integer Programming) dapat diformulasikan sebagai berikut:

Maks/Min :

Berdasarkan :

1

( , , ) n

ij j j

a X

=

≥ = ≤

∑

i= 1, 2, ..., m

Keterangan :

= fungsi tujuan yang merupakan nilai optimal (memaksimumkan atau meminimumkan)

= kenaikan nilai Z apabila ada penambahan tingkat kegiatan dengan satu satuan unit dapat disebut juga koefisien pada variabel keputusan

= peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

= kapasitas sumber i yang tersedia untuk dialokasikan kesetiap unit kegiatan.

m = macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia

n = macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.

2.3Pencabangan dan Pembatasan (Branch and Bound)

Menurut Fien Zulfikarijah (2004), Branch and Bound adalah algoritma umum untuk mencari solusi optimal dari berbagai masalah optimasi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh A.H. Land dan A.G. Doig pada tahun 1960.

Branch and bound bukan sebuah teknik solusi khusus terbatas untuk masalah program integer. Branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan pada beberapa jenis masalah. Pendekatan Branch and bound didasarkan pada prinsip bahwa himpunan total solusi layak dapat dipartisi menjadi subset yang lebih kecil dari solusi. Subset yang lebih kecil ini kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Ketika pendekatan Branch and bound diterapkan untuk masalah program integer.

Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel layak suatu masalah program linier dengan membuat sub-masalah-sub-masalah. Ada dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound :

1. Branching adalah proses membagi-bagi permasalahan menjadi subproblem-subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.

2. Bounding adalah suatu proses untuk mencari/menghitung batas atas (BA) dan batas bawah (BB) untuk solusi optimal pada subproblem yang mengarah ke solusi.

Metode branch and bound diawali dengan menyelesaikan program linier dari suatu masalah program integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi

program linier integer. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada program liniernya kemudian diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk program linier integer lebih kecil sama dengan nilai fungsi objektif optimal untuk program linier (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal program linier merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer.

Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah program linier integer asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah program linier integer, artinya semua variabelnya sudah bernilai integer.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch and bound :

1) Selesaikan masalah program linier dengan metode simpleks selesaikan masalah tanpa pembatasan bilangan integer.

2) Teliti solusi optimalnya, jika variabel keputusan yang diharapkan adalah bilangan integer, solusi optimum integer telah tercapai. Jika satu atau lebih variabel keputusan yang diharapkan ternyata bukan bilangan integer, lanjutkan kelangkah 3.

3) Jadikan solusi pada penyelesaian langkah 1 menjadi batas atas dan untuk batas bawahnya merupakan solusi yang variabel keputusannya telah diintegerkan (rounded – down).

4) Pilih variabel yang mempunyai nilai pecahan terbesar (artinya bilangan desimal terbesar dari masing-masing vaariabel untuk dijadikan

pencabangan ke dalam sub-sub masalah. Tujuannya adalah untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan integer dalam masalah itu. Pencabangan itu dilakukan secara mutually exclusive untuk memenuhi persyaratan integer dengan jaminan tidak ada solusi fisibel (layak) yang diikutsertakan.

5) Untuk setiap sub-masalah, nilai optimum fungsi tujuan ditetapkan sebagai batas atas. Solusi optimum yang diintegerkan menjadi batas bawah (solusi yang sebelumnya tidak integer kemudian diintegerkan). Sub-sub masalah yang memiliki batas atas kurang dari batas bawah yang ada, tidak diikutsertakan pada analisa selanjutnya. Suatu solusi integer fisibel (layak) adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk setiap sub masalah yang dicari. Jika solusi yang demikian terjadi, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan. Kembali ke langkah 4.

Ringkasan langkah-langkah metode branch and bound dalam menentukan solusi integer optimal untuk model maksimisasi adalah sebagai berikut:

a) Dapatkan solusi simpleks optimal dari model program linear

b) Tentukan solusi simpleks optimal sebelum dilakukan metode branch and bound sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah dari solusi simpleks sebagai batas bawah (artinya mengintegerkan solusi simpleks optimal)

c) Pilih nilai dari variabel keputusan dengan bagian pecahan yang terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel keputusan ini yang mencerminkan pembagian nilai integer. Hasilnya adalah sebuah batasan ≤ dan sebuah batasan ≥.

d) Ciptakan dengan node baru, satu dengan batasan ≤ dan satu dengan

e) Selesaikan model program linear dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node

f) Solusi simpleks merupakan batas atas pada tiap node, dan solusi maksimum yang diintegerkan merupakan batas bawah dari node.

g) Jika proses ini menghasilkan solusi integer fisible (layak) dengan nilai batas atas terbesar pada akhir node mana saja, maka solusi integer optimal tercapai. Jika tidak muncul suatu solusi integer fisibel (layak), lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar.

Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi maksimum

Mulai _solusi Inisialisasi pohon ruang _{Branch and bound}

Ambil submasalah baru

Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan

solusi

Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a < b?

Apakah variabel bertipe

pecahan?

Apakah solusi bertipe integer?

Bunuh cabang ini

Buat cabang

baru

b = maks (b,a) Output

solusi

Akhir

Pohon kosong?

Ya

Ya

Ya Tidak

Gambar 2.2 Flowchart Algoritma Branch and Bound untuk IP optimasi minimum

Mulai Inisialisasi pohon ruang

solusi Branch and bound

Ambil submasalah baru

Lakukan iterasi untuk setiap kemungkinan

solusi

Apakah a tidak mungkin mengarah ke solusi atau a > b?

Apakah variabel bertipe

pecahan?

Apakah solusi bertipe integer?

Bunuh cabang ini

Buat cabang

baru

b = min(b,a) Output

solusi

Akhir

Pohon kosong?

Ya

Ya

Ya Tidak

Keuntungan dari cara metode adalah cara yang efisien untuk mendapatkan seluruh jawaban fisibel (layak), sedangkan kerugian cara ini adalah ia akan rnencari seluruh jawaban program linier pada setiap titik. Pada persoalan yang besar akan memerlukan waktu yang cukup lama, terutama bila yang dibutuhkan hanya keterangan mengenai nilai objektif yang optimum.

