4 Intergrasi Numerik

Metode Numerik (IT 402)
Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 4

INTEGRASI NUMERIK
ATURAN TRAPESIUM & SIMPSON

ALZ DANNY WOWOR

Thursday, July 26, 2012

Masalah Luas
Integral salah satu kegunaannya untuk menghitung luas dibawah kurva 
y = f(x), dangan batasan x = a  sampai  x = b.

2

Thursday, July 26, 2012

Luasan diperoleh dari jumlahan Reimann. Dimana jumlahan Reimann 

diperoleh dari jumlah luas persegi panjang penghampir.

Dengan notasi sigma:

3

Thursday, July 26, 2012

Sehingga dapat diperoleh Luasan dari untuk integral tentu adalah

4

Thursday, July 26, 2012

Integrasi Numerik
Integrasi numerik dipakai apabila kondisi dalam perhitungan analiDk 
sulit (atau bahkan Ddak mungkin) untuk memperoleh hasil integral 
(anDturunan).
SeperD pada integral berikut

5

Thursday, July 26, 2012

atau sulitnya menghitung integral berikut secara eksak, seperD;

Situasi kedua muncul keDka fungsi ditentukan dari suatu percobaan 
ilmiah melalui pembacaan instrumen atau pengumpulan data.
 

Mungkin Ddak terdapat rumus untuk fungsi tersebut.

6

Thursday, July 26, 2012

✴ Dari kedua kasus ini, maka perlu menggunakan integral hampiran 

dari integal tentu.
✴ Yang  akan  dibahas  dalam  integrasi  hampiran  (integral  numerik) 

adalah: 
1. TiDk Ujung Kiri & Kanan
2. TiDk Tengah
3. Aturan Trapesium
4. Aturan Simpson

7

Thursday, July 26, 2012

1. Titik Ujung Kiri & Kanan
Thursday, July 26, 2012

Diberikan fungsi f(x) dengan selang tertutup [a, b].

Misalkan dibagi [a, b] dalam n selang bagian dengan panjang yang sama  
∆x = (b − a)/ n, maka diperoleh

9

Thursday, July 26, 2012

Aproksimasi Titik Ujung Kiri
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kiri persegi 
panjang dari sebuah parDsi.

10

Thursday, July 26, 2012

Jika x*i  dipilih sebagai DDk ujung kirir dari interval , maka x*i = xi‐1 dan 
diperoleh
(1)
11

Thursday, July 26, 2012

Aproksimasi Titik Ujung Kanan
Aproksimasi ini, menggambil f(xi) sebagai DDk ujung kanan persegi 

panjang dari sebuah parDsi.

12

Thursday, July 26, 2012

Jika dipilih x*i  sebagai DDk ujung kanan, maka x*i = xi dan diperoleh

(2)

13

Thursday, July 26, 2012

Aturan Titik Tengah
Thursday, July 26, 2012

Metode hampiran integral ini mengambil  x*i sebagai DDk tengah     
dari sub‐interval [xi‐1, xi]. 

15

Thursday, July 26, 2012

16

Thursday, July 26, 2012

Contoh 1
Gunakan  aturan  DDk  tengah  dengan  n  =  5,  untuk  mengaproksimasi 
integral  

17

Thursday, July 26, 2012

Pembahasan (Contoh 1)
Dengan DDk tengah diperoleh 5 subinterval: 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, dan 1.9, 

18

Thursday, July 26, 2012

Sehingga diperoleh

19

Thursday, July 26, 2012

Aturan Trapesium
Thursday, July 26, 2012

Pandang sebuah bagian berbentuk trapesium dari x = a sampai x = b 
berikut

Luas trapesium adalah:
21

Thursday, July 26, 2012

Bila diambil f(x) ≥ 0. Luas trapesium yang terletak di atas selang bagian 
ke‐i adalah:

22

Thursday, July 26, 2012

Aturan Trapesium dapat juga diperoleh dengan dari rata‐rata hampiran 
dari aturan DDk ujung kiri dan kanan, maka diperoleh:

23

Thursday, July 26, 2012

Secara umum aturan Trapesium diperoleh:

24

Thursday, July 26, 2012

Contoh 2
Gunakan  aturan  trapesium  dengan  n  =  5,  untuk  mengaproksimasi 
integral  

25

Thursday, July 26, 2012

Pembahasan (Contoh 2)
Diketahui n = 5, a = 1, and b = 2, sehingga ∆x = (2−1)/5 = 0.2.  

26

Thursday, July 26, 2012

dengan n = 5, a = 1, dan b = 2, 
∆x = (2−1)/5 = 0.2, dan dengan aturan Trapesium

27

Thursday, July 26, 2012

Error aproksimasi
Pada contoh 1 dan contoh 2, dapat dicari galat dari aturan trapesium 
(ET) dan galat dari aturan DDk tengah (EM),

28

Thursday, July 26, 2012

Sehingga diperoleh 

Sehingga eror untuk aturan Trapesium dan DDk tengah dengan  n = 5 
adalah:

29

Thursday, July 26, 2012

Selanjutnya  untuk  n  =  5,  10,  dan  20,  untuk  metode  ujung  DDk  kiri, 

ujjung DDk kanan, trapesium dan DDk tengah diperoleh:

30

Thursday, July 26, 2012

Dan eror (galat) dari ke‐empat metode

31

Thursday, July 26, 2012

Aturan Simpson
Teknik  aproksimasi  pada  integral  adalah  aturan  Simpson,  yang 
menggunakan parabola untuk menggan7kan garis dalam menghampiri 
kurva.

•

Sebelumnya, dibagi [a, b] menjadi n subinterval yang lebarnya sama 
h  =  ∆x  =  (b  −  a)/n,  tetapi  untuk  teknik  ini  diasumsikan  bahwa  n 
adalah sebuah bilangan genap.  

32

Thursday, July 26, 2012

Pada  seDap  selang  dihampiri  dengan  kurva  y  =  f  (x)  ≥  0  dengan 
sebuah parabola, yang ditunjukan pada gambar beriktut. 

33

Thursday, July 26, 2012

Jika  dihitung  luas‐luas  dibawah  parabola,  dan  dijumlahkan  hasilnya 
maka diperoleh:

Perha,kan koefisiennya: 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, . . . , 4, 2, 4, 1.

34

Thursday, July 26, 2012

Sehingga diperoleh aturan Simpson:

35

Thursday, July 26, 2012

Contoh 2
Gunakan  aturan  simpson  dengan  n  =  10,  untuk  mengaproksimasi 
integral  

36

Thursday, July 26, 2012

SOLUTION 
Diketahui f(x) = 1/x, n=10, dan ∆x = 0.1, dengan aturan Simpson,

37

Thursday, July 26, 2012