A. Integral Tak Tentu - Materi SMK Kelas XII
15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)
A. Integral Tak Tentu
1) Rumus-Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
1. dx = x + c
2. a dx = a dx = ax + c
3. x dx = 1 n n 1 x +c
7. [ f(x) g(x) ] dx = f(x) dx g(x) dx
Catatan
1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)
b. –2sinAsinB = cos(A + B) – cos(A – B)
c. 2 sin A= 1
2 { 1 cos 2 A }
d. 2 cos A= 1
2 { 1 cos 2 A }
e. sin 2A = 2sin A cos A
2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a. Metode substitusi Jika bentuk integran : u v dx , dengan u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du
b. Metode Parsial dengan TANZALIN Jika bentuk integran : u dv , dengan u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12
2 x 3 Hasil
dx =…
Jawab : c
2. UN 2011 PAKET 46
Hasil 2 6 x 3 x 5 dx =…
Jawab : b
3. UN 2009 PAKET A/B
3 2 x Hasil
dx =…
2 3 x 4
a. 3 4 2 x 4 +C
b. 3 2 2 x 4 +C
c. 3 2 x 4 +C
d. 3 1
2 2 x 4 +C
4 2 x 4 +C Jawab : c
e. 3 1
SOAL PENYELESAIAN
4. UN 2006
2 Hasil dari (x –3 – 3)(x – 6x + 1) dx = …
a. 1 ( x 2 6 x 1 ) 4 c
b. 1 ( 2 x 6 x 1 ) c
c. 1 2 ( 4 x 6 x 1 ) c
d. 1 2 2 ( x 6 x 1 ) c
1 2 e. ( x 6 x 1 ) 2 c
2 Jawab : d
5. UAN 2003 Hasil x x 1 dx =…
a. 2 ( x 1 ) x 1 2 ( x 1 ) 2 x 1 c
b. 2 ( 2 3 x x 2 ) x 1 c
2 d. 2 ( 3 x x 2 ) x 1 c
e. 2 ( 2 x x 2 ) x 1 c
5 Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 12 Hasil dari cos 4 2x sin 2x dx = …
a. 5 1
10 sin 2 x c
1 b. 5
10 cos 2 x c
c. 5 1
5 cos 2 x c
d. 5 1
5 cos 2 x c
1 e. 5
10 sin 2 x c Jawab : b
7. UN 2011 PAKET 46 Hasil sin 3 3x cos 3x dx = …
e. 1 sin 12 4 3 x c Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
8. UN 2010 PAKET A
2 Hasil (sin 2 x – cos x) dx adalah …
e. – 1 2 sin 2x + C Jawab : c
9. UN 2010 PAKET B Hasil dari (3 2 – 6 sin x) dx = …
e. 3 2 sin 2x cos 2x + C Jawab : d
10. UN 2009 PAKET A/B Hasil 4sin 5x cos 3x dx = …
a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C
b. 1 4 cos 8 x cos 2 x +C
c. 1 4 cos 8 x cos 2 x +C
d. 1 2 cos 8 x cos 2 x +C
e. 1 2 cos 8 x cos 2 x +C Jawab : b
11. UN 2008 PAKET A/B Hasil dari sin 2 x cos x dx = …
a. 3 1
3 cos x+C
b. 1 3 3 cos x+C
c. 3 1
e. 3 sin 3 x+C Jawab : d
12. UN 2006 Hasil dari (x 2 – 3x + 1) sin x dx = …
a. ( 2 –x + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
b. ( 2 –x + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
c. (x 2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + c
d. (x 2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + c
e. (x 2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c
Jawab : a SOAL
PENYELESAIAN
13. UN 2005 Hasil dari
2 ( x 1 ) cos x dx =…
e. 2x sin x 2 – (x – 1)cos x + c Jawab : b
14. UN 2004
Hasil dari 2 x sin 2 x dx =…
Jawab : c
2) Penggunaan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu:
f(x) = f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:
y= dy dx dx , dengan dx adalah turunan pertama y
1. UN 2004 Gradien garis singgung suatu kurva adalah
dy m=
= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2). dx
Persamaan kurva tersebut adalah …
a. y = x 2 – 3x – 2
b. 2 y=x – 3x + 2
c. y = x 2 + 3x –2
d. 2 y=x + 3x + 2
e. y = x 2 + 3x –1 Jawab : b
2. UAN 2003 Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan
turunannya f’(x) = x 2 + 1, maka grafiknya y = f(x) memotong sumbu Y di titik …
e. (0, 2) Jawab : c
KUMPULAN SOAL SKL UN 2011 INDIKATOR 26 (i)
Menghitung integral tak tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
2 1. Hasil dari (x –3 – 3)(x – 6x + 1) dx = …
6. Hasil dari
a. ( x 2 8 6 x 1 ) 4 c 5 3 3
dx = ...
b. 1 4 ( x 2 6 x 1 ) 4 c
a. x x 2 1 +C
c. 1
2 ( x 2 6 x 1 ) 4 c 5
d. 4 ( x 6 x 1 ) 2 c b. 2 x x 2 1 +C
e. 1 2 2 2 ( x 6 x 1 ) c c. 2 5 5 3 x x 2 1 +C
2. Hasil dari ( x 2 5 1 )( x 3 3 x 5 ) 3 5 3 dx 3 = ... d. 5 x x 2 1 +C
e. 5 x x 2 1 +C
7. Hasil dari
dx = ...
