Modifikasi Rumus Gravitasi Newton dalam Transformasi Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM
TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI
SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

PIKO. M
110801068

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016

Universitas Sumatera Utara

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM
TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI
SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains

PIKO. M
110801068

DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016

Universitas Sumatera Utara

i

PERSETUJUAN

Judul

: Modifikasi Rumus Gravitasi Newton dalam Transformasi
Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild

Kategori

: Skripsi

Nama

: Piko. M

Nim

: 110801068

Program Studi

: Sarjana (S1) Fisika

Departemen

: Fisika

Fakultas

: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA)
Universitas Sumatera Utara

Disetujui di
Medan,

Juli 2016

Komisi Pembimbing :
Pembimbing I

Pembimbing II

Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si
NIP.197211152000121001

Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc
NIP. 196505171993031009

Disetujui Oleh:
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua

Dr. Marhaposan Situmorang
NIP. 195510301980031

Universitas Sumatera Utara

ii

PERNYATAAN

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI
SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

Juli 2016

PIKO. M
110801068

Universitas Sumatera Utara

iii

PENGHARGAAN

Penulis memanjatkan atas puji dan dan syukur kepada Allah SWT. Tuhan Yang
Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, sehingga berkat limpahan hidayah dan
karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan judul “Modifikasi Rumus
Gravitasi Newton Dalam Transformasi Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi
Schwarzschild”. Shalawat dan salam senantiasa dicurahkan kepada junjungan alam
Rasulullah SAW dan para sahabatnya sebagai petunjuk dalam menjalani kehidupan
ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa dukungan
dan kesempatan serta fasilitas dari berbagai pihak. Oleh karena, Penulis ingin
mengucapkan terimakasih yang tulus kepada orang-orang yang telah memberi
dukungan hingga selesainya skripsi ini.
1. Kepada kedua orangtua yang tak pernah lelah berdoa dan bekerja keras, selalu
mengingatkan, memberi perhatian, kasih sayang dan pendidikan sehingga
Penulis mampu meraih gelar sarjana sains. Bapak Marson dan Ibu Nurhelma
juga kepada Kakak, Abang dan Adikku, Seprianes, Solvianes, Stepani, Hendru,
Bobi, Lulu, Teguh, Alif yang telah memberi dukungan dan semangat yang
sangat berharga. Dan tak lupa berterima kasih kepada Cindy yang mengisi harihari Penulis dan selalu mengingatkan, memberi perhatian dalam pengerjaan
penelitian ini
2. Kepada Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan

Bapak Syahrul Humaidi, M.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing
dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
3.

Kepada Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, M.Hum selaku Rektor Universitas
Sumatera Utara.

4.

Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan Fakultas Matematika & Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

5.

Kepada Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika
USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan
beserta semua dosen departemen Fisika USU yang telah mendidik,

Universitas Sumatera Utara

iv

mengajarkan ilmu, etika, pemantapan moral kepada Penulis. Dan tak lupa
kepada Bapak Dr. Bisman Perangin-angin, M.Eng, Sc selaku Dosen
Pembimbing Akademik yang memberikan masukan dan nasehat selama
mengikuti perkuliahan
6. Kepada Kak Tini, Bang Johaidin Saragih, dan Kak Yusfa selaku staff
departemen fisika yang telah membantu dalam mengarahkan dan mengurus
administrasi perkuliahan.
7. Kepada teman-teman seangkatan Fisika USU 2011 Fauzi, Fahmi, Darma,
Khairuddin, Bambang, Zikri, Ali, Ichsan, Jihad dan juga yang lainnya yang
tidak bisa disebutkan satu persatu oleh Penulis. Dan tidak lupa kepada
Mahasiswa Fisika Teoritis seperjuangan Tirto, Adimas, Ferry dan Russell.
8.

Kepada Abang senior Ikhwanuddin, Veros, Ajir, dan lainnya yang tidak bisa
disebutkan yang senantiasa menasehati dan mengarahkan. Kepada junior
angkatan 2012, 2013 dan 2014 atas kata-kata semangat yang memotivasi
penulis.

