4 Intergrasi Numerik
Metode Numerik (IT 402)
Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana
Bagian 4
INTEGRASI NUMERIK
ATURAN TRAPESIUM & SIMPSON
ALZ DANNY WOWOR
Thursday, July 26, 2012
Masalah Luas
Integral salah satu kegunaannya untuk menghitung luas dibawah kurva
y = f(x), dangan batasan x = a sampai x = b.
2
Thursday, July 26, 2012
Luasan diperoleh dari jumlahan Reimann. Dimana jumlahan Reimann
diperoleh dari jumlah luas persegi panjang penghampir.
Dengan notasi sigma:
3
Thursday, July 26, 2012
Sehingga dapat diperoleh Luasan dari untuk integral tentu adalah
4
Thursday, July 26, 2012
Integrasi Numerik
Integrasi numerik dipakai apabila kondisi dalam perhitungan analiDk
sulit (atau bahkan Ddak mungkin) untuk memperoleh hasil integral
(anDturunan).
SeperD pada integral berikut
5
Thursday, July 26, 2012
atau sulitnya menghitung integral berikut secara eksak, seperD;
Situasi kedua muncul keDka fungsi ditentukan dari suatu percobaan
ilmiah melalui pembacaan instrumen atau pengumpulan data.
Mungkin Ddak terdapat rumus untuk fungsi tersebut.
6
Thursday, July 26, 2012
✴ Dari kedua kasus ini, maka perlu menggunakan integral hampiran
dari integal tentu.
✴ Yang akan dibahas dalam integrasi hampiran (integral numerik)
adalah:
1. TiDk Ujung Kiri & Kanan
2. TiDk Tengah
3. Aturan Trapesium
4. Aturan Simpson
7
Thursday, July 26, 2012
1. Titik Ujung Kiri & Kanan
Thursday, July 26, 2012
Diberikan fungsi f(x) dengan selang tertutup [a, b].
Misalkan dibagi [a, b] dalam n selang bagian dengan panjang yang sama
∆x = (b − a)/ n, maka diperoleh
9
Thursday, July 26, 2012
Aproksimasi Titik Ujung Kiri
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kiri persegi
panjang dari sebuah parDsi.
10
Thursday, July 26, 2012
Jika x*i dipilih sebagai DDk ujung kirir dari interval , maka x*i = xi‐1 dan
diperoleh
(1)
11
Thursday, July 26, 2012
Aproksimasi Titik Ujung Kanan
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kanan persegi
panjang dari sebuah parDsi.
12
Thursday, July 26, 2012
Jika dipilih x*i sebagai DDk ujung kanan, maka x*i = xi dan diperoleh
(2)
13
Thursday, July 26, 2012
Aturan Titik Tengah
Thursday, July 26, 2012
Metode hampiran integral ini mengambil x*i sebagai DDk tengah
dari sub‐interval [xi‐1, xi].
15
Thursday, July 26, 2012
16
Thursday, July 26, 2012
Contoh 1
Gunakan aturan DDk tengah dengan n = 5, untuk mengaproksimasi
integral
17
Thursday, July 26, 2012
Pembahasan (Contoh 1)
Dengan DDk tengah diperoleh 5 subinterval: 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, dan 1.9,
18
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh
19
Thursday, July 26, 2012
Aturan Trapesium
Thursday, July 26, 2012
Pandang sebuah bagian berbentuk trapesium dari x = a sampai x = b
berikut
Luas trapesium adalah:
21
Thursday, July 26, 2012
Bila diambil f(x) ≥ 0. Luas trapesium yang terletak di atas selang bagian
ke‐i adalah:
22
Thursday, July 26, 2012
Aturan Trapesium dapat juga diperoleh dengan dari rata‐rata hampiran
dari aturan DDk ujung kiri dan kanan, maka diperoleh:
23
Thursday, July 26, 2012
Secara umum aturan Trapesium diperoleh:
24
Thursday, July 26, 2012
Contoh 2
Gunakan aturan trapesium dengan n = 5, untuk mengaproksimasi
integral
25
Thursday, July 26, 2012
Pembahasan (Contoh 2)
Diketahui n = 5, a = 1, and b = 2, sehingga ∆x = (2−1)/5 = 0.2.
