SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 3.1 DIMENSI TIGA (JARAK DAN SUDUT))
Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.
3. 1.
Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.
Dimensi Tiga
Garis Tegak Lurus Bidang
jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang
minimal dua garis saja
Jarak
Sudut
Titik dan Sesuatu
Selain Titik dan Sesuatu
Jarak Titik dan Titik
Jarak Garis dan Garis
Sudut Garis dan Garis
berupa garis lurus
harus tegak lurus
sudut terkecil
Syarat keduanya harus sejajar
�
Jarak Titik dan Garis
Jarak Garis dan Bidang
Sudut Garis dan Bidang
harus tegak lurus
harus tegak lurus
sudut garis dengan proyeksinya
�
Jarak Titik dan Bidang
Jarak Bidang dan Bidang
Sudut Bidang dan Bidang
harus tegak lurus
harus tegak lurus
sudut dua garis ⊥ garis potong
�
Halaman 136
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga
H
G
P
E
Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:
Diagonal sisi kubus �� = �√ cm.
Diagonal ruang kubus adalah �� = �√ cm.
F
D
C
O
A
Pada kubus ABCD.EFGH berlaku:
Misal sisi kubus adalah cm,
Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik
potong diagonal sisi atas adalah P,
maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:
�
Ruas garis � = � = √� cm.
Serta akan diperoleh � ⊥
dan
∥� .
B
H
G
P
E
G
P
E
F
Q
Q
R
R
D
C
A
O
A
B
C
O
Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita
bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi
tiga bagian yang sama panjang yaitu:
� =
= �=
�� =
�√ cm.
Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis
diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari
garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya.
Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik.
Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya.
Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor?
Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 137
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga
siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang
telah adik-adik dapatkan di sekolah.
Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….
Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut:
=
+ , dengan catatan pada gambar tersebut sisi adalah sisi terpendek!
Seumpama diubah menjadi
Perhatikan:
= −
⇒
= +
=
−
, kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja!
⏟−
carilah
bilangan
yang
selisihnya
satu
Jadi disini kita mencari dua bilangan , yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan
kuadrat sisi terpendek!
Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3
4
5
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti , , , , dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut
5 12 13
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
7 24 25
Contoh:
9 40 41
= maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
8
15
17
=
maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.
Contoh:
Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.
Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari
�
tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.
Jadi, sisi miringnya adalah ×
=
cm.
Selesai!
Halaman 138
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
�
√
√
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah �, maka nilai � bisa ditentukan oleh:
� =( √ ) +( √ )
⇒ �=√
⇒ �=√
+
+
⇒ �=√ √ +
⇒ �= √ +
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
√
√ +
√
√ +
√
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
Contoh:
√
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
Cari FPB dari 12 dan 8.
FPBnya adalah 4.
Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya
= √ dan = √ ,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah √ +
√
√
= √
√
Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga
Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:
H
G
P
E
Perhatikan ∆�
F
E
√
D
C
A
O
A
√
,� =
P
cm dan
� =
=
=
cm =
√ cm
√ cm, maka:
√ cm.
Jelas bahwa panjang
� =
√ cm.
B
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 139
KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:
Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat
garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan
konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.
Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara
kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa
diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep
Kesebangunan kelas IX SMP.
Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :)
Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..
Halaman 140
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
H
F
E
D
A
P′
B
12 cm
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P
P′
BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis
P
dengan garis HB adalah ....
√ cm
miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.
G
6
cm
A. 8 5 cm
BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua
B
P
√ cm
sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).
C
B. 6 5 cm B
12 cm
P
BH adalah diagonal ruang, BH = √ cm.
PP′ = √BP − BP′
C. 6 3 cm PB = √BC + PC
Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi
= √( √ ) − ( √ )
=√
+
C
D. 6 2 cm
P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang
=√
+
=√
−
12 cm E.
BP ′ = PH = √ cm.
6 cm
=√
=√
= √ cm
Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′ .
= √ cm
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan garis PP .
Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. �� =
Tapi panjangnya PP cuma separuh dari AC.
√ cm
Jadi,
′
2.
H
F
E
D
P
A
E′
BB
8 cm
=
√ = √ cm
Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....
E
Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.
1
cm
A.
