SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.10 OPERASI ALJABAR VEKTOR)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 10.
Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Vektor
Operasi Aljabar Vektor
Notasi Vektor
⃗=
�⃗ = �
�⃗⃗ = (
⃗+
⃗+
⃗+ �
⃗+ �
)
�
⃗⃗
� = (�
�
Penjumlahan Vektor
)
Jumlahkan Komponen yang Sama
⃗ + ⃗⃗ = (
komponen pada sumbu X
komponen pada sumbu Y
komponen pada sumbu Z
+
+
+
)+( )=(
)
Pengurangan Vektor
Kurangkan Kompon�n yang Sama
Panjang Vektor
⃗ − ⃗⃗ = (
Akar dari jumlah kuadrat
| ⃗| = √
+
+
−
−
−
)−( )=(
)
Perkalian Skalar
Dua ��ktor Harus S�arah
Kalikan Kompon�n yang Sama
Vektor Posisi
O
,
⃗
,
⃗ ∙ ⃗⃗ = | ⃗|| ⃗⃗| cos �
⃗ ∙ ⃗⃗ =
+
+
Titik Koordinat = Kompon�n ��ktor
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ = (
Perkalian Vektor
)
Dua ��ktor Harus T�gak Lurus
�utar Kompon�n yang B�da
⃗ × ⃗⃗ = | ⃗|| ⃗⃗| sin �
⃗ × ⃗⃗ = |
Vektor Pada Dua Titik
O
−⃗
⃗⃗
,
,
,
,
= ⃗⃗ − ⃗ = (
⃗
�⃗⃗
|
Pembagian Ruas Garis
B�lakang Kurangi D�pan
−
−
−
⃗
)
Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya
⃗
,
�⃗
,
(
⃗⃗
�, �, �)
,
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
�⃗ =
⃗⃗ + ⃗
+
Halaman 65
Sifat Operasi Vektor:
⃗ + ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗
( ⃗ + ⃗⃗) + ⃗ = ⃗ + ( ⃗⃗ + ⃗)
⃗+ = + ⃗= ⃗
⃗ + −⃗ =
Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:
⃗ ∙ ⃗⃗ = ⃗⃗ ∙ ⃗
⃗ ∙ ( ⃗⃗ + ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ + ⃗ ∙ ⃗
2
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗|
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =
Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:
Halaman 66
⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = �⃗⃗ × �⃗⃗ =
⃗ × ⃗ = �⃗⃗
⃗ × �⃗⃗ = ⃗
�⃗⃗ × ⃗ = ⃗
⃗ × ⃗ = −�⃗⃗
�⃗⃗ × ⃗ = −⃗
⃗ × �⃗⃗ = −⃗
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT:
Jabarkan
Lihat Syarat
Hitung
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal
yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan
maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.
Misal diketahui ⃗, ⃗⃗, dan ⃗ . Jika ⃗ ⊥ ⃗⃗, maka tentukan hasil dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ !
Maka jabarkan ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗ − ⃗
= ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗) − ( ⃗⃗ ∙ ⃗)
�
= |⃗⃗⃗| − ⃗ ∙ ⃗ + � − ( ⃗⃗ ∙ ⃗)
Tips dan triknya adalah,
Lihat syarat,
Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada
komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).
Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor
tersebut.
Perhatikan tulisan berwarna merah (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!
Perhatikan warna biru ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ . Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!
Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat ⃗ ∙ ⃗ atau ( ⃗⃗ ∙ ⃗)?
Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA!
SELESAI!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 67
KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS:
Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik,
semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.
Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama.
Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama.
Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.
PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross
product. Triknya adalah sebagai berikut:
⃗�⃗
⃗
+
⃗
⃗⃗
⃗× ⃗= �
Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam
hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.
⃗⃗.
⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF �
⃗⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗.
⃗ dikalikan silang dengan �
⃗⃗
� dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗.
Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.
⃗⃗.
Contohnya yaitu apabila ⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya NEGATIF �
⃗⃗
⃗ × ⃗ = −�
Halaman 68
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus.
