Modul Siap UN Matematika SMA Program IPS

BAB 6 PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN, DAN FUNGSI KUADRAT A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

  ₂ a  bx  c 

  , a  0 B.

   Akar-akar Penyelesaian Persamaan Kuadrat a.

  Metode pemfaktoran ₂

  ax  bx  c 

  ( px  r )( qx  s )  gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r   qx  s  r s x   x   _{1 2} p q

  b.

  Metode melengkapi kuadrat sempurna Contoh: ₂ 3 x  x ₂ 12  21  kedua ruas dibagi 3

  x  x ₂ 4  7 

  ( x  2 )  ₂ 4  7  ( x  2 )  ₂ 11 

  ( x  2 ) 

  11

  ( x  2 )  

  11 x  _{1 , 2} 2 

  11 Jadi x  ₁ 2  11 atau x  ₂

2 

  11 c.

  Menggunakan rumus persamaan kuadrat (abc) ₂

  a bx c

     Dengan menggunakan metode melengkapi kuadrat sempurna, diperoleh rumus: ₂

  b b ac

    

  4

  x  _{1 , 2} a

  2 C.

   Diskriminan Persamaan Kuadrat ₂ ax  bx  c  ₂ D  b 

  4 ac a. D  , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil. Jika b. D , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang berbeda.

  

  Jika

  c. , maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar-akar penyelesaian riil yang sama

  D 

  Jika (kembar).

  d. D , maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar penyelesaian yang riil (tidak

  

  Jika nyata/imajiner).

  ₂ ax  bx  c  b x  x   _{1 2} a c x . x  _{1 2} a ₂ E. a  bx  c  Dengan Sifat Akar-Akarnya

D. Hasil Jumlah Dan Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

   Hubungan Antara Koefisien Persamaan Kuadrat a.

  Akar-akar penyelesaiannya sama/kembar ₂

  b 

  4 ac b. Akar-akar penyelesaiannya berlawanan (salah satu akar-akarnya positif dan yang lain negatif)

  b  c.

  Akar-akar penyelesaiannya berkebalikan (salah satu akar-akarnya

  = 2 _{2 1 2 2 2 1} . .

    = )

  6 x x x x

     _{2 1 2 2 2 1} . .

  x x x x x x

  . 6 . ( 2 )

   6 x x x x  = _{2 1 2 1} ² _{2 1} . .

  2

  6 ( ²    =

  1

  =

  a c

  .x x =

  6  _{2 1}

  1 ) 6 (  =

  =

  2 ( 6 ) 2 ( 2 )

  12

  x dan ₂ x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}  = x x a b

  3

  1 ₂  x , pemilihan ₁

  5 ₁   x

  2

  5 2   x  1   x

  5 2 (    x x

  2 ²    x x ) 1 )(

  5

  4 36   = 20 Pembahasan Soal-soal: 1.

  3 4 x x  adalah .... Pembahasan:

  nilai dari _{2 1}

  x dan ₂ x . Jika _{1 2}  , maka x x

  2 ²    x x adalah ₁

  3

  5

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

  q p

  ) . ( ) ( _{2 1 2 1} ²     x x x x x x b.

   n x dan ) ( ₂  n x

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kurangnya atau ) ( ₁

      ²      c n x b n x a c.

  dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

   n x dan ) ( ₂  n x

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n lebihnya atau ) ( ₁

  x dan ₂ x adalah

      ²      c n x b n x a d.

  Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya ¹

   Persamaan Kuadrat Baru a.

   F.

  a c

  )

  p q

  dan yang lain

  dari akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat ²    c bx ax adalah

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya n kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah ₂

  1  a , 6  b , 2  c .

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  6 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  2

  Pembahasan:

   6 x x x x  adalah ....

  x dan ₂ x . Nilai _{2 1} ² ₂ ² ₁ . .

  6 ²    x x adalah ₁

  2

      ²    c nx b nx a Contoh:

      

  kali akar-akar persamaan kuadrat ₂    c bx ax adalah

  1

  n

  Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

    c n x b n x a e.

     

     

  

x dan ₂ x berdasarkan syarat pada soal _{1 2}  x x Sehingga: _{2 1}

  3 4 x x  = ) 1 (

  3

  2 ) 3 ( 

  =

  

  x dan ₂ x , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah _{2 1}  = x x a b

  Jika akar-akar penyelesaiannya ₁

  7   c .