3
Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang
G
3
tersebut adalah bidang diagonal ACGE.
8 cm
2
Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan
B.
3 cm
membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.
3
A
P
cm
√
4
Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E ′ .
C.
3 cm
C
EP = √EA + AP
Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E .
3
8 cm
√
8
Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena
=
+( √ )
3 cm
D.
EP = GP = √ cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = √ cm.
=√ +
3
=√
P′
16
E
G
Perhatikan sudut EGP
E.
3 cm = √ √
′
′
= √ cm
3
sin ∠
=
=
A
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan bidang diagonal ACGE
P′
E
G
A
P
E′
P
E′
⇒
C
′
=
=
=
′
√
∙
× √
√ cm
C
EC adalah diagonal ruang, sehingga � = √ cm
Jadi,
′
=
�=
√ =
√ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 141
3.
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak
3 2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
1
P
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.
A.
3
3
Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = √ cm.
2
B.
√ cm
Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P ′ . Dimana P ′ terletak di
perpotongan kedua diagonal alas.
3
C.
2 2
2 3
D.
E.
T
Q
3 cm
S
P′
3 cm
R
P
−
Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:
T
√ cm
P′
̅̅̅̅, QRST =
tan ∠ PT
=√
√
PP ′
=
=√
′
TP
√
=
√
√
= √ cm
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai
tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....
T
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.
1
A.
2
4
Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = √ cm.
√ cm
1
Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T ′ terletak
2
B.
di perpotongan kedua diagonal alas.
2
Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang
2
D
C.
2
dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).
C
3
Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT , maka
2 cm
T′
2
D.
akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan
A
B
segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT )
2 cm
E. 2 2
T
√ cm
D
5.
Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP , maka akan lebih
mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku
tersebut. (∠PTR = ∠PTP )
PP ′ = √PT − TP ′ = √( √ ) − ( √ ) = √
√ cm
4.
Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh
garis PT dengan TR (∠PTR).
√ cm
T′
TT ′ = √TD − DT ′ = √(√ ) − (√ ) = √ −
=
Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:
TT ′
̅̅̅̅, ABCD =
=
= √
tan ∠ TD
DT ′ √
cm
Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara
garis TC dan bidang ABC adalah ....
T
T
TD = √TB − BD
1
Alas limas bentuknya segitiga
A.
3
cm
=√
−
dengan sisi 6 cm. Dan semua
6
=√
6 cm sisi limas adalah segitiga sama
1
√ cm
6 cm
sisi dengan rusuk 6 cm.
A
2
B.
= √ cm
D
3
Perhatikan jika T adalah
B
D
cm
T
1
proyeksi T pada alas ABC
B
C.
3 C
6 cm
dan D adalah titik tengah
3
AB, maka CD adalah ruas
1
garis yang melewati T .
TC + DC − TD
2
D.
cos ∠ ̅̅̅̅
TC, ABC =
2
T
Perhatikan segitiga CDT, karena TT
∙ TC ∙ DC
tegak lurus CD, maka bidang CDT
1
+( √ ) −( √
3 tegak lurus bidang ABC.
E.
=
6 cm
√ cm
∙ ∙( √ )
2
Karena TC berada di CDT dan CDT
tegak lurus ABC, maka sudut yang
dibentuk oleh garis TC dan bidang
ABC adalah sudut antara garis TC
dan ruas garis CD.
Halaman 142
D
C
√ cm
=
)
√
= √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
6.
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .
Nilai sin = ....
AP = √AE + EP
√ cm P
1
G
H
E
Kubus rusuk 4 cm.
A.
2
P
2
=√
+( √ )
F
E
EG adalah diagonal sisi,
cm
1
=√ +
maka EG = √ cm.
3
B.
=√
2
Karena P perpotongan
D
C
= √ cm
diagonal sisi atas, maka
1
4 cm
A
C.
3
=
⇒
= √ cm
3
A
B
4 cm
Jika sudut antara AE dan AFH adalah
2
� dan ∆� siku-siku di , maka
2
D.
Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna
3
� � � �
biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa
sin � =
⇒ sin � =
3
� � � � �
�
3 dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.
E.
√
4
=
=
=
√
√
√
Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 143
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 3. Memahami sifat atau geometri dalam menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang, jarak dan sudut.