c. 8 (x + 3x + 5) ( x x 3 5 ) +C
1 3 2 3 3 a. x x 2 1 +C
d. 8 (x + 3x + 5) x x 3 5 +C
b. 2 x x 2 1 +C
e. 8 (x + 3x + 5) +C
dx .... c. 5 x x 2 1 +C
3. Hasil dari
2 d. 5 3 x x 2 1 +C
a. 2 2 x 6 x 5 c
b. 2 x 2 6 x 5 c e. 5 x x 2 1 +C
c. 2 x 6 x 5 c 8. Hasil
dx =… c. 2
9. Hasil 6 x x 2 3 5 dx =…
5. Hasil dari dx
x 3 8 c. 2 ( x 2 5 x 2 5 3 )
x 3 8 x a. 3 +C d. 3 8 +C
d. 3 2 2 2 ( x 5 ) x 5 c
b. 3 x 3 8 +C
e. 4 x 2 3 8 +C
e. 3 2 ( 3 x 2 5 ) 3 x 2 5 c
c. 2 x 3 8 +C
10. Hasil dari cos 4 2x sin 2x dx = … 15. Hasil dari sin 3 x . cos x dx = ... .
1 a. 5
10 sin 2 x c 1 a. 1 8 sin 4x – 4 sin 2x + C
b. 1 5 10 1 cos 2 x c b. 1 8 cos 4x – 4 cos 2x + C 1 5
1 c. 1
5 cos 2 x c c. 4 cos 4x – 2 cos 2x + C
1 d. 1 cos 2 x c d.
8 cos 4x 5 – 8 cos 2x + C
1 5 1 e. cos 4x – cos 2x + C
e. 10 1 sin 2 x c 4 2
16. Hasil dari cos 2 x 2 sin 11. Hasil sin 2 3x cos 3x dx = … x dx = ...
e. cos 2x + x + C
d. 1 3 4 sin 3 x c
17. Hasil dari 1 2 cos 2 x cos 2 4 x dx = ...
e. 12 1 sin 3 x c 5 1
a. 8 sin 2x + 4 x+C
12. Hasil dari sin 2 x cos x dx = … 5 1
b. 1 3 cos x+C
d. 8 sin 2x + 4 x+C
c. 1 3 sin x+C
cos 2 x
2 sin x dx = ...
e. 3 sin 2 x+C 18. Hasil dari
13. Hasil x x 1 dx =…
a. 8 sin 2x – 4 x+C
e. 2 5 2 ( x x 2 ) x 1 c 2 19. Hasil (sin 2 x – cos x) dx adalah …
14. Hasil 4sin 5x cos 3x dx = …
a. 1 2 cos 2x + C
a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C
b. –2 cos 2x + C
b. 1 4 cos 8 x cos 2 x +C
c. – 2 sin 2x + C
c. 1
4 cos 8 x cos 2 x +C
d. 2 sin 2x + C
d. 2 cos 8 x cos 2 x +C
e. – 2 sin 2x + C
e. 1 2 cos 8 x cos 2 x +C
2 20. Hasil dari (3 2 – 6 sin x) dx = … b. (x – 1) sin x + 2x cos x + c
e. 2x sin x – (x – 1)cos x + c
c. 3 4 sin 2x + C
x 23. Hasil dari 2 sin 2 x dx =…
21. Hasil dari (x 2 – 3x + 1) sin x dx = … 2
22. Hasil dari x 2 ( cos 1 ) x dx
=… c
a. 2 x sin x + 2x cos x + c
B. INTEGRAL TENTU
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:
L= f ( x ) dx [ F ( x )] b a F ( b ) F ( a ) , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
1) Integral Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12
4 Hasil ( x 2 6 x 8 ) dx =… 2
e. 4 3 Jawab : e
2. UN 2011 PAKET 46
3 Hasil 2 ( x 1 ) dx =…
e. 3 Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Hasil dari x 2 dx =…
e. 19 6 Jawab : c
SOAL PENYELESAIAN
4. UN 2010 PAKET B
Hasil dari 3 ( x 1 )( x 6 ) dx =…
e. –14 Jawab : a
5. UN 2009 PAKET A/B Nilai a yang memenuhi persamaan
2 12 2 x ( x 1 ) dx = 14 adalah …
e. 1 Jawab : c
6. UN 2008 PAKET A/B
2 3 Hasil dari 5
x ( x 2 ) dx =…
e. 31 18 Jawab : e
7. UN 2007 PAKET A p
Diketahui 3 x ( x 2 ) dx = 78.
3 1 Nilai ( –2p) = …
e. –8 Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
8. UN 2007 PAKET B p
Diketahui 2 ( 3 t 6 t 2 ) dt = 14.
1 Nilai ( –4p) = …
e. –32 Jawab : b
9. EBTANAS 2002
Hasil dari 2 x ( x 6 ) dx =…
a. –4
b. 1 2
c. 0
d. 1 2
e. 4 1 2 Jawab : a
10. EBTANAS 2002
( 1 ) dx = . Nilai a =… x 2 2 a
e. 5 Jawab : e
11. UN 2011 PAKET 12
Hasil (sin 3 x cos x ) dx =…
e. 1 3 Jawab : d
SOAL PENYELESAIAN
12. UN 2011 PAKET 46
Hasil ( 2 sin x cos 2 x ) dx =…
e. 5 2 Jawab : d
13. UN 2010 PAKET A
Nilai dari (sin 3 x cos 3 x ) dx =…
e. – 2 3 Jawab : a
14. UN 2010 PAKET B
Hasil dari cos( 3 x ) dx =…
e. 1 Jawab : b
15. UN 2004
Nilai dari cos( 3 x ) sin( 3 x ) dx =
6 Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
16. UAN 2003
x cos x dx =…
e. 2 Jawab : a
17. UAN 2003
sin 5 x sin x dx =…
c. 1 Jawab : c
18. EBTANAS 2002
sin( x ) cos( x ) dx =…
a. – 1 d. 1
b. – 1 e. 3
c. 1 Jawab c
19. EBTANAS 2002 1
2 2 sin x cos x dx =…
c. 1 Jawab : b
20. EBTANAS 2002
x sin x dx =…
e. +1 Jawab : b
2) Penggunan Integral Tentu
a) Untuk Menghitung Luas Daerah
a. Luas daerah L pada gb. 1
b. Luas daerah L pada gb. 2
c. Luas daerah L pada gb. 3
L= f ( x ) dx ,
L= – f ( x ) dx , atau
L= { f ( x ) g ( x )} dx ,
untuk f(x) 0
b dengan f(x) g(x)
L= f ( x ) dx untuk f(x) 0
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12 Luas daerah yang dibatasi kurva
y=4 2 –x ,y=- x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah …
a. 8 3 satuan luas
b. 10 3 satuan luas
c. 14 3 satuan luas
d. 16 3 satuan luas
e. 26 3 satuan luas Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46 Luas daerah yang dibatasi kurva
y=x 2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …
a. 2 3 satuan luas
b. 4 3 satuan luas
c. 6 3 satuan luas
d. 8 3 satuan luas
e. 10 3 satuan luas Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
