SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.11 SUDUT ANTARA DUA VEKTOR)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 11.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara
dua vektor.
Sudut
Antara Dua Vektor
Diketahui
Komponen Vektor
Titik Koordinat
⃗
� = ∠(⃗⃗⃗, ⃗⃗)
⃗=
⃗⃗ =
⃗⃗
⃗+
⃗+
⃗+
⃗+
Panjang dan ResultanVektor
| ⃗|
� = ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
�⃗⃗
�⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗⃗
�
| ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| + | ⃗|| ⃗⃗| cos �
| ⃗ − ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| − | ⃗|| ⃗⃗| cos �
Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor
cos � =
| ⃗⃗|
Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor
⃗⃗⃗∙⃗⃗
|⃗⃗⃗||⃗⃗|
cos � =
cos � =
|⃗⃗⃗+⃗⃗⃗|
−
atau
|⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|
+|⃗⃗⃗|
+|⃗⃗⃗| −|⃗⃗⃗−⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|
Besar Sudut
Antara Dua Vektor
“Sudut b�rapa yang nilai cosnya �"
cos � = � ⇒ � = cos− �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 73
TRIK SUPERKILAT:
Tentukan dua vektor
Cek
Perkalian titik
Perkalian titik = 0
�=
°
��rkalian titik ≠
Gunakan rumus cos �
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas
bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang
diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua
titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.
Langkah TRIK SUPERKILAT:
Halaman 74
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut �.
Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut � pasti °! Kalau
perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos � yang sesuai
dengan kondisi soal.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ +
�⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
| ⃗| = √ + −
=√ +
+
=√
=
+
Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:
⃗ = ⃗− ⃗+
12
5
12
3
4
�⃗⃗
(ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)
(ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)
13
Keterangan:
Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor.
Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor ⃗ yaitu 3, 4, 12.
Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.
Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.
Selesai! Panjang vektor ⃗ adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3
4
5
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil s�p�rti , , , , dst… maka trip�l �ythagorasnya adalah bilangan t�rs�but
5 12 13
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
7 24 25
Contoh:
9 40 41
= maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
8
15
17
=
maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
�
√
√
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah �, maka nilai � bisa ditentukan oleh:
� =( √ ) +( √ )
⇒ �=√
+
⇒ �=√
+
⇒ �=√ √ +
⇒ �= √ +
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
√
√ +
√
√ +
√
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
Contoh:
√
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
Cari FPB dari 12 dan 8.
FPBnya adalah 4.
Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya
= √ dan = √ ,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah √ +
Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!
√
= √
√
√
Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
| ⃗| = √ + −
+
=√ + +
=√ =√ √ = √
Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:
⃗ =
4
√
⃗ −
2
⃗ + ��⃗⃗
√
√�
√ +
√
Halaman 76
6
+�
(hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)
F�B dari , , dan adalah . Ubah bilangan , , m�njadi dikali akar b�rapa gitu…
(jumlahkan +
+ )
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ + ⃗. Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah ….
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( ) ⇒ | ⃗| = √
⃗⃗ = ⃗ + ⃗ = ( )
⇒ | ⃗⃗| = √
Dengan demikian diperoleh:
cos � =
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=√
+ +
=√ + +
=√
=√
=√ √ = √
=√ √ = √
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗|| ⃗⃗|
( )∙( )
√ ∙ √
+
+ +
√ √
√
√
√
×
√
+
√
√
= √
Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ⃗ ∙ ⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( ) =
⃗⃗ = ⃗ + ⃗ = ( ) =
√
√
√
√
√
⇒ | ⃗| = √ + +
⇒ | ⃗⃗| = √ +
= √
= √
Lanjutkan dengan menghitung nilai cos � menggunakan rumus:
( )∙( )
⃗ ∙ ⃗⃗
cos � =
=
=
| ⃗|| ⃗⃗|
√ ∙ √
…
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 77
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.
