IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks - Institutional Repository | Satya Wacana Christian University: Penerapan Bilangan Kompleks untuk Mengeksplorasi Karakteristik Segiempat = The Aplication of Complex Numbers to Explore Quadrilatera
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sifat-Sifat Bilangan Kompleks
Dalam bab ini, akan dikemukakan beberapa sifat tentang bilangan kompleks yang dapat digunakan untuk membuktikan kembali dan atau menemukan fakta baru tentang sifat-sifat bangun segiempat. Sifat-sifat yang dimaksud adalah [4]:
1. Setiap bilangan kompleks z dapat dikaitkan dengan vektor posisi OZ di bidang kompleks dengan titik pangkal di O dan titik ujung di Z. Dengan perkataan lain setiap bilangan kompleks dapat dipikirkan sebagai suatu vektor. Ini berarti penjumlahan dua bilangan kompleks itu sama persis dengan penjumlahan dua vektor dibidang. 2. dan dua bilangan kompleks yang tidak
Misalkan segaris maupun tidak sejajar yang memiliki sifat dengan x dan y adalah dua bilangan real, maka pastilah dan .
3. merupakan bilangan
Syarat cukup dua garis tegak lurus adalah imajiner murni. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
̅̅̅̅̅̅̅ 4. Syarat cukup agar ketiga titik A, B, dan C segaris adalah ( ) merupakan bilangan imajiner murni. Di sini a, b, dan c adalah bilangan- bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, dan C.
5. Syarat cukup titik A, B, C, dan D membentuk segiempat talibusur adalah merupakan bilangan real. Di sini a, b, c dan d adalah bilangan- bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik A, B, C dan D.
6. Misalkan titik A terletak diluar lingkaran satuan S, AE dan AF adalah dua garis singgung pada lingkaran tersebut yang ditarik dari titik A sebagai mana terlihat pada Gambar 1.
Gambar 4.1. Sepasang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik Amaka berlaku Bukti fakta ini bisa dilihat di [4].
4.2 Penerapan Bilangan Kompleks Untuk Mengeksplorasi Sifat-Sifat
SegiempatBerikut ini, disajikan soal-soal penerapan bilangan kompleks untuk mengeksplorasi sifat-sifat segiempat. Soal-soal yang dipilih dianggap dalam penyelesaian dengan konsep dan sifat bilangan kompleks lebih mudah dibandingkan menggunakan hukum-hukum geometri Euclid
Soal 1 : Soal ini merupakan contoh soal yang diambil dalam artikel Geometric
Aplication of Complex Number hal. 5 [1].Misalkan ABCD adalah jajar genjang dan E, F, G, H adalah titik tengah dari masing-masing garis AB, BC, CD, DA. Tunjukkan bahwa dan dan EFGH adalah jajar genjang.
Gambar 4.2.1. ABCD adalah Jajar Genjang dengan E, F, G, H adalah Titik-Titik Tengah Setiap Sisinya.Penyelesaian: Perhatikan Gambar 4.2.1. Misalkan a, b, c dan d berturut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, dan D. Menggunakan sifat
1, bilangan kompleks ( ) mewakili titik tengah E sedangkan bilangan kompleks
( ) mewakili titik tengah G. Jadi, ( ). Diketahui ABCD adalah jajar genjang, maka dan . Sehingga
( ) ( ) ( ) Jadi, EG dan BC sejajar dan sama panjang. Selanjutnya, analog dengan cara di atas diperoleh
( ) ( ) ( ) Jadi, HF dan DC sejajar dan sama panjang.
Perhatikan segiempat EFGH.
( ) dan ( ). Oleh karena itu, EF dan GH sejajar dan sama panjang, sehingga EFGH adalah jajar genjang. Q. E. D.
Soal 2: Soal ini merupakan soal no. 1.8 buku M. R. Spigel, [10] Complex
Variables hal. 24. Buktikan bahwa kedua diagonal dalam jajar genjang saling
potong memotong ditengah-tengah.Gambar 4.2.2. Kedua Diagonal dalam Jajar Genjang Saling Potong-MemotongDitengah-Tengah Penyelesaian: Perhatikan Gambar 4.2.2. Misalkan OABC adalah jajar genjang dengan diagonal berpotongan di P. Misalkan pula dan . Jadi, . Karena , , maka ( ) dengan .
Dengan cara yang sama diperoleh ( ) dengan .