  2  a , 3   b ,

  2 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  7

  2

  Pembahasan:

  2 ²    x x , maka nilai _{2 1 2 2 1} ( 2 ) x x x x   adalah ....

  3

  7

  x dan ₂ x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  Jika ¹

  4 3.

  5

  =

  3 _{2 1}

  4

  7

  =

  4 9 

  7

  1

  =

  3 ²

  2

  2

  2

  .x x =

      

     

     

  ( 2 ) x x x x   =

  7  _{2 1 2 2 1}

  2

  =

  a c

  =

  3

  3

  4

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah

  3  a ,  4  b , 5  c .

  3 ²    x x Bentuk umum persamaan kuadrat ²    c bx ax , sehingga

  4

  5

  1 1  adalah .... Pembahasan:

   

  3 ²    x x , maka nilai

  5

  

  Jika  dan  adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  7  2.

  =

   3 10 

  =

    

  5 4    

  2

     = a b

  =

  3 .

  . 

  5

  1 1  =

   

  4

  3

  5

  3

  =

     

  3 ) 4 ( 

  1 1  =

  5  

  3

  =

  a c

  =

  4  .

  3

  =

  4 28 9 

  =

  4

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  4  m 5.

  2 ₂   m Jadi,

  4 ₁  m

   4  m  2   m

  ) 2 )(  4 (   m m

  m

  2 ²    m

  8

  2 

  2 ²     m m dibagi

  16

  3

     m m dikalikan silang

  2 ² 

  4

  16

  9

        m m m m

  2 ^{2 2} 

  1

  3

  6

  3

  18

  4

  2 ²    x x adalah ₁

         m m m m

  15 ) 3 )

  2 ²    x

  23

  61

  2 ²      x x x

  20

  50

  3

  11

  2 ²      x x x

  11 3 ) 25 10 (

  2 ^{2 2}         x x x

  ). 5 ( 5 .( 2 (

  4

  x dan ₂ x . Persamaan kuadrat

  2 ²      x x

  5 ( 3 ) 5 (

  2 ²    x x Sehingga: 4 )

  3

  4

  5  x adalah:

  5 ₂  x , maka setiap x diganti dengan

  5 ₁  x dan

  Pembahasan: Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya

  5 ₂  x adalah ....

  5 ₁  x dan

  yang akar-akar penyelesaiannya

  9

  1 2 ( ^{2 2} 

  4

  , sehingga

  . Sehingga: 2 ) 1 ( ²     x m x

  3  m 1 

  Karena  merupakan salah satu akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²     x m x , maka x dapat diganti dengan

  3  m 1 

   m 1   3 =  m 1   =

  2 =

    

  1 1   m

    2  , maka sifat-sifat yang dapat diketahui adalah    =

  Jika akar-akar penyelesaiannya  dan  serta

  1  a ,  m 1  b , 2  c .

  c bx ax

  3

  Bentuk umum persamaan kuadrat ²   

  x m x

  Pembahasan: 2 ) 1 ( ²    

  m adalah ....

  , maka nilai

  

   dan 

    2

  adalah  dan  . Jika

  x m x

  4. Akar-akar penyelesaian 2 ) 1 ( ²    

  19 

  2

  1 ) 1 (

  1 2 ( 3 )

  1

  9 )

  9 2 .

      m m m m

  









       

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  2

  1

  3

  2

      m m m m m

  3

  









        

  2 ^{2 2}      

  

1

  9

  1

  3

  2

      m m m

     

       

  1 ²      

  x

  G. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat ₂ a  bx  c  , a  0 ₂ a  bx  c  , a  0 ₂ a  bx  c  , a  0 ₂ a  bx  c  , a  0

  H. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

  Contoh 1: ₂ Himpunan penyelesaian dari x  x 2  3 > 0 adalah ....

  Pembahasan: ₂

  x

   x 2  3 = 0 ( x  3 )( x  1 ) = 0

  ( x  3 )  V ( x  1 )  x = 3 x = -1

• 1

  3

  x x x x R

  Jadi Hp =  |   1 atau  3 ,   Contoh 2: ₂

  x  x  

  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  3

  10 8 adalah .... Pembahasan: ₂ 3 x  x

  10  8  Pembuat nol: ₂ 3 x  x

  10  8  ( 3 x  2 )( x  4 ) 

  3 x   2  x 

  4

  2 x  

  3

  4

  2 

  3 Uji x diganti dengan 0 pada persamaan kuadratnya. Ternyata bernilai negatif, berarti daerah mulai

  2  sampai 4 bernilai negatif, sedangkan daerah lainnya bernilai positif.