Contoh Soal:
�
Diketahui vektor ⃗ = ( ), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( ). Jika vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗⃗, maka
−
tentukan nilai dari ⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ….
a.
b.
c. 12
d. 18
e. 24
Penyelesaian:
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
�
⇔ ( ) ∙ (− ) =
⇔ �−
+ =
⇔
�− =
⇔
�=
⇔
�=
Dengan demikian diperoleh:
⃗=( )
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =
⃗∙ ⃗=( )∙(
∙
−
Jadi nilai
∙
−
)=
∙
+
= ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗
= ( ⃗ ∙ ⃗⃗) − ⃗ ∙ ⃗
=
−
= +
=
−
∙
+( ∙ − )=
+ −
=
=
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ⃗⃗ tegak lurus ⃗⃗, maka ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ = �
Jabarkan perkalian titik pada soal:
⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = �(⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗) − ⃗ ∙ ⃗
=�−
=−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 69
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = (
), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = (
−
tentukan nilai dari ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) = ….
a. −
b.
c. 12
d. 48
e. 72
Penyelesaian:
⃗ b�rlawanan arah d�ngan ⃗ ⇒
−
). Jika vektor ⃗ berlawanan dengan vektor ⃗, maka
⃗ = −� ⃗
−
⇔ ( ) = −� ( )
−
Dari persamaan tersebut diperoleh:
= −� −
Maka,
= −�
⇒�=
⇒
= (− )
Dengan demikian diperoleh:
=−
⃗ = (− )
−
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ∙ ⃗⃗ = (− ) ∙ (− ) = ∙ + ( − ∙ − ) + ( −
−
−
⃗ ∙ ⃗ = (− ) ∙ ( ) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) + ( −
−
∙ )=
+ −
∙ )=− − −
=
=−
⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗⃗
=
=
=
=
⃗ ∙ ⃗ − ( ⃗ ∙ ⃗⃗)
− −
− −
Jadi nilai ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) =
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan.
Perhatikan vektor ⃗ dan vektor ⃗ berikut:
⃗=(
−
−
) dan ⃗ = ( )
Bandingkan kotak merah dan kotak biru.
Logika praktisnya. Kalau − itu 1, maka 2 itu − . Jelas bahwa
Halaman 70
=− .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang.
Contoh Soal:
−
Diketahui vektor ⃗ = ( � ), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( ). Jika panjang vektor ⃗ sama dengan panjang vektor
−
⃗⃗, dan � < , maka tentukan nilai dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ….
a. −
b. −
c. 3
d. 9
e. 15
Penyelesaian:
| ⃗|=| ⃗⃗| ⇒ √
=√
+ −
+
+ � + −
⇔
+ � + −
=
+ −
+
⇔
+� + = + +
⇔
� + =
⇔
� + −
=
⇔
� − =
p�mbuat nol
⇔
�+
�− =
⇔ � + = atau � − =
⇔
� = − atau � =
Karena syarat � > , maka � = .
Dengan demikian diperoleh ⃗ = ( )
−
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ∙ ⃗⃗ = ( ) ∙ (− ) = ∙ + ( ∙ − ) + ( −
−
−
⃗∙ ⃗=( )∙( )=( ∙ − )+ ∙ +( −
−
−
⃗⃗ ∙ ⃗ = (− ) ∙ ( ) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) +
| ⃗⃗| =
+ −
+
=
+ +
=
∙ )=
− −
=−
∙ )=− + −
=−
∙
=−
=− − +
( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗⃗ ∙ ⃗
= ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + | ⃗⃗| − ⃗⃗ ∙ ⃗
= − − − +
− −
=− + +
+
=
Jadi nilai ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) =
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor ⃗ dan ⃗⃗
⃗=(
−
) dan ⃗⃗ = (− )
Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif
maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: −
=
= .
⃗⃗
⃗⃗
Sekarang bandingkan bilangan pada vektor ⃗ dan . Pada vektor memuat bilangan 2, 3, dan 1.