9.

Kepada teman-teman dari organisasi SPACE Hendra, Ferry, Alfi, Ridwan,
Gregorius, Erza, Fiqhi, Nico Berthi, Nisa, Vina, Vita, Mei, Ika, Lyana dan
anggota lainnya yang telah mengisi waktu

Penulis selama mengerjakan

penelitian ini.
10. Kepada teman-teman LAMO FC LamZ, Pinto’O, B.Roone, Putyan, Cugik,
Copi, Ipul, Rezi, Aim atas persahabatan dan hiburannya yang terus menguatkan
Penulis dalam penelitian skripsi ini.
11. Kepada teman-teman kos HA14MDN Bg Andy, Bg. Budi, Bg. Ardy, Bg.
Walat, Bg. Dayat, Bg. Pandi, Bg. Pandi Siantar, Bg. Adi, Bg. Ari, Bg. Rio, Bg.
Erik, Yetno, Iqbal, Jimmy, Andy
12. Kepada Dunsanak Penulis Mak Tuo Anik, Bg Bambang, Kak Epi, Bg Rahman,
Mak Tuo Edi, Bg Faisal, Bg. Aan, Atas segala bantuan dan bentuk dukunganya.
13. Kepada Bapak Xiachun Mei atas ketersediaan waktunya berdiskusi dan
memberikan ilmu yang sangat bermanfaat dalam pengerjaan penelitian ini.

Universitas Sumatera Utara

v

Penulis menyadari bahwa penulisan Skripsi ini masih jauh dari sempurna
karena keterbatasan pengetahuan dan ilmu yang dimiliki penulis. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan saran- saran dari pembaca untuk menyempurnakan skripsi
ini. Akhir kata semoga Skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Medan,

Juli 2016

Penulis

Universitas Sumatera Utara

vi

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI
SCHWARZSCHILD

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk mengetahui persamaan gerak objek yang mengeliling
pusat massa. Metodologi yang digunakan adalah mengkonstruksi persamaan
geodesik pada solusi Schwarzschild yang terdapat dalam persamaan medan
gravitasi Einstein, lalu dibandingkan dengan rumus gerak Newton klasik maka
didapat persamaan gerak untuk menjelaskan presesi perihelion planet dengan baik.
Setelah itu, menstransformasi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dari
ruang-waktu lengkung ke ruang-waktu datar. Lalu menghitung efek relativitasnya
dan dihubungkan pada rumus gravitasi Newton klasik maka modifikasi rumus
gravitasi Newton dapat di peroleh. Rumus ini dapat menjelaskan pergerakkan objek
bermassa dalam medan gravitasi.

Kata Kunci : Relativitas Umum, Relativitas Khusus, Solusi Schwarzschild,
Geodesik, Gravitasi Newton.

Universitas Sumatera Utara

vii

THE MODIFICATION OF NEWTON FORMULA OF GRAVITY
AND EQUATION OF COSMOLOGY IN FLAT SPACE-TIME
TRANSFORMED USING SCHWARZSCHILD SOLUTION

ABSTRACT

This study aims to determine the equation of motion of the object that surrounds
the center of mass. The method used is constructing geodesic equation in the
Schwarzschild solution contained in Einstein's gravitational field equations, and
then compared with the classical Newton's formula hence got the motion equations
to explain the planet's perihelion precession as well. Afterward, by transforming
geodesic equation in the Schwarzschild solution of curved space-time into spacetime flat. Then calculate the effects of relativity and classical Newtonian gravity
formula is connected hence got the modification of Newtonian gravity formula can
be obtained. These equations can explain the movement of objects with mass in a
gravitational field.

Keywords : General Relativity, Special Relativity, Schwarzschild Solution,
Geodesic, Newton Gravity.