Selanjutnya, akan ditunjukkan . Tetapi merupakan bilangan imajiner murni, sehingga
( ) ( ) atau (
) ( ) Dengan demikian menurut sifat 2 diperoleh ( ) dan . Ini berarti , . Jadi, terbukti P adalah titik tengah dari diagonal tersebut.
Q. E. D.
Soal 3 : Bukti Varignon’s theorem [2].
Titik tengah sisi segiempat sembarang membentuk jajar genjang.
Gambar 4.2.3.
Varignon’s Theorem
penyelesaian: Misalkan a, b, c, d, k, l, m dan n bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, K, L, M dan N. Diberikan titik tengah K,
L , M, dan N, seperti Gambar 4.2.3. Menggunakan sifat 1, bilangan kompleks
( ) mewakili titik tengah garis AB. Dengan cara yang sama untuk menunjukan hasil l, m dan n. Oleh karena itu ( ) ( ) ( )
Dan ( ) ( ) ( )
Sehingga , jadi garis oleh karena itu KLMN adalah jajarangenjang.
Q. E. D.
Soal 4 : Bukti Van Aubel’s theorem [2].
Jika pada suatu segiempat di sebelah kanan panjang sisi segiempat diletakan sebuah persegi yang bersesuaian dengan panjang sisi segiempat tersebut, maka dua garis yang terhubung dengan titik tengah pusat persegi adalah sama panjang dan tegak lurus.
Gambar 4.2.4 Van Aubel’s Theorem
Penyelesaian: Misalkan a, b, c, d, t, u, v dan w bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C, D, T, U, V dan W. Perhatikan segiempat
ABCD dan titik-titik pusat persegi T, U, V, W, seperti yang ditunjukkan pada
gambar 4.2.4. selanjutnya, ketiga titik A, T, B membentuk vertex sebuah persegi.Jadi, dengan menggunakan sifat 1 diperoleh ( ) ( )
Dengan cara yang sama ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Sehingga ( ) ( )
Dan ( ) ( ) ( ) Terbukti, UW dan TV tegak lurus dan sama panjang.
Q. E. D
Soal 5 : Bukti [7] Thebault’s first theorem
Jika pada setiap sisi suatu jajar genjang dibentuk persegi maka pusat dari keempat persegi tersebut akan berupa persegi.
Gambar 4.2.5.
Thebault’s First Theorem
Penyelesaian: Misalkan dan masing-masing menyatakan bilangan kompleks yang bersesuaian dengan DC dan CB.
Misalkan pula M
1 , M 2 , M 3 , dan M 4 adalah tititk dari persegi sebagaimana terlihat
pada gambar 4.2.5. jadi, Analog diperoleh Dari hasil di atas diperoleh
( ) ( )
Dengan demikian, ( )
Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan ( ) .
Soal 6: Berikut akan dibuktikan bahwa di dalam belah ketupat diagonalnya tegak
lurus satu sama lain. Gambar 4.2.6. Diagonal Belah Ketupat Tegak Lurus Satu Sama Lain Penyelesaian Perhatikan Gambar 4.2.6. Misalkan OABC adalah belah ketupat dengan dan. Ini berarti | | | | dan . Jadi, . Akan ditunjukkan . Menggunakan sifat 3, cukup ditunjukkan bahwa
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( )
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ̅)( )( )( ̅ ̅)
( ̅ ̅) | | | | Terbukti.
Q. E. D.
Soal 7: Jika masing-masing diagonal dari segiempat membagi dua sama panjang,
maka terjadilah jajar genjang [1]. Gambar 4.2.7. Diagonal Jajar Genjang Membagi Dua Sama PanjangPenyelesaian: Perhatikan Gambar 4.2.7. Misalkan
( ) adalah tititk ) ( ) ( ) dan ( sudut dari segiempat yang kedua diagonal potong memotong ditengah-tengah.
Misalkan pula E adalah titik potong dari AC dan BD. Diketahui dan . Karena E titik tengah dari AC, maka menggunakan sifat 1 diperoleh
( ). Tetapi E juga titik tengah dari BD jadi ( ). Ini berakibat ) )
( (
Atau
) ( ) (
Ini berarti AD dan BC sama panjang dan sejajar. Analog diperoleh AD dan BC sama panjang dan sejajar. Dari bukti-bukti tersebut dapat diketahui bahwa gambar tersebut adalah jajar genjang.
Soal 8 [5]: Diberikan tiga titik A, B dan C yang tak segaris, seperti Gambar 4.2.8.