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Merumuskan Masalah

Merumuskan masalah diperlukan agar permasalahan yang dikaji dalam penelitian jelas, sehingga mempermudah pemecahan masalah. Berdasarkan ide yang diperoleh, dirumuskan masalah untuk menganalisis metode branch and bound dalam mengoptimalkan jumlah produksi roti di PT. RAMAH JAYA BAKERY yang bertempat di pasar III, Jl Bunga Cempaka VII, Medan.

3.2 Studi Literatur dan Studi Kasus

Studi kasus adalah mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan program linier, program integer dan branch and bound. Kemudian menerapkannya pada data hasil penelitian. Studi kasus dilakukan penulis dengan pencatatan dan wawancara pada PT. RAMAH JAYA BAKERY.

3.3 Pengamatan dan Pengumpulan Data

Dalam melakukan penelitian ini hasil pengamatan yang penulis peroleh adalah proses produksi dan bahan-bahan yang digunakan untuk meproduksi roti, antara lain sebagai berikut:

3.3.1 Proses Produksi

Proses produksi adalah cara, metode maupun teknik bagaimana kegiatan menciptakan/meningkatkan kegunaan suatu barang menjadi barang jadi atau siap

pakai. Kelancaran suatu proses produksi adalah suatu hal yang sangat diharapkan dalam setiap perusahaan. Kelancaran tersebut bergantung pada sistem produksi yang ada dalam perusahaan tersebut maka pengendalian proses produksi menentukan baik atau buruknya sistem produksi dalam suatu perusahaan dan dapat memperngaruhi pelaksanaan produksi dalam perusahaan.

Secara garis besar proses produksi pembuatan roti yang dilakukan pada PT. Rahma Jaya Bakery adalah sebagai berikut :

1. Penimbangan Bahan

Penimbangan bahan ini sangat diperlukan agar persedian barang juga teratur, tahap ini haarus dilakukan dengan teliti

2. Pengadonan/Mixing

yaitu proses melakukan pencampuran seluruh bahan baku menjadi satu bagian/adonan dalam satu wadah yang menggunakan bantuan alat mesin. 3. Penghalusan

yaitu suatu proses kelanjutan dari proses pengadonan, dimana hasil adonan yang telah menjadi satu bagian akan dihaluskan menggunakan mesin press yang gunanya untuk memudahkan proses pembentukkan.

4. Penimbangan Adonan

Tahap ini dilakukan agar setiap roti memiliki bentuk yang sama, menimbang adonan roti sesuai dengan yang telah ditetapkan oleh perusahaan.

5. Pembentukkan

yaitu proses pembentukkan roti, dimana roti akan dibentuk menjadi 6 nama jenis roti yaitu kelapa, cokelat panjang, cokelat sangggul, kelapa moca, melon dan keong. Setiap jenis roti memiliki bahan baku yang sama hanya yang membedakan roti satu dengan roti yang lain adalah proses akhir pembentukkan. Proses akhir pembentukkan yang dimaksud adalah adanya penambahan bahan tambahan yang dilakukan untuk masing-masing roti. Misalnya untuk roti kelapa ada penambahan bahan kelapa dan sari pandan di dalam akhir pembentukkan, cokelat panjang dan cokelat

hanya bentuknya saja, kelapa moca penambahan bahan kelapa, pandan dan moca, melon penambahan bahannya tepung gula dan mentega, dan yang terakhir keong bahan penambahannya adalah mentega, gula dan tepung. 6. Penguapan

Penguapan adalah proses dimana roti yang telah selesai dibentuk/dicetak dimasukkan kedalam mesin penguap guna untuk pengembangan roti itu sendiri.

7. Pembakaran/ pengopenan

Yaitu proses pemasakan roti menjadi roti siap untuk dimakan yang dilakukan dimesin pembakar.

8. Pendinginan

Proses ini dilakukan sebelum pembungkusan, guna agar roti bisa tahan lama.

9. Pembungkusan/Pengemasan

Proses ini merupakan proses tahap akhir, dimana roti yang sudah didinginkan akan dibungkus secara manual menggunakan tenaga manusia.

3.3.2 Jenis-Jenis Roti

Roti yang diteliti dalam tulisan ini adalah berdasarkan rasa roti. Adapun terdapat 3 jenis rasa roti pada perusahaan tersebut, antara lain:

Tabel 3.1 Jenis Rasa Roti

No Rasa Roti Definisi

1. Kelapa Roti yang memiliki rasa kelapa

2. Coklat Roti yang memiliki rasa coklat

3. Melon Roti yang memiliki rasa melon

3.3.3 Bahan Baku dan Waktu Produksi Roti

Bahan-bahan baku yang digunakan dalam pembuatan roti adalah bahan utama dan bahan tambahan. Adapun nama-nama bahan utama dan bahan tambahan yang digunakan adalah:

Tabel 3.2 Bahan Baku dan Persediaan Bahan Baku No Jenis Bahan

Produksi

Berat (kg) Persediaan

Bahan Produksi (Kg)

Kelapa Cokelat Melon

1. Tepung Terigu 10.5 10,1 10,25 330

2. Mentega 1.5 1 1.35 37

3. Gula 2.75 2 2 70

4. Garam 0,15 0,15 0,15 6

5. Instan (pelembut) 0,13 0,13 0,13 4.5

6. Morifan (pengembang) 0,1 0,1 0,1 4

Sumber : PT. Ramah Jaya Bakery

Uraian waktu proses produksi roti dapat diberikan pada tabel dibawah ini :

Tabel 3.3 Uraian proses produksi roti

No Proses Waktu yang diperlukan (menit)/adonan Kelapa Cokelat Melon

1. Pengadonan 5 5 5

2. Penghalusan 5 5 5

3. Pembentukkan 10 13 14

4. Penguapan 240 240 240

5. Pembakaran/Pengopenan 10 10 10

Sumber : PT. Ramah Jaya Bakery

3.3.4 Harga Jual, Biaya Produksi dan Keuntungan Penjualan Roti

Data biaya yang diperoleh dari hasil wawancara dan pencatatan dengan modal awal perusahaan untuk sekali produksi sebesar Rp.5000.000 dengan banyak roti/adonan 450 buah roti.