3. UN 2010 PAKET A Luas daerah yang dibatasi parabola
y=x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah …
a. 5 satuan luas
b. 7 satuan luas
c. 9 satuan luas
d. 10 1 3 satuan luas
e. 10 2 3 satuan luas Jawab : c
4. UN 2010 PAKET B Luas daerah di kuadran I yang dibatasi
kurva y = x 3 , y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …
a. 2 1 4 satuan luas
b. 2 1 2 satuan luas
c. 3 1 4 satuan luas
d. 3 1 2 satuan luas
e. 4 1 4 satuan luas Jawab : b
SOAL PENYELESAIAN
5. UN 2009 PAKET A/B Luas daerah yang dibatasi oleh parabola
y=x 2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu
X dapat dinyatakan dengan …
a. 2 ( x 6 x 8 ) dx +
(( x 2 ) ( x 2 6 x 8 ))
b. 2 ( x 6 x 8 ) dx
c. 1 3 ( x 3 ) x 2 ( 6 x 8 ) dx
d. 2 ( x 6 x 8 ) dx +
( x 3 ) ( x 6 x 8 ) dx
e. + ( x 2 ) dx
2 ( x 2 ) ( x 6 x 8 ) dx
4 Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
6. UN 2008 PAKET A/B Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y= x 1 , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah …
a. 6 satuan luas
b. 6 2 3 satuan luas
c. 17 1 3 satuan luas
d. 18 satuan luas
e. 18 2 3 satuan luas Jawab : c
7. UN 2007 PAKET A Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh
kurva x = y 2 dan garis y = x – 2 adalah …
a. 0 satuan luas
b. 1 satuan luas
c. 4 1 2 satuan luas
d. 6 satuan luas
e. 16 satuan luas Jawab : c
8. UN 2006 Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh
2 kurva y = 6x 2 –x dan y = x – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan …
a. 30 satuan luas
b. 26 satuan luas
c. 64 3 satuan luas
d. 50 3 satuan luas
e. 14 3 satuan luas Jawab : b
9. UAN 2003 Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi
oleh kurva y = x 2 , sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah …
a. 57,5 satuan luas
b. 51,5 satuan luas
c. 49,5 satuan luas
d. 25,5 satuan luas
e. 22,5 satuan luas Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
10. UAN 2003 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2 y=x 2 – 9x + 15 dan y = –x + 7x – 15
adalah …
a. 2 2 satuan luas
b. 2 2 satuan luas
c. 2 1 satuan luas
d. 3 2 satuan luas
e. 4 1 satuan luas
Jawab : a
11. EBTANAS 2002 Luas daerah yang dibatasi parabola
y=8 2 –x dan garis y = 2x adalah …
a. 36 satuan luas
b. 41 1 satuan luas
c. 41 2 satuan luas
d. 46 satuan luas
e. 46 2 satuan luas
3 Jawab : a 3 Jawab : a
V= ( f ( x )) dx atau V = y dx V= ( g ( y )) dy atau V = x dy
V= {( 2 f ( x ) g 2 ( x )} dx atau V = ( y 2 1 y 2 2 ) dx V= 2 { f ( y ) g 2 ( y )} dy atau V
= ( x 2 x 2 1 2 ) dy
SOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12 Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x 2 , garis y =2x dikuadran I
diputar 360 terhadap sumbu X adalah …
a. 20 15 satuan volum
b. 30 15 satuan volum
c. 54 15 satuan volum
d. 64 15 satuan volum
e. 144 15 satuan volum Jawab : d
2. UN 2010 PAKET A Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 2x 2 –x dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360
adalah …
a. 1 5 satuan volum
b. 2 5 satuan volum
c. 3 5 satuan volum
d. 4 5 satuan volum
e. satuan volum Jawab : a
SOAL PENYELESAIAN
3. UN 2010 PAKET B Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y=x 2 dan y = x diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360 adalah …
a. 10 3 satuan volum
b. 10 5 satuan volum
c. 1 3 satuan volum
d. 10 3 satuan volum
e. 2 satuan volum Jawab : a
4. UN 2009 PAKET A/B Perhatikan gambar di bawah ini: Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume
a. 123 15
b. 15 83
c. 77 15
d. 15 43
e. 15 35 Jawab : c
SOAL PENYELESAIAN
5. UN 2008 PAKET A/B Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
a. 4 2 3 satuan volume
b. 6 1 3 satuan volume
c. 8 2 3 satuan volume
d. 10 2 3 satuan volume
e. 12 1 3 satuan volume Jawab : c
6. UN 2007 PAKET A Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan
parabola y = x 2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X adalah …
a. 32 satuan volume
b. 64 satuan volume
c. 52 satuan volume
d. 48 satuan volume
e. 32 satuan volume
15 Jawab : b
7. UN 2007 PAKET A Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 1 dan
y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah …
a. 2 satuan volum.
b. 2 1 2 satuan volum.
c. 3 satuan volum.
d. 4 1 3 satuan volum.
e. 5 satuan volum. Jawab : a
SOAL PENYELESAIAN
8. UN 2005 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x 2 dan y 2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….
