materi 4 diferensiasi numerik
Pertemuan 4
Diferensiasi Numerik
Daftar Isi:
1. Tujuan Perkuliahan
2. Pendahuluan
3. Metoda Newton Forward Difference
4. Aplikasi Newton Forward Difference
5. Metoda Newton Backward Difference
6. Aplikasi Newton Backward Difference
7. Latihan
8. Kesimpulan
1.
Tujuan Perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini, diharapkan mahasiswa:
Mengetahui konstruksi table differensiasi
Dapat mencari turunan persamaan differensial dengan metoda Newton Forward Difference dan
Newton Backward Difference
2.
Pendahuluan
Tinjau fungsi = �
yang nilai , , , ,…. � bergantung pada nilai , , , ,… � . Sekarang
kita akan mencari nilai turunan dari = � untuk = � yang diberikan. Jika turunan yang diperlukan
berada dekat dengan nilai awal pada table, yaitu, jika nilai x nya berada di antara
dan , kita
menggunakan metoda Newton forward. Jika turunan yang diperlukan berada dekat dengan nilai akhir pada
table, yaitu, jika nilai x nya berada di antara �− dan � , kita menggunakan metoda Newton backward.
3.
Metoda Newton Forward Difference
Misalkan tabel berikut merepresentasikan set nilai dari x dan y
:
:
…
…
…
…
�
�
Dari table di atas, kita ingin mencari turunan dari = �
yang melewati (n+1) titik, pada titik yang lebih
dekat ke nilai awal = .
Persa aa Newto ’s Forward Differe e adalah se agai erikut:
−
−
−
∆
+
∆
+⋯
+ ℎ = + ∆ +
!
!
Dengan: y(x) adalah persamaan polynomial derajat n dalam x,
Dan ∆
,∆
dan ∆
−
ℎ
diperoleh dari table diferensiasi.
=
Kemudian y(x) tersebut diturunkan terhadap x dengan cara:
�
= {∆ − ∆
+ ∆
�
ℎ
�
= {∆
−∆
+
∆
�
ℎ
4.
+⋯}
− ⋯}
Aplikasi Metoda Newton’s Forward Difference
Cari dua turunan pertama dari
:
:
50
3.6840
/
51
3.7084
pada x = 50 dengan table yang diberikan berikut:
52
3.7325
53
3.7563
54
3.7798
55
3.8030
56
3.8259
Solusi:
Tahap 1: tuliskan persamaannya
�
= {∆
ℎ
�
− ∆
+ ∆
�
= {∆
−∆
+
ℎ
�
Tahap 2: buat table diferensiasi untuk mencari nilai- ilai Δ
∆
50
3.6840
(3.7084-3.6840)
∆
+⋯}
− ⋯}
∆
∆
=0.0244
51
3.7084
52
3.7325
-0.0003
0.0241
0
-0.0003
0.0238
53
0
3.7563
-0.0003
0.0235
54
3.7798
55
3.8030
0
-0.0003
0.0232
0
-0.0003
0.0229
56
De ga
3.8259
e ggu aka persa aa Newto ’s forward:
�
�
=[ ]
= {∆
[ ]
� =
ℎ
� �=�0
− ∆
+ ∆
+⋯}
[
5.
�
�
=
]
�=�0
{ .
=
ℎ
−
{∆
− .
−∆
+
}= .
+⋯} =
[− .
]=− .
Metoda Newton’s Backward Difference
Misalkan tabel berikut merepresentasikan set nilai dari x dan y
…
…
:
:
Dari table di atas, kita ingin mencari turunan dari
dekat ke nilai akhir = � .
=�
�
�
yang melewati (n+1) titik, pada titik yang lebih
Persa aa Newto ’s Ba kward Differe e adalah se agai erikut:
+
+
∆ �+
� + ℎ = � + ∆ � +
!
Dengan: y(x) adalah persamaan polynomial derajat n dalam x,
� −
=
ℎ
Dan ∆ � , ∆ � dan ∆ � diperoleh dari table diferensiasi.