Tabel 3.4 Harga jual, Biaya Produksi, dan Keuntungan penjualan No Jenis Rasa

Roti

Harga Jual

Biaya

Produksi/adonan

Keuntungan penjualan Per jenis rasa

1. Rasa Kelapa Rp. 770,- Rp. 66.500,- Rp.280.000,- 2. Rasa Cokelat Rp. 650,- Rp. 73.000,- Rp.219.500,- 3. Rasa Melon Rp. 650,- Rp. 40.000,- Rp. 252.500,-

3.4 Pengolahan Data

Analisis data pada penelitian ini dilakukan dengan cara yaitu antara lain :

a. Memodelkan permasalahan yakni fungsi tujuan dan fungsi kendala ke dalam model matematika.

b. Menghitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan metode simpleks pada linear programming

c. Menghitung nilai variabel keputusan dengan menggunakan Software QM. d. Mencari nilai optimal dengan metode branch and bound.

3.5 Penarikan kesimpulan

langkah terakhir dalam metode penelitian ini adalah penarikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil pengolahan data

Gambar 3.1 Skema Pengolahan Data

Formulasi permasalahan penentuan peubah keputusan Sesuai dengan permasalahan

Formulasi fungsi tujuan Maksimasi keuntungan

Pemrograman linier

Solusi integer

Ya Selesai

Mulai

Tidak

Data harga roti dan ketersediaan bahan baku

Metode Branch and

Bound

Pemograman Bilangan Bulat (Integer Programming)

Solusi optimal dan non integer

BAB 4

PEMBAHASAN

4.1 Perumusan Data ke dalam Model Matematika

Data tentang modal awal produksi, harga penjualan setiap jenis roti, bahan baku produksi roti dan banyak bahan baku yang tersedia untuk memproduksi setiap jenis roti diformulasikan ke dalam model matematika, sehingga dapat diketahui berapa banyak jumlah roti yang harus diproduksi. Penulis membentuk permasalahan tersebut ke dalam model matematik adalah dengan tujuan untuk memaksimumkan jumlah produksi roti.

Adapun penulis mengasumsikan bahwa nilai variabel keputusan harus bernilai tidak integer dan hanya sebagian dari bahan baku yang dijadikan fungsi kendala atau batasan. Maka bahan baku yang penulis gunakan antara lain tepung terigu, gula, garam, mentega, intans plus, dan morivan.

Tabel 4.1 Data Produksi Roti

No. Jenis Roti V.Kpts Harga Jual

Bahan Baku Produksi Roti (Kg)

TT Me Gu Ga In Mo

1. Kelapa X1 Rp.280.000 10.5 1.5 2.75 0.15 0.13 0.1 2. Cokelat X2 Rp.219.500 10.1 1 2 0.15 0.13 0.1 3. Melon X3 Rp.252.500 10.25 1.35 2 0.15 0.13 0.1

Persediaan 330 37 70 6 4.5 4

Keterangan :

TT : Tepung Terigu Me : Mentega

Gu : Gula In : Instan Plus

4.1.1 Perumusan Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan yang akan dimaksimalkan adalah laba/keuntungan penjualan dari masing-masing rasa roti. Dengan koefisien dari variabel keputusannya adalah keuntungan penjualan masing-masing penjualan roti. keuntungan seperti pada tabel 3.4 formulasi fungsi tujuan (Z) dengan memaksimalkan keuntungan penjualan roti adalah :

Maksimumkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Keterangan : x₁= roti rasa kelapa

x₂= roti rasa cokelat

x₃= roti rasa melon

4.1.2 Perumusan Fungsi Kendala

Fungsi kendala terdiri dari biaya produksi dan bahan baku produksi roti antara lain : tepung terigu, gula, garam, mentega, instan plus dan morivan.

1. Formulasi fungsi kendala dengan batasan bahan baku produksi roti. Pada tabel 3.2 dapat dibuat persamaan sebagai berikut:

10.5x₁+10.1x₂+10.25x₃ ≤330 batasan tepung terigu/kg

1 2 3

1.5x +1x +1.35x ≤37 batasan mentega/kg

1 2 3

2.75x +2x +2x ≤70 batasan gula/kg

1 2 3

0.15x +0.15x +0.15x ≤6 batasan garam/kg

1 2 3

0.13x +0.13x +0.13x ≤4.5 batasan morivan/kg

1 2 3

0.1x +0.1x +0.1x ≤4 batasan instan plus/kg

2. Formulasi fungsi kendala dengan batasan biaya produksi seperti data biaya produksi seperti pada tabel 3.4 antara lain:

1 2 3

Keterangan : 66500x₁ : biaya produksi roti rasa kelapa per adonan

73000x₂ : biaya produksi roti rasa cokelat per adonan

40000x₃ : biaya produksi roti rasa melon per adonan

5000000 : modal untuk memproduksi roti

Permasalahan diatas antara lain sebagai berikut: Maksimumkan: Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Kendala : 10.5x₁+10.1x₂+10.25x₃ ≤330 1.5x1+1x2+1.35x3≤37 2.75x₁+2x₂ +2x₃ ≤70 0.15x₁+0.15x₂ +0.15x₃≤6 0.13x1+0.13x2+0.13x3 ≤4.5 0.1x1+0.1x2+0.1x3 ≤4

1 2 3

66500x +73000x +40000x ≤5000000 1, 2, 3 0

x x x ≥ Non-negative integer

4.2 Pengolahan Data

Model matematika yang telah dibuat kemudian akan diolah dengan Software QM menggunakan program linier. Diperoleh hasil olahan data yang optimal sebagai berikut:

Tabel 4.3 Iterasi 2 Metode Simplek dengan Software POM-QM

Keterangan: Pada iterasi 2 dapat dilihat bahwa x₁ masuk ke dalam basic variables

dan slack 2 keluar dari basic variables

Tabel 4.4 Iterasi 3 Metode Simplek dengan Software QM

Keterangan: Pada iterasi 3 dapat dilihat bahwa x₂ masuk ke dalam basic variables

dan slack 3 keluar dari basic variables.

Keterangan: Pada iterasi 4 dapat dilihat bahwa slack 2 masuk ke dalam basic variables dan slack 1 keluar dari basic variables.

Tabel 4.6 Iterasi 5 Metode Simplek dengan Software QM

Keterangan: Pada iterasi 5 dapat dilihat bahwa x₃ masuk ke dalam basic variables

dan slack 2 keluar dari basic variables.