3. 1.
Menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang.
Dimensi Tiga
Garis Tegak Lurus Bidang
jika garis tersebut ⊥ setiap garis pada bidang
minimal dua garis saja
Jarak
Sudut
Titik dan Sesuatu
Selain Titik dan Sesuatu
Jarak Titik dan Titik
Jarak Garis dan Garis
Sudut Garis dan Garis
berupa garis lurus
harus tegak lurus
sudut terkecil
Syarat keduanya harus sejajar
�
Jarak Titik dan Garis
Jarak Garis dan Bidang
Sudut Garis dan Bidang
harus tegak lurus
harus tegak lurus
sudut garis dengan proyeksinya
�
Jarak Titik dan Bidang
Jarak Bidang dan Bidang
Sudut Bidang dan Bidang
harus tegak lurus
harus tegak lurus
sudut dua garis ⊥ garis potong
�
Halaman 136
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga
H
G
P
E
Akan diperoleh diagonal-diagonal kubus sebagai berikut:
Diagonal sisi kubus �� = �√ cm.
Diagonal ruang kubus adalah �� = �√ cm.
F
D
C
O
A
Pada kubus ABCD.EFGH berlaku:
Misal sisi kubus adalah cm,
Misal titik potong diagonal sisi alas adalah O dan titik
potong diagonal sisi atas adalah P,
maka akan diperoleh panjang ruas garis berikut:
�
Ruas garis � = � = √� cm.
Serta akan diperoleh � ⊥
dan
∥� .
B
H
G
P
E
G
P
E
F
Q
Q
R
R
D
C
A
O
A
B
C
O
Perhatikan penampang bidang diagonal ACGE, nah kita
bisa mengamati pada diagonal ruang EC, terbagi menjadi
tiga bagian yang sama panjang yaitu:
� =
= �=
�� =
�√ cm.
Oke, untuk menghindari hanya sekadar menghafal pola dari ruas garis istimewa pada kubus seperti garis
diagonal, garis yang menghubungkan titik potong diagonal sisi dengan titik sudut sisi di depannya, dan pola dari
garis diagonal ruang yang terbagi adil tiga bagian, maka Pak Anang tidak menyarankan untuk menghafalnya.
Yah syukur-syukur kalau bisa hafal karena terbiasa mengerjakan, itu lebih baik.
Namun, alangkah lebih bijak bila adik-adik mampu menguasai teorema Pythagoras plus tripel Pythagorasnya.
Masih ingat pembahasan SMART SOLUTION tripel Pythagoras pada bab Vektor?
Di halaman selanjutkan akan dibahas tentang TRIPEL PYTHAGORAS!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 137
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Pola tripel Pythagoras ini penting bila adik-adik ingin cepat menyelesaikan konsep Pythagoras pada segitiga
siku-siku, tanpa harus memakan banyak waktu. Gunakan logika praktis dari pengembangan konsep dasar yang
telah adik-adik dapatkan di sekolah.
Oke kita mulai trik menghafalnya dulu….
Pada gambar di samping, adik-adik tentu sudah hafal konsep Pythagoras berikut:
=
+ , dengan catatan pada gambar tersebut sisi adalah sisi terpendek!
Seumpama diubah menjadi
Perhatikan:
= −
⇒
= +
=
−
, kan ya nggak papa to ya? Hehe… Sama aja!
⏟−
carilah
bilangan
yang
selisihnya
satu
Jadi disini kita mencari dua bilangan , yang selisihnya satu dan jumlah kedua bilangan harus sama dengan
kuadrat sisi terpendek!
Ini hanya berlaku untuk sisi terpendek ganjil, yaitu 3, 5, 7, 9, dst.
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3
4
5
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti , , , , dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut
5 12 13
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
7 24 25
Contoh:
9 40 41
= maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
8
15
17
=
maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
Pola dasar tripel Pythagoras tersebut juga berlaku untuk kelipatannya.
Contoh:
Maka, untuk menentukan sisi miring, cari FPB dari 10 dan 24 yaitu 2.
Coret semua sisi dengan dibagi 2. Maka akan ditemukan pola dasar dari
�
tripel Pythagoras yaitu 5, 12, 13.