a. 2 4 satuan volum
b. 3 4 satuan volum
c. 4 4 satuan volum
d. 5 4 satuan volum
e. 9 4 satuan volum
Jawab : c
9. UAN 2003 Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu
Y, dan kurva y = 4 x diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …
2 a. 2 ( 4 y ) dy satuan volume
b. 2 4 y dy satuan volume
c. 2 ( 4 y ) dy satuan volume
2 ( 4 y d. 2 ) 2 dy satuan volume
e. 2 2 ( 4 y ) dy satuan volume
Jawab : a
SOAL PENYELESAIAN
10. EBTANAS 2002 Gambar berikut merupakan kurva dengan
persamaan y = x 2 30 30 x . Jika daerah
yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan …
a. 6 satuan volum
b. 8 satuan volum
c. 9 satuan volum
d. 10 satuan volum
e. 12 satuan volum Jawab : b
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 26 (ii) UN 2011
Menghitung integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
1. 2 Hasil ( x 6 x 8 ) dx =… 8. Hasil (sin 3 x cos x dx
Hasil 2 ( x 1
6 ) dx =…
9. Hasil ( 2 sin x cos 2 x ) dx =…
3. Hasil dari x 2 dx =… 6
10. Nilai dari (sin 3 x cos 3 x ) dx =…
4. Hasil dari 3 ( x 1 )( x 6 ) dx =… 2
cos( 3 x ) a. dx –58
c. –28
=… 1 b. –56 d. –16
e. –14 11. Hasil dari
1 a. –1
c. 0 e. 1
5. Hasil dari 2 x ( x 6 ) dx =…
b. – 1 3 d. 1 3
a. –4 c. 0
e. 4 1 2
12. x cos dx x =…
b. 1 d. 1 2 0 2
c. 0 e. 2 6. Nilai a yang memenuhi persamaan
12 x ( x 2 2 1 ) dx = 14 adalah …
13. x sin dx x =…
x 2 x 3 5 7. Hasil dari ( 2 ) dx =… 4
1 14. sin 5 x sin x dx =…
a. 85 3 c. 63 e. 18 31 18 1 1 5 75 58 a. – c. e. b. d. 2 12 12
d.
b. –
15. sin( x
2 cos(
20. Di berikan
x 2 x dx
) dx =…
0 Nilai a 2 + a = ... .
(3x 2 21. Diketahui 2x) dx = 78.
16. Nilai dari cos( 3 x ) sin( 3 x ) dx =
Nilai p = ...
12 12 22. Diketahui 3 x ( x 2
3 ) dx = 78.
2 17. 2 sin x cos x dx =…
Nilai ( –2p) = …
23. Diketahui 3 t 2 ( 6 t 2 ) dt = 14. 8 8
b. 1 d. 1
Nilai ( –4p) = …
4 a. –6
c. –16 e. –32
18. Hasil dari 2 sin x 4 cos x ) dx .... b. –8
d. –24
a. -1 a c. 1 e. ½ 3 4 1
1 2 ) dx = . Nilai a =… b. 0
d. ½ 2
2 ax 2 x dx 44 . Nilai a = ...
3 a. –5
c. 1 e. 5
19. Diberikan 2
b. –3
d. 3
a. 1 c. 3
e. 6
b. 2 d. 4
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 27 UN 2011
Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x 2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada y=x 2 – 9x + 15 dan y = –x 2 + 7x – 15 adalah interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas
1. Luas daerah yang dibatasi parabola
… satuan luas
2. Luas daerah yang dibatasi kurva
10. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh y=4 –x ,y=- x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah … kurva y = x 2 , sumbu Y, dan garis satuan luas x + y = 12 adalah … satuan luas
b. 10 d. 16 b. 51,5
d. 25,5
3 3 11. Luas daerah yang dibatasi parabola
3. Luas daerah yang dibatasi kurva y=8 –x 2 dan garis y = 2x adalah … satuan y=x 2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah
12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x 3
y=9 2 , y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah … dan garis y = x + 3 adalah.... satuan –x satuan luas
4. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva
5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 6 6
13. Volum benda putar yang terjadi jika daerah y= x 1 , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah … yang dibatasi oleh kurva y = 2x –x 2 dan
satuan luas y=2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh
a. 6
c. 17 1 3 e. 18 2 3 360 adalah … satuan volum
a. b. 6 1
5 3 e. d. 18 5 c. 3
d. – 8, dan 4 5 5 sumbu X, pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah .... satuan luas
6. Luas yang dibatasi oleh kurva y = 2x 2 b. 2
14. Volum benda putar yang terjadi bila daerah
a. 10 2 c. 15 1 e. 17 1 yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan y = x
diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360
3 3 adalah … satuan volum
b. 13 1 d. 16 2
a. 7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x 3
10 3 =y 2 dan garis y = x – 2 adalah … satuan luas
15. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x,
b. 1
d. 6 x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi
8. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x –x 2 2 sumbu X sejauh 360 dan y = x , maka volume benda – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 putar yang terjadi adalah … satuan volum
sama dengan … satuan luas
14 a. 4 64 2
c. 8 2
e. 12 1
a. 30
c. 3 e. 3 3 3 3
50 b. 6 1
d. 10 2
b. 26
d. 3 3 3
22. Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan parabola
16. Volum benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan y=x 2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X
kurva y = 4 x diputar terhadap sumbu Y adalah … satuan volum
sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …
5 15 15 a. ( 4 y 2 ) 2 dy satuan volum
b. 64 d. 48
17. Volum benda yang terjadi, jika daerah yang 2
2 b. 4 y 2 dibatasi oleh kurva dy satuan volum y 9x dan garis
y x 7 diputar mengelilingi sumbu X sejauh
2 360 o adalah … satuan volum c. ( 4 y 2 ) dy satuan volum
d. 2 ( 4 y 2 ) 2 dy satuan volum
18. Volum benda putar yang terjadi jika daerah
yang dibatasi oleh kurva y = x 2 + 1 dan
e. 2 ( 4 y 2 ) dy satuan volum
y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º
adalah … satuan volum
23. Perhatikan gambar di bawah ini:
b. 2 1 2
d. 4 1 Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar
3 mengelilingi sumbu X sejauh 360 maka volume benda putar yang terjadi adalah …
19. Volum benda putar yang terjadi karena daerah
satuan volum
yang dibatasi oleh parabola y = x 2 dan y 2 = 8x
diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah …. satuan volum
20. Volum benda yang terjadi, jika daerah yang
dibatasi oleh kurva y x 2 dan garis
2 y x 2 0 diputar mengelilingi sumbuY
e. 1
sejauh 360 o adalah … satuan volum a. 123 c. 77 35
21. Gambar berikut merupakan kurva dengan
24. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = x, 2
persamaan y = x 30 30 x 2 . Jika daerah
garis y = 2, dan y =5 diputar mengelilingi yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X,