Tabel 4.7 Solusi dari Hasil Iterasi dengan menggunakan Software QM

Dari hasil iterasi dengan software QM diperoleh hasil yang optimal sebagai berikut:

1

x = 7,0784

2

x = 22,081

3

x = 3,1863

Roti rasa kelapa = 7,0784 adonan, Roti rasa cokelat = 22,081 adonan, Roti rasa melon = 3,1863 adonan dengan keuntungan Rp. 7.633.251.05, Namun karena yang diinginkan adalah solusi yang berupa bilangan integer maka masalah ini belum valid, untuk membuat solusi menjadi bilangan integer digunakan metode branch and bound.

4.3 Analisis Metode Branch And Bound

Tabel 4.8 Alternatif pembulatan jumlah rasa roti dan keuntungannya

Alternatif Jumlah produksi Keuntungan

Roti Kelapa Roti Cokelat Roti Melon

1. 7 22 3 Rp. 7.546.000

2. 7 23 4 Rp. 8.029.000

3. 8 22 3 Rp. 7.838.500

4. 8 23 4 Rp. 8.310.500

Iterasi 1

Langkah pertama adalah menentukan batas atas (BA) dan batas bawah (BB). Keuntungan dengan x₁= 7,0784, x₂= 22,081, x₃= 3,1863 adalah Rp.

7.633.251.05, karena x₁, x₂, dan x₃bukan bilangan integer, maka solusi ini tidak

valid, nilai keuntungan Rp. 7.633.251.05 dijadikan batas atas (BA). Dengan metode pembulatan kebawah, didapatkan x₁= 7, x₂= 22, x₃= 3 dengan

keuntungan Rp. 7.546.000, hasil ini fisibel (layak) karena ketiga variabel merupakan bilangan integer. Jadi nilai keuntungan dengan pembulatan (mengintegerkan) ke bawah dijadikan batas bawah (BB).

Langkah kedua adalah memilih variabel keputusan yang memiliki pecahan terbesar untuk melakukan pencabangan. Karena pecahan terbesar berada pada x

yakni sebesar 0.1863 maka x₃ dicabangkan menjadi sub-masalah 1 dan 2 dengan

tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah x₃≥4 danx₃ ≤3. Sehingga diperoleh formula untuk sub-masalah 1 dan 2 sebagai berikut:

1. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Dengan kendala : 10.5x₁+10.1x₂+10.25x₃ ≤330

1.5x1+1x2+1.35x3≤37 2.75x₁+2x₂ +2x₃ ≤70 0.15x₁+0.15x₂ +0.15x₃≤6

0.13x1+0.13x2+0.13x3 ≤4.5 0.1x1+0.1x2+0.1x3≤4

66500x₁+73000x₂+40000x₃ ≤5000000

x₃ ≥4

2. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Dengan kendala : 10.5x₁+10.1x₂+10.25x₃ ≤330

1.5x1+1x2+1.35x3≤37 2.75x₁+2x₂ +2x₃ ≤70 0.15x₁+0.15x₂ +0.15x₃≤6

0.13x1+0.13x2+0.13x3 ≤4.5 0.1x1+0.1x2+0.1x3≤4

66500x₁+73000x₂+40000x₃ ≤5000000 x₃ ≤3

Maka dengan metode simpleks diperoleh solusi :

Solusi sub-masalah 1 : x₃ =4, x₁= 6.486, x₂= 21,871 maka Z = Rp. 7.626.763,31 Solusi sub-masalah 2: x₃ =3,x₁= 7,0701 x₂= 22,2786 maka Z = Rp.7.627.283,12

Selanjutnya adalah meneliti batas atas dan batas bawah, nilai solusi dari masing-masing sub-masalah tidak boleh kurang dari batas bawah dan tidak akan lebih besar dari batas atas. Karena jika kurang dari batas bawah maka solusi yang diperoleh tidak optimal dan jika lebih besar dari batas atas maka solusi tidak layak karena jika disubstitusikan nilai variabel keputusan kedalam salah satu kendala akan diperoleh kendala melebihi persediaan yang ada.

Karena solusi sub-masalah 1 dan 2 tidak lebih kecil dari batas bawah dan tidak lebih besar dari batas atas serta nilai variabel keputusannya masih ada yang bernilai tidak integer maka pencabangan dapat diteruskan ke sub-masalah selanjutnya. Sub-masalah 1 dicabangkan menjadi sub-masalah 3 dan 4 dengan tambahan kendala x₂ ≥22 dan x₂ ≤21 sedangkan sub-masalah 2 dicabangkan menjadi sub-masalah 5 dan 6 dengan tambahan kendala x₂ ≥23 dan x₂ ≤22.

Iterasi 1

Sub-masalah 3 dan 4

sub-masalah 1 memiliki BA = Rp.7.626.763,31 (x₁= 6,486, x₂= 21, 871, x₃= 4),

BB = Rp. 7.299.500 (x₁=6, x₂=21, x₃=4) dan sub-masalah 2 yaitu BA =

Rp.7.627.283,12 (x₃ =3,x₁= 7,0701 x₂= 22,2786), BB = Rp. 746.500 (x₃ =3,x₁= 7 x₂= 22). Selanjutnya dapat dilakukan percabangan antara lain sebagai berikut:

3. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 3 = Sub-masalah 1 + kendala x₂ ≥22 4. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 4 = Sub-masalah 1 + Kendala x₂ ≤21 5. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 5 = Sub-masalah 2 + Kendala x₂ ≥23

Sub-masalah 6 = Sub-masalah 2 + Kendala x₂ ≤22

Dengan menggunkan metode simpleks pada Software QM diperoleh solusi: Solusi sub-masalah 3 : x₁= 6,3619, x₂= 22, x₃= 4, Z= Rp. 7.620.333,11

Solusi sub-masalah 4 : x₁= 4,0292, x₂= 21, x₃= 7,375, Z= Rp. 7.599.854,1.

Solusi sub-masalah 5 : x₁= 7,04, x₂= 23, x₃= 2,32, Z= Rp. 7.605.999,84.

Solusi sub-masalah 6 : x₁= 7.2727, x₂= 22, x₃= 3, Z= Rp. 7.622.863,61

Karena nilai solusi dari sub-masalah 3, 4, 5, 6 masih lebih kecil batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta variabelnya juga belum merupakan bilangan bulat maka ke empat sub-masalah itu masih terus dilanjutkan

Iterasi 2

Batas atas untuk sub-masalah 3 adalah BA = Rp. 7.620.333,11. Batas atas untuk sub-masalah 4 adalah BA = Rp. 7.599.841,1. Batas atas untuk sub-masalah 5 adalah BA = Rp. 7.605.499,84. Batas atas untuk sub-masalah 6 adalah BA = Rp. 7.622.863, 61.

