Modifikasi Rumus Gravitasi Newton dalam Transformasi Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild

LAMPIRAN B Persamaan untuk garis geodesik

+ �

=

(1)

Persamaan ini digunakan untuk menelaah gerakan partikel dalam ruang bermetrik tertentu, cara yang mudah untuk menyelesaikan persamaan geodesik yang di berlakukan oleh Einstein. Metrik Schwarzschild dapat ditulis sebagai

= −� − −� − − � � + � (2) � = − − � − � � (3) Di mana fungsi = − �⁄ dan = ⁄ didefinisikan untuk mempersingkat. Dari metrik ini, simbol Christoffel � dapat dihitung, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan geodesik (1), diperoleh

= �+ � − � � � (4)

= �+ � + � � � (5)

= + (6)

= + − � − � � + (7)

Dengan θ = π/2 karena sistem koordinat bidang polar. Jadi cukup untuk menyelesaikan persamaan (5) dan persamaan (6) saja, dan membagi mereka dengan

dφ/ds dan dt/ds, masing-masing.

= [ �+ ]  �₌

= [ + −� ]  −� = �

DAFTAR PUSTAKA

E. A. Milne. 2000. “ A Newtonian Expanding Universe”, General Relativity and Gravitation. Vol. 32, No. 9, pp.1939-1948.

S. Weiberge. 1984. “ Gravitation and Cosmology”. New York : John Wiley and Son,Inc

Young, Hugh D. 2002. “Fisika Universitas”. Jilid ke-1. Edisi ke-10 Jakarta : Penerbit Erlangga

T. T. Eugene. 2015. “Flat Space Cosmology as a Mathematical Model of Quantum Gravity or Quantum Cosmology”. International Journal of Astronomy and Astrophysics 133-140.

Beisher, Athur. 1986. “Konsep Fisika Modern”. Jakarta : Penerbit Erlangga

T. T. Eugene. 2015. “The Basic of Flat Space Cosmology”. International Journal of

Astronomy and Astrophysics, 5, 116-124.

Petry, Walter. 2013. “Cosmology with Bounce by Flat Space-Time Theory of Gravitation and New Interpretation”. Journal of Modern Physics, 4, 20-25, Scientific Research

Wospakrik, H. J. 1987. “Berkenalan Dengan Teori Kerelativan Umum Einstein Dan Biografi Albert Einstein”. Bandung : ITB

Longair, M. S. 1987. “Theoretical Concepts in Physics”. Great Britain: Cambridge University Press

Hasan, Nailul. 2005. “Osilasi Neutrino dalam Medan Gravitasi”. Jurnal Pengajaran Fisika Bumi.

Lass, Harry. 1950. “Vector and Tensor Analysis”. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha

Einstein, Albert. 2010. “Teori Relativitas Einstein”. Cetakan Pertama. Yogyakarta

: Penerbit NARASI

Anugraha, R.2005. “Pengantar Teori Relativitas dan kosmologi”. Yogyakarta : Fakultas MIPA UGM

Gautama, E. Sunkar. 2015. “Pengantar Kosmologi”. Makasar : Paradoks Softbook

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam memodifikasi rumus gravitasi Newton dan persamaan kosmologi, yaitu :

1. Merumuskan metrik Schwarzschild dalam relativitas umum dengan mensubstitusikan garis geodesik dalam ruang-waktu lengkung.

2. Mengkontruksi persamaan geodesik dalam metrik Schwarzschild

3. Membandingkan hasil rumus dengan rumus gravitasi Newton klasik yaitu gerak melingkar planet.

4. Dihasilkan sebuah rumus untuk menjelaskan presesi perihelion gerak melingkar planet dalam relativitas umum.

5. Transformasikan metrik Schwarzschild kedalam ruang-waktu datar dengan asumsi r0 , φ0 dan t0 mewakili koordinat ruang-waktu datar. 6. Mengkontraksi hasil persamaan geodesik ruang-waktu datar kedalam

bentuk relativistik

7. Setelah itu dibandingkan kedalam rumus gravitasi Newton klasik. 8. Dihasilkan rumus gravitasi Newton yang relativistik.

3.2 Diagram Alir Penelitian

Mulai

Metrik Schwarzschild dalam ruang-waktu lengkung

Garis geodesik

Rumus gerak melingkar Newton

Persamaan presesi perihelion planet

Transformasi Metrik Schwarzschild ke ruang-waktu datar

Selesai

Rumus gravitasi Newton klasik

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pergerakan objek dalam medan gravitasi

Menurut relativitas umum, Geodesik Schwarzschild menjelaskan gerak partikel dengan massa m dalam medan gravitasi bermassa M sebagai pusat diam. Efek relativitas dapat diperhitungkan apabila massa m berberapa kali lipat lebih kecil dari pusat massa M.

Solusi untuk persamaan medan Einstein adalah metrik Schwarzschild, yang sesuai dengan medan gravitasi dimana tidak ada muatan, tidak berotasi, berbentuk bola simetris dengan pusat massa M. Solusi Schwarzschild dapat ditulis sebagai :

= −� − −� − − � � + � (4.1)

Dengan � = , lalu menyederhanakan persamaan dengan menggunakan simetri untuk menghilangkan satu variable dari persamaan. Karena metrik Schwarzschild berbentuk simetris, yaitu � =� , kemudian dapat disederhanakan menjadi

= −� − −� − − � (4.2) Dengan mensubstitusi persamaan (4.2) pada persamaan garis geodesik yang dijelaskan pada lampiran B, kita dapatkan hasil berupa dua konstanta gerak

−� = � (4.3)

�

= (4.4)

Terdapat dua konstanta gerak, yaitu � adalah energi total dan L adalah momentum sudut dari massa unit. Dengan mengasumsikan ε = 1, selanjutkan kita defenisikan

= � (4.5)

Dan � = −� (4.6)

Dengan τ adalah waktu eigen dan t koordinat waktu. Dengan mensubstitusikan persamaan (4.5) pada persamaan (4.4), maka didapatkan

�

� = �

� = (4.7)

Kita disini membicarakan gerak partikel dengan sebuah massa didalam medan gravitasi. Menurut persamaan (4.5), kita dapat menulis persamaan (4.2) dengan membagi semua suku terhadap ds2 menjadi

= −� − −� − − � (4.8)

= −� _� − −� − _� − �_� (4.9) Mengingat persamaan (4.6) dan (4.7),

�

= −� dan �

� = (4.10)

Persamaan (4.9) dapat ditulis sebagai

−� −� − − −� − _� − = (4.11)

Kemudian semua variabel dikali dengan − �⁄ maka menjadi

− _� − −� = −� (4.12)

� = �

− −�

� = �

− +� (4.13)

� = �

−_� + (4.14)

Dengan menghitung ruas kiri dari persamaan (4.13)

� � = � � � = � � (4.15)

Dan mensubstitusikan persamaan (4.15) pada ruas kanan dari persamaan (4.13)

� � = � �_{− +}� (4.16) � = � − +� � = − �_{+ −} � � = − �

+ − � (4.17)

� − = −

�₋ �

(4.18)

� − = −

� ₊

(4.19)

Mengingat bahwa dalam teori gravitasi Newton klasik, pada arah ̅ dan _�̅ dalam sistem koordinat bidang polar, persamaan gerak parsial secara individual adalah

�� = − � (4.20)

Kemudian didefenisikan

= . �� = − = = − � (4.21)

Dimana α= , lalu

�� = = − � (4.22)

Maka persamaan (4.20) dapat ditulis sebagai

− � = − � (4.23)

Disubstitusikan pers (4.7) ke pers (4.23), maka diperoleh

− = − �

− = − � (4.24)