Contoh Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika ⃗⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
maka sudut yang dibentuk oleh vektor ⃗⃗ dan ⃗ adalah …
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √
+
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √
+
Dengan demikian diperoleh:
cos � =
=
=√
+ +
+
+
=√
=√
=
= √
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
( )∙( )
∙ √
+
+ +
=
=
=
+
=√
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
=
+
√
√
√
= √
×
√
√
+
√
√
Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Lihat bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) =
√
√
kar�na kompon�n yang lain nol
⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √ +
= √
serta hasil kali titik dari ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang
memuat bilangan √ . Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos � = √ , dan satu-
satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos � = √ adalah� =
Halaman 78
°.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.
Contoh Soal:
Diketahui| ⃗| = , | ⃗⃗| = , dan | ⃗ + ⃗⃗| = √
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
. Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah ….
Penyelesaian:
Ingat | ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| + | ⃗|| ⃗⃗| cos �
Dengan demikian diperoleh:
|⃗⃗ + ⃗⃗| = |⃗⃗| + |⃗⃗| + |⃗⃗||⃗⃗| cos �
⇔ (√ ) =
⇔
=
⇔
=
⇔
−
=
⇔
=
⇔
⇔
⇔
+
+
+ +
cos �
+
cos �
cos �
cos �
cos �
= cos �
= cos �
cos � =
Jadi, karena cos � = , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos � =
=
=
=
=
| ⃗ + ⃗⃗| − | ⃗| + | ⃗⃗|
−
−
| ⃗|| ⃗⃗|
+
Jadi, karena cos � = , maka besar sudut � =
°
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 79
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
3
2
Diketahui vektor a 3 dan b 2 . Sudut antara vektor a dan b adalah ....
4
3
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
⃗ ∙ ⃗⃗
A. 135°
Kalau
nol pasti siku-siku.
cos ∠( ⃗, ⃗⃗) =
| || |
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
B. 120°
+ −
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
C. 90°
=
√ √
D. 60°
=
E. 45°
∴ cos � =
⇒�=
°
Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....
A. 30°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , ,
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
B. 45°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , , −
Kalau nol pasti siku-siku.
C. 60°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
D. 90°
cos ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
sama
dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| || |
E. 120°
=
=
∴ cos � =
+
−
√ √
⇒�=
°
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 80
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 11.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara
dua vektor.
Sudut
Antara Dua Vektor
Diketahui
Komponen Vektor
Titik Koordinat
⃗
� = ∠(⃗⃗⃗, ⃗⃗)
⃗=
⃗⃗ =
⃗⃗
⃗+
⃗+
⃗+
⃗+
Panjang dan ResultanVektor
| ⃗|
� = ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
�⃗⃗
�⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗⃗
�
| ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| + | ⃗|| ⃗⃗| cos �
| ⃗ − ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| − | ⃗|| ⃗⃗| cos �
Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor
cos � =
| ⃗⃗|
Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor
⃗⃗⃗∙⃗⃗
|⃗⃗⃗||⃗⃗|
cos � =
cos � =
|⃗⃗⃗+⃗⃗⃗|
−
atau
|⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|
+|⃗⃗⃗|
+|⃗⃗⃗| −|⃗⃗⃗−⃗⃗⃗|
|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|
Besar Sudut
Antara Dua Vektor
“Sudut b�rapa yang nilai cosnya �"
cos � = � ⇒ � = cos− �
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 73
TRIK SUPERKILAT:
Tentukan dua vektor
Cek
Perkalian titik
Perkalian titik = 0
�=
°
��rkalian titik ≠
Gunakan rumus cos �
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas
bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang
diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua
titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.
Langkah TRIK SUPERKILAT:
Halaman 74
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut �.
Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut � pasti °! Kalau
perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos � yang sesuai
dengan kondisi soal.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ +
�⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
| ⃗| = √ + −
=√ +
+
=√
=
+
Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:
⃗ = ⃗− ⃗+
12
5
12
3
4
�⃗⃗
(ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)
(ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)
13
Keterangan:
Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor.
Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor ⃗ yaitu 3, 4, 12.
Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.
Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.