Karena nilai variabel keputusannya masih bernilai tidak integer maka dilakukan pencabangan lagi agar mendapatkan nilai yang integer. Sub-masalah 3 dicabangkan menjadi sub-masalah 7 dan 8, sub-masalah 4 dicabangkan menjadi sub-masalah 9 dan 10, sub-masalah 5 dicabangkan menjadi sub-masalah 11 dan 12, dan sub-masalah 6 dicabangkan menjadi sub-masalah 13 dan 14 dengan tambahan kendala masing-masing sebagai berikut:

7. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 7 = Sub-masalah 3 + kendala x₁≥7 8. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 8 = Sub-masalah 3 + Kendala x₁≤6

9. Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 9 = Sub-masalah 4 + Kendala x₃ ≥8 10.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 10 = Sub-masalah 4 + Kendala x₃ ≤7 11.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 11 = Sub-masalah 5 + kendala x₃ ≥3 12.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 12 = Sub-masalah 5 + Kendala x₃ ≤2 13.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 13 = Sub-masalah 6 + Kendala x₁≥8 14.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 14 = Sub-masalah 6 + Kendala x₁≤7

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh sebagai berikut:

Solusi sub-masalah 7 : solusi tidak fisibel ( tidak layak)

Solusi sub-masalah 8: x₁= 6, x₂= 22, x₃= 4,3707, Z= Rp. 7.612.609,55.

Solusi sub-masalah 9: x₁= 3,5742, x₂= 20,8387, x₃= 8, Z= Rp. 7.594.870,83.

Solusi sub-masalah 10: x₁= 4,3667, x₂= 21, x₃= 7, Z= Rp. 7.596.666,61.

Solusi sub-masalah 11 : x₁= 6,3762, x₂= 23, x₃= 3, Z= Rp. 7.591.333,1

Solusi sub-masalah 12 : x₁= 7,0258, x₂= 23,3395, x₃= 2, Z= Rp. 7.595.249,03.

Solusi sub-masalah 13 : x₁= 8, x₂= 21,1429, x₃= 2,32, Z= Rp. 7.602.285,67.

Solusi sub-masalah 14 : x₁= 7, x₂= 22, x₃= 3, Z= Rp. 7.546.500 (telah integer dan fisibel (layak)).

Maka diperoleh solusi dari sub-masalah 7 tidak fisibel ( tidak layak) maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan dan solusi dari sub-masalah 8, 9, 10, 11, 12, dan 13 masih dapat dilanjutkan pencabangannya karena memiliki solusi yang

tidak lebih kecil dari batas bawah dan tidak lebih besar dari batas atas serta memiliki nilai variabel keputusan yang tidak integer, Sedangkan solusi dari sub-masalah 14 telah integer maka untuk sub-sub-masalah 14 tidak perlu dilakukan pencabangan lagi.

Iterasi 3

Batas atas untuk sub-masalah 8 adalah BA = Rp 7.612.609,55 Batas atas untuk sub-masalah 9 adalah BA = Rp. 7.594.870,83 Batas atas untuk sub-masalah 10 adalah BA = Rp. 7.596.666,61 Batas atas untuk sub-masalah 11 adalah BA = Rp. 7.591.333,1 Batas atas untuk sub-masalah 12 adalah BA = Rp. 7.595.249,03 Batas atas untuk sub-masalah13 adalah BA = Rp. 7.602.285,67

Karena nilai variabel keputusan 8, 9, 10, 11, 12, dan 13 masih bernilai tidak integer maka iterasi dilakukan dengan pencabangan lagi agar mendapatkan nilai yang integer. Sub-masalah 8 dicabangkan menjadi sub-masalah 15 dan 16, Sub-masalah 9 dicabangkan menjadi sub-masalah 17 dan 18, Sub-masalah 10 dicabangkan menjadi sub-masalah 19 dan 20, Sub-masalah 11 dicabangkan menjadi masalah 21 dan 22, Sub-masalah 12 dicabangkan menjadi sub-masalah 23 dan 24, Sub-sub-masalah 13 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 25 dan 26. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:

15.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 15 = Sub-masalah 8 + kendala x₃ ≥5 16.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 16 = Sub-masalah 8 + Kendala x₃ ≤4 17.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 17 = Sub-masalah 9 + Kendala x₂ ≥21 18.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

19.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 19 = Sub-masalah 10 + kendala x₁≥5 20.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 20 = Sub-masalah 10 + Kendala x₁≤4 21.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 21 = Sub-masalah 11 + Kendala x₁≥7 22.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 22 = Sub-masalah 11 + Kendala x₁≤6 23.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 23 = Sub-masalah 12 + kendala x₂ ≥24 24.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 24 = Sub-masalah 12 + Kendala x₂ ≤23 25.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 25 = Sub-masalah 13 + Kendala x₃ ≥3 26.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 26 = Sub-masalah 13 + Kendalax₃ ≤2

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM diperoleh nilai optimal sebagai berikut:

Solusi sub-masalah 15: x₁= 5,3857, x₂= 22, x₃= 5, Z= Rp.7.599.499,78.

Solusi sub-masalah 16: x₁= 6, x₂= 23,3762, x₃= 4, Z= Rp.7.601.583,97

Solusi sub-masalah 17: x₁= 3,419, x₂= 21, x₃= 8, Z= Rp. 7.586.833,12

Solusi sub-masalah 18 : x₁= 1,2083, x₂= 20, x₃= 11,25, Z= Rp. 7.568.958,25

Solusi sub-masalah 19: x₁= 5 x₂= 21, x₃= 6,2963, Z= Rp. 7.599.314,76

Solusi sub-masalah 21 : Solusi tidak fisibel (tidak layak).

Solusi sub-masalah 22: x₁= 6, x₂= 23,3911, x₃= 3, Z= Rp.7.571.843,87.

Solusi sub-masalah 23: x₁= 6,9983, x₂= 24, x₃= 1,3774, Z= Rp.7.575.304,18

Solusi sub-masalah 24: x₁= 7,2727, x₂= 23, x₃= 2, Z= Rp. 7.589.863,64

Solusi sub-masalah 25 : x₁= 8, x₂= 20,95, x₃= 3, Z= Rp. 7.596.024,96

Solusi sub-masalah 26: x₁= 8, x₂= 22, x₃= 2, Z= Rp. 7.573.999,95 (telah integer dan fisibel (layak)).