Bandingkan persamaan diatas dengan persamaan (4.19), dengan mengasumsikan t

 τ , dan pengecualian suku yang terdapat dalam tanda kurung, maka kita dapat melihat bahwa bentuk persamaan (4.24) dan persamaan (4.19) persis sama. Jadi persamaan (4.19) dapat di terapkan kedalam rumus gravitasi Newton klasik

= − (4.25)

Sisi kanan persamaan diberi tanda minus karena antara dua benda saling tarik menarik oleh gravitasi. Kita dapat menuliskan persamaan (4.25) diatas sebagai persamaan vektor mengikut persamaan (4.19) sebagai berikut :

� = − + (4.26)

Dengan : G = Konstanta gravitasi ( , − . / � )

M = Massa benda diam (kg)

m = Massa benda bergerak (kg)

r = Jarak antara dua massa (m)

Kemudian mengikuti persamaan (4.7), persamaan (4.26) diatas dapat diubah menjadi

� = � /

� = − +

� = − + (4.27)

Dapat dilihat pada rumus diatas, variabel � sebagai koordinat bujur dalam radian. Rumus ini bisa digunakan untuk menjelaskan presesi perihelion planet dalam medan gravitasi. Semakin pendek jarak planet terhadap massa pusat, maka presesi (penyimpangan = Δ�) akan semakin besar. Di dalam tata surya presesi perihelion Merkurius adalah paling besar, juga karena jarak berdekatan dengan matahari maka efek lengkungan gravitasi begitu kuat.

Gambar 4.1 Dinamika Presesi Perihelion Planet 4.2 Modifikasi rumus gravitasi Newton

Rumus gravitasi Newton klasik masih terlalu sederhana untuk menjelaskan sistem pergerakan partikel. Apabila massa suatu partikel yang bergerak melingkar jauh lebih kecil dari massa pusat, efek relativitas juga dapat di perhitungkan. Maka dilakukan perhitungan untuk memodifikasi rumus gravitasi Newton menjadi lebih spesifik.

Diingat bahwa semua kuantitas persamaan (4.19) didefenisikan dalam ruang-waktu lengkung. Menurut teori geometri non-Euclidean, meskipun kita tidak bisa mentransformasikan seluruh metrik dari waktu lengkung ke dalam

ruang-waktu datar secara umum, kita selalu dapat mentransformasikan garis geodesik yang dijelaskan dalam ruang-waktu lengkung kedalam ruang datar.

Dengan asumsi ro, φo, dan to mewakili koordinat untuk ruang-waktu datar.

Karena dari ketetapan ds2 dalam proses transformasi koordinat, kita memiliki

= − − � (4.28)

= −� − −� − − � (4.29)

Kita melihat bahwa bentuk suku ketiga di dua persamaan diatas adalah sama. Jadi kita dapat mengambil ro = r, φo= φ, dan memperoleh hubungan antara waktu

to dan t , maka dapat ditulis

= −� − −� − + − � + �

= −� − −� − +

= −� + [ − −� − ] (4.30)

Menurut persamaan (4.6), dan dari bentuk persamaan (4.14) kita dapat menulis

−�_� = √ �

−_� +

= −� √� −_� + (4.31)

Substitusikan persamaan (4.31) kedalam persamaan (4.30), kita peroleh

= −� + [ − −� − ] { −� � −_� + }

= { −� + [ − −� − ] −� � −_� + }

= { −� + [ −� − −� ] � −_� + } = { −� + −� [ −� − ] � −_� + } = { −� + −� −� � −_� + }

= −� { −� −_� + } = −� −� + � −�

= √ −� −� + � −� (4.32)

� = −� −� + � −� − � = −� −� − +�+ � −

� = +�+ � − (4.33)

Karena kita telah mengubah ro = r , semua kuantitas pada sisi kanan dari persamaan

diatas telah didefenisikan dalam ruang-waktu datar.

Selanjutnya dengan membuktikan bahwa efek relativitas dapat diperhitungkan kedalam pers (4.26). Dari pers (4.14), (4.31) dan (4.33), kita dapat memperoleh

= ( _{) = ( �} �) = � −

� + +

�

+ � − (4.34)

� = ( �) = ( �_� �)

= +�+ � − (4.35) Kemudian,

= + � (4.36)

= + � = � + +�+ � − (4.37)

−

�

= −

� �( + � � � ) ( +�_�+_{� �}�� )

−

�

=

+ � �+� ��� − � �+� ���

+�_�+_{� �}�� (4.38)

Dapat disederhanakan menjadi

√ −

�

=

+

�

+

� − (4.39)

Lalu persamaan (4.39) dibandingkan dengan persamaan (4.33), kita peroleh

Ini adalah rumus pemuluran waktu dalam relativitas khusus. Hasilnya dapat memverifikasi rasionalitas pada persamaan (4.26), dengan asumsi to  t ,

substitusikan persamaan (4.40) maka persamaan (4.26) dapat ditulis sebagai

� = − +

√ −�_� = − +

= − √ −� + = (4.41) Maka didapatkan hasil modifikasi rumus gravitasi Newton berdasarkan relativitas umum. Dalam rumus ini, m adalah massa dari pergerakan partikel yang mengelilingi pusat massa M dalam bentuk simetri bola. Tampak jelas terlihat bahwa rumus diatas memiliki efek relativistik dan juga memperhitungkan momentum sudut L partikel. Rumus ini berlaku untuk menghitung gaya benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya terhadap benda pusat M.

Gambar 4.2 Sistem pergerakan partikel mengelilingi pusat massa Rumus ini ekuivalen pada pertukaran massa diam partikel mengikuti massa efektif dalam teori Newton.

= √ −� + (4.42)

Kita dapat mengatakan bahwa moadalah massa diam yang bergerak dalam

medan gravitasi yang memperhitungkan momentum sudut L. Dapat dikatakan rumus ini adalah massa relativistik.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 KESIMPULAN

Kesimpulan yang diperoleh dari hasil pembahasan Bab IV adalah

1. Teori gravitasi Newton sebelumnya belum dapat menjelaskan presesi perihelion merkurius dengan baik sehingga dibutuhkan metode lain untuk menjelaskan masalah ini. Dengan mengkontruksi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild lalu hasil rumus di bandingkan pada rumus gerak melingkar Newton dalam sistem koordinat polar maka diperoleh persamaan gerak melingkar yang baru untuk menjelaskan presesi perihelion planet. 2. Dengan mentransformasikan persamaan geodesik pada solusi

Schwarzschild dalam persamaan Einstein dari ruang-waktu lengkung ke ruang-waktu datar. Dan mengkontraksi efek relativitasnya lalu di hubungkan dengan teori gravitasi Newton klasik maka di dapatkan modifikasi rumus gravitasi Newton yang lebih spesifik sehingga dapat menggambarkan gerakan melingkar planet-planet di alam semesta dengan baik.

5.2 SARAN

1. Pada peneliti selanjutnya dapat menganalisa hubungan penelitian ini terhadap keberadaan lubang hitam, yang memiliki gaya gravitasi yang khas. 2. Pada peneliti selanjutnya dapat menggunakan perangkat lunak untuk dapat

mensimulasikan hasil penelitian ini.

3. Pada peneliti selanjutnya dapat menganalisa hasil persamaan ini untuk mencari persamaan kosmologi yang lain seperti percepatan ekspansi alam semesta.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Gravitasi Newton

Mengapa planet, bulan dan matahari memiliki bentuk mendekati bola ? Mengapa satelit bumi mengelilingi bumi 90 menit, sedangkan bulan memerlukan waktu 27 hari untuk mengelilingi bumi ? Dan mengapa satelit tidak jatuh ke bumi ? Adanya istilah gravitasi menghasilkan jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini dan juga banyak pertanyaan lain yang terkait.