Misalkan Z adalah pencerminan dari C pada garis AB. Maka, z dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: ̅ ̅ ̅ ̅
̅ ̅
Gambar 4.2.8. Z adalah hasil pencerminan titik C terhadap garis ABPenyelesaian: Perhatikan Gambar 4.2.8, misalkan a, b, c dan z bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, C dan Z. Misalkan pula M adalah titik tengah dari ZC. Jadi, Karena Z adalah hasil pencerminan dari C terhadap garis AB, maka M pasti terletak pada garis AB. Sehingga menurut sifat
3 diperoleh ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
( ) Karena maka
̅ ̅ ̅ ( )
( ̅ ̅) Demikian pula karena ZC tegak lurus terhadap garis AB
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ( )
̅ ̅ Selanjutnya, diperoleh
̅ ̅ ̅ ( )
( ) ( ̅ ̅) dan
̅ ̅ ( )
̅ ̅ Kedua persamaan (1) dan (2) dapat dipikirkan sebagai sistem persamaan dalam z dan
̅. Sistem persamaan z dan ̅ dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut: ̅ ̅ ( ) dengan ̅ ̅ ( ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) Apabila sistem persamaan (3) dan (4) diselesaikan untuk sistem persamaan untuk
z diperoleh
| ̅ ̅ ̅ ̅( )
| ( ̅ ̅)( )
| |
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ Q. E. D.
Soal 9: Diketahui a, b, dan c adalah bilangan kompleks yang terletak pada
lingkaran satuan di bidang kompleks dan h adalah bilangan kompleks
. Jika A, B, C dan H berturut turut adalah titik-titik pada bidang yang bersesuaian dengan bilangan kompleks a, b, c dan h, maka buktikan bahwa titik H merupakan titik potong dari garis tinggi segitiga ABC [5].
Gambar. 4.2.9. Titik H Merupakan Titik Potong Garis Tinggi Segitiga ABC
Penyelesaian: Perhatikan Gambar. 4.2.9. Untuk membuktikan H adalah titik tinggi segitiga ABC, ditunjukkan
. Jadi, menurut sifat 3 akan ditunjukkan bahwa bilangan adalah bilangan imajiner murni.
Perhatikan bahwa ( )
Dengan demikian ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ ̅ ̅ (
) ̅ ̅
Oleh karena itu, terbukti k adalah bilangan imajiner murni, sehingga . Analog di atas . Jadi, dapat disimpulkan bahwa dan . Sehingga, H adalah titik potong dari garis tinggi segitiga , terbukti. Q. E. D.
Soal 10: Soal berikut ini adalah soal no. 2 dari soal Olimpiade Matematika
USAMO 2015 [5].Pada Gambar. 4.2.10. Terlihat segiempat APBQ terletak pada lingkaran dengan dan
. X adalah sembarang titik pada segmen garis PQ dan S adalah titik potong garis AX dengan lingkaran . Titik T terletak pada busur AQB pada lingkaran sehingga XT tegak lurus AX dan M adalah titik tengah segmen garis ST.
Gambar. 4.2.10. Ilustrasi Latar Belakang Soal USAMO 2015 No. 2
Jika X bergerak sepanjang segmen garis PQ, maka tunjukkan bahwa M bergerak sepanjang lingkaran. Penyelesaian: Perhatikan Gambar. 4.2.11.
Gambar. 4.2.11. a, b, m, o, p, q, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, M, O, P, Q, S, T dan X. Misalkan a, b, s, t dan x bertutut-turut adalah bilangan kompleks yang bersesuaian dengan titik-titik A, B, S, T dan X. Tanpa mengurangi keumumannya dimisalkan merupakan lingkaran satuan dan O sebagai titik pusat lingkaran tersebut, maka .
Karena AB merupakan diameter dari , maka dan . Selanjutnya, perhatikan bahwa APBQ adalah layang-layang. Jadi,
. Tetapi AB berimpit dengan sumbu real, sehingga semua titik pada segmen garis PQ tegak lurus terhadap sumbu real. Ini berarti semua titik pada segmen garis PQ memiliki bagian real yang sama. Oleh karena itu,
( ) konstan. Karena A ,
X , dan S segaris. Maka menurut sifat 4:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅
( ) ⁄ ( )
Sedangkan XT tegak lurus terhadap AB, maka menurut sifat 2: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅ ( )
⁄ ( ) Apabila kedua persamaan (5) dan (6) diselesaikan untuk x dan
̅, akan diperoleh ( ) dan
̅ ( )
Perhatikan bahwa ̅
( ) ( )
Karena titik Z terletak terletak pada lingkaran satuan , sehingga , maka
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ | | | | ( ) ( ) ( ) (
) ( )
( ) Terbukti bahwa M terletak pada lingkaran dengan pusat Z dan jari-jari √ ( ) Q. E. D.