Solusi optimal dari sub-masalah 21 tidak fisibel maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan dan solusi dari sub-masalah 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 24, dan 25 masih dapat dilakukan pencabangan karena memiliki solusi lebih kecil dari batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta memiliki nilai variabel keputusan yang tidak integer. Sedangkan solusi optimal dari sub-masalah 20 dan 26 telah integer maka untuk sub-masalah 20 dan 26 tidak perlu dilakukan pencabangan lagi.

Oleh karena itu, dilakukan pencabangan lagi karena masih terdapat sub-masalah yang memiliki variabel keputusan yang bernilai tidak integer.

Iterasi 4

Batas atas untuk sub-masalah 15 adalah BA = Rp.7.599.499,78. Batas atas untuk sub-masalah 16 adalah BA = Rp.7.601.583,97 Batas atas untuk sub-masalah 17 adalah BA = Rp. 7.586.833,12 Batas atas untuk sub-masalah 18 adalah BA = Rp. 7.568.958,25 Batas atas untuk sub-masalah 19 adalah BA = Rp. 7.599.314,76 Batas atas untuk sub-masalah 22 adalah BA = Rp.7.571.843,87 Batas atas untuk sub-masalah 23 adalah BA = Rp.7.575.304,18 Batas atas untuk sub-masalah 24 adalah BA = Rp. 7.589.863,64 Batas atas untuk sub-masalah 25 adalah BA = Rp. 7.596.024,96

Selanjutnya dilakukan langkah yang sama yakni mencabangkan sub-masalah yang belum memiliki solusi yan integer menjadi dua bagian. Sub-masalah 15 dicabangkan menjadi sub-masalah 27 dan 28, Sub-masalah 16 dicabangkan menjadi masalah 29 dan 30, Sub-masalah 17 dicabangkan menjadi sub-masalah 31 dan 32, Sub-sub-masalah 18 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 33 dan 34, Sub-masalah 19 dicabangkan menjadi sub-masalah 35 dan 36, Sub-masalah22 dicabangkan menjadi sub-masalah 37 dan 38, , Sub-masalah 23 dicabangkan menjadi masalah 39 dan 40, Sub-masalah 24 dicabangkan menjadi sub-masalah 41 dan 42, Sub-sub-masalah 25 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 43 dan 44. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:

27.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 27 = Sub-masalah 15 + kendala x₁≥6 28.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 28 = Sub-masalah 15 + Kendala x₁≤5 29.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 29 = Sub-masalah 16 + Kendala x₂ ≥23 30.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 30 = Sub-masalah 16 + Kendalax₂ ≤22 31.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 31 = Sub-masalah 17 - + kendala x₁≥4 32.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 32 = Sub-masalah 17 + Kendala x₁≤3 33.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 33 = Sub-masalah 18 + Kendala x₃ ≥12 34.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 34 = Sub-masalah 18 + Kendala x₃ ≤11 35.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

36.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 36 = Sub-masalah 19 + Kendala x₃ ≤6

37.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 37 = Sub-masalah 22 + Kendala x₂ ≥24 38.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 38 = Sub-masalah 22 + Kendala x₂ ≤23 39.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 39 = Sub-masalah 23 + kendala x₁≥7 40.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 40 = Sub-masalah 23 + Kendala x₁≤6 41.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 41 = Sub-masalah 24 + Kendala x₁≥8 42.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 42 = Sub-masalah 24 + Kendala x₁≤7 43.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 43 = Sub-masalah 25 + kendala x₂ ≥21 44.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 44 = Sub-masalah 25 + Kendala x₂ ≤20

Dengan menggunakan metode simpleks pada software QM maka akan diperoleh nilai dari variabel keputusannya, antara lain sebagai berikut:

Solusi sub-masalah 27 : Solusi tidak fisibel ( tidak layak)

Solusi sub-masalah 28: x₁= 5, x₂= 22, x₃= 5,3951, Z= Rp.7.591.268,09

Solusi sub-masalah 29: x₁= 5,4 x₂= 23, x₃= 4, Z= Rp. 7.570.499,77

Solusi sub-masalah 30: x₁= 6, x₂= 22 x₃= 4, Z= Rp. 7.519.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 32 : x₁= 3 x₂= 21, x₃= 8, Z= Rp. 7.469.500 (telah integer dan tidak fisibel (layak)).

Solusi sub-masalah 33 : Solusi tidak fisibel (layak).

Solusi sub-masalah 34: x₁= 1,4333, x₂= 20, x₃= 11, Z= Rp.7.568.833,26

Solusi sub-masalah 35: x₁= 5, x₂= 20,05, x₃= 7, Z= Rp.7.568.474,92

Solusi sub-masalah 36: x₁= 5,2667, x₂= 21, x₃= 6, Z= Rp. 7.599.166,61

Solusi sub-masalah 37 : x₁= 5,4143, x₂= 24, x₃= 3, Z= Rp. 7.541.499,76 (tidak

fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 38: x₁= 6 x₂= 23, x₃= 3, Z= Rp. 7.486.000 (telah integer dan tidak fisibel ( tidak layak).

Solusi sub-masalah 39: x₁= 7, x₂= 24, x₃= 1,375, Z= Rp.7.575187,5.

Solusi sub-masalah 40: x₁= 6, x₂= 24, x₃= 2, Z= Rp.7.542.103,76 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 41: x₁= 8, x₂= 23, x₃= 1, Z= Rp. 7.541.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 42 : x₁= 7, x₂= 23, x₃= 2, Z= Rp. 7.513.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 43: solusi tidak fisibel (tidak layak)

Solusi sub-masalah 44 : x₁= 8,633 x₂= 20, x₃= 3, Z= Rp. 7.564.833,29

Dapat dilihat bahwa, solusi dari sub-masalah 27, 31, 33, dan 43 tidak fisibel (tidak layak) maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan, solusi dari sub-masalah 28, 29, 34, 35, 36, 39, dan 44 masih dapat dilakukan pencabangan karena memiliki nilai solusi yang lebih kecil dari batas atas dan tidak lebih besar dari batas bawah serta memiliki variabel keputusan yang bernilai tidak integer maka pencabangan dapat dilanjutkan, sedangkan solusi dari sub-masalah 30, 32, 37, 38, 40, 41, dan 42 tidak dapat diikutsertakan untuk iterasi selanjutnya karena memiliki solusi yang lebih kecil dari batas bawah.

