SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.12 PROYEKSI VEKTOR)
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 12.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
Proyeksi Vektor
Proyeksi Orthogonal Vektor ⃗ pada Vektor ⃗⃗
Bayangan vektor ⃗⃗ pada vektor ⃗⃗
| ⃗|
�
| ⃗⃗|
|⃗⃗|
Proyeksi vektor | ⃗| pada vektor | ⃗⃗| adalah vektor |⃗⃗|
Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku,
|⃗⃗|
cos � =
| ⃗|
Sehingga,
| ⃗| = | ⃗| cos �
Masih ingat dengan sudut antara dua vektor?
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗ ∙ ⃗⃗
cos � =
s�hin��a |⃗⃗| = | ⃗|
| ⃗|| ⃗⃗|
| ⃗|| ⃗⃗|
Panjang Proyeksi Vektor
Proyeksi skalar
|⃗⃗| =
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
Masih ingat dengan panjang vektor satuan?
⃗⃗
⃗⃗
̂=
s�hin��a ⃗⃗ = |⃗⃗|
| ⃗⃗|
| ⃗⃗|
Vektor Proyeksi
Proyeksi vektor
⃗⃗ =
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
⃗⃗
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 81
TRIK SUPERKILAT:
Vektor Proyeksi
Perhatikan dua vektor yang terkait.
Proyeksi vektor apa ke vektor apa?
Proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗
Vektor yang diproyeksikan:
Vektor ⃗⃗
Diproyeksikan ke vektor apa?
Vektor ⃗⃗
Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda
Cek opsi jawaban
yang merupakan
kelipatan dari vektor ⃗⃗
Hanya ada satu jawaban
Lebih dari satu jawaban
SELESAI!
Lanjutkan dengan rumus
⃗ ∙ ⃗⃗
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada
indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang
sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor
proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka
jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor
tujuan proyeksi .
| ⃗⃗|
dikali
⃗⃗
SELESAI
Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor.
Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban
yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut.
Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.
Kok bisa? Buktinya apa?
Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut:
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗⃗ = � ⃗⃗ = k�lipatan � dari ⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗
| |
⏟
ℎ� � ��
� �
Halaman 82
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan panjang proyeksi vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ + ⃗. Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah ….
a.
√
b. √
c.
√
d. √
e. √
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh:
| ⃗| =
=
=
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
√
=
=
=
=
√
√
( )∙( )
+
+
+
√ + +
+ +
+
√
√
∙
√
√
=√
Jadi, panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah √
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 83
Menentukan vektor proyeksi.
Contoh Soal 1:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah ….
a. ⃗ − ⃗ − �⃗⃗
b. ⃗ + ⃗ + �⃗⃗
c.
⃗ − ⃗ − �⃗⃗
d. ⃗ + ⃗ − �⃗⃗
e.
⃗ − ⃗ + �⃗⃗
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
⃗=
=
=
=
=
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
√
⃗⃗
(− ) ∙ (− )
+ −
+
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ − − +
+ −
+
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ⃗ − ⃗ + �⃗⃗
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ hanyalah jawaban E yaitu dua
kalinya vektor ⃗⃗.
Selesai!
Halaman 84
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ , maka vektor proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada ⃗ adalah
….
⃗ − ⃗ + �⃗⃗
a.
b.
c.
d.
e.
7
(
9
⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
9
(
7
⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
9
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
⃗=
=
=
=
⃗∙ ⃗
⃗
| |
√
(− ) ∙ (− )
+ −
+
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ − − +
+ −
+
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ adalah semua jawaban.
Jadi kerjakan dengan cara biasa saja.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 85
Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ( ) dan ⃗⃗ = ( ), dan panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah 2. Maka nilai � = ….