  3 Karena soal diminta  , berarti daerah penyelesaiannya adalah daerah dengan nilai negatif.

   2 

  Jadi, HP = x |   x  4 , x  R  

  3  

  Pembahasan Soal-soal: ₂

  1. x  x 10  21  adalah ....

  Himpunan penyelesaian dari Pembahasan: ₂

  x  x

  10  21  Pembuat nol: ₂

  x  x

  10  21  ( x  7 )( x  3 ) 

  3

  x  7  x 

  3

  7 Karena >, maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif HP =  x | x  3 atau x  7 , x  R 

  2

   x  x   2.

  2

  11 5 adalah .... Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat

  Pembahasan: ₂  2 x  11 x  5 

  Pembuat nol: ₂  2 x  11 x  5 

  (  2 x  1 )( x  5 ) 

   2 x   1  x 

  5

  1 x 

  2

  1

  5

2 Karena  , maka daerah penyelesaiannya adalah daerah positif

  1  

  Hp = x |  x  5 , x  R  

  2   I.

   Bentuk Umum Fungsi Kuadrat ₂ f ( x )  ax  bx  c

  , a  J.

   Grafik Fungsi Kuadrat

  Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah: a).

  Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x → y = 0 ₂

  f ( x )  ax  bx  c ₂ y  ax  bx  c ₂

   ax  bx  c  ( px  r )( qx  s ) gunakan aturan pemfaktoran persamaan kuadrat

  px  r   qx  s  r s x   x   _{1 2} p q

     

  r s

  Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah  , dan  ,    

  p q

      b). Menentukan titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0 ₂

  f ( x )  ax  bx  c ₂ y  ax  bx  c ₂ y  a ( )  b ( )  c y  c

  Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah   , c c). Menentukan persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat ₂

  f x ax bx c

  ( )   

  b x   2 a d). x , y )

  Menentukan koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( p p ₂

  f x ax bx c

  ( )   

  b x   y  f ( x ) _{p p p} a

  2 x y

  Koordinat titik ekstrim/balik/puncak = ( , ) _{p p} e). Menghubungkan titik-titik yang telah ditemukan sehingga terbentuk kurva parabola fungsi kuadrat

  K. Persamaan Fungsi Kuadrat yang Diketahui Beberapa Titik x a).

  ( , ) dan Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui dua titik potong dengan sumbu x, yaitu ¹

  ( x , ) dan satu titik lain, yaitu ( y x , ) ₂

  y  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. f ( x )  a ( x  x )( x  x ) _{1 2} Lalu masukkan a, x , dan x (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{1 2} Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut. x y x

  b). , dan satu titik lain, yaitu ( y , ) Diketahui titik balik/puncak/ekstrim  p p  ₂

  y  a ( x  x )  y _{p p} Masukkan semua unsur, kemudian tentukanlah nilai a. ₂ f ( x )  a ( x  x )  y _{p p} Lalu masukkan a, x , dan y (x dan f(x) dibiarkan tetap). _{p p} Kemudian sederhanakan persamaan fungsi kuadrat tersebut.

  Contoh:

  Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah .... Pembahasan: memotong sumbu x di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6)

  x x x y

  sehingga:  ₁ 1 ,   ₂ 2 ,  , dan   6 , maka:

   y a x x x x

  = (  )(  ) _{1 2}

   y a x x x x

  = (  )(  ) _{1 2}

• – 6 = a (  1 )(  ( 

  2 ))

• – 6 = a ( 1 )(

  2 )

• – 6 = 

  2 a 

  6

  a =

  

  2 a = 3

  Jadi, fungsi kuadratnya f (x ) = a ( x  x )( x  x ) _{1 2}

  f (x ) =

  3 ( x  x 1 )(  (  2 )) = 3 ( x  ₂ 1 )( x  2 )

  x x x

  = 3 (  ₂ 2   2 )

  x

  = 3 (  x  ₂ 2 )

  f x  x 

  (x ) =

  3

  3

  6 Pembahasan Soal-soal: ₂ 1.

  y 

  3 x  x  2 dengan sumbu x dan sumbu y berturut- Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat turut adalah ....

  Pembahasan: Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu x ₂ → y = 0

  y 

  3 x  x  ₂

  2  3 x  x 

  2  x  x 

  (

  3 2 )( 1 ) untuk mengecek kebenaran gunakan aturan perkalian aljabar 

  3 x  2  x  1 

  2 x   x  _{1 2}

  1

  3

  2 

  Sehingga titik potong dengan sumbu x adalah  0, dan   1 ,  

  3  

  2 ²     x x x

  a =

  2  1   _p y

   4 1   _p y

  3  _p y

  Jadi, koordinat titik ekstrim/balik/puncak = (1 , 3) 3. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya seperti di bawah ini adalah ....

  Pembahasan: Berdasarkan grafik pada soal, diketahui bahwa grafik fungsi kuadrat tersebut memotong sumbu x di titik (– 3 , 0) dan (5 , 0) dan melalui titik (0 , 30) sehingga: , 30 dan ,

  5 ,

  3 _{2 1}      y x x x , maka:

   y = ) )( ( _{2 1}  x x x x a  y = ) )( ( _{2 1}  x x x x a 

  30 = ) 5 ))( ( 3 (    a 30 = )

  5 )( 3 (  a 30 =

  a 15 

  15

  1 ( ²    _p y

  30  a

  =

  2 

  Jadi, fungsi kuadratnya ) (x f = ) )( ( _{2 1}

   x x x x a 

  ) (x f =

  ) 5 ))( ( 3 (

   2    x x = ) 5 )(

  3 (  2   x x

  = )

  15

  3 5 (

  4

   4 ) 1 ( 2 )

  x y

  4 ( 2 ) ²    x x x f

  5

  30 Titik potong fungsi kuadrat dengan sumbu y → x = 0

  2

  3 ²    x x y

  ( 2 ) ) (

  3 ²    y

   2  y Sehingga titik potong dengan sumbu y adalah   2 , 0  2. Koordinat titik balik grafik fungsi

  4 ( 2 ) ²    x x x f adalah ....

  Pembahasan: Koordinat titik ekstrim/balik/puncak fungsi kuadrat ( _{p p}

  . y x )  c bx ax x f   ²

  ) (

  Sehingga:

   ) 1 ( f y _p

  1  a ,

   2  b ,

  4  c

  1

  2

  2 ) 1 (

  2 ) 2 (

  2  

      

  a b x _p

  4 ( 2 ) ²   

  x x x f ) ( _{p p} x f y

• 3

  2 f x x

  (x ) =  2 (  ₂ 2  15 )

  f  x  x 

  (x ) =

  2

  4

  30 4. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang titik puncaknya (–2 , 6) dan melalui titik (0 , 4) adalah ....

  Pembahasan: Persamaan fungsi kuadrat yang diketahui titik balik/puncak/ekstrim x , y , yaitu

   p p 

  (–2 , 6) dan satu titik lain ( y x , ) , yaitu (0 , 4) ₂

  y  a x  x  y ( ) _{p p 2}

  4  a (  (  ₂ 2 )) 

  6 4  a ( 2 ) 

  6 4  a ( 4 ) 

  6

  a 4  6 

  4  a 2 

  4 

  2 a

  

  4

  1 a  

  2 ₂ y  a x  x  y

  ( ) _{p p}

  1 ₂ y   ( x  (  2 )) 

  6

  2

  1 ₂ y   ( x  2 ) 

  6

  2

  1 _{2 2} y x x

    (  2 . 2 . 

2 ) 

  6

  2

  1 ₂ y   x  x  

  (

  4 4 )

  

6

  2

  1 ₂ y   x  x  

  2

  2

  6

  2

  1 ₂ y   x  2 x 

  4

  2

  1 ₂ Jadi, fungsinya f ( x )   x  2 x 

  4

  2 LATIHAN UN: ₂ 1. x  x

  4  21  adalah .... Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat A.

  {– 3 , – 7} B. {– 3 , 7} C. {3 , – 7} D.

  {3 , 7} E. {3 , 9} ₂

  2. x dan x adalah akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat x  x 9  7  , maka nilai dari Misalkan _{2 1 2 2} x . x  x . x adalah .... _{1 2 1 2} A.

  49 B.

  56 C.

  63 D.

  64 E.

  81 _{2 2 2} 3.

  x  x

  6  2  adalah x dan x . Nilai x  x 

  6 . x . x

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat _{1 2 1 2 1 2} adalah ....

  A.

  16 B.

  17 C.

  20 D.

  24 E.

  26

  4. Jika akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

          R x x x x , 4 atau

   

  4 | D.

  3

  2

         R x x x ,

   

  4 | C.

  3

         R x x x x , 2 atau

   

  2 | B.

  3

   

  4

  A.

  3 ²    x x adalah ....

  10

  8

  8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  8 3 |

    R x x x     ,

  8 3 | E.

    R x x x    ,

      , 3 atau 8 | D.

    R x x x x

     , 8 atau 3 | C.

         R x x x ,

  3

  B.  

        

  2

       

   

  C.

  3 1 | x x

  2

        

   

  B.

  3 | x x

  2

  1

   

  2 | E.

  A.

  4 ²     x x x adalah ....

  8

  2

  3

  5

  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat

  2 | 9.

  3

  4

          R x x x ,

   

  R x x x x

      , 8 atau 3 |

  5

  25

  5 ²    x x B.

  11

  12

  A.

  dan 3 adalah ....

  4 

  5

  5. Persamaan kuadrat yang akar-akar penyelesaiannya

  21 

  25

  E.

  11 

  D.

  11

  7 

  25

  11 C.

  25

  21 B.

  25

  A.

   adalah ....

  1 n m

  1

  2 ²    x x adalah m dan n, maka nilai _{2 2}

  3

  12

  5 ²    x x C.

  R x x x x

   q adalah ....

  A.  

  5 ²    x x adalah ....

  24

  Himpunan penyelesaian real dari pertidaksamaan kuadrat

  x x 7.

  12 ²    

  12 ²     x x E.

  12 ²    x x D.

  x C.

  12 ²    x

  12 ²    x x B.

  A.

   p dan ) 1 2 (

  12

  2 ²    x x adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru yang akar-akar penyelesaiannya ) 1 2 (

  3

  5

  Akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat

  5 ²     x x 6.

  11

  12

  5 ²     x x E.

  11

  12

  5 ²    x x D.

  11

  3 1 | x x

  D.

  3 ²    x x y E.

  4 ²    x x y C.

  6

  4 ²    x x y B.

  6

  A.

  Fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik balik (– 2 , – 10) dan melalui titik (0 , – 6) adalah ....

  3 ²    x x y 13.

  6

  6

  4 ²    x x y D.

  2 ²    x x y D.

  3

  6

  3 ²    x x y C.

  3

  6

  3 ²    x x y B.

  3

  6

  6

  6

  Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu X di titik (1 , 0) dan (– 2 , 0) dan melalui titik (0 , – 6) adalah ....

  6

  2

  2

  x y

  5 ²    x x y

  6

  2 ²    x x y E.

  6

  2 ²    x x y D.

  4 ²    x x y C.

  4

  6

  4 ²    x x y B.

  6

  A.

  Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah ....

  2 ²    x x y 14.

  4

  6

  2 ²    x x y E.

  A.

  E. ) 2 , 5 ( 12.

   

  5 ( 2 ) ²    x x x f memotong sumbu X dan sumbu Y di titik ....

  3

      , 12 , dan , , 4 ,

  B.

   

  3     

  2

  , 12 , dan , , 4 ,

  A.    

  12

   

  Grafik fungsi kuadrat

  3 atau 1 | x x x 10.

  2

        

   

  E.

  3 | x x x

  2

         1 atau

  2     

  C.    

  D. ) 1 , 5 (

  2

  ) 1 , 5 ( 

  B. ) 5 ,  1 (  C.

  A. ) 1 ,  5 ( 

  10 ²    x x y adalah ....

  24

  11. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat

   

  3      

  , 12 , dan , , 4 ,

  , 12 , dan , , 4 ,

  E.    

   

  3      

  2

      , 6 , dan , , 4 ,

  D.

   

  2      

  3

  6

  2

  15. y  x  3 x  4 adalah ....

  Grafik fungsi kuadrat

  y y A.

  D.

  x

  4

• – 4

  1

• – 4

  x

• – 1

  4

  y y B.

  E.

  4

  4

  x x

• – 4 1 – 3

  1

  y C. x

  4