Selesai! Panjang vektor ⃗ adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3
4
5
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil s�p�rti , , , , dst… maka trip�l �ythagorasnya adalah bilangan t�rs�but
5 12 13
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
7 24 25
Contoh:
9 40 41
= maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
8
15
17
=
maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
�
√
√
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah �, maka nilai � bisa ditentukan oleh:
� =( √ ) +( √ )
⇒ �=√
+
⇒ �=√
+
⇒ �=√ √ +
⇒ �= √ +
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
√
√ +
√
√ +
√
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
Contoh:
√
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
Cari FPB dari 12 dan 8.
FPBnya adalah 4.
Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya
= √ dan = √ ,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah √ +
Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!
√
= √
√
√
Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
| ⃗| = √ + −
+
=√ + +
=√ =√ √ = √
Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:
⃗ =
4
√
⃗ −
2
⃗ + ��⃗⃗
√
√�
√ +
√
Halaman 76
6
+�
(hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)
F�B dari , , dan adalah . Ubah bilangan , , m�njadi dikali akar b�rapa gitu…
(jumlahkan +
+ )
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ + ⃗. Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah ….
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( ) ⇒ | ⃗| = √
⃗⃗ = ⃗ + ⃗ = ( )
⇒ | ⃗⃗| = √
Dengan demikian diperoleh:
cos � =
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
=√
+ +
=√ + +
=√
=√
=√ √ = √
=√ √ = √
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗|| ⃗⃗|
( )∙( )
√ ∙ √
+
+ +
√ √
√
√
√
×
√
+
√
√
= √
Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ⃗ ∙ ⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( ) =
⃗⃗ = ⃗ + ⃗ = ( ) =
√
√
√
√
√
⇒ | ⃗| = √ + +
⇒ | ⃗⃗| = √ +
= √
= √
Lanjutkan dengan menghitung nilai cos � menggunakan rumus:
( )∙( )
⃗ ∙ ⃗⃗
cos � =
=
=
| ⃗|| ⃗⃗|
√ ∙ √
…
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 77
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.
Contoh Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika ⃗⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
maka sudut yang dibentuk oleh vektor ⃗⃗ dan ⃗ adalah …
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √
+
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √
+
Dengan demikian diperoleh:
cos � =
=
=√
+ +
+
+
=√
=√
=
= √
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
( )∙( )
∙ √
+
+ +
=
=
=
+
=√
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=
=
+
√
√
√
= √
×
√
√
+
√
√
Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Lihat bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) =
√
√
kar�na kompon�n yang lain nol
⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √ +
= √
serta hasil kali titik dari ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang
memuat bilangan √ . Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos � = √ , dan satu-
satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos � = √ adalah� =
Halaman 78
°.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.
Contoh Soal:
Diketahui| ⃗| = , | ⃗⃗| = , dan | ⃗ + ⃗⃗| = √
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
. Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah ….
Penyelesaian:
Ingat | ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + | ⃗⃗| + | ⃗|| ⃗⃗| cos �
Dengan demikian diperoleh:
|⃗⃗ + ⃗⃗| = |⃗⃗| + |⃗⃗| + |⃗⃗||⃗⃗| cos �
⇔ (√ ) =
⇔
=
⇔
=
⇔
−
=
⇔
=
⇔
⇔
⇔
+
+
+ +
cos �
+
cos �
cos �
cos �
cos �
= cos �
= cos �
cos � =
Jadi, karena cos � = , maka besar sudut � =
°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos � =
=
=
=
=
| ⃗ + ⃗⃗| − | ⃗| + | ⃗⃗|
−
−
| ⃗|| ⃗⃗|
+
Jadi, karena cos � = , maka besar sudut � =
°
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 79
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2.
3
2
Diketahui vektor a 3 dan b 2 . Sudut antara vektor a dan b adalah ....
4
3
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
⃗ ∙ ⃗⃗
A. 135°
Kalau
nol pasti siku-siku.
cos ∠( ⃗, ⃗⃗) =
| || |
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
B. 120°
+ −
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
C. 90°
=
√ √
D. 60°
=
E. 45°
∴ cos � =
⇒�=
°
Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....
A. 30°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , ,
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
B. 45°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , , −
Kalau nol pasti siku-siku.
C. 60°
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
D. 90°
cos ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
sama
dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
| || |
E. 120°
=
=
∴ cos � =
+
−
√ √
⇒�=
°
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 80
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)