Definisi Fungsi Logaritma Asli

FUNGSI TRANSENDEN

  7.1 Fungsi Logaritma Asli

  7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya

  7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli

  7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

  7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

  7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday

  7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya

  7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya

7.1 Fungsi Logaritma Asli

  Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk memenuhi tempat kosong yang ada di atas.

  Definisi Fungsi Logaritma Asli Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.

  Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah , yaitu turunan suatu fungsi logaritma asli Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka

  Contoh : Tentukan . Penyelesaian : Andaikan

  Karena maka Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat :

  , dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu

  Contoh : Tentukan Penyelesaian : Sifat-sifat Logaritma Asli Teorema Logaritma Asli

  Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka i. ii. iii. iv.

  Grafik Logaritma Asli

  Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di setengah bidang kanan.

  Karena , maka . Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti berikut.

7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya Teorema

  Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan.

  Fungsi monoton

  Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua , fungsi dikatakan: maka

   monoton naik, jika maka  monoton turun, jika untuk maka  monoton tak naik, jika untuk maka  monoton tak turun, jika untuk maka  monoton datar, jika untuk Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati, dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik. Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun. Monoton naik jika maka

  Monoton turun jika maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan untuk setiap pernyataan jika maka berlaku pada daerah asalnya. untuk setiap Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

  Bukti teorema

  Kita ambil Jika monoton murni maka satu-satu dan onto

  Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

  Bukti untuk satu-satu.

  Diketahui monoton naik ⟷ Dengan kata lain : Terbukti satu-satu.

  Bukti untuk onto

  Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya. Onto artinya

  , yang ekuivalen dengan dan Untuk sudah sangat jelas. Sekarang akan dibuktikan untuk Andaikan Maka Untuk Maka Menurut teorema apit maka haruslah Kontradiksi bahwa Jadi, adalah Onto.

  Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk .

Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita

  dapatkan turunan pertamanya yaitu Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap . untuk semua

  Jadi naik pada seluruh garis real. Sehingga memiliki balikan di sana.

  Cara Menentukan Fungsi Balikan

  Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu

  , kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian

  1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .

  2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam .

  3. Langkah 3 : Gantilah dengan . Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis . Jadi, grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis

  Contoh : Carilah invers dari Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan

  untuk dalam bentuk .

  Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam Langkah 3 : mengganti dengan .

  Turunan Fungsi Balikan

  Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.

  Teorema

  Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika terdiferensiasikan di titik yang berpadanan di suatu tertentu dalam . Maka dalam daerah hasil dan Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka

  . Dengan melakukan substitusi kita dapatkan .

  Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :

  Yang ekuivalen dengan

  Bukti teorema

  Interval , dan , fungsi monoton murni dan kontinu pada . dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.

  Fungsi terdiferensial di titik dan . Fungsi terdiferensial di titik lebih lanjut, Ambil sembarang dengan , selanjutnya didefinisikan fungsi dengan Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap dengan well define. Demikian

  , maka . dengan kata lain , halnya jika diperoleh dan maka berdasarkan definisi fungsi

  ,

  Mudah dipahami bahwa untuk setiap maka dengan . Selanjutnya dibuktikan bahwa Diberikan bilangan terdiferensial di dan jika , maka terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan sifat – berlaku Diketahui kontinu di titik

  , artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga untuk setiap dengan – , maka berlaku Karena fungsi invers dari bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif. maka injektif dan

  , maka diperoleh; jika – maka untuk setiap

  Oleh karena itu untuk setiap dengan – berakibat Untuk sebarang

  Jadi Perhatikan bahwa karena maka , sehingga diperoleh

  Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku Terbukti

  Contoh : Carilah

  jika diketahui

  Penyelesaian : Kita akan mencari nilai

  yang berpadanan dengan Kemudian kita cari Kita selesaikan dengan menggunakan teorema

7.3. Fungsi Eksponen Asli Definisi

  Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi Dari definisi dapat diambil bahwa i. ii. untuk semua

  Sifat-sifat Fungsi Eksponen Definisi

  Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga . Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma.

  Teorema

  Andaikan dan dan sebarang bilangan real, maka

  Turunan

  Andaikan , maka dapat dituliskan . Perhatikan untuk

  Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

  Karena , maka Apabila

  . Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai

  Contoh : Tentukan Penyelesaian :

  Integral

  Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral

  Contoh : Tentukan Penyelesaian :

7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum Definisi

  Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku Coba hitung dengan menggunakan . Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal.

  Sifat-sifat Teorema

  Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka i. ii. iii. iv. v.

  Aturan-aturan Fungsi Eksponensial Teorema Contoh : tentukan Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh Fungsi Definisi

  Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti adalah . Jika , maka sehingga Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu

7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

  Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau

  Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial populasi bertambah. populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa sekitar

  Menyelesaikan Persamaan Differensial

  apabila dengan syarat awal . Dengan memisahkan peubah dan mengintegrasikan, kita peroleh Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga, Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika disebut peluruhan eksponensial.

  Peluruhan Radioaktif

  Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk

  Teorema

  Bukti

  Pertama ingat kembali bahwa jika dan khususnya, maka Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat

  , kita peroleh Jadi

  . Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut

  Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar

  . Andaikan bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga?

  Penyelesaian :

  Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil. Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan adalah nilai pada saat rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga uang sebesar mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari terhadap waktu adalah

  , yakni Persamaan diferensial ini adalah

  7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan pada sisi lainnya. Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

  Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.

  Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu

  Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan factor integrasi Didapatkan Sisi kiri adalah turunan hasil kali

  , maka persamaannya mengambil bentuk Integrasi kedua sisi menghasilkan

  Contoh : Carilah penyelesaian umum dari Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah

  Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk atau Jadi penyelesaian umumnya adalah

7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri Balikan sinus dan Kosinus Definisi

  Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing- masing pada selang dan Sehingga, dan dan

  Balikan Tangen dan Balikan Sekan Definisi

  Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing- masing pada selang dan Sehingga, dan dan

  Teorema i.

  ii. iii. iv.

  Turunan Fungsi Trigonometri

  

Turunan Fungsi Balikan Trigonometri

Teorema

  i. ii. iii. iv.