Kemudian y(x) tersebut diturunkan terhadap x dengan cara:
�
= {∆ � + ∆ � + ∆
ℎ
�
�
= {∆ � + ∆ � +
∆
�
ℎ
6.
…
…
�
!
+
∆
�
+⋯
+ ⋯}
�
+⋯}
Aplikasi Metoda Newton’s Backward Difference
Cari dua turunan pertama dari
:
:
50
3.6840
/
pada x = 50 dengan table yang diberikan berikut:
51
3.7084
52
3.7325
53
3.7563
54
3.7798
Solusi:
Tahap 1: tuliskan persamaannya
�
�
�
= {∆
�
ℎ
=
ℎ
{∆
�
+ ∆
�
+∆
�
�
+ ∆
+
∆
�
+ ⋯}
�
+⋯}
55
3.8030
56
3.8259
Tahap 2: buat table diferensiasi untuk mencari nilai- ilai Δ
∆ �
50
3.6840
(3.7084-3.6840)
∆
∆
�
�
=0.0244
51
3.7084
-0.0003
0.0241
52
0
3.7325
-0.0003
0.0238
53
0
3.7563
-0.0003
0.0235
54
3.7798
55
3.8030
0
-0.0003
0.0232
0
-0.0003
0.0229
56
3.8259
De ga
e ggu aka persa aa Newto ’s forward:
�
�
[ ]
=[ ]
= {∆
� �=��
� =
ℎ
[
7.
�
�
=
]
�=
{ .
=
ℎ
99 +
{∆
− .
+∆
�
+ ∆
+
�
+ ∆
�
}= .
+ ⋯ } = [− .
+⋯}
7
]=− .
Latihan
Diberikan table y = f(x) sebagai berikut:
X
f(x)
3
-14
3.2
-10.32
3.4
-5.296
3.6
-0.256
3.8
6.672
4
14
Berdasarkan table di atas, carilah nilai turunan pertama dan kedua dari:
1.
2.
8.
x=3
x=4
Kesimpulan
Pada perkuliahan ini kita sudah membahas metoda Newto ’s forward da
mencari turunan pertama dan kedua persamaan differensial.
a kward differe e u tuk
Diferensiasi Numerik
Daftar Isi:
1. Tujuan Perkuliahan
2. Pendahuluan
3. Metoda Newton Forward Difference
4. Aplikasi Newton Forward Difference
5. Metoda Newton Backward Difference
6. Aplikasi Newton Backward Difference
7. Latihan
8. Kesimpulan
1.
Tujuan Perkuliahan
Setelah mengikuti perkuliahan ini, diharapkan mahasiswa:
Mengetahui konstruksi table differensiasi
Dapat mencari turunan persamaan differensial dengan metoda Newton Forward Difference dan
Newton Backward Difference
2.
Pendahuluan
Tinjau fungsi = �
yang nilai , , , ,…. � bergantung pada nilai , , , ,… � . Sekarang
kita akan mencari nilai turunan dari = � untuk = � yang diberikan. Jika turunan yang diperlukan
berada dekat dengan nilai awal pada table, yaitu, jika nilai x nya berada di antara
dan , kita
menggunakan metoda Newton forward. Jika turunan yang diperlukan berada dekat dengan nilai akhir pada
table, yaitu, jika nilai x nya berada di antara �− dan � , kita menggunakan metoda Newton backward.
3.
Metoda Newton Forward Difference
Misalkan tabel berikut merepresentasikan set nilai dari x dan y
:
:
…
…
…
…
�
�
Dari table di atas, kita ingin mencari turunan dari = �
yang melewati (n+1) titik, pada titik yang lebih
dekat ke nilai awal = .
Persa aa Newto ’s Forward Differe e adalah se agai erikut:
−
−
−
∆
+
∆
+⋯
+ ℎ = + ∆ +
!
!
Dengan: y(x) adalah persamaan polynomial derajat n dalam x,
Dan ∆
,∆
dan ∆
−
ℎ
diperoleh dari table diferensiasi.
=
Kemudian y(x) tersebut diturunkan terhadap x dengan cara:
�
= {∆ − ∆
+ ∆
�
ℎ
�
= {∆
−∆
+
∆
�
ℎ
4.