Jadi, sisi miringnya adalah ×
=
cm.
Selesai!
Halaman 138
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
�
√
√
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah �, maka nilai � bisa ditentukan oleh:
� =( √ ) +( √ )
⇒ �=√
⇒ �=√
+
+
⇒ �=√ √ +
⇒ �= √ +
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
√
√ +
√
√ +
√
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
Contoh:
√
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
Cari FPB dari 12 dan 8.
FPBnya adalah 4.
Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
Artinya
= √ dan = √ ,
Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah √ +
√
√
= √
√
Penerapan Tripel Pythagoras bentuk akar pada Dimensi Tiga
Masih ingat ruas garis AP dan OG pada kubus tadi? Nih gambarnya lihat di bawah:
H
G
P
E
Perhatikan ∆�
F
E
√
D
C
A
O
A
√
,� =
P
cm dan
� =
=
=
cm =
√ cm
√ cm, maka:
√ cm.
Jelas bahwa panjang
� =
√ cm.
B
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 139
KESIMPULAN TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Dimensi Tiga:
Pada soal UN mengenai dimensi tiga, untuk mencari jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat
garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa diselesaikan dengan menerapkan
konsep tripel Pythagoras dan konsep Kesebangunan kelas IX SMP.
Sedangkan untuk mencari sudut, hal pertama yang harus dilakukan adalah mencari titik perpotongan antara
kedua objek lalu membuat garis bantu sehingga bisa diperoleh sebuah segitiga. Dan kebanyakan bisa
diselesaikan dengan menerapkan konsep tripel Pythagoras, Aturan Sinus dan Kosinus dan konsep
Kesebangunan kelas IX SMP.
Trik Superkilat yang lainnya masih akan dipublish nanti…. :)
Terus kunjungi http://pak-anang.blogspot.com …..
Halaman 140
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
H
F
E
D
A
P′
B
12 cm
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P
P′
BP dan PH sama panjang, karena BP dan PH adalah garis
P
dengan garis HB adalah ....
√ cm
miring dari segitiga siku-siku dengan sisi 12 cm dan 6 cm.
G
6
cm
A. 8 5 cm
BP dan PH siku-siku karena BP dan PH berada pada dua
B
P
√ cm
sisi yang saling tegak lurus (BCGF dan EFGH).
C
B. 6 5 cm B
12 cm
P
BH adalah diagonal ruang, BH = √ cm.
PP′ = √BP − BP′
C. 6 3 cm PB = √BC + PC
Segitiga BPH adalah segitiga sama kaki. Sehingga proyeksi
= √( √ ) − ( √ )
=√
+
C
D. 6 2 cm
P (titik P′) tepat berada di tengah-tengah BH. Jadi panjang
=√
+
=√
−
12 cm E.
BP ′ = PH = √ cm.
6 cm
=√
=√
= √ cm
Jarak titik P ke garis HB adalah panjang PP′ .
= √ cm
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan garis PP .
Garis tersebut sejajar dengan AC, dimana AC adalah diagonal sisi. �� =
Tapi panjangnya PP cuma separuh dari AC.
√ cm
Jadi,
′
2.
H
F
E
D
P
A
E′
BB
8 cm
=
√ = √ cm
Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah ....
E
Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.
1
cm
A.
3
Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang
G
3
tersebut adalah bidang diagonal ACGE.
8 cm
2
Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan
B.
3 cm
membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.
3
A
P
cm
√
4
Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E ′ .
C.
3 cm
C
EP = √EA + AP
Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E .
3
8 cm
√
8
Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena
=
+( √ )
3 cm
D.
EP = GP = √ cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = √ cm.
=√ +
3
=√
P′
16
E
G
Perhatikan sudut EGP
E.
3 cm = √ √
′
′
= √ cm
3
sin ∠
=
=
A
TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan bidang diagonal ACGE
P′
E
G
A
P
E′
P
E′
⇒
C
′
=
=
=
′
√
∙
× √
√ cm
C
EC adalah diagonal ruang, sehingga � = √ cm
Jadi,
′
=
�=
√ =
√ cm
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 141
3.
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak
3 2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
1
P
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 3 cm.
A.
3
3
Diagonal sisi alas limas adalah TR dan QS. TR = QS = √ cm.