Universitas Sumatera Utara

viii

DAFTAR ISI

Halaman
Persetujuan ………………………………………………………………… …….. i
Pernyataan ………………… ………………......................................................

ii

Penghargaan ……………………………………………………………………... iii
Abstrak …………………………………………………………………..............

vi

Abstract ………………………………………………………………….............

vii

Daftar Isi …………………………………………………………………...........

viii

Daftar Gambar …………………………………………………………………... x
Bab 1. Pendahuluan
1.1

Latar Belakang …………………………………………………………….. 1

1.2

Rumusan Masalah …………………………………………………………. 2

1.3

Batasan Masalah …………………………………………………………... 2

1.4

Tujuan Penelitian ………………………………………………………….. 2

1.5

Manfaat Penelitian ………………………………………………………… 3

1.6

Sistematia Penulisan ..……………………………………………………... 3

Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1

2.2

Teori Gravitasi Newton ...…………………………………………………. 4
2.1.1

Hukum Gravitasi Newton ……………………………....……….. 4

2.1.2

Kecepatan Melintang dan Radial Planet ………………………… 6

Teori Relativitas Einstein …………………………………………………. 7
2.2.1 Teori Relativitas Khusus (TRK) …………………………………... 8
2.2.1.1 Transformasi Lorentz ……………………………………… 9
2.2.2 Teori Relativitas Umum (TRU) …………………………………… 11
2.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Medan Einstein ...……………… 12

2.3

Pengenalan Ruang Datar dan Lengkung …………………………………... 12

2.4

Metrik Schwarzschild ……………….…………………………………….. 14
2.4.1

Persamaan Geodesik ……………………………………………… 15

Universitas Sumatera Utara

2.4.2

Solusi Schwarzschild ……………………………………………… 16

Bab 3. Metode Penelitian
3.1

Rancangan Penelitian ……………………………………………………... 19

3.2

Diagram Alir Penelitian …………………………………………………... 20

Bab 4. Hasil dan Pembahasan
4.1

Pergerakan Objek dalam Medan Gravitasi ……………………….............. 21

4.2

Modifikasi Rumus Gravitasi Newton ……………………………………. 25

Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1

Kesimpulan ……………………………………………………………...... 29

5.2

Saran ……………………………………………………………………… 30

DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN :
A. LAMPIRAN A .................................................................................................. ix
B. LAMPIRAN B .................................................................................................. 32

Universitas Sumatera Utara

ix

LAMPIRAN A : KETERANGAN VARIABEL

besar gaya gravitasi antara dua objek (kg/m.s2)
massa pusat objek (kg)
massa yang lebih kecil mengelilingi massa M (kg)
massa diam objek (kg)
jarak antara kedua objek (m)
tetapan gravitasi (6.673 10x −11 Newton m2/s2)
L

momentum sudut (kg m2/s)

aR

percepatan objek dalam radial

aT

percepatan objek dalam lintang

α

GM⁄c , radius Schwarzschild

E

energi total

V

kecepatan objek

Vφ

kecepatan objek dalam koordinat lintang

Vr

kecepatan objek dalam koordinat radial

�, , � merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks
ds

jarak terdekat peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.

c

kecepatan cahaya ( 2,99792 × 108 m/s ≈ 3 × 108 m/s ).

dτ

waktu eigen

dt

koordinat waktu

dr

koordinat radial

dφ

koordinat lintang dalam radian

dθ

koordinat bujur dari utara dalam radian

�

lambang Christoffel

Universitas Sumatera Utara

x

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Menunjukkan konstruksi geometri untuk menentukan
percepatan melintang dan radial planet ……………………………..6
Gambar 2.2. Kerangka S’ bergerak dalam arah +x dengan kelajuan v
relatif terhadap kerangka S ……………...………………………….9
Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……………………….14
Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……………………….15
Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi …………………………………..16
Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola ……………………………………………..17
Gambar 4.1 Dinamika Presesi Perihelion Planet ………………………………..25
Gambar 4.2 Sistem pergerakan partikel mengelilingi pusat massa ……………..28

Universitas Sumatera Utara