Iterasi 4

Batas atas untuk sub-masalah 28 adalah BA = Rp.7.591.268,09. Batas atas untuk sub-masalah 29 adalah BA = Rp. 7.570.499,77 Batas atas untuk sub-masalah34 adalah BA = Rp.7.568.833,26 Batas atas untuk sub-masalah 35 adalah BA = Rp.7.568474,92 Batas atas untuk sub-masalah 36 adalah BA = Rp. 7.599.166,61 Batas atas untuk sub-masalah 39 adalah BA = Rp.7.575.187,5 Batas atas untuk sub-masalah 44 adalah BA = Rp. 7.564.833,29

Karena masih terdapat sub-masalah yang bernilai tidak integer maka percabangan dilanjutkan dengan cara yang sama yakni membuat sub-masalah atas masing-masing masalah sebelumnya yang memiliki nilai tidak integer. sub-masalah 28 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 45 dan 46, sub-sub-masalah 29 dicabangkan menjadi sub-masalah 47 dan 48, sub-masalah 34 dicabangkan menjadi masalah 49 dan 50, masalah 35 dicabangkan menjadi sub-masalah 51 dan 52, sub-sub-masalah 36 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 53 dan 54, sub-masalah 39 dicabangkan menjadi sub-masalah 55 dan 56, , sub-masalah 44 dicabangkan menjadi sub-masalah 57 dan 58. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:

45.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 45 = Sub-masalah 28 + kendala x₃ ≥6 46.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 46 = Sub-masalah 28 + Kendala x₃ ≤5 47.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 47 = Sub-masalah 29 + Kendala x₁≥6 48.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 48 = Sub-masalah 29 + Kendala x₁≤5 49.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 49 = Sub-masalah 34 + kendala x₁≥2 50.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 50 = Sub-masalah 34 + Kendala x₁≤1 51.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 51 = Sub-masalah 35 + Kendala x₂ ≥21 52.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 52 = Sub-masalah 35 + Kendala x₂ ≤20 53.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 53 = Sub-masalah 36 + kendala x₁≥6 54.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 54 = Sub-masalah 36 + Kendala x₁≤5 55.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 55 = Sub-masalah 39 + Kendala x₃ ≥2 56.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 56 = Sub-masalah 39 + Kendala x₃ ≤1 57.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 44 = Sub-masalah 44 + kendala x₁≥9 58.Maksimalkan : Z =280000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 44 = Sub-masalah 44 + Kendala x₁≤8

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh nilai dari variabelnya, antara lain sebaagai berikut:

Solusi sub-masalah 45 : x₁= 4,4095, x₂= 22, x₃= 6, Z= Rp.7.578.666,44 Solusi sub-masalah 46 :x₁= 5, x₂= 22,401, x₃= 5, Z= Rp.7.579.517,14

Solusi sub-masalah 47:x₁= 6 x₂= 22, x₃= 4, Z= Rp. 7.519.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 48: x₁= 5, x₂= 22 x₃= 4, Z= Rp. 7.230.000 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi optimal sub-masalah 49: solusi tidak fisibel

Solusi sub-masalah 50 : x₁= 1 x₂= 20, x₃= 11, Z= Rp. 7.447.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Solusi sub-masalah 51: tidak ada solusi fisibel.

Solusi sub-masalah 52: x₁= 5,0333, x₂= 20, x₃= 7, Z= Rp.7.566.833,26

Solusi sub-masalah 53: x₁= 6, x₂= 19,5, x₃= 4, Z= Rp.7.552.199,95

Solusi sub-masalah 54: solusi tidak fisibel (tidak layak) Solusi sub-masalah 55 : Solusi tidak fisibel (tidak layak) Solusi sub-masalah 56: Solusi tidak fisibel (tidak layak)

Solusi sub-masalah 57: x₁= 9, x₂= 19,45, x₃= 3, Z= Rp.7.546.774,96

Solusi sub-masalah 58: x₁= 8, x₂= 20, x₃= 3, Z= Rp.7.387.500 (telah integer dan tidak fisibel (tidak layak)).

Dapat dilihat bahwa, solusi dari sub-masalah 49, 51, 54, 55, dan 56 tidak fisibel maka pencabangan tidak dapat dilanjutkan, sedangkan solusi dari sub-masalah 45, 46, 52, 53, dan 57 masih dapat dilakukan pencabangan lagi karena nilai solusinya lebih kecil dari batas atas dan lebih besar dari batas bawah serta variabel keputusannya masih bernilai tidak integer maka pencabangan dapat dilanjutkan. Solusi dari sub-masalah 47, 48, 50, dan 58 lebih kecil dari batas bawah maka cabang ini tidak diikutsertakan untuk iterasi selanjutnya.

Iterasi 5

Karena masih terdapat sub-masalah yang bernilai tidak integer maka pencabangan dilanjutkan dengan cara yang sama yakni membuat sub-masalah atas masing-masing sub-masalah sebelumnya yang memiliki nilai tidak integer. Sub-masalah 45 dicabangkan menjadi sub-Sub-masalah 59 dan 60, sub-Sub-masalah 46 dicabangkan menjadi sub-masalah 61 dan 62, sub-masalah 52 dicabangkan menjadi masalah 63 dan 64, masalah 53 dicabangkan menjadi

sub-masalah 65 dan 66, sub-sub-masalah 57 dicabangkan menjadi sub-sub-masalah 67 dan 68. Dengan tambahan kendala untuk masing-masing sub-masalah sebagai berikut:

59.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 59 = Sub-masalah 45 + kendala x₁≥5 60.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 60 = Sub-masalah 45 + Kendala x₁≤4 61.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 61 = Sub-masalah 46 + Kendala x₂ ≥23 62.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 62 = Sub-masalah 46 + Kendala x₂ ≤22

63.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 63 = Sub-masalah 52 + kendala x₁≤5 64.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 64 = Sub-masalah 52 + Kendalax₁≥6 65.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 65 = Sub-masalah 53 + Kendala x₂ ≥20 66.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 66 = Sub-masalah 53 + Kendalax₂ ≤19