Logika praktisnya. Karena vektor ⃗ sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti � = (pilih yang positif sesuai
syarat pada soal � > ).
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 71
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2
4
p
Diketahui vektor a 2 ; b 3 ; dan c 1 . Jika a
1
3
6
a 2b . 3c adalah ....
Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
�
A. 171
⇔
∙ (− ) =
B. 63
−
C. −63
⇔
�− − =
D. −111
⇔
�=
E. −171
( ⃗ − ⃗⃗) ∙
2.
3.
tegak lurus b , maka hasil dari
−
⃗ = ( − − ) ∙ (− )
− −
−
=(
) ∙ (− )
−
=− −
−
=−
Diketahui vektor a i x j 3 k , b 2 i j k , dan c i 3 j 2 k Jika a tegak lurus b ,
maka hasil dari 2 a . b c adalah ....
A. −20
Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
B. −12
⇔ (− ) ∙ ( ) =
C. −10
−
D. −8
⇔
− − =
E. −1
⇔
=−
a b . a c adalah ....
⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ( ) ∙ (
= ( ) ∙ (− )
−
= − −
=−
Diketahui vektor a i 2 j x k , b 3 i 2 j k , dan c 2 i j 2 k .
maka
A.
B.
C.
D.
E.
−4
−2
0
2
4
Karena ⃗ ⊥ ⃗ ⇒
⇔(
−
⇔ +
⇔
⃗∙ ⃗=
)∙( )=
−
=
=
−
− )
− −
Jika a tegak lurus c ,
+
−
− )∙( − )
− +
− −
−
=( )∙( )
−
−
=− + +
=
( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ = (
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 72
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 10.
Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Vektor
Operasi Aljabar Vektor
Notasi Vektor
⃗=
�⃗ = �
�⃗⃗ = (
⃗+
⃗+
⃗+ �
⃗+ �
)
�
⃗⃗
� = (�
�
Penjumlahan Vektor
)
Jumlahkan Komponen yang Sama
⃗ + ⃗⃗ = (
komponen pada sumbu X
komponen pada sumbu Y
komponen pada sumbu Z
+
+
+
)+( )=(
)
Pengurangan Vektor
Kurangkan Kompon�n yang Sama
Panjang Vektor
⃗ − ⃗⃗ = (
Akar dari jumlah kuadrat
| ⃗| = √
+
+
−
−
−
)−( )=(
)
Perkalian Skalar
Dua ��ktor Harus S�arah
Kalikan Kompon�n yang Sama
Vektor Posisi
O
,
⃗
,
⃗ ∙ ⃗⃗ = | ⃗|| ⃗⃗| cos �
⃗ ∙ ⃗⃗ =
+
+
Titik Koordinat = Kompon�n ��ktor
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ = (
Perkalian Vektor
)
Dua ��ktor Harus T�gak Lurus
�utar Kompon�n yang B�da
⃗ × ⃗⃗ = | ⃗|| ⃗⃗| sin �
⃗ × ⃗⃗ = |
Vektor Pada Dua Titik
O
−⃗
⃗⃗
,
,
,
,
= ⃗⃗ − ⃗ = (
⃗
�⃗⃗
|
Pembagian Ruas Garis
B�lakang Kurangi D�pan
−
−
−
⃗
)
Hasil Kali Silang Dibagi Jumlahnya
⃗
,
�⃗
,
(
⃗⃗
�, �, �)
,
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
,
�⃗ =
⃗⃗ + ⃗
+
Halaman 65
Sifat Operasi Vektor:
⃗ + ⃗⃗ = ⃗⃗ + ⃗
( ⃗ + ⃗⃗) + ⃗ = ⃗ + ( ⃗⃗ + ⃗)
⃗+ = + ⃗= ⃗
⃗ + −⃗ =
Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:
⃗ ∙ ⃗⃗ = ⃗⃗ ∙ ⃗
⃗ ∙ ( ⃗⃗ + ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ + ⃗ ∙ ⃗
2
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗|
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =
Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:
Halaman 66
⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = �⃗⃗ × �⃗⃗ =
⃗ × ⃗ = �⃗⃗
⃗ × �⃗⃗ = ⃗
�⃗⃗ × ⃗ = ⃗
⃗ × ⃗ = −�⃗⃗
�⃗⃗ × ⃗ = −⃗
⃗ × �⃗⃗ = −⃗
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT:
Jabarkan
Lihat Syarat
Hitung
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal
yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan
maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.