Gravitasi adalah salah satu dari empat kelas interaksi yang terjadi di alam, dan gravitasi adalah yang paling dahulu dipelajari secara intensif dan gaya yang paling lemah dibandingkan dengan ketiga gaya lainnya, yaitu gaya elektromagnetik, gaya interaksi kuat, gaya interaksi lemah. Newton menemukan pada abad ke-17 bahwa ada interaksi yang sama yang menyebabkan apel jatuh dari pohon dan menahan planet dari orbitnya mengelilingi matahari. Ini adalah awal dari mekanika benda angkasa, pelajaran tentang dinamika objek di ruang angkasa.

Kini pengetahuan kita tentang mekanika benda angkasa memungkinkan kita untuk menentukan bagaimana meletakkan sebuah satelit pada suatu orbit yang diinginkan tempatnya mengelilingi bumi atau untuk memilih trayektori yang tepat untuk mengirimkan pesawat ruang angkasa ke planet lain.Gravitasi memiliki hokum universal, gravitasi bekerja dengan cara mendasar yang sama antara bumi dan badan kita, antara matahari dan sebuah planet, dan antara sebuah planet dengan salah satu bulannya. Gravitasi dapat menjelaskan fenomena seperti perubahan berat pada ketinggian, orbit dari satelit mengelilingi bumi, dan orbit planet mengelilingi matahari.

2.1.1 Hukum gravitasi Newton

Contoh gaya tarik gravitasi yang sudah sangat akrab dengan kita adalah berat badan kita, gaya yang menarik kita kebumi. Selama penelitiannya tentang gerak dari planet dan bulan, Newton menemukan karakter dasar dari gaya tarik gravitasi antara dua benda, apapun itu. Bersamaan dengan ketiga hukumnya tentang gerak, Newton

mempublikasikan hukum gravitasi (law of gravitation) pada tahun 1687. Hukum itu berbunyi sebagai berikut :

“Setiap partikel dari bahan di alam semesta menarik setiap partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan hasil kali massa-massa partikel dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak diantara partikel-partikel tersebut”

Dengan menterjemahkan hukum diatas kedalam sebuah persamaan, kita dapatkan

�

=

(hukum gravitasi) (2.1) Dimana Fg adalah besar gaya gravitasi pada salah satu partikel, m1 dan m2 adalah

massanya, r adalah jarak antara keduanya, dan G adalah konstanta fisika dasar yang disebut konstanta gravitasi (gravitational constant). Nilai numeric untuk G

tergantung pada sistem satuan yang digunakan.

Karena simbol g dan G hamper sama, seringkali arti kedua besaran gravitasi yang menggunakan kedua simbol tersebut jadi membingungkan. Huruf kecil g

adalah percepatan yang tergantung pada gravitasi, yang berhubungan dengan berat

w dari sebuah benda dengan m; w = mg. nilai g berbeda untuk tempat yang berbeda di permukaan bumi dan pada permukaan planet yang berbeda. Sebaliknya, huruf besar G berhubungan dengan gaya gravitasi antara dua benda akibat massa dan jarak diantara keduanya. Kita sebut G adalah konstanta universal sebab mempunyai nilai yang sama untuk setiap dua benda, tidak peduli dimanapun letaknya dalam ruang angkasa.

Untuk menentukan nilai konstanta gravitasi G dapat diukur dengan alat yang disebut neraca torsi, yang digunakan oleh Sir Henry Cavendish pada tahun 1798. Nilai yang diperoleh adalah

= , − _{. / �}

Gaya gravitasi selalu bekerja sepanjang garis yang menghubungkan dua buah partikel dan membentuk pasangan aksi-reaksi. Walaupun massa kedua partikel berbeda, kedua gaya interaksinya mempunyai besar yang sama. Pada titik di dalam bumi, misalkan kita dapat mengebor sebuah lubang ke pusat bumi dan mengukur gaya gravitasi dengan kedalaman yang berbeda-beda, kita akan mendapatkan bahwa makin mendekati pusat bumi gaya makin berkurang, dan

bukan bertambah dengan factor sebesar 1/r2. Ketika benda memasuki bagian dalam bumi, sebagian dari massa berada pada sisi benda yang berlawanan dari pusat dan memberikan tarikan pada arah yang berlawanan. Tepat di pusat bumi, gaya gravitasi bumi pada benda adalah nol. (Young, Hugh D. 2002)

2.1.2 Percepatan Melintang dan Radial Planet

Gambar 2.1 Menunjukkan konstruksi geometri untuk menentukan percepatan melintang dan radial planet

Sebuah vektor mewakili sebuah asumsi percepatan total planet, “a”, ditarik dari berberapa sudut dengan vektor radius, r. Dalam gambar 2.1, Akan lebih mudah menggambar "a" ke atas dan menjauh dari arah percepatan radial, aR, (yang berlawanan dengan garis tarik antara bumi dan matahari). Salah satu komponen dari percepatan planet diasumsikan, "a", harus sejalan dengan (tapi dalam arah yang berlawanan) gaya gravitasi antara matahari dan planet. Komponen percepatan ini, aR, adalah percepatan radial. Komponen lain dari percepatan planet diasumsikan, "a", ditempatkan tegak lurus dengan percepatan radial, adalah percepatan melintang, aT.

Tentu saja, kita tahu bahwa jika planet ini sebenarnya memiliki percepatan melintang, gaya melintang harus diterapkan. Tetapi jika gaya melintang diterapkan, planet ini akan didorong keluar dari orbitnya. Jadi kekuatan melintang harus nol dan percepatan melintang juga harus nol. Konsep percepatan melintang diasumsikan, akan menyediakan satu persamaan yang dibutuhkan untuk pembuktian ini.

Jika percepatan diasumsikan, "a", telah ditempatkan sesuai dengan vektor radius, itu akan menjadi identik dengan aR dan tidak ada informasi baru bisa

diperoleh dari geometri. Meskipun ditempatkan seperti itu, percepatan "a" terdiri dari dua vektor, aR dan aT. Percepatan radial, aR diambil sejalan dengan vektor radius, r. Percepatan melintang, aT, ditarik tegak lurus dengan percepatan radial. Hal ini terlihat pada Gambar 2.1, percepatan yang "a" sama dengan dua set yang berbeda dari vektor komponen yang menyediakan informasi diperlukan untuk melanjutkan buktinya. Satu set komponen ini adalah ax dan ay.

Pernyataan untuk kecepatan dari P dalam arah z adalah

= � = � − � � (2.2)

Untuk kecepatan P dalam arah y dengan bentuk yang sama adalah

= � = � + � � (2.3)

Lalu dengan mengasumsi percepatan planet dalam arah z adalah az dan dalam arah

y adalah ay.

� = dan � = (2.4)

Maka dapat ditulis

� = � [ − � ] − � [ �+ �] (2.5)

� = � [ − � ] + � [ �+ �] (2.6) Kemudian pada gambar 2.1 menunjukkan bahwa,

�� = � � + � � (2.7)

�� = � � − � � (2.8)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4) dan (2.6) kedalam persamaan (2.7) dan (2.8), maka dapat ditulis sebagai berikut

�� = − � (2.9)

�� = �+ � (2.10)

2.2 Teori Relativitas Einstein

Teori relativitas memeriksa bagaimana pengukuran kuantitas fisis bergantung pada pengamat seperti juga pada peristiwa yang diamati. Dari relativitas muncul mekanika baru yang menyiratkan kaitan yang sangat erat antara ruang dan waktu, serta massa dan energi. Tanpa kaitan itu kita tidak mungkin mengerti dunia

mikroskopik dalam atom yang penjelasannya merupakan persoalan sentral dalam fisika modern.

