Bab 3 Sistem Persamaan Linear

BAB 3
Sistem Persamaan Linear dan
Pertidaksamaan Satu Variabel
Standar Kompetensi:
 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear

Kompetensi Dasar:
 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua
variabel
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan
penafsirannya
 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan
penafsirannya

Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)
SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai

ax  by  c

px  qy  r

atau

a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2

dengan a, b, c, p, q, dan r atau a1, b1, c1, a2, b2, dan c2
merupakan bilangan-bilangan real.
SPLDV homogen:

 x  y 1
x  y 5

SPLDV tak homogen:

2 x  3 y 1
x  y 0

Penyelesaian SPLDV

Y

Contoh


5  (0, 5)
4
3

x +y= 1

x +y

= 5

mempunyai penyelesaian (2,3)

g :
1

 (2, 3)

2
(-1, 0)

1
 
-1 0

g :x+y=5
2

2

3


4 5
(5, 0)

Penyelesain suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan
beberapa cara
i.

Metode Grafik

ii. Metode Subtitusi
iii. Metode Eliminasi, dan
iv. Metode Determinan

x+y=1

X

Metode Subtitusi
Contoh:

2x  3y
= 7

3x + 2y = 4

Jawab:



Subtitusikan ke persamaan

2x  3y
= 7
2x = 7 + 3y
x = 7 + 3y
2

3x + 2y = 4, diperoleh:
3

7 + 3y
2

+ 2y = 7



3(7 + 3y) + 4y = 8



21 + 9y + 4y = 8




13y = 13
y =1


Subtitusikan nilai y =  1 ke persamaan x
=
diperoleh:

7+
x = 3y(2 1)



7 + 3y
2

x = 2

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah  (2, 
1)

Metode Eliminasi
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan
cara mengeliminasi peubah x.
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan:
Jawab:
x

24
x+

x  2
 y  3
4
y  4
x 
 8
3

+ y = 3 ,tiap ruas dikalikan 4
y+4
3

= 8, tiap ruas dikalikan 3

Dengan demikian, persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV:
x + 4y

= 14

3x + y

= 20

Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)
SPLTV dalam variabel x, y, dan z dapat ditulis sebagai:

ax  by  cz  d
ex  fy  gz  h
ix  jy  kz l

a1 x  b1 y  c1 z  d1
atau

a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a3 x  b3 y  c3 z  d 3

Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan:

i.

Metode Subtitusi,

ii. Metode Eliminasi, atau
iii. Metode Determinan.

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit
y = ax + b

...... bagian linear

y = px2 + qx + r

...... bagian kuadrat

Langkah 1
Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r




px2 + qx − ax + r − b = 0
px2 + (q − a)x + (r − b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x.

Langkah 2
Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan ke persamaan
y = ax + b.

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
SPLK dengan bagian berbentuk implisit
px + qy + r = 0

...... bagian linear

ax + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

...... bagian kuadrat berbentuk implisit

Himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak
dapat difaktorkan
Langkah 1:
Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Langkah 2:
Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga
diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Langkah 3:
Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian nilai-nilai
yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear.

Contoh
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK
x+y−1=0
x2 + y2 − 25 = 0
Jawab:
Substitusi y = 1 − x ke persamaan x² + y² − 25 = 0
x2 + (1 − x)2 − 25 = 0
Û

x2 + 1 − 2x + x2 − 25 = 0

Û

2x2 − 2x − 24 = 0

Û

x2 − x − 12 = 0

Û

(x + 3)(x − 4) = 0

Û

x = −3 atau x = 4

Untuk x = −3 diperoleh: y = 1 − (−3) = 4  (−3,4).
Untuk x = 4 diperoleh: y = 1 − 4 = −3  (4, −3).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah:  (−3, 4),(4,−3) .

Y
5
4


(-3, 4)

3
2
x+y−1=0
1

−5

−4

−3

−2

−1

0
−1




1

X
2

3

4

5

−2
−3



−4
(4, −3)
−5

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit
Dapat Difaktorkan
Menentukan himpunan penyelesaian SPLK
L=0

Bentuk linear
Bentuk kuadrat yang
dapat difaktorkan

SPLDV yang diperoleh

L ·L2 = 0 
1

L1 = 0
L=0
L1 = 0

atau

atau

L =0
2

L=0
L2= 0

Contoh
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut
2x + 3y = 8
4x 2 − 12x + 9y2 = 16
Jawab:
4x2 − 12xy + 9y2 = 16
Û

(2x− 3y)2 − 16 = 0

Û

(2x − 3y + 4)(2x − 3y − 4) = 0

Û

2x − 3y + 4 = 0 atau 2x − 3y −4 = 0
2x + 3y = 8

2x + 3y = 8

2x − 3y + 4 = 0

2x − 3y − 4 = 0

Dari SPLDV ini diperoleh
penyelesaian (1,2).

Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (3,

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1,2), (3,

2
3

)}.

2
3

).

Pertidaksamaan Satu Variabel
Pengertian Selang
Misalkan R adalah himpunan bilangan real.

{x l x < 3, x  R
Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real R dinamakan
selang ata interval.
Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan.

−2

−1

0

1

{x l x < 3, x 
R

2

3

No.

Selang atau Interval

Grafik Selang

o

o

1.

p