Misal diketahui ⃗, ⃗⃗, dan ⃗ . Jika ⃗ ⊥ ⃗⃗, maka tentukan hasil dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ !
Maka jabarkan ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗ − ⃗
= ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗) − ( ⃗⃗ ∙ ⃗)
�
= |⃗⃗⃗| − ⃗ ∙ ⃗ + � − ( ⃗⃗ ∙ ⃗)
Tips dan triknya adalah,
Lihat syarat,
Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada
komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).
Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor
tersebut.
Perhatikan tulisan berwarna merah (⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!
Perhatikan warna biru ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ . Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!
Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat ⃗ ∙ ⃗ atau ( ⃗⃗ ∙ ⃗)?
Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA!
SELESAI!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 67
KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS:
Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik,
semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.
Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama.
Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama.
Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.
PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross
product. Triknya adalah sebagai berikut:
⃗�⃗
⃗
+
⃗
⃗⃗
⃗× ⃗= �
Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam
hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.
⃗⃗.
⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF �
⃗⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗.
⃗ dikalikan silang dengan �
⃗⃗
� dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya POSITIF ⃗.
Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.
⃗⃗.
Contohnya yaitu apabila ⃗ dikalikan silang dengan ⃗ maka hasilnya NEGATIF �
⃗⃗
⃗ × ⃗ = −�
Halaman 68
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus.
Contoh Soal:
�
Diketahui vektor ⃗ = ( ), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( ). Jika vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗⃗, maka
−
tentukan nilai dari ⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ….
a.
b.
c. 12
d. 18
e. 24
Penyelesaian:
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
�
⇔ ( ) ∙ (− ) =
⇔ �−
+ =
⇔
�− =
⇔
�=
⇔
�=
Dengan demikian diperoleh:
⃗=( )
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒ ⃗ ∙ ⃗⃗ =
⃗∙ ⃗=( )∙(
∙
−
Jadi nilai
∙
−
)=
∙
+
= ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗
= ( ⃗ ∙ ⃗⃗) − ⃗ ∙ ⃗
=
−
= +
=
−
∙
+( ∙ − )=
+ −
=
=
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa ⃗⃗ tegak lurus ⃗⃗, maka ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ = �
Jabarkan perkalian titik pada soal:
⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = �(⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗) − ⃗ ∙ ⃗
=�−
=−
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 69
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = (
), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = (
−
tentukan nilai dari ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) = ….
a. −
b.
c. 12
d. 48
e. 72
Penyelesaian:
⃗ b�rlawanan arah d�ngan ⃗ ⇒
−
). Jika vektor ⃗ berlawanan dengan vektor ⃗, maka
⃗ = −� ⃗
−
⇔ ( ) = −� ( )
−
Dari persamaan tersebut diperoleh:
= −� −
Maka,
= −�
⇒�=
⇒
= (− )
Dengan demikian diperoleh:
=−
⃗ = (− )
−
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ∙ ⃗⃗ = (− ) ∙ (− ) = ∙ + ( − ∙ − ) + ( −
−
−
⃗ ∙ ⃗ = (− ) ∙ ( ) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) + ( −
−
∙ )=
+ −
∙ )=− − −
=
=−
⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) = ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ ∙ ⃗⃗
=
=
=
=
⃗ ∙ ⃗ − ( ⃗ ∙ ⃗⃗)
− −
− −
Jadi nilai ⃗ ∙ ( ⃗ − ⃗⃗) =
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan.
Perhatikan vektor ⃗ dan vektor ⃗ berikut:
⃗=(
−
−
) dan ⃗ = ( )
Bandingkan kotak merah dan kotak biru.