2.2.1 Teori Relativitas Khusus (TRK)

Ketika kuantitas seperti panjang, selang waktu, dan massa ditinjau dalam fisika pendahuluan, tidak terdapat pembahasan khusus bagaimana kuantitas itu diukur. Karena terdapat satuan baku untuk kuantitas semacam itu, seakan-akan tidak menjadi persoalan siapa yang menentukan kuantitas itu : setiap orang harus mendapatkan hasil yang sama. Jika kita katakana sesuatu bergerak, kita maksudkan kedudukannya berubah relatif terhadap sesuatu. Penumpang bergerak relatif terhadap kapal udara, kapal udara bergerak relatif terhadap bumi, bumi bergerak relatif terhadap matahari, matahari bergerak relatif terhadap galaxi bimasakti dan sebagainya. Untuk menyatakan bahwa suatu bergerak selalu menyangkut kerangka khusus sebagai acuan. Kita tidak bisa mendapatkan kerangka universal yang meliputi seluruh ruang, ini berarti tidak terdapat gerak absolut.

Teori relativitas muncul sebagai hasil analisis konsekuensi fisis yang tersirat oleh ketiadaan kerangka acuan universal. Dikembangkan oleh Albert Einstein tahun 1905, mempersoalkan kerangkan acuan universal yang merupakan kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka lainnya. Teori relativitas umum (TRU), di usulkan oleh Einstein sepuluh tahun kemudian mempersoalkan kerangka yang dipercepat satu terhadap lainnya.

Teori relativitas khusus bersandar pada dua postulat, yaitu

1. Postulat dengan prinsip relativitas, menyatakan bahwa hukum fisika dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap suatu terhadap lainnya. 2. Postulat kedua menyatakan bahwa kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama

besar untuk semua pengamat, tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu.

Kesan pertama postulat ini kelihatannya sangat radikal. Sebenarnya postulat itu mengikuti hamper semua konsep intuitif mengenai waktu dan ruang yang kita bentuk berdasarkan pengalaman sehari-hari.

2.2.1.1 Transformasi Lorentz

Anggaplah kita berada pada kerangka acuan S dan mendapatkan koordinat suatu kejadian pada saat t ialah x,y,z. pengamat yang berada pada kerangka acuan yang lain S’ yang bergerak terhadapt S dengan kecepatan v akan mendapatkan bahwa kejadian yang sama terjadi pada saat t’ dan koordinat x’,y’,z’. untuk lebih sederhana, kita akan mengambil v dalam arah +x , seperi pada gambar 2.1. Bagaimana hasil pengukuran x, y, z, t berhubungan dengan x’,y’,z’,t’ ?

Jika kedua waktu system diukur dari saat ketika titik-aral S dan S’ berimpit, pengukuran dalam arah x yang dilakukan di S akan melebihi yang di S’ dengan vt, yang menyatakan jarak yang ditempuh S’ dalam arah x. Jadi

x’ = x – vt (2.11)

tidak terdapat gerak relatif dalam arah y dan z, sehingga :

y’ = y , z’ = z, dan t’ = t (2.12) Himpunan persamaan diatas dikenal sebagai transformasi Galilei.

Gambar 2.2. Kerangka S’ bergerak dalam arah +x

dengan kelajuan v relatif terhadap kerangka S

Dengan menurunkan rumus berdasarkan asumsi-asumsi itu, kita dapatkan transformasi lengkap dari pengukuran suatu kejadian alam S terhadap pengukuran yang sesuai dilakukan dalam S’, memenuhi persamaan :

′

₌

−

√ −�_�

(2.13)

′

₌

_(2.14)

′

₌

−���

√ −�_�

(2.16)

Persamaan tersebut merupakan transformasi Lorentz. Pertama kali ditemukan oleh seorang fisikawan belanda H.A. Lorentz yang menunjukkan bahwa rumus dasar dari keelktromagnetan sama dalam semua kerangka acuan yang dipakai. Baru bertahun-tahun Einstein menemukan arti penting yang sesungguhnya dari persamaan itu. Jelaslah bahwa transformasi Lorentz tereduksi menjadi transformasi galilei jika kelajuan relatif v kecil dibandingkan dengan kelajuan cahaya c. (Beisher, Athur. 1986)

Bentuk-bentuk transformasi Lorentz pada persamaan (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) dapat digunakan untuk menurunkan persamaan relativitas sebagai efek penggunaan transformasi ini, yaitu :

Pemuluran Waktu Relativistik yang mana waktu bergerak lebih lambat dari penanda waktu yang berada dalam keadaan diam.

(2.17)

Kontraksi Panjang Lorentz,

= √ − = � (2.18)

Transformasi Kecepatan,

(2.19) Bila untuk laju yang lebih kecil dari laju cahaya c dalam ruang hampa, transformasi kecepatannya memperlihatkan kepada kita bahwa sebuah benda yang bergerak dengan laju yang lebih kecil dari c dalam satu kerangka acuan selalu mempunyai laju yang lebih kecil dari c dalam tiap-tiap kerangka acuan yang lain. Ini merupakan alasan yang digunakan untuk menyimpulkan bahwa tidak ada benda yang berjalan dengan laju yang sama atau lebih besar dari c dalam ruang hampa relatif terhadap sembarang kerangka acuan inersial. (Longair, M. S. 1987)

2.2.2 Teori Relativitas Umum (TRU)

Pada tahun 1915, Einstein memperkenalkan teori relativitas umum, yang merupakan generalisasi dari teori khusus yang telah dirancang secara spesifik untuk melibatkan gaya-gaya gravitasi. Menurut teorinya, semua benda pasti jatuh dengan kecepatan yang sama. Relativitas umum didasarkan pada prinsip ekuivalensi, yang berpendapat bahwa efek kelembamban dan gravitational tidak dapat dibedakan, apapun keadaan gerak yang mungkin mereka miliki.

Untuk memadukan prinsip ekuivalensi, relativitas umum mendeskripsikan efek-efek gravitasi dan kelembaman dengan metode yang sama, dalam kerangka geometri ruang-waktu. Relativitas umum juga memperkirakan keberadaan radiasi gravitasi, yang dihasilkan oleh massa yang bergerak. Ini analog dengan radiasi elektromagnetik yang dihasilkan oleh muatan bergerak menurut teori Maxwell. Einstein juga telah memprediksi pembelokkan berkas cahaya oleh matahari, pertama kali dilihat saat gerhana matahari berlangsung pada tahun 1919. (Pinari, Felix. 2004)

Teori gravitasi yang diperoleh dari postulat relativitas umum, unggul bukan hanya dalam keindahannya, bukan dalam membuang kerusakan yang tersemat pada mekanika klasik, bukan juga dalam menginterpretasikan hukum empiris mengenai kesamaan massa inersial dengan massa gravitasional, tetapi juga telah menjelaskan hasil observasi dalam astronomi dimana mekanika klasik tidak berdaya terhadap hal ini. Jika kita menaikkan akurasi dari perhitungan pergerakan planet, maka muncullah deviasi (penyimpangan) dari teori Newton. Menurut teori Newton planet bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan berbentuk elips telah teruji dengan akurasi yang tinggi, telah dikonfirmasi untuk semua planet kecuali satu, yaitu presesi perihelion Merkurius. (Einstein, Albert. 2010)

Telah dilakukan penelitian untuk mengkaji secara teoretis efek relativistik pada gerak planet. Persamaan gerak planet dalam ruang waktu Scwarzhschild didapat dari solusi persamaan geodesik. Berdasarkan solusi tersebut, diperoleh suatu persamaan gerak orbit planet mengelilingi matahari dengan pergeseran

perihelion dari planet tersebut.Untuk planet Merkurius diprediksi solusi gerak planet dengan nilai pergeseran sebesar 43 detik per abad.