maka volum benda putar yang terjadi sama sumbu Y ádalah … satuan volum
c. 9 ½ dengan … satuan volum e. 11 ½
a. 3 ½
b. 4 ½
d. 10 ½
a. 6
c. 9
e. 12
b. 8
d. 10
25. Perhatikan gambar berikut!
26. Perhatikan gambar berikut!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-X sejauh 360 , maka volume benda
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi putar yang terjadi adalah ... satuan volum sumbu-X sejauh 360 , maka volume benda
5 e. 15 putar yang terjadi adalah ... satuan volum
27. Perhatikan gambar berikut!
b. 96 15 186 d. 15
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-Y sejauh 360 , maka volume benda putar yang terjadi adalah ...
16. PROGRAM LINEAR
A. Persamaan Garis Lurus
y 2 (x 2 ,y 2 )
a (0, a)
y (x 1 ,y 1 1 ) y 1 (x 1 ,y 1 )
X X (b, 0) X X X (b, 0) X
c. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui
b. Persamaan garis yang
memotong sumbu X di (b, 0) titik (x 1 ,y 1 ) adalah:
melalui dua titik (x 1 ,y 1 ) dan
dan memotong sumbu Y di y –y 1 = m(x –x 1 )
(x 2 ,y 2 ) adalah :
(0, a) adalah:
x 2 x 1 ax + by = ab
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan garis ax + by = c Y
titik uji
2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c
3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum
3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
Titik kritis ada 3: p
(0,p)
Titik kritis ada 3:
HP
(0, p), (b, 0) dan
(0,a) (x, y)
(0, a), (q, 0) dan
a (x, y)
(x,y)
(x,y)
HP (q,0)
(b,0)
h h Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum
Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)
SOAL
PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit 1. UN 2011 PAKET 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit
a. Rp12.000,00
b. Rp14.000,00
c. Rp16.000,00
d. Rp18.000,00
e. Rp20.000,00 Jawab : e
2. UN 2011 PAKET 46 Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak…
a. 100 rumah tipe A saja
b. 125 rumah tipe A saja
c. 100 rumah tipe B saja
d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B
e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawab : c
SOAL
PENYELESAIAN
3. UN 2010 PAKET A Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp
250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat?
a. 6 jenis I
b. 12 jenis II
c. 6 jenis I dan jenis II
d. 3 jenis I dan 9 jenis II
e. 9 jenis I dan 3 jenis II Jawab : e
4. UN 2010 PAKET B Luas daerah parkir 1.760m 2 luas rata-rata
2 untuk mobil kecil 4m 2 dan mobil besar 20m . Daya tampung maksimum hanya 200
kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/ jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaran yang pergi dan dating, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …
a. Rp 176.000,00
b. Rp 200.000,00
c. Rp 260.000,00
d. Rp 300.000,00
e. Rp 340.000,00 Jawab : c
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2009 PAKET A/B Tanah seluas 10.000 m 2 akan dibangun toko 2
tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah
2 seluas 100 m 2 dan tipe B diperlukan 75 m . Jumlah toko yang dibangun paling banyak
125 unit. Keuntungan tiap tipe A sebesar Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar
Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah …
a. Rp 575.000.000,00
b. Rp 675.000.000,00
c. Rp 700.000.000,00
d. Rp 750.000.000,00
e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c
6. UN 2008 PAKET A/B Pada tanah seluas 24.000 m 2 dibangun
perumahan dengan dua tipe. Tipe A dengan
2 luas 150m 2 dan tipe B dengan luas 100 m . Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari
200 unit. Jika laba untuk setiap rumah tipe A Rp4.000.000,00 dan tiap rumah tipe B Rp3.000.000,00, maka laba maksimum yang dapat diperoleh adalah …
a. Rp 600.000.000,00
b. Rp 640.000.000,00
c. Rp 680.000.000,00
d. Rp 720.000.000,00
e. Rp 800.000.000,00 Jawab : c
SOAL
PENYELESAIAN
7. UN 2007 PAKET A Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan
C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg bahan
B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang diperoleh adalah …
a. Rp 7.200.000,00
b. Rp 9.600.000,00
c. Rp 10.080.000,00
d. Rp 10.560.000,00
e. Rp 12.000.000,00 Jawab : d
8. UN 2007 PAKET B Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan
8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan
2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp12.000,00.