Soal 11 : Soal ini merupakan salah satu soal seleksi tingkat kabupaten/kota OSN
2009 bidang matematika SMA [13]. Diberikan segitiga ABC lancip. Lingkaran dalam segitiga ABC dengan titik pusat I menyinggung sisi-sisi BC, CA, dan AB berurut-turut di D, E, dan F. Garis bagi sudut A memotong DE di K.
a) Buktikan bahwa BK tegak lurus garis bagi sudut BAC.
b) Buktikan bahwa CL tegak lurus garis bagi sudut BAC, dimana L adalah titik potong garis bagi sudut A dan garis DF.
c)
1 KML adalah segiempat talibusur, jika AA 1 adalah garis
Tunjukkan bahwa A tinggi dan M titik tengah BC. Ilustrasi soal di atas diperlihatkan pada Gambar. 4.2.12.
Gambar. 4.2.12. OSN SMA 2009 BK Tegak Lurus AK, CL Tegak Lurus AL dan
A1 KML adalah Segiempat Talibusur.
Penyelesaian: Tanpa mengurangi keumumannya lingkaran dalam segitiga ABC dipikirkan sebagai lingkaran satuan dibidang kompleks dengan pusat koordinat di I dan sumbu realnya berimpit dengan garis bagi sudut A sebagaimana terlihat pada Gambar. 4.2.13.
Gambar. 4.2.13. Titik I Merupakan Pusat Koordinat dan Garis Bagi Merupakan Sumbu Real.
Jadi, persamaan garis bagi adalah ̅ . Karena EF tegak lurus AI dan E terletak pada lingkaran satuan, maka atau ̅ . Selanjutnya, menggunakan sifat 6 diperoleh Mengunakan sifat 2 diperoleh
( ) Misalkan z sembarang titik yang terletak pada garis DE, maka z segaris dengan garis DE. Oleh karena itu berdasarkan sifat 4 persamaan garis DE adalah
̅ ̅ ̅ ̅ atau
̅ ̅ ( )
̅ ̅
Bentuk persamaan tersebut dapat disederhakan menjadi ( ) (
) ̅ ( )( ) atau ̅ . Jadi, persamaan garis DE adalah ̅ . Dengan cara yang sama persamaan garis DF adalah ̅ .
Misalkan z sembarang titik pada BC dan , maka berdasarkan sifat 3 diperoleh
̅̅̅̅̅̅̅ Karena I adalah titik pusat koordinat dan titik D terletak pada lingkaran satuan, maka diperoleh
̅ ̅ ̅ atau
( ) ̅
Jika persamaan (8) disederhanakan akan diperoleh ̅ . Jadi, persamaan garis BC adalah
̅ . Dengan cara serupa di atas, persamaan garis AA
1 diperoleh dari:
̅ ̅ ̅ ̅ atau
̅ ( )
Dengan menyederhanakan persamaan (9), maka persamaan garis akhir dapat ditulis dalam bentuk .
( ) ( ) ̅ Selanjutnya, dengan memotongkan garis DE dan sumbu real AI diperoleh titik K yaitu Demikian pula dengan memotongkan garis DF dan sumbu real AI diperoleh titik L yaitu Sementara itu dengan memotongkan garis AA
1 dan garis BC diperoleh titik A
1
yaitu dengan mensubtitusikan persamaan garis BC pada AA
1 . Oleh karena itu, diperoleh persamaan garis A yaitu
1
( ) ( ) . Sehingga, hasil akhir persamaan garis A adalah
1 1.
bernilai imajiner. Untuk membuktikan cukup ditunjukkan
Sehingga ̅ ̅
̅ ̅ ̅
Jadi, terbukti bernilai imajiner, sehingga terbukti pula .
2. Untuk membuktikan bahwa dapat dilakukan dengan komputasi a).
3. adalah segiempat talibusur, perhatikan Gambar.
1 KML
Untuk membuktikan A 4.2.14.
.
Gambar. 4.2.14. A KML adalah segiempat talibusur
1 Cukup ditunjukkan
bernilai real. Perhatikan bahwa dan Sehingga Akibatnya
̅ Jadi, terbukti bahwa Y adalah real, maka terbukti A KML adalah segi empat tali
1 busur.
Q. E. D.