Pergeseran ini sesuai dengan hasil pengamatan para ahli astronomi. Presesi perihelion ini dapat dilihat berdasarkan hasil visualisasi gerak planet yang didapat dari solusi persamaan Einstein yang dipengaruhi massa bintang. Semakin besar massa bintang semakin besar sudut perihelion yang terbentuk. Massa planet dan jarak planet terhadap bintang mempengaruhi bentuk orbit planet (eksentrisitas) dan kecepatan planet mengelilingi bintang. (Wospakrik,1987)

2.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Medan Einstein

Persamaan medan Einstein menghubungkan kelengkungan ruang waktu dan distribusi massa-energi. Persamaan ini berbentuk:

� − � � − � � = −

8� (2.20) dengan : �, , � = merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak

memiliki indeks.

� , � , = tensor kovarian rank 2

Dimana � adalah konstanta kosmologi. Konstanta kosmologi dapat bernilai positif dan negatif dengan nilai yang mendekati harga nol. Jika konstanta kosmologi bernilai negatif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menarik secara kuat dan seluruh alam semesta luasnya bisa menjadi beberapa kaki, sedangkan jika konstanta kosmologi bernilai positif mendekati nol maka gravitasi akan bersifat menolak dan segala sesuatu akan beterbangan menjauh dari kita begitu cepatnya sehingga cahayanya tidak akan pernah mencapai kita. Nilai konstanta kosmologi sangat berkaitan dengan model kosmologi alam semesta. (Anugraha, R. 2005)

2.3 Pengenalan Ruang Datar dan Lengkung

Ditinjau dua buah titik yang berdekatan dalam ruang tida dimensi yang dinyatakan dengan koordinat Cartesian. Kedua titik itu masing-masing A (x,y,z) dan B (x+dx,y+dy,z+dz). Kuadrat jarak antara keduanya adalah

Jika dilakukan perpindahan dalam koordinat silinder melalui transformasi

= �, = �, = (2.22)

Maka jaraknya menjadi

= + � + (2.23)

Melalui transformasi inversi

= √ + , � = � � , = (2.24)

Ruang tiga dimensi dimana bentuk ds2 _{dapat dikembalikan ke bentuk +} + dinamakan ruang datar atau ruang Euclid. Jika tidak dapat dicari suatu system koordinat (x,y,z) maka ruang tersebut dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann.

Bentuk ds2untuk ruang datar satu dan dua dimensi berturut-turut adalah dx2

dan dx2+ dy2. Contoh ruang datar untuk dimensi masing-masing tersebut adalah garis lurus dan bidang datar. Sedangkan contoh ruangb lengkung dua dimensi adalah permukaan bola, ellipsoida, parabolodia, permukaan sadel kuda, dan lain-lain.

Contoh ruang datar empat dimensi (3 dimensi ruang dan 1 dimensi waktu berkoordinat t) dengan invarian kuadrat elemen garis adalah ruang-waktu Minkowski yang memiliki bentuk ds2 adalah

= − + + + (2.25)

Adapun contoh ruang-waktu lengkung 4 dimensi adalah apa yang dinamakan dengan ruang bermetrik Schwarzschild untuk mana kuadrat elemen garisnya berbentuk

Berberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang Riemann dan ruang Euclid adalah

1. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi segitiga merupakan penghubung terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 1800.

2. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran ≠ .

3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus melainkan garis melengkung.

4. Dua garis sejajar lokal dapat berpotongan.

Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada gambar 2.3 dan gambar 2.4

Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi (a) datar dan (b) lengkung

Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi (a) datar dan (b) lengkung 2.3 Metrik Schwarzschild

Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein secara eksak pada tahun 1916, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik � dari kuadrat metriknya 2

ruang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein.

Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Schwarzschild juga mempunyai hubungan yang sangat erat dengan teori lubang hitam. Lubang hitam adalah sebuah pemusatan massa yang cukup besar sehingga menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar. Gaya gravitasi yang sangat besar ini mencegah apapun lolos darinya kecuali melalui perilaku terowongan kuantum. Medan gravitasi begitu kuat sehingga kecepatan lepas di dekatnya mendekati kecepatan cahaya. Tak ada sesuatu, termasuk radiasi elektromagnetik yang dapat lolos dari gravitasinya, bahkan cahaya hanya dapat masuk tetapi tidak dapat keluar atau melewatinya, dari sini diperoleh kata “hitam”. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun ia tidak menunjuk ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa dimana semua tidak dapat kembali. Secara teoritis, lubang hitam dapat memliki ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati.

Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 oleh John Michell and Pierre-Simon Laplace, selanjutnya dikembangkan oleh astronom Jerman bernama Karl Schwarzschild pada tahun 1916 dengan berdasar pada teori relativitas umum dari Albert Einstein, dan semakin dipopulerkan oleh Stephen William Hawking. Pada saat ini banyak astronom seperti charis yang percaya bahwa hampir semua galaksi dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaksi.

John Archibald Wheeler pada tahun 1967 yang memberikan nama Lubang Hitam sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam, akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertarik/tersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh jutaan lubang hitam. (Hasan, Nailul, 2005)

2.4.1 Persamaan Geodesik

Jalur terpendek antara dua titik dalam ruang melengkung dapat ditemukan dengan menulis persamaan untuk panjang kurva, dan kemudian meminimalkan panjang ini menggunakan kalkulus variasi. Ini memiliki beberapa masalah teknis kecil, karena ada ruang dimensi yang tak terbatas. Diperlihatkan dalam gambar 2.3, andaikan kurva = menghubungkan titik A dan B dengan koordinat A dan B masing-masing diberikan oleh = dan = .

Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi Maka persamaan geodesik diberikan oleh

+ �

=

(2.26)

Penjumlahan pada indeks-indeks , = , , … , , dimana s adalah panjang busur dan adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika jaraknya konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya menjadi

(2.27)

2.4.2 Solusi Schwarzschild

Metrik ruang-waktu 4 dimensi dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola. Sebagai contoh ruang Minkowski dicirikan oleh koordinat xa = (x0, x1, x2, x3) = (t, r, θ, �).

Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh

= − + + � + � � (2.28)

Mengikuti penulisan Weinberg (1972), nilai c sementara diisikan sama dengan 1 sehingga metrik diatas menjadi

= − + + � + � � (2.29)

Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola

Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen gtt dan grr hanya

merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi

= − + + � + � � (2.30) dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah:

� = − , � = , ��� = , ��� = � (2.31) Dengan fungsi dan ingin didapatkan untuk menyelesaikan persamaan medan gravitasi. Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r →

∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik Minkowski dalam koordinat bola.

lim

→∞ = lim→∞ = (2.32)

Dengan syarat batas ini hubungan antara A (r) dan B (r) dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk

=

� (2.33)

Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat O, komponen � = − harus bernilai mendekati −(1+2U) dengan U adalah potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai = − . Jadi dapat ditulis sebagai

= − + = − (2.34)

dan juga,

= − − (2.35)

Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat bola adalah:

= − − + − − + θ + θ � (2.36) Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916. Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan kedalam persamaan, bentuk metrik Schwarzschild menjadi:

= − − + − − + θ + θ � (2.37)

Dengan = , (bersatuan panjang) maka metrik di atas menjadi:

= − − + − − + θ + θ � (2.38)

Dari persamaan (2.23) tampak bahwa metrik tersebut valid untuk

� =

=

(2.39)

Dengan: ds = Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.