67.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃

Sub-masalah 67 = Sub-masalah 57 + kendala x₂ ≥20 68.Maksimalkan : Z =28000x₁+219500x₂+252500x₃ Sub-masalah 68 = Sub-masalah 57 + Kendala x₂ ≤19

Dengan menggunakan metode simpleks pada Software QM maka akan diperoleh nilai dari variabelnya, antara lain sebaagai berikut:

Gambar 4.1 Diagram Branch and Bound dalam mengoptimalkan jumlah Produksi roti Pada Titik x₃

3 3

x ≤ x₃≥4

OPT 2 1 3 4 5 6

14 13 12 11

1 9 8 7

20

19

18

17 16

15 26

25 ₂₄

23 22 21

36 35 34 33 32 31 3 29 28 27 44 43 42 4 40 39 38 3 58 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47

46 45

66

65 68

67 57

Keterangan:

1. Warna biru adalah tanda untuk nilai solusi optimal yang sudah integer dan tidak kurang dari batas bawah.

2. Warna hitam adalah tanda untuk solusi optimal yang tidak memiliki solusi. 3. Warna orange adalah tanda untuk variabel keputusan yang telah integer

tapi ni nilai optimalnya kurang dari batas bawah.

4. Warna ungu adalah tanda untuk solusi optimal yang kurang dari batas bawah namun belum integer

.

Maka dari penjelasan di atas diperoleh dua cabang yang memiliki variabel keputusan telah integer dan solusi optimalnya berada antara BB dan BA

a. Sub-masalah 14 : x₁= 7, x₂= 22, x₃= 3, Z= Rp. 7.546.500. b. Sub-masalah 26 : x₁= 8, x₂= 22, x₃= 2, Z= Rp. 7.573.999,95.

.

Dari hasil perhitungan dengan metode branch and bound maka diambil sub-masalah dengan nilai optimal terbesar yakni Z= Rp. 7.573.999,95. Dengan masing-masing rasa diprodusi antara lain rasa kelapa 8 adonan, rasa coklat 22 adonan, dan rasa melon 2 adonan. Berdasarkan informasi dari perusahaan bahwa 1 adonan akan memproduksi 450 buah roti.

Maka diperoleh jumlah untuk masing-masing rasa roti yaitu:

1. Roti rasa kelapa sebanyak 8 adonan x 450 buah roti = 3600 buah 2. Roti rasa cokelat sebanyak 22 adonan x 450 buah roti = 9.900 buah 3. Roti rasa melon sebanyak 2 adonan x 450 buah roti = 900 buah

Dengan keuntungan penjualan senilai Rp. 7.573.999,95. Jadi jumlah roti yang bisa diproduksi dari bahan-bahan yang tersedia ialah 14.400 buah roti. Sedangkan perkiraan perusahaan adalah dengan bahan-bahan yang tersedia dapat memproduksi 14.000 buah roti. Dengan jumlah untuk masing-masing rasa roti : kelapa 8 adonan, cokelat 20 adonan, melon 3 adonan.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari uraian dan perhitungan analisa, maka dapat disimpulkan:

1. Perkiraan roti yang akan diproduksi oleh pihak perusahaan adalah 14.000 untuk masing-masing rasa yaitu kelapa 8 adonan, cokelat 20 adonan, dan melon 3 adonan sedangkan dari hasil analisa dengan metode branch and bound di peroleh jumlah roti 14.400 dan untuk masing-masing adonan nya antara lain kelapa 8 adonan, cokelat 22 adonan, dan melon 2 adonan. 2. Keuntungan yang diperoleh dari hasil analisa dengan metode branch and

bound adalah Rp. 7.573.999,95,- dan perkiraan perusahaan dengan metode trial and error mendapatkan keuntungan Rp. 7.399.500 maka dapat terlihat selisih keuntungan Rp. 174.499,95 yakni 2,3 % dari keuntungan perusahaan.

3. Dengan menggunakan metode branch and bound penulis menganalisa semua solusi optimal yang lebih dari batas bawah dan nilai variabel keputusannya belum integer sehingga menghasilkan variabel keputusan yang integer dan fisibel (layak).

5.2Saran

Dari penelitian ini penulis menyarankan sebagai berikut:

1. Hasil dari penelitian ini menjadi bahan pertimbangan dan informasi tambahan bagi perusahaan dalam menetapkan rencana produksi.

2. Disarankan Untuk memilih percabangan dari nilai optimal yang lebih mendekati batas atas karena nilai optimal yang mendekati batas atas lebih memungkinkan untuk mendapatkan variabel keputusan yang integer dengan solusi optimal.

DAFTAR PUSTAKA

Aminuddin. 2005. Prinsip-prinsip Riset Operasi. Erlangga. Jakarta.

Aprilia, shieny. 2007. Aplikasi Algoritma Branch and Bound Untuk Menyelesaikan Integer Programming. Bandung, Indonesia: Institut Teknologi Bandung.

Dimyati, T.T dan Akhmad Dimyati. 1992. Operations Research Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru. Bandung.

Erlina. 2013. Aplikasi Integer Programming Pada Perumahan Bumi Sergai di Sei Rampah. [Skripsi]. Medan: Universitas Sumatera Utara.

Mulyono, S. 2007. Riset Operasi. Edisi Revisi. Fakultas Ekonomi Universitas

Indonesia, Jakarta.

Nasendi, B.D. dan A. Anwar. 1984. Program Linear dan Variasinya. Bogor.

Syahputra, Romi, M. 2012. Metode Branch And Bound Untuk Menyelesaikan Multy Objective Integer Programming. [Skripsi]. Medan: Universitas Sumatera Utara

Siagian. P. 1987. Penelitian Operasional Teori dan Praktek. Jakarta:UI – Press.

Sitorus, Parlin. 1997. Program Linier. Universitas Trisakti, Jakarta.

Subagyo, P., Marwan Asri dan T.H. Handoko. 1990. Dasar-dasar Operations Research. BPFE, Yogyakarta.

Supranto, J. 1980. Linier Programming. Fakultas Ekonorni Universitas Indonesia, Jakarta .

Winston, W.L. 2004. Operation Research Applications and Algorthms. 4th edition.

Duxbury, New York.

Zulfikarijah, Fien. 2004. Operation Research. Jilid 1. Bayu Media Publishing, Malang.