Logika praktisnya. Kalau − itu 1, maka 2 itu − . Jelas bahwa
Halaman 70
=− .
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang.
Contoh Soal:
−
Diketahui vektor ⃗ = ( � ), ⃗⃗ = (− ) dan ⃗ = ( ). Jika panjang vektor ⃗ sama dengan panjang vektor
−
⃗⃗, dan � < , maka tentukan nilai dari ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ….
a. −
b. −
c. 3
d. 9
e. 15
Penyelesaian:
| ⃗|=| ⃗⃗| ⇒ √
=√
+ −
+
+ � + −
⇔
+ � + −
=
+ −
+
⇔
+� + = + +
⇔
� + =
⇔
� + −
=
⇔
� − =
p�mbuat nol
⇔
�+
�− =
⇔ � + = atau � − =
⇔
� = − atau � =
Karena syarat � > , maka � = .
Dengan demikian diperoleh ⃗ = ( )
−
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
⃗ ∙ ⃗⃗ = ( ) ∙ (− ) = ∙ + ( ∙ − ) + ( −
−
−
⃗∙ ⃗=( )∙( )=( ∙ − )+ ∙ +( −
−
−
⃗⃗ ∙ ⃗ = (− ) ∙ ( ) = ( ∙ − ) + ( − ∙ ) +
| ⃗⃗| =
+ −
+
=
+ +
=
∙ )=
− −
=−
∙ )=− + −
=−
∙
=−
=− − +
( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗⃗ ∙ ⃗
= ⃗ ∙ ⃗⃗ − ⃗ ∙ ⃗ + | ⃗⃗| − ⃗⃗ ∙ ⃗
= − − − +
− −
=− + +
+
=
Jadi nilai ( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) =
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor ⃗ dan ⃗⃗
⃗=(
−
) dan ⃗⃗ = (− )
Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif
maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: −
=
= .
⃗⃗
⃗⃗
Sekarang bandingkan bilangan pada vektor ⃗ dan . Pada vektor memuat bilangan 2, 3, dan 1.
Logika praktisnya. Karena vektor ⃗ sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti � = (pilih yang positif sesuai
syarat pada soal � > ).
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 71
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
2
4
p
Diketahui vektor a 2 ; b 3 ; dan c 1 . Jika a
1
3
6
a 2b . 3c adalah ....
Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
�
A. 171
⇔
∙ (− ) =
B. 63
−
C. −63
⇔
�− − =
D. −111
⇔
�=
E. −171
( ⃗ − ⃗⃗) ∙
2.
3.
tegak lurus b , maka hasil dari
−
⃗ = ( − − ) ∙ (− )
− −
−
=(
) ∙ (− )
−
=− −
−
=−
Diketahui vektor a i x j 3 k , b 2 i j k , dan c i 3 j 2 k Jika a tegak lurus b ,
maka hasil dari 2 a . b c adalah ....
A. −20
Karena ⃗ ⊥ ⃗⃗ ⇒
⃗ ∙ ⃗⃗ =
B. −12
⇔ (− ) ∙ ( ) =
C. −10
−
D. −8
⇔
− − =
E. −1
⇔
=−
a b . a c adalah ....
⃗ ∙ ( ⃗⃗ − ⃗) = ( ) ∙ (
= ( ) ∙ (− )
−
= − −
=−
Diketahui vektor a i 2 j x k , b 3 i 2 j k , dan c 2 i j 2 k .
maka
A.
B.
C.
D.
E.
−4
−2
0
2
4
Karena ⃗ ⊥ ⃗ ⇒
⇔(
−
⇔ +
⇔
⃗∙ ⃗=
)∙( )=
−
=
=
−
− )
− −
Jika a tegak lurus c ,
+
−
− )∙( − )
− +
− −
−
=( )∙( )
−
−
=− + +
=
( ⃗ + ⃗⃗) ∙ ⃗ − ⃗ = (
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Halaman 72
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)