α = Radius Schwarzschild

G = Tetapan gravitasi (6.673 10x −11 Newton m2/s2)

c = Kecepatan cahaya 3 x 108 m/s

Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah:

I. 2m < r < ∞ II. 0 < r < 2m

Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik r = 0 disebut titik singularitas intrinsik.

Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah:

1. Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat.

2. Partikel (termasuk cahaya) tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I (batas horizon peristiwa). Partikel/cahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa.

3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa (wilayah II) akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh. (Anugraha, R. 2005).

BAB I PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Albert Einstein melakukan perubahan besar terhadap hukum-hukum fisika saat dia mengemukakan teori relativitasnya. Dibentuk atas landasan ruang-waktu yang melengkung, teori gravitasi Einstein adalah teori yang mendominasi pada masa ini. Namun, teorinya memiliki berberapa kesulitan untuk mengatasi masalah seperti normalisasi, singularitas, keunikan energi medan gravitasi dan sebagainya. Disamping itu, kesulitan untuk memecahkan persamaan Einstein non-linier dari medan gravitasi. Hal ini menarik untuk membangun kembali teori gravitasi dalam ruang-waktu datar (flat space-time) tanpa adanya kesulitan. Sejak tahun 1940-an, banyak ilmuan telah mencoba dan banyak teori yang telah diusulkan. Teori-teori itu konsisten dengan kondisi medan yang lemah, tetapi hasilnya berbeda dalam medan yang kuat. Sementara itu, teori ini juga memiliki beberapa masalah yang sulit untuk diatasi.

Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik � dari kuadrat metriknya 2 ruang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein. Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Metrik Schwarzschil ini sangat berperan dalam memodifikasi rumus Newton menjadi lebih spesifik dengan mentransformasi kedalam ruang-waktu datar

Pada tahun 1943, E.A Milne menunjukkan bahwa persamaan Friedmann dari kosmologi dapat disimpulkan berdasarkan rumus gravitasi Newton. Ini berarti bahwa persamaan Friedmann ekuivalen dengan teori Newtonian. Jadi Newton dapat menjelaskan fenomena gerak planet di alam semesta. Dengan menemukan metode yang lebih tepat untuk menjelaskan masalah ini.

Dalam tugas akhir ini dibuktikan bahwa persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dalam ruang-waktu lengkung dapat di kontruksi dengan rumus Newton sehingga dihasilkan persamaan dinamika untuk menjelaskan presesi perihelion merkurius dan planet lainnya. Dan juga dengan mengubah persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dalam persamaan medan gravitasi Einstein dari ruang-waktu lengkung ke transformasi ruang-waktu datar, modifikasi rumus gravitasi Newton dapat diperoleh. Rumus ini lebih spesifik dari pada rumus gravitasi Newton klasik untuk menjelaskan gerak melingkar planet-planet yang mengelilingi pusat massa seperti bintang.

Oleh karena itu penulis akan mencoba untuk membahas dan menjabarkan cara mengkontruksi persamaan dari metrik Schwarschild hingga menemukan modifikasi rumus gravitasi Newton untuk menjelaskan gerak melingkar partikel, sehingga penelitian ini diberi judul “Modifikasi Rumus Gravitasi Newton dalam Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild”.

1.2 RUMUSAN MASALAH

Adapun rumusan masalah yang diajukan dalam penelitian skripsi ini adalah : 1. Bagaimana mengkontruksi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild

dalam ruang-waktu lengkung dan dibandingkan pada rumus gerak melingkar Newton.

2. Bagaimana memodifikasi rumus gravitasi Newton menggunakan solusi Schwarzschild dalam transformasi ruang-waktu datar dan menghitung efek relativistiknya.

1.3 BATASAN PENELITIAN

Adapun batasan masalah dalam penulisan skripsi ini adalah :

1. Penelitian ini dibatasi oleh modifikasi rumus gravitasi Newton dengan menggunakan solusi Schwarzschild.

2. Metode dasar analisis untuk modifikasi rumus gravitasi Newton dibatasi pada transformasi garis geodesik ruang-waktu datar

1.4 TUJUAN PENELITIAN

1. Untuk dapat memperoleh persamaan dinamika planet dengan menghitung presesi perihelionnya.

2. Untuk memperoleh rumus gravitasi Newton yang lebih spesifik yang dapat menjelaskan pergerakan objek mengelilingi massa pusat dengan baik. 1.5 MANFAAT PENELITIAN

Adapun manfaat penelitian dari tugas akhir ini adalah :

1. Untuk menambah wawasan bagi penulis maupun pembaca mengenai pemahaman persamaan dinamika objek dengan baik.

2. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberi konstribusi berupa revisi analisis rumus gravitasi Newton.

3. Dapat menjadi sumber pustaka bagi pihak terkait khususnya para peneliti di bidang fisika astronomi.

1.6 SISTEMATIKA PENULISAN

Sistematika penulisan masing-masing bab adalah sebagai berikut : BAB I : Pendahuluan

Bab ini berisi uraian mencakup latar belakang penelitian, permasalahan, batasan permasalahan, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : Tinjauan Pustaka

Bab ini berisi landasan teori yang berhubungan dengan penelitian BAB III : Metodologi Penelitian

Bab ini berisi uraian tentang metode yang digunakan dan diagram alir penelitian

BAB IV : Hasil dan Pembahasan

Bab ini berisi tentang hasil penelitian dan solusi dari permasalan penelitian

BAB V : Kesimpulan dan Saran

Menyimpulkan hasil-hasil yang didapat dari penelitian dan memberikan saran pada penelitian berikutnya.

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk mengetahui persamaan gerak objek yang mengeliling pusat massa. Metodologi yang digunakan adalah mengkonstruksi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild yang terdapat dalam persamaan medan gravitasi Einstein, lalu dibandingkan dengan rumus gerak Newton klasik maka didapat persamaan gerak untuk menjelaskan presesi perihelion planet dengan baik. Setelah itu, menstransformasi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dari ruang-waktu lengkung ke ruang-waktu datar. Lalu menghitung efek relativitasnya dan dihubungkan pada rumus gravitasi Newton klasik maka modifikasi rumus gravitasi Newton dapat di peroleh. Rumus ini dapat menjelaskan pergerakkan objek bermassa dalam medan gravitasi.

Kata Kunci : Relativitas Umum, Relativitas Khusus, Solusi Schwarzschild, Geodesik, Gravitasi Newton.

THE MODIFICATION OF NEWTON FORMULA OF GRAVITY AND EQUATION OF COSMOLOGY IN FLAT SPACE-TIME

TRANSFORMED USING SCHWARZSCHILD SOLUTION

ABSTRACT

This study aims to determine the equation of motion of the object that surrounds the center of mass. The method used is constructing geodesic equation in the Schwarzschild solution contained in Einstein's gravitational field equations, and then compared with the classical Newton's formula hence got the motion equations to explain the planet's perihelion precession as well. Afterward, by transforming geodesic equation in the Schwarzschild solution of curved time into space-time flat. Then calculate the effects of relativity and classical Newtonian gravity formula is connected hence got the modification of Newtonian gravity formula can be obtained. These equations can explain the movement of objects with mass in a gravitational field.

Keywords : General Relativity, Special Relativity, Schwarzschild Solution, Geodesic, Newton Gravity.