26
Thursday, July 26, 2012
dengan n = 5, a = 1, dan b = 2,
∆x = (2−1)/5 = 0.2, dan dengan aturan Trapesium
27
Thursday, July 26, 2012
Error aproksimasi
Pada contoh 1 dan contoh 2, dapat dicari galat dari aturan trapesium
(ET) dan galat dari aturan DDk tengah (EM),
28
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh
Sehingga eror untuk aturan Trapesium dan DDk tengah dengan n = 5
adalah:
29
Thursday, July 26, 2012
Selanjutnya untuk n = 5, 10, dan 20, untuk metode ujung DDk kiri,
ujjung DDk kanan, trapesium dan DDk tengah diperoleh:
30
Thursday, July 26, 2012
Dan eror (galat) dari ke‐empat metode
31
Thursday, July 26, 2012
Aturan Simpson
Teknik aproksimasi pada integral adalah aturan Simpson, yang
menggunakan parabola untuk menggan7kan garis dalam menghampiri
kurva.
•
Sebelumnya, dibagi [a, b] menjadi n subinterval yang lebarnya sama
h = ∆x = (b − a)/n, tetapi untuk teknik ini diasumsikan bahwa n
adalah sebuah bilangan genap.
32
Thursday, July 26, 2012
Pada seDap selang dihampiri dengan kurva y = f (x) ≥ 0 dengan
sebuah parabola, yang ditunjukan pada gambar beriktut.
33
Thursday, July 26, 2012
Jika dihitung luas‐luas dibawah parabola, dan dijumlahkan hasilnya
maka diperoleh:
Perha,kan koefisiennya: 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, . . . , 4, 2, 4, 1.
34
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh aturan Simpson:
35
Thursday, July 26, 2012
Contoh 2
Gunakan aturan simpson dengan n = 10, untuk mengaproksimasi
integral
36
Thursday, July 26, 2012
SOLUTION
Diketahui f(x) = 1/x, n=10, dan ∆x = 0.1, dengan aturan Simpson,
37
Thursday, July 26, 2012
Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana
Bagian 4
INTEGRASI NUMERIK
ATURAN TRAPESIUM & SIMPSON
ALZ DANNY WOWOR
Thursday, July 26, 2012
Masalah Luas
Integral salah satu kegunaannya untuk menghitung luas dibawah kurva
y = f(x), dangan batasan x = a sampai x = b.
2
Thursday, July 26, 2012
Luasan diperoleh dari jumlahan Reimann. Dimana jumlahan Reimann
diperoleh dari jumlah luas persegi panjang penghampir.
Dengan notasi sigma:
3
Thursday, July 26, 2012
Sehingga dapat diperoleh Luasan dari untuk integral tentu adalah
4
Thursday, July 26, 2012
Integrasi Numerik
Integrasi numerik dipakai apabila kondisi dalam perhitungan analiDk
sulit (atau bahkan Ddak mungkin) untuk memperoleh hasil integral
(anDturunan).
SeperD pada integral berikut
5
Thursday, July 26, 2012
atau sulitnya menghitung integral berikut secara eksak, seperD;
Situasi kedua muncul keDka fungsi ditentukan dari suatu percobaan
ilmiah melalui pembacaan instrumen atau pengumpulan data.
Mungkin Ddak terdapat rumus untuk fungsi tersebut.
6
Thursday, July 26, 2012
✴ Dari kedua kasus ini, maka perlu menggunakan integral hampiran
dari integal tentu.
✴ Yang akan dibahas dalam integrasi hampiran (integral numerik)
adalah:
1. TiDk Ujung Kiri & Kanan
2. TiDk Tengah
3. Aturan Trapesium
4. Aturan Simpson
7
Thursday, July 26, 2012
1. Titik Ujung Kiri & Kanan
Thursday, July 26, 2012
Diberikan fungsi f(x) dengan selang tertutup [a, b].
Misalkan dibagi [a, b] dalam n selang bagian dengan panjang yang sama
∆x = (b − a)/ n, maka diperoleh
9
Thursday, July 26, 2012
Aproksimasi Titik Ujung Kiri
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kiri persegi
panjang dari sebuah parDsi.