+⋯}
− ⋯}
Aplikasi Metoda Newton’s Forward Difference
Cari dua turunan pertama dari
:
:
50
3.6840
/
51
3.7084
pada x = 50 dengan table yang diberikan berikut:
52
3.7325
53
3.7563
54
3.7798
55
3.8030
56
3.8259
Solusi:
Tahap 1: tuliskan persamaannya
�
= {∆
ℎ
�
− ∆
+ ∆
�
= {∆
−∆
+
ℎ
�
Tahap 2: buat table diferensiasi untuk mencari nilai- ilai Δ
∆
50
3.6840
(3.7084-3.6840)
∆
+⋯}
− ⋯}
∆
∆
=0.0244
51
3.7084
52
3.7325
-0.0003
0.0241
0
-0.0003
0.0238
53
0
3.7563
-0.0003
0.0235
54
3.7798
55
3.8030
0
-0.0003
0.0232
0
-0.0003
0.0229
56
De ga
3.8259
e ggu aka persa aa Newto ’s forward:
�
�
=[ ]
= {∆
[ ]
� =
ℎ
� �=�0
− ∆
+ ∆
+⋯}
[
5.
�
�
=
]
�=�0
{ .
=
ℎ
−
{∆
− .
−∆
+
}= .
+⋯} =
[− .
]=− .
Metoda Newton’s Backward Difference
Misalkan tabel berikut merepresentasikan set nilai dari x dan y
…
…
:
:
Dari table di atas, kita ingin mencari turunan dari
dekat ke nilai akhir = � .
=�
�
�
yang melewati (n+1) titik, pada titik yang lebih
Persa aa Newto ’s Ba kward Differe e adalah se agai erikut:
+
+
∆ �+
� + ℎ = � + ∆ � +
!
Dengan: y(x) adalah persamaan polynomial derajat n dalam x,
� −
=
ℎ
Dan ∆ � , ∆ � dan ∆ � diperoleh dari table diferensiasi.
Kemudian y(x) tersebut diturunkan terhadap x dengan cara:
�
= {∆ � + ∆ � + ∆
ℎ
�
�
= {∆ � + ∆ � +
∆
�
ℎ
6.
…
…
�
!
+
∆
�
+⋯
+ ⋯}
�
+⋯}
Aplikasi Metoda Newton’s Backward Difference
Cari dua turunan pertama dari
:
:
50
3.6840
/
pada x = 50 dengan table yang diberikan berikut:
51
3.7084
52
3.7325
53
3.7563
54
3.7798
Solusi:
Tahap 1: tuliskan persamaannya
�
�
�
= {∆
�
ℎ
=
ℎ
{∆
�
+ ∆
�
+∆
�
�
+ ∆
+
∆
�
+ ⋯}
�
+⋯}
55
3.8030
56
3.8259
Tahap 2: buat table diferensiasi untuk mencari nilai- ilai Δ
∆ �
50
3.6840
(3.7084-3.6840)
∆
∆
�
�
=0.0244
51
3.7084
-0.0003
0.0241
52
0
3.7325
-0.0003
0.0238
53
0
3.7563
-0.0003
0.0235
54
3.7798
55
3.8030
0
-0.0003
0.0232
0
-0.0003
0.0229
56
3.8259
De ga
e ggu aka persa aa Newto ’s forward:
�
�
[ ]
=[ ]
= {∆
� �=��
� =
ℎ
[
7.
�
�
=
]
�=
{ .
=
ℎ
99 +
{∆
− .
+∆
�
+ ∆
+
�
+ ∆
�
}= .
+ ⋯ } = [− .
+⋯}
7
]=− .
Latihan
Diberikan table y = f(x) sebagai berikut:
X
f(x)
3
-14
3.2
-10.32
3.4
-5.296
3.6
-0.256
3.8
6.672
4
14
Berdasarkan table di atas, carilah nilai turunan pertama dan kedua dari:
1.
2.
8.
x=3
x=4
Kesimpulan
Pada perkuliahan ini kita sudah membahas metoda Newto ’s forward da
mencari turunan pertama dan kedua persamaan differensial.
a kward differe e u tuk