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

PIKO. M

110801068

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2016

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

PIKO. M 110801068

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2016

PERSETUJUAN

Judul : Modifikasi Rumus Gravitasi Newton dalam Transformasi Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild Kategori : Skripsi

Nama : Piko. M Nim : 110801068

Program Studi : Sarjana (S1) Fisika Departemen : Fisika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di

Medan, Juli 2016 Komisi Pembimbing :

Pembimbing I Pembimbing II

Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc NIP.197211152000121001 NIP. 196505171993031009

Disetujui Oleh:

Departemen Fisika FMIPA USU Ketua

Dr. Marhaposan Situmorang NIP. 195510301980031

PERNYATAAN

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2016

PIKO. M 110801068

PENGHARGAAN

Penulis memanjatkan atas puji dan dan syukur kepada Allah SWT. Tuhan Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang, sehingga berkat limpahan hidayah dan karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan dengan judul “Modifikasi Rumus Gravitasi Newton Dalam Transformasi Ruang-Waktu Datar Menggunakan Solusi Schwarzschild”. Shalawat dan salam senantiasa dicurahkan kepada junjungan alam Rasulullah SAW dan para sahabatnya sebagai petunjuk dalam menjalani kehidupan ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa dukungan dan kesempatan serta fasilitas dari berbagai pihak. Oleh karena, Penulis ingin mengucapkan terimakasih yang tulus kepada orang-orang yang telah memberi dukungan hingga selesainya skripsi ini.

1. Kepada kedua orangtua yang tak pernah lelah berdoa dan bekerja keras, selalu mengingatkan, memberi perhatian, kasih sayang dan pendidikan sehingga Penulis mampu meraih gelar sarjana sains. Bapak Marson dan Ibu Nurhelma juga kepada Kakak, Abang dan Adikku, Seprianes, Solvianes, Stepani, Hendru, Bobi, Lulu, Teguh, Alif yang telah memberi dukungan dan semangat yang sangat berharga. Dan tak lupa berterima kasih kepada Cindy yang mengisi hari-hari Penulis dan selalu mengingatkan, memberi perhatian dalam pengerjaan penelitian ini

2. Kepada Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Syahrul Humaidi, M.Sc selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

3. Kepada Bapak Prof. Dr. Runtung Sitepu, M.Hum selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, MS selaku Dekan Fakultas Matematika & Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.

5. Kepada Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika USU dan kepada Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta semua dosen departemen Fisika USU yang telah mendidik, iii

mengajarkan ilmu, etika, pemantapan moral kepada Penulis. Dan tak lupa kepada Bapak Dr. Bisman Perangin-angin, M.Eng, Sc selaku Dosen Pembimbing Akademik yang memberikan masukan dan nasehat selama mengikuti perkuliahan

6. Kepada Kak Tini, Bang Johaidin Saragih, dan Kak Yusfa selaku staff departemen fisika yang telah membantu dalam mengarahkan dan mengurus administrasi perkuliahan.

7. Kepada teman-teman seangkatan Fisika USU 2011 Fauzi, Fahmi, Darma, Khairuddin, Bambang, Zikri, Ali, Ichsan, Jihad dan juga yang lainnya yang tidak bisa disebutkan satu persatu oleh Penulis. Dan tidak lupa kepada Mahasiswa Fisika Teoritis seperjuangan Tirto, Adimas, Ferry dan Russell. 8. Kepada Abang senior Ikhwanuddin, Veros, Ajir, dan lainnya yang tidak bisa

disebutkan yang senantiasa menasehati dan mengarahkan. Kepada junior angkatan 2012, 2013 dan 2014 atas kata-kata semangat yang memotivasi penulis.

9. Kepada teman-teman dari organisasi SPACE Hendra, Ferry, Alfi, Ridwan, Gregorius, Erza, Fiqhi, Nico Berthi, Nisa, Vina, Vita, Mei, Ika, Lyana dan anggota lainnya yang telah mengisi waktu Penulis selama mengerjakan penelitian ini.

10.Kepada teman-teman LAMO FC LamZ, Pinto’O, B.Roone, Putyan, Cugik, Copi, Ipul, Rezi, Aim atas persahabatan dan hiburannya yang terus menguatkan Penulis dalam penelitian skripsi ini.

11.Kepada teman-teman kos HA14MDN Bg Andy, Bg. Budi, Bg. Ardy, Bg. Walat, Bg. Dayat, Bg. Pandi, Bg. Pandi Siantar, Bg. Adi, Bg. Ari, Bg. Rio, Bg. Erik, Yetno, Iqbal, Jimmy, Andy

12.Kepada Dunsanak Penulis Mak Tuo Anik, Bg Bambang, Kak Epi, Bg Rahman, Mak Tuo Edi, Bg Faisal, Bg. Aan, Atas segala bantuan dan bentuk dukunganya. 13.Kepada Bapak Xiachun Mei atas ketersediaan waktunya berdiskusi dan

memberikan ilmu yang sangat bermanfaat dalam pengerjaan penelitian ini. iv

Penulis menyadari bahwa penulisan Skripsi ini masih jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan dan ilmu yang dimiliki penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran- saran dari pembaca untuk menyempurnakan skripsi ini. Akhir kata semoga Skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Medan, Juli 2016

Penulis

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk mengetahui persamaan gerak objek yang mengeliling pusat massa. Metodologi yang digunakan adalah mengkonstruksi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild yang terdapat dalam persamaan medan gravitasi Einstein, lalu dibandingkan dengan rumus gerak Newton klasik maka didapat persamaan gerak untuk menjelaskan presesi perihelion planet dengan baik. Setelah itu, menstransformasi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dari ruang-waktu lengkung ke ruang-waktu datar. Lalu menghitung efek relativitasnya dan dihubungkan pada rumus gravitasi Newton klasik maka modifikasi rumus gravitasi Newton dapat di peroleh. Rumus ini dapat menjelaskan pergerakkan objek bermassa dalam medan gravitasi.

Kata Kunci : Relativitas Umum, Relativitas Khusus, Solusi Schwarzschild, Geodesik, Gravitasi Newton.

THE MODIFICATION OF NEWTON FORMULA OF GRAVITY AND EQUATION OF COSMOLOGY IN FLAT SPACE-TIME

TRANSFORMED USING SCHWARZSCHILD SOLUTION

ABSTRACT

This study aims to determine the equation of motion of the object that surrounds the center of mass. The method used is constructing geodesic equation in the Schwarzschild solution contained in Einstein's gravitational field equations, and then compared with the classical Newton's formula hence got the motion equations to explain the planet's perihelion precession as well. Afterward, by transforming geodesic equation in the Schwarzschild solution of curved time into space-time flat. Then calculate the effects of relativity and classical Newtonian gravity formula is connected hence got the modification of Newtonian gravity formula can be obtained. These equations can explain the movement of objects with mass in a gravitational field.

Keywords : General Relativity, Special Relativity, Schwarzschild Solution, Geodesic, Newton Gravity.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ……….. i

Pernyataan ……… ………... ii

Penghargaan ………... iii

Abstrak ………... vi

Abstract ………... vii

Daftar Isi ………... viii

Daftar Gambar ………... x

Bab 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ……….. 1

1.2 Rumusan Masalah ………. 2

1.3 Batasan Masalah ………... 2

1.4 Tujuan Penelitian ……….. 2

1.5 Manfaat Penelitian ……… 3

1.6 Sistematia Penulisan ..………... 3

Bab 2. Tinjauan Pustaka 2.1 Teori Gravitasi Newton ...………. 4

2.1.1 Hukum Gravitasi Newton ………....……….. 4

2.1.2 Kecepatan Melintang dan Radial Planet ……… 6

2.2 Teori Relativitas Einstein ………. 7

2.2.1 Teori Relativitas Khusus (TRK) ………... 8

2.2.1.1 Transformasi Lorentz ……… 9

2.2.2 Teori Relativitas Umum (TRU) ……… 11

2.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Medan Einstein ...……… 12

2.3 Pengenalan Ruang Datar dan Lengkung ………... 12

2.4 Metrik Schwarzschild ……….……….. 14

2.4.1 Persamaan Geodesik ……… 15 viii

2.4.2 Solusi Schwarzschild ……… 16 Bab 3. Metode Penelitian

3.1 Rancangan Penelitian ………... 19 3.2 Diagram Alir Penelitian ………... 20

Bab 4. Hasil dan Pembahasan

4.1 Pergerakan Objek dalam Medan Gravitasi ………... 21 4.2 Modifikasi Rumus Gravitasi Newton ………. 25 Bab 5. Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan ………... 29 5.2 Saran ……… 30

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN :

A. LAMPIRAN A ... ix B. LAMPIRAN B ... 32

LAMPIRAN A : KETERANGAN VARIABEL

besar gaya gravitasi antara dua objek (kg/m.s2₎ massa pusat objek (kg)

massa yang lebih kecil mengelilingi massa M (kg) massa diam objek (kg)

jarak antara kedua objek (m)

tetapan gravitasi (6.673 10x −11 Newton m2/s2)

L momentum sudut (kg m2/s)

aR percepatan objek dalam radial

aT percepatan objek dalam lintang

α GM c⁄ , radius Schwarzschild

E energi total

V kecepatan objek

Vφ kecepatan objek dalam koordinat lintang

Vr kecepatan objek dalam koordinat radial

�, , � merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks

ds jarak terdekat peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.

c kecepatan cahaya ( 2,99792 × 108 m/s ≈ 3 × 108 m/s ).

dτ waktu eigen

dt koordinat waktu

dr koordinat radial

dφ koordinat lintang dalam radian

dθ koordinat bujur dari utara dalam radian

� lambang Christoffel

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Menunjukkan konstruksi geometri untuk menentukan

percepatan melintang dan radial planet ………..6

Gambar 2.2. Kerangka S’ bergerak dalam arah +x dengan kelajuan v relatif terhadap kerangka S ………...……….9

Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……….14

Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……….15

Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi ………..16

Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola ………..17

Gambar 4.1 Dinamika Presesi Perihelion Planet ………..25

Gambar 4.2 Sistem pergerakan partikel mengelilingi pusat massa ………..28 x

MODIFIKASI RUMUS GRAVITASI NEWTON DALAM

TRANSFORMASI RUANG-WAKTU DATAR MENGGUNAKAN SOLUSI SCHWARZSCHILD

ABSTRAK

Kajian ini bertujuan untuk mengetahui persamaan gerak objek yang mengeliling pusat massa. Metodologi yang digunakan adalah mengkonstruksi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild yang terdapat dalam persamaan medan gravitasi Einstein, lalu dibandingkan dengan rumus gerak Newton klasik maka didapat persamaan gerak untuk menjelaskan presesi perihelion planet dengan baik. Setelah itu, menstransformasi persamaan geodesik pada solusi Schwarzschild dari ruang-waktu lengkung ke ruang-waktu datar. Lalu menghitung efek relativitasnya dan dihubungkan pada rumus gravitasi Newton klasik maka modifikasi rumus gravitasi Newton dapat di peroleh. Rumus ini dapat menjelaskan pergerakkan objek bermassa dalam medan gravitasi.

Kata Kunci : Relativitas Umum, Relativitas Khusus, Solusi Schwarzschild, Geodesik, Gravitasi Newton.

vi

THE MODIFICATION OF NEWTON FORMULA OF GRAVITY AND EQUATION OF COSMOLOGY IN FLAT SPACE-TIME

TRANSFORMED USING SCHWARZSCHILD SOLUTION

ABSTRACT

This study aims to determine the equation of motion of the object that surrounds the center of mass. The method used is constructing geodesic equation in the Schwarzschild solution contained in Einstein's gravitational field equations, and then compared with the classical Newton's formula hence got the motion equations to explain the planet's perihelion precession as well. Afterward, by transforming geodesic equation in the Schwarzschild solution of curved time into space-time flat. Then calculate the effects of relativity and classical Newtonian gravity formula is connected hence got the modification of Newtonian gravity formula can be obtained. These equations can explain the movement of objects with mass in a gravitational field.

Keywords : General Relativity, Special Relativity, Schwarzschild Solution, Geodesic, Newton Gravity.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ……….. i

Pernyataan ……… ………... ii

Penghargaan ………... iii

Abstrak ………... vi

Abstract ………... vii

Daftar Isi ………... viii

Daftar Gambar ………... x

Bab 1. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ……….. 1

1.2 Rumusan Masalah ………. 2

1.3 Batasan Masalah ………... 2

1.4 Tujuan Penelitian ……….. 2

1.5 Manfaat Penelitian ……… 3

1.6 Sistematia Penulisan ..………... 3

Bab 2. Tinjauan Pustaka 2.1 Teori Gravitasi Newton ...………. 4

2.1.1 Hukum Gravitasi Newton ………....……….. 4

2.1.2 Kecepatan Melintang dan Radial Planet ……… 6

2.2 Teori Relativitas Einstein ………. 7

2.2.1 Teori Relativitas Khusus (TRK) ………... 8

2.2.1.1 Transformasi Lorentz ……… 9

2.2.2 Teori Relativitas Umum (TRU) ……… 11

2.2.2.1 Bentuk Umum Persamaan Medan Einstein ...……… 12

2.3 Pengenalan Ruang Datar dan Lengkung ………... 12

2.4 Metrik Schwarzschild ……….……….. 14

2.4.1 Persamaan Geodesik ……… 15 viii

2.4.2 Solusi Schwarzschild ……… 16 Bab 3. Metode Penelitian

3.1 Rancangan Penelitian ………... 19 3.2 Diagram Alir Penelitian ………... 20

Bab 4. Hasil dan Pembahasan

4.1 Pergerakan Objek dalam Medan Gravitasi ………... 21 4.2 Modifikasi Rumus Gravitasi Newton ………. 25 Bab 5. Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan ………... 29

5.2 Saran ……… 30

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN :

A. LAMPIRAN A ... ix B. LAMPIRAN B ... 32

LAMPIRAN A : KETERANGAN VARIABEL

besar gaya gravitasi antara dua objek (kg/m.s2₎ massa pusat objek (kg)

massa yang lebih kecil mengelilingi massa M (kg) massa diam objek (kg)

jarak antara kedua objek (m)

tetapan gravitasi (6.673 10x −11 Newton m2/s2) L momentum sudut (kg m2/s)

aR percepatan objek dalam radial

aT percepatan objek dalam lintang α GM c⁄ , radius Schwarzschild E energi total

V kecepatan objek

Vφ kecepatan objek dalam koordinat lintang Vr kecepatan objek dalam koordinat radial

�, , � merupakan besaran yang bukan tensor karena tidak memiliki indeks ds jarak terdekat peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.

c kecepatan cahaya ( 2,99792 × 108 m/s ≈ 3 × 108 m/s ).

dτ waktu eigen dt koordinat waktu dr koordinat radial

dφ koordinat lintang dalam radian

dθ koordinat bujur dari utara dalam radian � lambang Christoffel

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1. Menunjukkan konstruksi geometri untuk menentukan

percepatan melintang dan radial planet ………..6

Gambar 2.2. Kerangka S’ bergerak dalam arah +x dengan kelajuan v relatif terhadap kerangka S ………...……….9

Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……….14

Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi (a) datar dan (b) lengkung ……….15

Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi ………..16

Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola ………..17

Gambar 4.1 Dinamika Presesi Perihelion Planet ………..25

Gambar 4.2 Sistem pergerakan partikel mengelilingi pusat massa ………..28 x