10
Thursday, July 26, 2012
Jika x*i dipilih sebagai DDk ujung kirir dari interval , maka x*i = xi‐1 dan
diperoleh
(1)
11
Thursday, July 26, 2012
Aproksimasi Titik Ujung Kanan
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kanan persegi
panjang dari sebuah parDsi.
12
Thursday, July 26, 2012
Jika dipilih x*i sebagai DDk ujung kanan, maka x*i = xi dan diperoleh
(2)
13
Thursday, July 26, 2012
Aturan Titik Tengah
Thursday, July 26, 2012
Metode hampiran integral ini mengambil x*i sebagai DDk tengah
dari sub‐interval [xi‐1, xi].
15
Thursday, July 26, 2012
16
Thursday, July 26, 2012
Contoh 1
Gunakan aturan DDk tengah dengan n = 5, untuk mengaproksimasi
integral
17
Thursday, July 26, 2012
Pembahasan (Contoh 1)
Dengan DDk tengah diperoleh 5 subinterval: 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, dan 1.9,
18
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh
19
Thursday, July 26, 2012
Aturan Trapesium
Thursday, July 26, 2012
Pandang sebuah bagian berbentuk trapesium dari x = a sampai x = b
berikut
Luas trapesium adalah:
21
Thursday, July 26, 2012
Bila diambil f(x) ≥ 0. Luas trapesium yang terletak di atas selang bagian
ke‐i adalah:
22
Thursday, July 26, 2012
Aturan Trapesium dapat juga diperoleh dengan dari rata‐rata hampiran
dari aturan DDk ujung kiri dan kanan, maka diperoleh:
23
Thursday, July 26, 2012
Secara umum aturan Trapesium diperoleh:
24
Thursday, July 26, 2012
Contoh 2
Gunakan aturan trapesium dengan n = 5, untuk mengaproksimasi
integral
25
Thursday, July 26, 2012
Pembahasan (Contoh 2)
Diketahui n = 5, a = 1, and b = 2, sehingga ∆x = (2−1)/5 = 0.2.
26
Thursday, July 26, 2012
dengan n = 5, a = 1, dan b = 2,
∆x = (2−1)/5 = 0.2, dan dengan aturan Trapesium
27
Thursday, July 26, 2012
Error aproksimasi
Pada contoh 1 dan contoh 2, dapat dicari galat dari aturan trapesium
(ET) dan galat dari aturan DDk tengah (EM),
28
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh
Sehingga eror untuk aturan Trapesium dan DDk tengah dengan n = 5
adalah:
29
Thursday, July 26, 2012
Selanjutnya untuk n = 5, 10, dan 20, untuk metode ujung DDk kiri,
ujjung DDk kanan, trapesium dan DDk tengah diperoleh:
30
Thursday, July 26, 2012
Dan eror (galat) dari ke‐empat metode
31
Thursday, July 26, 2012
Aturan Simpson
Teknik aproksimasi pada integral adalah aturan Simpson, yang
menggunakan parabola untuk menggan7kan garis dalam menghampiri
kurva.
•
Sebelumnya, dibagi [a, b] menjadi n subinterval yang lebarnya sama
h = ∆x = (b − a)/n, tetapi untuk teknik ini diasumsikan bahwa n
adalah sebuah bilangan genap.
32
Thursday, July 26, 2012
Pada seDap selang dihampiri dengan kurva y = f (x) ≥ 0 dengan
sebuah parabola, yang ditunjukan pada gambar beriktut.
33
Thursday, July 26, 2012
Jika dihitung luas‐luas dibawah parabola, dan dijumlahkan hasilnya
maka diperoleh:
Perha,kan koefisiennya: 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, . . . , 4, 2, 4, 1.
34
Thursday, July 26, 2012
Sehingga diperoleh aturan Simpson:
35
Thursday, July 26, 2012
Contoh 2
Gunakan aturan simpson dengan n = 10, untuk mengaproksimasi
integral
36
Thursday, July 26, 2012
SOLUTION
Diketahui f(x) = 1/x, n=10, dan ∆x = 0.1, dengan aturan Simpson,
37
Thursday, July 26, 2012