keuntungan
maksimum
perusahaan yang diperoleh adalah …
a. Rp 120.000,00
b. Rp 108.000,00
c. Rp 96.000,00
d. Rp 84.000,00
e. Rp 72.000,00 Jawab : b
SOAL
PENYELESAIAN
9. UN 2006 Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas 9. UN 2006 Pada sebuah toko, seorang karyawati menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado jenis B membutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas
Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang dapat diterima karyawati tersebut adalah …
a. Rp 40.000,00
b. Rp 45.000,00
c. Rp 50.000,00
d. Rp 55.000,00
e. Rp 60.000,00 Jawab : b
10. UN 2005 Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang hingga 50 kg, sedangkan untuk setiap penumpang kelas ekonomi diperkenankan paling banyak membawa 20 kg barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas ekonomi
maksimum untuk sekali penerbangan adalah …
a. Rp 15.000.000,00
b. Rp 18.000.000,00
c. Rp 20.000.000,00
d. Rp 22.000.000,00
e. Rp 30.000.000,00 Jawab : c
SOAL
PENYELESAIAN
11. UN 2004 Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan
1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang 1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang
a. 10 potong
b. 11 potong
c. 12 potong
d. 14 potong
e. 16 potong Jawab : c
12. UAN 2003 Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan
4 x 2 y 60 2 x 4 y 48 adalah …
e. 112 Jawab : a
SOAL PENYELESAIAN
13. EBTANAS 2002 Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap jenis kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap jenis kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan
30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah …
e. 40% Jawab : c
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 11 UN 2011 Menyelesaikan masalah program linear
1. Seorang anak diharuskan minum dua jenis unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5
II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit
kendaraan, biaya parkir mobil kecil vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per
Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/ biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji,
jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak pengeluaran minimum untuk pembelian tablet
ada kendaran yang pergi dan dating, per hari adalah …
penghasilan maksimum tempat parkir adalah
a. Rp12.000,00
d. Rp18.000,00
b. Rp14.000,00
e. Rp20.000,00
a. Rp 176.000,00
d. Rp 300.000,00
c. Rp16.000,00
b. Rp 200.000,00
e. Rp 340.000,00
2. Sebuah toko bangunan akan mengirim
c. Rp 260.000,00
sekurang-kurangnya 2.400 batang besi dan 1.200 sak semen. Sebuah truk kecil dapat
6. Tanah seluas 10.000 m 2 akan dibangun toko 2 mengangkut 150 batang besi dan 100 sak
tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas semen dengan ongkos sekali angkut Rp
100 m 2 dan tipe B diperlukan 75 m 2 . Jumlah 80.000. Truk besar dapat mengangkut 300
toko yang dibangun paling banyak 125 unit. batang besi dan 100 sak semen dengan onkos
Keuntungan tiap tipe A sebesar sekali jalan Rp 110.000. maka besar biaya
Rp7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar minimum yang dikeluarkan untuk pengiriman
Rp4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang tersebut adalah
diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah
a. Rp 1.000.000,00
d. Rp 1.070.000,00
b. Rp 1.050.000,00
e. Rp 1.080.000,00
a. Rp 575.000.000,00
c. Rp 1.060.000,00
b. Rp 675.000.000,00
3. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240
c. Rp 700.000.000,00
orang akan menyewa kamar-kamar hotel
d. Rp 750.000.000,00
untuk satu malam. Kamar yang tersedia di
e. Rp 800.000.000,00
hotel itu adalah kamar untuk 2 orang dan untuk
7. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 hotel sekurang-kurangnya 100 kamar. Besar
3 orang. Rombongan itu akan menyewa kamar
unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk sewa kamar untuk 2 orang dan kamar untuk 3
membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A orang per malam berturut-turut adalah Rp
dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa
barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 kamar minimal per malam untuk seluruh
unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp rombongan adalah ....
250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual
a. Rp 20.000.000,00
d. Rp 24.000.000,00
seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar
b. Rp 22.000.000,00
e. Rp 25.000.000,00
penjualannya mencapai maksimum, berapa
c. Rp 22.500.000,00 banyak masing-masing barang harus di buat?
4. Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun
a. 6 jenis I
dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap
b. 12 jenis II
unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan
c. 6 jenis I dan jenis II
tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan
d. 3 jenis I dan 9 jenis II dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual
e. 9 jenis I dan 3 jenis II rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya
8. Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah
C untuk memproduksi 2 jenis barang, yaitu maksimum, maka harus dibangun rumah
barang jenis I dan barang jenis II. Sebuah sebanyak…
barang jenis I memerlukan 1 kg bahan A, 3 kg
a. 100 rumah tipe A saja bahan B, dan 2 kg bahan C. Sedangkan
b. 125 rumah tipe A saja barang jenis II memerlukan 3 kg bahan A, 4 kg
c. 100 rumah tipe B saja bahan B, dan 1 kg bahan C. Bahan baku yang
d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B tersedia 480 kg bahan A, 720 kg bahan B, dan
e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B 360 kg bahan C. Harga barang jenis I adalah
2 5. Luas daerah parkir 1.760m Rp 40.000,00 dan harga barang jenis II adalah luas rata-rata
untuk mobil kecil 4m 2 dan mobil besar 20m 2 .
Rp 60.000,00. Pendapatan maksimum yang
d. Rp 55.000,00 diperoleh adalah …
a. Rp 40.000,00
b. Rp 45.000,00
e. Rp 60.000,00
a. Rp 7.200.000,00
d. Rp 10.560.000,00
c. Rp 50.000,00
b. Rp 9.600.000,00
e. Rp 12.000.000,00
c. Rp 10.080.000,00
11. Suatu pesawat udara mempunyai 60 tempat duduk. Setiap penumpang kelas utama boleh
9. Perusahaan tas dan sepatu mendapat pasokan membawa barang hingga 50 kg, sedangkan
8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk untuk setiap penumpang kelas ekonomi produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P diperkenankan paling banyak membawa 20 kg dan 2 unsur K dan setiap sepatu memerlukan 2 barang. Bagasi pesawat itu hanya mampu unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas menapung 1.500 kg barang. Jika harga tiket adalah Rp18.000,00 dan setiap sepatu adalah kelas utama Rp 500.000,00, dan untuk kelas Rp12.000,00. keuntungan maksimum perusahaan yang diperoleh adalah … ekonomi Rp 300.000,00, pendapatan
maksimum untuk sekali penerbangan adalah …
a. Rp 120.000,00
d. Rp 84.000,00
a. Rp 15.000.000,00
d. Rp 22.000.000,00
b. Rp 108.000,00
e. Rp 72.000,00
b. Rp 18.000.000,00
e. Rp 30.000.000,00
c. Rp 96.000,00
c. Rp 20.000.000,00
10. Pada sebuah toko, seorang karyawati
12. Seorang penjahit membuat 2 model pakaian. menyediakan jasa membungkus kado. Sebuah Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan kado jenis A membutuhkan 2 lembar kertas
1, 5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m pembungkus dan 2 meter pita, Sebuah kado kain polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya jenis B membutuhkan 2 lembar kertas mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang pembungkus 40 lembar dan pita 30 meter. Jika
upah untuk membungkus kado jenis A dapat dibuat adalah … potong
e. 16 Rp2.500,00/buah dan kado jenis B
a. 10
c. 12
d. 14 Rp2.000,00/buah, maka upah maksimum yang
b. 11
dapat diterima karyawati tersebut adalah …
17. MATRIKS
A. Transpose Matriks
Jika A = , maka transpose matriks A adalah A = c d
b d
B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen –elemen yang seletak
a b k l a k b l Jika A =
, dan B =
, maka A + B =
C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
a b an bn
Jika A = , maka nA = n
D. Perkalian Dua Buah Matriks
Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (A m×n ×B p×q , jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen –elemen baris A dengan kolom B.