−
�
a. −
b. −
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Panjang vektor proyeksi vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah:
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗| =
| ⃗⃗|
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
−
( )∙( )
−
�
=
√ + + −
+
+ �
=
√ + +
+ + �
=
√
�+
=
= �+
= �
= �
=�
=�
�=
Jadi nilai dari � =
Halaman 86
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui vektor a 5i 6 j k dan b i 2 j 2k. Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
2.
i 2 j 2k
i 2 j 2k
i 2 j 2k
i 2 j 2k
2i 2 j k
�roy�ksi ⃗ �� ⃗⃗ =
=
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗⃗
| |
−
(√ +
=−
⃗⃗
−
+ )
⃗⃗
= −⃗ + ⃗ + �
⃗⃗
TRIK SUPERKILAT:
Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari ⃗⃗.
Lihat pola tanda pada ⃗⃗ plus min min.
Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus
min min atau min plus plus.
Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.
Proyeksi orthogonal vektor a 4i j 3k pada b 2i j 3k adalah ....
13
⃗ ∙ ⃗⃗
(2i j 3k)
A.
�roy�ksi ⃗ �� ⃗⃗ =
14
| |
15
+ +
⃗⃗)
(2i j 3k)
B.
( ⃗+ ⃗+ �
=
14
(√ + + )
8
⃗⃗ )
(2i j 3k)
=
C.
( ⃗+ ⃗+ �
7
⃗⃗ )
9
= ( ⃗+ ⃗+ �
(2i j 3k)
D.
7
E. 4i 2 j 6k
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 87
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
2. 12.
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi.
Proyeksi Vektor
Proyeksi Orthogonal Vektor ⃗ pada Vektor ⃗⃗
Bayangan vektor ⃗⃗ pada vektor ⃗⃗
| ⃗|
�
| ⃗⃗|
|⃗⃗|
Proyeksi vektor | ⃗| pada vektor | ⃗⃗| adalah vektor |⃗⃗|
Perhatikan daerah arsir, pada segitiga tersebut berlaku,
|⃗⃗|
cos � =
| ⃗|
Sehingga,
| ⃗| = | ⃗| cos �
Masih ingat dengan sudut antara dua vektor?
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗ ∙ ⃗⃗
cos � =
s�hin��a |⃗⃗| = | ⃗|
| ⃗|| ⃗⃗|
| ⃗|| ⃗⃗|
Panjang Proyeksi Vektor
Proyeksi skalar
|⃗⃗| =
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
Masih ingat dengan panjang vektor satuan?
⃗⃗
⃗⃗
̂=
s�hin��a ⃗⃗ = |⃗⃗|
| ⃗⃗|
| ⃗⃗|
Vektor Proyeksi
Proyeksi vektor
⃗⃗ =
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
⃗⃗
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 81
TRIK SUPERKILAT:
Vektor Proyeksi
Perhatikan dua vektor yang terkait.
Proyeksi vektor apa ke vektor apa?
Proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗
Vektor yang diproyeksikan:
Vektor ⃗⃗
Diproyeksikan ke vektor apa?
Vektor ⃗⃗
Perhatikan opsi jawaban Pilihan Ganda
Cek opsi jawaban
yang merupakan
kelipatan dari vektor ⃗⃗
Hanya ada satu jawaban
Lebih dari satu jawaban
SELESAI!
Lanjutkan dengan rumus
⃗ ∙ ⃗⃗
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA pada
indikator soal tentang proyeksi vektor, jelas bahwa satu hal yang
sering ditanyakan adalah panjang proyeksi vektor atau vektor
proyeksi. Nah, jika yang ditanyakan vektor proyeksi maka
jawaban yang benar seharusnya adalah kelipatan dari vektor
tujuan proyeksi .
| ⃗⃗|
dikali
⃗⃗
SELESAI
Kesimpulan Langkah TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tempat proyeksi vektor.
Kedua, segera tentukan apakah perkalian ada opsi jawaban
yang merupakan kelipatan dari vektor tersebut.
Jika ada maka kemungkinan besar itulah jawaban yang benar.
Kok bisa? Buktinya apa?
Perhatikan rumus vektor proyeksi orthogonal berikut:
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗⃗ = � ⃗⃗ = k�lipatan � dari ⃗⃗
⃗⃗ =
⃗⃗
| |
⏟
ℎ� � ��
� �
Halaman 82
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan panjang proyeksi vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ + ⃗. Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah ….
a.
√
b. √
c.
√
d. √
e. √
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep proyeksi vektor, maka diperoleh:
| ⃗| =
=
=
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
√
=
=
=
=
√
√
( )∙( )
+
+
+
√ + +
+ +
+
√
√
∙
√
√
=√
Jadi, panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah √
.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 83
Menentukan vektor proyeksi.
Contoh Soal 1:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ dan ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka vektor proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah ….
a. ⃗ − ⃗ − �⃗⃗
b. ⃗ + ⃗ + �⃗⃗
c.
⃗ − ⃗ − �⃗⃗
d. ⃗ + ⃗ − �⃗⃗
e.
⃗ − ⃗ + �⃗⃗
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
⃗=
=
=
=
=
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗⃗|
√
⃗⃗
(− ) ∙ (− )
+ −
+
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ − − +
+ −
+
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ⃗ − ⃗ + �⃗⃗
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ⃗⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ hanyalah jawaban E yaitu dua
kalinya vektor ⃗⃗.
Selesai!
Halaman 84
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Contoh Soal 2:
Diketahui vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ , maka vektor proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada ⃗ adalah
….
⃗ − ⃗ + �⃗⃗
a.
b.
c.
d.
e.
7
(
9
⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
9
(
7
⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
9
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
Penyelesaian:
Dengan menggunakan konsep vektor proyeksi, maka diperoleh:
⃗=
=
=
=
⃗∙ ⃗
⃗
| |
√
(− ) ∙ (− )
+ −
+
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ − − +
+ −
+
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
+ +
( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
= ( ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ )
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan vektor tujuan atau sasaran proyeksi adalah vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗.
Perhatikan opsi jawaban, yang merupakan kelipatan dari vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗ adalah semua jawaban.
Jadi kerjakan dengan cara biasa saja.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 85
Menentukan komponen vektor apabila diketahui panjang vektor proyeksinya.
Contoh Soal:
Diketahui vektor ⃗ = ( ) dan ⃗⃗ = ( ), dan panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah 2. Maka nilai � = ….
−
�
a. −
b. −
c.
d.
e.
Penyelesaian:
Panjang vektor proyeksi vektor ⃗ pada ⃗⃗ adalah:
⃗ ∙ ⃗⃗
| ⃗| =
| ⃗⃗|
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
−
( )∙( )
−
�
=
√ + + −
+
+ �
=
√ + +
+ + �
=
√
�+
=
= �+
= �
= �
=�
=�
�=
Jadi nilai dari � =
Halaman 86
=
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Diketahui vektor a 5i 6 j k dan b i 2 j 2k. Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
2.
i 2 j 2k
i 2 j 2k
i 2 j 2k
i 2 j 2k
2i 2 j k
�roy�ksi ⃗ �� ⃗⃗ =
=
⃗ ∙ ⃗⃗
⃗⃗
| |
−
(√ +
=−
⃗⃗
−
+ )
⃗⃗
= −⃗ + ⃗ + �
⃗⃗
TRIK SUPERKILAT:
Pilihan jawaban harus merupakan kelipatan dari ⃗⃗.
Lihat pola tanda pada ⃗⃗ plus min min.
Jadi jawaban yang mungkin saja benar adalah plus
min min atau min plus plus.
Dan itu hanya dipenuhi oleh pilihan jawaban D.
Proyeksi orthogonal vektor a 4i j 3k pada b 2i j 3k adalah ....
13
⃗ ∙ ⃗⃗
(2i j 3k)
A.
�roy�ksi ⃗ �� ⃗⃗ =
14
| |
15
+ +
⃗⃗)
(2i j 3k)
B.
( ⃗+ ⃗+ �
=
14
(√ + + )
8
⃗⃗ )
(2i j 3k)
=
C.
( ⃗+ ⃗+ �
7
⃗⃗ )
9
= ( ⃗+ ⃗+ �
(2i j 3k)
D.
7
E. 4i 2 j 6k
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 87