2
B.
√ cm
Proyeksi titik P pada bidang QRST adalah di P ′ . Dimana P ′ terletak di
perpotongan kedua diagonal alas.
3
C.
2 2
2 3
D.
E.
T
Q
3 cm
S
P′
3 cm
R
P
−
Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah:
T
√ cm
P′
̅̅̅̅, QRST =
tan ∠ PT
=√
√
PP ′
=
=√
′
TP
√
=
√
√
= √ cm
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Nilai
tangen sudut antara garis TD dan bidang alas ABCD adalah ....
T
Alas limas bentuknya persegi dengan sisi 2 cm.
1
A.
2
4
Diagonal sisi alas limas adalah AC dan BD. AC = BD = √ cm.
√ cm
1
Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah di T. Dimana T ′ terletak
2
B.
di perpotongan kedua diagonal alas.
2
Jadi sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah sudut yang
2
D
C.
2
dibentuk oleh garis TD dengan DB (∠TDB).
C
3
Karena pada bidang TBD terdapat segitiga siku-siku TDT , maka
2 cm
T′
2
D.
akan lebih mudah menemukan tangen ∠TDB menggunakan
A
B
segitiga siku-siku tersebut. (∠TDB = ∠TDT )
2 cm
E. 2 2
T
√ cm
D
5.
Karena pada bidang PRT terdapat segitiga siku-siku PTP , maka akan lebih
mudah menemukan tangen ∠PTR menggunakan segitiga siku-siku
tersebut. (∠PTR = ∠PTP )
PP ′ = √PT − TP ′ = √( √ ) − ( √ ) = √
√ cm
4.
Jadi sudut antara garis PT dan alas QRST adalah sudut yang dibentuk oleh
garis PT dengan TR (∠PTR).
√ cm
T′
TT ′ = √TD − DT ′ = √(√ ) − (√ ) = √ −
=
Tangen sudut antara garis TD dan alas ABCD adalah:
TT ′
̅̅̅̅, ABCD =
=
= √
tan ∠ TD
DT ′ √
cm
Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC dengan rusuk 6 cm. Nilai kosinus sudut antara
garis TC dan bidang ABC adalah ....
T
T
TD = √TB − BD
1
Alas limas bentuknya segitiga
A.
3
cm
=√
−
dengan sisi 6 cm. Dan semua
6
=√
6 cm sisi limas adalah segitiga sama
1
√ cm
6 cm
sisi dengan rusuk 6 cm.
A
2
B.
= √ cm
D
3
Perhatikan jika T adalah
B
D
cm
T
1
proyeksi T pada alas ABC
B
C.
3 C
6 cm
dan D adalah titik tengah
3
AB, maka CD adalah ruas
1
garis yang melewati T .
TC + DC − TD
2
D.
cos ∠ ̅̅̅̅
TC, ABC =
2
T
Perhatikan segitiga CDT, karena TT
∙ TC ∙ DC
tegak lurus CD, maka bidang CDT
1
+( √ ) −( √
3 tegak lurus bidang ABC.
E.
=
6 cm
√ cm
∙ ∙( √ )
2
Karena TC berada di CDT dan CDT
tegak lurus ABC, maka sudut yang
dibentuk oleh garis TC dan bidang
ABC adalah sudut antara garis TC
dan ruas garis CD.
Halaman 142
D
C
√ cm
=
)
√
= √
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
6.
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah .
Nilai sin = ....
AP = √AE + EP
√ cm P
1
G
H
E
Kubus rusuk 4 cm.
A.
2
P
2
=√
+( √ )
F
E
EG adalah diagonal sisi,
cm
1
=√ +
maka EG = √ cm.
3
B.
=√
2
Karena P perpotongan
D
C
= √ cm
diagonal sisi atas, maka
1
4 cm
A
C.
3
=
⇒
= √ cm
3
A
B
4 cm
Jika sudut antara AE dan AFH adalah
2
� dan ∆� siku-siku di , maka
2
D.
Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna
3
� � � �
biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa
sin � =
⇒ sin � =
3
� � � � �
�
3 dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.
E.
√
4
=
=
=
√
√
√
Jika adik-adik butuh bocoran butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 143