Jika A =
A×B=
E. Matriks Identitas (I)
1 0 I=
Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
F. Determinan Matriks berordo 2×2
a b a b Jika A =
, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = = ad – bc c d
c d Sifat –sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(A T ) = det(A)
4. det (A )=
det( A )
G. Invers Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A. a b
Bila matriks A =
, maka invers A adalah: c d
Sifat –sifat invers dan determinan matriks
1) (A×B) –1 =B ×A
2) (B×A) –1 =A ×B
H. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol
I. Persamaan Matriks
Bentuk –bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1. UN 2010 PAKET A
Diketahui matriks A = 6 1 3 b
dan B = 6 1 3 a
Jika A = B, maka a + b + c = …
e. 7 Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
2. UN 2010 PAKET B
c 2
Diketahui matriks –matriks A =
. 2 3 Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = …
a. –6
b. –2
c. 0
d. 1 d. 1
3. UN 2009
Diketahui 3 matriks, A =
Jika A×B t – C =
dengan B t adalah
transpose matriks B, maka nilai a dan b masing – masing adalah …
e. –2 dan 1 Jawab : a
4. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
Jika PQ T = R (Q T transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = …
e. 17 Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2008 PAKET A/B
Diketahui matriks P =
. Jika P –1 adalah invers matriks P 1 1
dan Q –1 adalah invers matriks Q, maka
determinan matriks Q –1 P adalah …
e. –209 Jawab : c
6. UN 2007 PAKET A
Diketahui persamaan matriks A = 2B T (B adalah transpose matriks B), dengan
Nilai a + b + c = …
e. 16 Jawab d
7. UN 2007 PAKET B
Diketahui matriks A =
x y ,
3 menyatakan transpose dari A.
B = T , dan A = B dengan A 2 y
Nilai x + 2y adalah …
a. –2 d. 1
b. –1 e. 2
c. 0 Jawab : c
8. UN 2006
Diketahui matriks A = x
dan 1 2
B= –1 . Jika A =B dengan 5 3
A T = transpose matrik A, maka nilai 2x = …
c. 1 4 Jawab : e
Diketahui matriks A =
Hasil dari A+(B ×C) = … 8 5
d.
a.
b.
0 e. 1
Jawab : a
10. UN 2004 Diketahui persamaan matriks
Nilai a dan b adalah …
e. a = 4, b = –1 Jawab : b
11. UAN 2003
2 Nilai x 2 + 2xy + y yang memenuhi
e. 9 Jawab : a
12. UN 2011 PAKET 12 Diketahui persamaan matriks
Nilai x –y=…
a. 5 2 d. 22 2
b. 15 2 e. 23 2
c. 19 2 Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
13. UN 2011 PAKET 46 Diketahui persamaan 2 3 x
Nilai x + y –z=…
e. 9 Jawab : c
14. UN 2011 PAKET 12
Diketahui matriks A =
dan 0 5
B = T . Jika A = transpose 17 0 matriks A dan AX = B + A T , maka
determinan matriks X = …
e. 8 Jawab : b
15. UN 2011 PAKET 46
Diketahui matriks A =
3 5 dan
3 2 B= t . Jika A adalah transpose dari
1 4 matriks A dan AX = B + A t , maka
determinan matriks X = …
e. –46 Jawab : b
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 12 UN 2011
Menyelesaikan operasi matriks
1. Diketahui matriks A = 6 1 3 b
dan B = 6 1 3 a
Jika A = B, maka a + b + c = …
2. Diketahui matriks-matriks A =
2 3 . Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = …
3. Diketahui 3 matriks, A =
Jika A×B –C= dengan B t adalah transpose matriks B, maka nilai a dan b masing- masing adalah …
4. Diketahui matriks P =
Jika PQ T = R (Q T transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = …
5. Diketahui persamaan matriks A = 2B T (B T adalah transpose matriks B), dengan
Nilai a + b + c = …
6. diketahui matriks A =
x y
1 1 B=
2 x T , dan A = B dengan A T menyatakan tr anspose dari A. Nilai x + 2y adalah … 2 y 2 x T , dan A = B dengan A T menyatakan tr anspose dari A. Nilai x + 2y adalah … 2 y
dan 1 2
x 2 B=
. Jika A T =B –1 dengan 5 3
A T = transpose matrik A, maka nilai 2x = …
8. Diketahui matriks-matriks A =
dan B =
, jika (AB) –1 adalah invers dari matriks AB maka
9. Diketahui matriks P =
1 1 . Jika P adalah invers matriks P dan Q adalah invers
matriks Q, maka determinan matriks Q –1 P –1 adalah …
10. Nilai x 2 + 2xy + y 2 yang memenuhi persamaan : 2 6 x 2
1 3 adalah … y 5
11. Diketahui persamaan 2 3 x
Nilai x + y –z=…
12. Diketahui persamaan matriks
9 4 x x y
Nilai x –y=…
a. 5 c. 19 e. 23
b. 15 d. 22
18. VEKTOR
A. Vektor Secara Geometri
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
1. Ruas garis berarah
2. Sudut antara dua vektor
AB = b –a
adalah
B. Vektor Secara Aljabar
1. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 =a 1 i+a 2 j+a 3 k;
|a| = a 2 a 2 a 1 2 2 3
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a 1 ka 1
ab= a 2 b 2 = a 2 b 2 ; ka = k a 2 = ka 2
3 ka 3
C. Dot Product
Apabila diketahui a = a 2 dan b = b 2 , maka:
2 2 3. |a + b| 2 = |a| + |b| + 2|a||b| cos
2 2 4. |a 2 – b| = |a| + |b| – 2|a||b| cos
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal
2. Vektor proyeksi ortogonal :
Panjang vektor proyeksi b pada a
vektor proyeksi b pada a
a b a b
1. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, – 4). Besar sudut ABC = …
e. 0 Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1,
2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v
mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …
e. 120 Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor –vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b
sama dengan …
e. 120º Jawab : c
4. UN 2009 PAKET A/B
Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v,
maka sudut antara vektor u dan v adalah …
a. 0
b. 30
d. 60
e. 90 Jawab : e
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …
a. i –j+k
b. i – 3j + 2k
c. i – 4j + 4k
d. 2i –j+k
e. 6i – 8j + 6k Jawab : b
6. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …
e. –i + j – 2k Jawab : e
7. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A( –4, 2, 3), B(7, 8, –1),
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC
wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah …
e. 55 9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d
8. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. 1 4 (3i + j – 2k)
b. 14 3 (3i + j – 2k)
c. 1 7 (3i + j – 2k)
e. (3i + j – 2k) 3 7 Jawab : c
SOAL
PENYELESAIAN
9. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B( –1,1,–1) dan
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC
wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …
e. 3i + 6j + 9k Jawab : a
10. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor
b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor
a pada b adalah 5, maka nilai x = …
e. 7 Jawab : e
11. UN 2008 PAKET A/B
Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …
a. –2 atau 6
b. –3 atau 4
c. –4 atau 3
d. –6 atau 2
e. 2 atau 6 Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2).
Proyeksi vektor AB pada AC adalah …
a. –12i + 12j – 6k
SOAL
PENYELESAIAN
13. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A( –2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0).
Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah …
e. i + 2j –k Jawab : c
14. UN 2006 Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b= –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vector
a –c=…
a. –58i – 20j –3k
b. –58i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k Jawab : b
15. UN 2005 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …
Jawab : d
SOAL
PENYELESAIAN
16. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah …
e. 53 6 Jawab : c
17. UN 2004 Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …
e. –2i + 4j + 2k Jawab : e
18. UAN 2003
Diberikan vektor a = p dengan p
Real dan vektor b = 1 . Jika a dan b 2
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah …
SOAL
PENYELESAIAN
19. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari 2
vektor v = 3 terhadap vektor u = 2 ,
maka w =… 1
a. 1 d. 4
b. 1 e. 4
c. 1 Jawab : d
20. EBTANAS 2002
Diketahui a + b = i – j + 4k dan |a –b|= 14 . Hasil dari a · b =…
e. 0 Jawab : c
21. EBTANAS 2002
Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b |=…
e. 13 Jawab : b
22. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …
a. – 4 3 (2 1 1)
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011
Menentukan sudut antara dua vektor.
c. 3 e. 0 b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan …
1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), b. 45º
d. 90º
B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili 2. Diketahui
vektor
AB dan v mewakili AC , maka sudut yang
b 2 i j 3 k dan c 5 i 2 j 3 k .
dibentuk oleh vector u dan v adalah …
e. 120 adalah ....
Besar sudut antara vektor a dan b c a. 30
0 0 a. 30 0 c. 60 e. 150 9. Diketahui a = 3i
d. 90
Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai
3. Diketahui vektor a i 2 j 2 k dan
sin = ....
a. c. 6 6 . Besar sudut antara vektor 6 a 7 12 e. 7 b. dan b 2 adalah .... 6 7 d. 6 7
0 0 a. 30 0 c. 60 e. 135 0 0 10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, b. 45
d. 120 jika a dan b membentuk sudut , 4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB =
maka tan = ... .
a. 1 5 1 wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor
2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC
3 5 c. e. 14 5 14 v, maka sudut antara vektor u dan v adalah
b. … 3 14 d. 14 1 5 14 a. 0
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i b. 30
c. 45
e. 90
d. 60 + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor 5. Diketahui
a tegak lurus b maka vektor a –c=…
a. –58i – 20j –3k
d. –62i – 23j –3k
a b 5 . Besar sudut antara vektor a b. –58i – 23j –3k
e. –62i – 23j –3k
c. –62i – 20j –3k
dan vektor b adalah ….
dengan p ,( – ).( + ) =0, dan 2 2
6. Diketahui a 6 a b a b 12. Diberikan vektor a =
a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor
a dan b adalah …. 1
Real dan vektor b = 1 . Jika a dan b
a. c. e.
b. d. membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut 4 2 antara vektor a dan a + b adalah …
7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan
a. 12 7 c. 5 7 e. 4 2 4 7 7 C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
c. –4 atau 3 e. 2 atau 6
d. –6 atau 2 13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus
14 b. –3 atau 4
vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011
Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari 2
6. Diketahui koordinat A( –4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan
vektor v = 3 terhadap vektor u = 2 ,
C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil
vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … maka w
7. Diketahui titik A(2,7,8), B( –1,1,–1) dan C(0,3,2).
b. 1 d. 4 Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v,
maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …
d. –9i – 18j – 27k u = (4 2 2) adalah …
2. Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada
8. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), 3. Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector
b. –(2 1 1)
d. ( 4 3 1 1)
B( –1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
AB pada AC adalah … a pada vector b adalah …
d. –6i – 4j + 16k a. i –j+k
a. –12i + 12j – 6k
e. 12i – 12j + 6k b. i – 3j + 2k
d. 2i –j+k
c. i – 4j + 4k 9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A( –2, 3, 1), 4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector
B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector
a pada vector b adalah …
terhadap AC adalah …
c. 2i + 4j – 2k 10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat