Pengertian Elastisitas dalam Fisika docx
Pengertian Elastisitas dalam Fisika
Istilah elastisitas mungkin sudah tidak asing lagi di telinga teman – teman. Dalam pelajaran
ekonomi teman – teman juga mengenal elstisitas, tetapi elastisitas salam fisika tentu berbeda
dengan elastisitas dalam ekonomi.
Dalam fisika sifat benda dibedakan menjadi dua, yaitu sifat plastis dan sifat elastis. Sifat
plastis yaitu sifat benda yang tidak bisa kembali kebentuk semula setelah gaya luar yang
diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Sedangkan Elastisitas diartikan sebagai sifat
suatu bahan atau kemampuan suatu benda untuk kembali kebentuk semula setelah gaya luar
yang diberikan kepada benda itu dihilangkan.
Contoh elastisitas dalam kehidupan sehari – hari :
1. Anak-anak yang sedang bermain ketapel menaruh batu kecil pada karet ketapel dan
menarik karet tersebut sehingga bentuk karet berubah. Ketika anak tersebut melepaskan
tarikannya, karet melontarkan batu kedepan dan karet ketapel segera kembali kebentuk
awalnya.
2. Pegas yang ditarik kemudian dilepaskan maka pegas akan kembali ke bentuk semula.
Jika benda elastis diberi gaya dan gaya tersebut dihilangkan tetapi benda tidak dapat kembali
kebentuk semula, maka dikatakan benda tersebut telah melewati batas elastis. Batas elastis
diartikan sebagai jumlah maksimum tegangan yang dialami oleh suatu bahan untuk kembali
ke bentuk awalnya. Batas elastis bergantung pada jenis bahan yang
digunakan. Jika pada batas elastis benda terus menerus diberi gaya maka benda akan putus
atau patah. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di atas:
Tegangan, Regangan, dan Modulus Elastis
a. Tegangan
ketika sebuah benda diberi gaya pada salah satu ujungnya dan ujung yang lain ditahan. Maka
benda tersebut akan mengalami pertambahan panjang. Dalam fisika dikatakan benda
mengalami tegangan atau stress. Misalnya seutas kawat dengan luas penampang A dan
panjang awal Lo kemudian kawat ditarik dengan gaya sebesar F pada salah satu ujungnya dan
ujung yang lain ditahan maka kawat aka mengalami ertambahan panjang sebesar ΔL. Gaya
tarik ini menyebabkan, kawat mengalami tegangan tarik σ. tegangan didefinisikan sebagai
hasil bagi antara gaya tarik (F) yang dialamikawat dengan luas penampangnya (A).
Tegangan = gaya / luas
σ = F/ A
Tegangan merupakan besaran skalar dan sesuai persamaan di atas memiliki satuanm Nm-2
Atau pascal (Pa)
b. Regangan
jika gaya yang diberikan pada kawat dihilangkan maka kawat akan kembali ke bentuk
semula. Perbandingan antara pertambahan panjang kawat pertambahan panjang ΔL dengan
panjang awal Lo disebut regangan.
Regangan = pertambahan panjang / panjang mula-mula
e = ΔL / Lo
Karena pertambahan panjang ΔL dan panjang awal L adalah besaran yang sama, maka sesuai
persamaan di atas regangan e tidak memiliki satuan atau dimensi.
c. Modulus Elastis
Modulus Elastisitas E Suatu bahan di definisikan sebagai perbandingan antara tegangan
dengan regangan yang dialami bahan.
Modulus Elastisitas : tegangan / regangan
E: σ/e
KESETIMBANGAN
Diposkan oleh Dhika
Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua benda yang dijumpai selalu bergerak. Sebelum bergerak,
benda pasti diam, demikian juga setelah bergerak, mungkin benda akan berhenti. Di samping itu, ada
juga benda yang selalu diam atau dirancang untuk tetap diam. Kalau bergerak dapat menyebabkan
malapetaka. Salah satu contoh sederhana adalah jembatan dkk. Jembatan yang tidak dirancang
dengan baik akan ikut bergerak alias roboh jika tidak mampu menahan beban kendaraan yang lewat
di atas jembatan tersebut. Gedung yang tidak dirancang dengan baik juga akan langsung roboh jika
diguncang gempa bumi berskala kecil atau besar.
Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan
mempunyai banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, khususnya bidang teknik arsitek, teknik
mesin atau teknik sipil.
Dalam pembahasan ini, kita tetap menganggap benda sebagai benda tegar. Benda tegar hanya
merupakan bentuk ideal yang kita pakai untuk menggambarkan suatu benda. Suatu benda disebut
sebagai benda tegar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda
bisa kita anggap tersusun dari partikel-partikel atau titik-titik, di mana jarak antara setiap titik yang
tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.
Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itu
dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok,
bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya) .
Derek bisa patah jika beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk kalau gaya
berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu mengalami perubahan
bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja
berubah alias benda menjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu
mempelajari faktor-faktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.
Dalam merancang sesuatu, para ahli teknik biasanya memperhitungkan hal ini secara saksama. Para
ahli perteknikan biasanya menganggap bentuk benda tetap tegar jika benda itu dikenai gaya atau
torsi. Mereka juga memperhitungkan faktor elastisitas bahan (Ingat hukum hooke dan elastisitas) dan
memperkirakan secara saksama gaya dan torsi maksimum agar benda tetap tegar. Demikian juga
para ahli teknik pertubuhan (dokter). Pengetahuan dan pemahaman yang baik dan benar mengenai
gaya pada otot dan sendi sangat membantu pasiennya untuk merayakan ulang tahun lagi,
mempunyai gigi yang rapi walaupun harus dipagari dengan kawat dulu, dan lain sebagainya.
SYARAT-SYARAT KESEIMBANGAN STATIS
A). Pengertian Statika
Sebelum melangkah lebih jauh, alangkah baiknya jika kita bahas statika terlebih dahulu. Statika ialah
ilmu fisika yang mempelajari gaya yang bekerja pada sebuah benda yang diam (Benda berada dalam
kesetimbangan statis). Misalnya batu yang diam di atas permukaan tanah, mobil yang sedang parkir
di jalan atau garasi, kereta api di stasiun, pesawat di bandara dll.
Ketika sebuah benda diam, tidak berarti tidak ada gaya yang bekerja pada benda itu. Minimal ada
gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda tersebut (arah gaya gravitasi menuju pusat bumi alias
ke bawah). Hukum II Newton mengatakan bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah
benda maka benda itu akan mengalami percepatan alias bergerak lurus. Ketika sebuah benda diam,
gaya total = 0. Pasti ada gaya lain yang mengimbangi gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Gaya
apakah itu ? gaya itu adalah gaya normal.
Misalnya terdapat sebuah benda yang terletak di atas permukaan meja. Benda ini sedang diam. Pada
benda bekerja gaya berat (w) yang arahnya tegak lurus ke bawah alias menuju pusat bumi. Gaya
berat adalah gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya yang mengimbangi gaya gravitasi adalah
gaya Normal (N). Arah gaya normal tegak lurus ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Besar
gaya normal = besar gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Ingat ya, kedua gaya ini bukan aksi reaksi
karena gaya gravitasi dan gaya normal bekerja pada benda yang sama. Dua gaya disebut aksi reaksi
jika bekerja pada benda yang berbeda.
Benda dalam ilustrasi di atas dikatakan berada dalam keseimbangan statis. Pemahaman dan
perhitungan mengenai gaya-gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan seimbang
sangat penting, khususnya bagi para ahli perteknikan (arsitek dan insinyur). Dalam merancang
sesuatu, baik gedung, jembatan, kendaraan, dll, para arsitek dan insinyur juga memperhitungkan
secara saksama, apakah struktur suatu bangunan, kendaraan, dll, mampu menahan gaya-gaya
tersebut. Benda sekuat apapun bisa mengalami perubahan bentuk (bengkok) atau bahkan bisa patah
jika gaya yang bekerja pada benda terlalu besar.
B). Syarat-syarat keseimbangan
Sekarang mari kita melangkah lebih jauh. Kali ini kita mencoba melihat faktor-faktor apa saja yang
membuat benda tetap dalam keadaan diam.
1). Syarat pertama
Dalam hukum II Newton, kita belajar bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai partikel tunggal), maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan
benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka
gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda.
Secara matematis bisa kita tulis seperti ini :
Persamaan Hukum II Newton :
Ketika sebuah benda diam, benda tidak punya percepatan (a). Karena percepatan (a) = 0, maka
persamaan di atas berubah menjadi :
Contoh :
Amati gambar di bawah
Keterangan gambar :
F = gaya tarik
Fg = gaya gesek
N = gaya normal
w = gaya berat
m = massa
g = percepatan gravitasi
Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada-nya =
0. Sekarang coba kita tinjau setiap gaya yang bekerja pada benda.
Gaya yang bekerja pada komponen horisontal (sumbu x) :
Gaya tarik (F) dan gaya gesek (fg) mempunyai besar yang sama. Arah kedua gaya ini berlawanan. Arah
gaya tarik ke kanan atau menuju sumbu x positif (bernilai positif), sebaliknya arah gaya gesekan ke
kiri atau menuju sumbu x negatif (bernilai negatif). Karena besar kedua gaya sama (ditandai dengan
panjang panah) dan arahnya berlawanan, maka jumlah kedua gaya ini = 0.
Gaya yang bekerja pada komponen vertikal (sumbu y) :
Pada komponen vertikal (sumbu y), terdapat gaya berat (w) dan gaya normal (N). Arah gaya berat
tegak lurus menuju pusat bumi atau menuju sumbu y negatif (bernilai negatif), sedangkan arah gaya
normal berlawanan dengan arah gaya berat atau menuju sumbu y positif (bernilai positif) . Karena
besar kedua gaya ini sama sedangkan arahnya berlawanan maka kedua gaya saling melenyapkan.
Benda pada contoh di atas berada dalam keadaan seimbang alias diam, karena gaya total atau
jumlah semua gaya yang bekerja pada benda, baik pada sumbu horisontal maupun sumbu vertikal =
0.
Contoh 2 :
Amati gambar di bawah
Pada benda ini juga bekerja gaya berat dan gaya normal, seperti benda pada contoh 1 dan kedua
gaya itu saling melenyapkan. Pada kedua sisi benda dikerjakan gaya seperti yang tampak pada
gambar. Besar kedua gaya sama, tetapi berlawanan arah. Apakah benda akan tetap dalam keadaaan
seimbang alias diam ? tentu saja tidak… benda akan berotasi.
Untuk membantumu memahami hal ini, coba letakkan sebuah buku di atas meja. Selanjutnya,
berikan gaya pada kedua sisi buku itu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ketika kita memberikan
gaya pada kedua sisi buku, itu sama saja dengan kita memutar buku. Tentu saja buku akan berputar
alias berotasi. Dalam hal ini buku tidak berada dalam keadaan seimbang lagi.
Berdasarkan contoh 2 ini, bisa dikatakan bahwa untuk membuat sebuah benda tetap diam, syarat 1
saja belum cukup. Kita masih membutuhkan syarat tambahan.
Catatan :
Pada contoh 2 di atas, sebenarnya pada benda itu dikerjakan torsi. Torsi = gaya (F) x lengan gaya (l).
Panjang lengan gaya (l) diukur dari sumbu rotasi benda tersebut. Dalam hal ini, yang membuat benda
berputar adalah torsi total. Jika kita menganggap tidak ada gaya gesekan pada benda di atas, maka
torsi total adalah jumlah torsi yang ditimbulkan oleh kedua gaya itu. Arah rotasi benda searah dengan
putaran jarum jam, sehingga kedua torsi bernilai negatif (tidak saling melenyapkan).
2). Syarat Kedua
Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian,
agar benda tidak berotasi, maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja
pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut (alfa). Karena
percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :
Jadi, dari uraian di atas dapatlah kita nyatakan syarat keseimbangan statis benda tegar dengan
kalimat berikut :
"Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis bila mula-mula benda dalam keadaan
diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap titik sembarang yang
dipilih sebagai poros sama dengan nol".
Kesetimbangan pada sebuah partikel dapat dianggap sebagai suatu kesetimbangan pada suatu
titik. Partikel dianggap sebagai suatu benda yang dapat diabaikan massanya, atau dianggap sebagai
titik materi. Semua gaya yang bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik tersebut. Syarat
kesetimbangan statiknya adalah jika resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan
nol. Secara matematis dituliskan sebagai :
= 0 dan = 0
Dengan = resultan gaya pada komponen sumbu X
= resultan gaya pada komponen sumbu Y
Tinjau tiga buah gaya masing-masing F1, F2, dan F3 yang berkerja pada suatu titik tangkap dapat di
ukur sebagaimana:
Jika F1, F2, dan F3 setimbang, maka berlaku persamaan berikut :
Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa hasil bagi setiap besarnya gaya dan sinus
diseberangnya selalu bernilai sama.
JENIS-JENIS KESEIMBANGAN
Seperti yang telah dijelaskan pada pokok bahasan syarat-syarat keseimbangan statis, sebuah benda
berada dalam keadaan diam jika tidak ada gaya total dan torsi total yang bekerja pada benda
tersebut. Dengan kata lain, jika gaya total dan torsi total = 0, maka benda berada dalam
keseimbangan translasi (statis). Keseimbangan translasi adalah keseimbangan yang dialami benda
ketika bergerak dengan kecepatan linear konstan (v konstan) atau tidak mengalami perubahan linear
(a = 0). Keseimbangan rotasi adalah keseimbangan yang dialami benda ketika bergerak dengan
kecepatan sudut konstan ( =konstan) atau tidak mengalami percepatan sudut (α = 0). Jika sebuah
benda yang berada dalam keadaan seimbang stabil dipengaruhi oleh gaya luar, maka benda tersebut
mengalami gerak translasi (menggeser) dan gerak rotasi (menggelinding). Gerak translasi
(menggeser) disebabkan oleh gaya, sedangkan gerak rotasi (mengguling) disebabkan oleh momen
gaya. Oleh karena itu, Anda dapat menyatakan syarat-syarat kapan suatu benda akan menggeser,
menggulung, atau menggelinding (menggeser dan menggelinding).
Jika sebuah benda yang sedang diam mengalami gangguan (maksudnya terdapat gaya total atau torsi
total yang bekerja pada benda tersebut), tentu saja benda akan bergerak (berpindah tempat).
Setelah bergerak, akan ada tiga kemungkinan, yakni : (1) benda akan kembali ke posisinya semula, (2)
benda berpindah lebih jauh lagi dari posisinya semula, (3) benda tetap berada pada posisinya yang
baru.
Apabila setelah bergerak benda kembali ke posisinya semula, benda tersebut dikatakan berada
dalam keseimbangan stabil (kemungkinan 1). Apabila setelah bergerak benda bergerak lebih jauh
lagi, maka benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil (kemungkinan 2)
Sebaliknya, jika setelah bergerak, benda tetap berada pada posisinya yang baru, benda dikatakan
berada dalam keseimbangan netral (kemungkinan 3).
1. Keseimbangan Stabil
Keseimbangan stabil adalah keseimbangan yang dialami benda di mana apabila dipengaruhi oleh
gaya atau gangguan kecil benda tersebut akan segera ke posisi keseimbangan semula. Gambar 6.14
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan dalam bidang cekung. Ketika diberi gangguan kecil
dan kemudian dihilangkan, kelereng akan kembali ke posisi semula.
Keseimbangan stabil ditandai oleh adanya kenaikan titik benda jika
dipengaruhi suatu gaya.
2. Keseimbangan Labil
Keseimbangan labil adalah keseimbangan yang dialami benda yang apabila diberikan sedikit
gangguan benda tersebut tidak bisa kembali ke posisi keseimbangan semula. Pada Gambar 6.15
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas bidang cembung. Ketika diberi gangguan
kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng tidak akan pernah kembali ke posisi awalnya.
Keseimbangan labil ditandai oleh adanya penurunan titik berat benda jika dipengaruhi suatu gaya.
3. Keseimbangan Indeferen
Keseimbangan indeferen atau netral adalah keseimbangan yang dialami benda
yang apabila diberikan sedikit gangguan
benda tersebut tidak mengalami perubahan
titik berat benda. Pada Gambar 6.16
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas sebuah bidang
datar. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng
akan kembali diam pada kedudukan yang berbeda. Keseimbangan netral
ditandai oleh tidak adanya perubahan pasti titik berat jika dipengaruhi suatu gaya.
http://ichwanromo.wordpress.com/2010/01/22/kesetimbangan-bendategar/
http://www.gurumuda.com/keseimbangan-benda-tegar
Ruwanto, Bambang. 2007. Fisika 2 SMA/MA kelas XI. Jakarta : Yudhistir
Sumardi. Gar, dkk., 1994. Materi Pokok Mekanika. Jambi:Universitas Jambi.
Sutrisno. 1986. Fisika Dasar Mekanika I.Bandung:ITB
Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar
Menentukan koordinat titik berat suatu benda.
1.
1. Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif
Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya
dengan gerak rotasi benda tersebut
Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi
Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar
menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar
dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja
pada benda itu.
Gambar:
Katrol
A. Momen Gaya
Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan.
Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada
katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.
Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu.
Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang (baca: tau).
Gambar:
Menarik beban menggunakan katrol
=F.d
Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.
Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya
positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut
momen gaya negatif.
Gambar:
Skema permainan jungkat jungkit
Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.
Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1
Momen gaya oleh F2 adalah 2 = – F2 . d2
Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga
dirumuskan:
∑=0
Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.
∑=0
- F2 . d2 + F1 . d1 = 0
F1 . d1 = F2 . d2
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga
dirumuskan:
∑F=0
Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat
dibandingkan simbol besarannya.
Perbandingan dinamika translasi dan rotasi
Translasi
Rotasi
Momentum linier
p = mv
Momentum sudut*
L = I
Gaya
F = dp/dt
Torsi
= dL/dt
Benda massa
Konstan
Gaya tegak lurus
terhadap momentum
Benda momen
F = m(dv/dt)
= I (d/dt)
inersia konstan*
Torsi tegak lurus
F=xp
=L
momentum sudut
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Energi kinetik
Ek = ½ I2
Daya
P=F.v
Daya
P=.
Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi
Konsep
Translasi
Rotasi
Catatan
Perubahan sudut
s
s = r.
Kecepatan
v = ds/dt
= d/dt
v = r.
Percepatan
a = dv/dt
= d/dt
a = r.
Gaya resultan, momen
F
= F.r
Keseimbangan
F=0
=0
v = v0 + at
=
s = v0t = ½ at2
= t + ½t
v2 = + 2as
Massa, momen kelembaman
m
I
Hukum kedua Newton
F = ma
= I
Usaha
W = F ds
W = d
Daya
P = F.v
P=I
Percepatan konstan
0
+ t
0
2
2
= + 2
I = miri2
Energi potensial
Ep = mgy
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Ek = ½ I2
Impuls
F dt
dt
Momentum
P = mv
L = I
Contoh
F2
30
o
OA
B 37
o
F
1
Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak
OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.
Jawab
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,
Untuk gaya F1
r1 = OB = 8 m
Besar momen gaya
1 = F1 sin 1. r1
= 10 . sin 37. 8
= 10 . 0,6 . 8
= 48 N.m
Arah momen gaya 1 searah perputaran jarum jam
Untuk gaya F2
r2 = OA = 4 m
Besar momen gaya
2 = F2 sin 2. r2
= 6 . sin 30. 4
= 6 . 0,5 . 4
= 12 N.m
Arah momen gaya 2 berlawanan arah perputaran jarum jam
Momen gaya total adalah
= 2 + 2
= 48 + 12
= 60 Nm
Momen Kopel
Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang
bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi.
Momen kopel disimbolkan M
FFF
-
+
MFd
ddd
FF
F
(a) (b) (c)
Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk
gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah
dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).
Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah
M = M 1 + M2 + M 3 + … + M n
Contoh
F4
F
1
P
1m 2m 1m
Q
F3
F2
Jawab:
Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F = F = 5 N, dan F = F = 8
1
3
2
4
N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ
tersebut.
Gaya F dan F yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+)
dan besarnya:
M
= F x d = 5 x 3 = 15 N m
1
3
1
Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran
jarum jam (-) dan besarnya:
M
= F x d = 8 x 3 = 24 N m
2
Resultan momen kopel adalah:
M = M 1 + M2
= 15 + ( 24)
=9Nm
Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan
arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan
Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat
diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponenkomponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,…,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,…,yn .
Sedangkan komponen-
komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , …,Fny , yang jaraknya masing-
masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat
digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua
komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari
sumbu-Y.
Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
xo = =
yo = =
Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)
Contoh
Y
F2=5N
F3=7N
X
Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.
-3 -1
02
3
F1=-3N
F =-2N
4
Jawab
Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:
Fy = F1 + F2 + F3 + F4
= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)
Letak titik tangkap gaya resultan adalah:
xo =
xo =
xo =
1. Momen Inersia Benda Tegar
Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam
dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut
memiliki percepatan sudut yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi didefinisikan
sebagai berikut.
”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar
(torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu
terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.
Dirumuskan sebagai berikut.
= Fi Ri Sin i atau = ( mi R2 i ) .
mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu
penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari
sumbu.
Dirumuskan:
I = mi . Ri2
Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap
percepatan sudut.
Dirumuskan:
I=
maka = I .
= I
Karena = F . R dan = I .
maka F . R = I .
Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.
a=.R
=
persamaan menjadi :
F.R=I.
Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk
menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.
Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.
Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal
I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2
Contoh:
1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku
ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap
proses:
1.
1. sumbu AA1,
2. s
AB
1 kg 2 kg 1 kg 3 kg
2m2m2m
A1 B1
umbu BB1!
Penyelesaian:
1. I = Σ mi . Ri2
= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62
= 0 + 8 + 16 + 108
I = 132 kg m2
1. I = Σ mi Ri2
= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22
= 16 + 8 + 0 + 12
I = 36 kg m2
1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar,
dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.
1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada
bidang kertas!
A
A’
1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu
percepatan terhadap poros ini ( = 4 )?
2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA 1!
Penyelesaian:
1. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22
= 12 + 8 + 4 + 8
= 32 kg m2
1. τ = I . = 32 . 4 = 128 N.m
2. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42
1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg
dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan
sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu
yang tegak lurus batang dan melalui
1.
1. pusat 0, O
2. salah satu bola!
L=1m
Penyelesaian:
1. I = Σ mi Ri2
I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2
I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12
I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6
I = 2,5 + 1/6
I = 5/2 + 1/6 = = 16/6
I = 8/3 kg m2
b. I = Σ mi Ri2
I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2
I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12
I = 5 + 2/3
I = 5 kg m2
Uji Kompetensi I
1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya
60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,
AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan
ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia
dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?
ABCD
1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan
4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah
gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti
tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.
1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0
O
-1/4 l +3/4 l
1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada
gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem
jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik
O.
M1
Y
2m
M3
O3m
M2
3m
1. Tentukan momen inersia bola pejal !
massa bola m
volume bola V = 4/3 R3
massa keping = dm
volume keping = dV = r2 dx
M4
1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F 1 = 100
N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. D
C
BF
2
A 30
o F1
1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan
4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah
gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
1.
1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi
Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis
C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar
Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka
momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi.
Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat
dirumuskan :
L=I.
Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap
titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum
P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,
L=RP
atau L = R mV
L = mR V
Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R
dan v.
Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak
lurus.
V=R
Sehingga L = m R v
L = m R R
L = m R2
Arah L dam adalah sama, maka:
L = m R2
atau L = I
karena =
maka : L = m R2
L=I
Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara
vektor ditulis:
L = R P = m (R v)
Bila diturunkan, menjadi:
karena = F R
maka =
Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai
momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan
momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan
yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang
lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan
putaran yang cepat.
momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir
L = L’
L1 + L2 = L1’ + L2’
Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.
I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’
D. Energi Kinetik Rotasi
Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m 1 dan m2 dan rotasi
bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m 1v12. Oleh
karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m2v22 ) :
EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22
Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:
EK = ½ mi vi2
Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel
adalah vi = . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.
jadi EK = ½ mivi2
= ½ m i Ri2 2
= ½ ( mi Ri2) 2
EK = ½ I . 2
karena L = I .
maka EK = ½ L .
atau EK = ½
Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat
massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu,
energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.
EK = ½ mv2 + ½ I . 2
Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:
E = EK + EP = konstan
½ mv2 + ½ I 2 + mgh = konstan
Contoh Soal
Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring,
menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear
pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =
1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,
2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!
Penyelesaian
Jawab:
v1 = 0, 1 = 0
s
h
a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2
(½ m v12 + ½ I 12) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I 22) + mgh2
0 + 0 + mgh = ½ mv2 + ½ . ½ mR2 ( )2 + 0
gh = ½ v2 + ¼. R2 . v/r
gh = ¾ v2
v2 = gh
v = (terbukti)
1. Hukum II dinamika rotasi
ΣF=m.a
mg.–½m.a=m.a
=a
a=.
v2 = vo2 + 2 a s
v2 = 02 + 2. . s
v2 = gh
v = (terbukti)
E. Menggelinding
Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang
bentuk lingkaran).
F
F
ff
Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.
1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:
- gerak translasi berlaku : F – f = m . a
- gerak rotasi berlaku : f . R = I .
di mana ( = )
1. Bila gaya F berada di titik singgung :
- gerak translasi berlaku : F + f = m . a
- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I . ( = )
Katrol
1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan
Massa = m
Jari-jari = R
Momen kelembaman = I
Gerak translasi beban :
F=m.a
+ T1 – m1g = m1a ………………….(i)
+ m2g – T2 = m2a ………………….(ii)
Gerak rotasi katrol :
=I.
(T2 – T1) R = I ……………….(iii)
1. Pada puncak bidang miring
Gerak translasi beban :
F=m.a
+ T1 – m1g sin – f = m1a …….(i)
+ m2g – T2 = m2a …………………..(ii)
Gerak rotasi katrol :
=I.
(T2 – T1) R = I ……………………(iii)
1. S
atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol
Gerak translasi beban :
F=m.a
mg – T = m . a ……………..(i)
Gerak rotasi katrol :
=I.
T . R = I . ……………..(ii)
Contoh Soal
1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg
(dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50
cm. Tentukan:
a. percepatan beban,
b. tegangan tali!
Penyelesaian:
a. Tinjau benda m1
Σ F = m1 . a
w1 – T1 = m 1 . a
5 . 10 – T1 =5 . a
T1 = 50 – 5a
Tinjau benda m2:
Σ F = m2 . a
T2 – W2 = m2 . a
T2 – 3.10 = 3 . a
T2 = 30 + 3a
Tinjau katrol
Στ=I.
T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/R
T1 – T2 = ½ . 4 . 2
50 – 5a – 30 – 3a = 2a
20 = 10 . a
a = 2 m/s2
1. T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N
T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N
2.
Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m 1 = 50
kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2
Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:
1. percepatan sistem,
2. gaya tegang tali!
Penyelesaian:
a.
Tinjau m1:
ΣF=m.a
T1 – f 1 = m . a
Ti – k . N = m1 . a
Ti – 0,1 . m1 . g = m1 . a
T1 – 0,1 50 . 10 = 50 . a
T1 = 50 + 50a
Tinjau m2:
ΣF=m.a
w2 – T 2 = m2 . a
m 2 . g – T2 = m 2 . a
200 . 10 – T2 =200 . a
T2 = 2000 – 200 . a
Tinjau katrol:
Στ=I.
T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 . a/R
T2 – T1 = ½ m . a
2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a
1950 = 255 a
a = = 7,65 m/s2
b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N
T2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N
1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah
katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin.
Tentukan percepatan masing- masing benda bila:
1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol
2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali
3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!
Penyelesaian:
1. katrol licin (k = 0), T1 = T2 = T
Tinjau m1 : Σ F = m . a
T = m1 . a
T=3.a
Tinjau m2 : Σ F = m . a
w2 – T = m 2 . a
m2 . g – T = m 2 . a
5 . 10 – T = 5 . a
T = 50 – 5a
1.
o
3a = 50 – 5a
3a + 5a = 50
8a = 50
T=T
a = = 6,25 2
1. katrol kasar
Katrol :
Στ=I.
T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r
50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a
50 = ½ a + 8a = 8,5 a
a = 50/8,5 = 5,88 2
1.
1. Bidang miring dengan sudut kemiringan = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang
miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder
pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung
vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali
sistem tersebut!
Penyelesaian:
Tinjau m1 Σ F1 = m1 . a
T1 – fk – w1 sin 30 = m1 . a
T1 – k . N – m1 g sin 30 = m1 . a
T1 – k . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . a
T1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . a
T1 – 4 – 20 = 4a
T1 = 26,928 + 4a
Tinjau m2 Σ F = m . a
w2 – T 2 = m2 . a
w2 . g – T 2 = m2 . a
10 .10 – T2 = 10 .a
T2 = 100 – 10a
Tinjau katrol Σ τ = I .
T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 . a/R
100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a
100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a
73,072 = 14,3 a
a = 5,1 m/s2
1.
1.
T1 = 26,928 + 4 . 5,1
T1 = 47,328 N
T2 = 100 – 10 . 5,1
= 49 N
1.
1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan
antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan
katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.
Tentukan:
1. gaya tarik oleh tali
2. percepatan B
Penyelesaian:
Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti
sA = 2 sB atau aA = 2 aB
Tinjau benda A
wB – 2T = mB . aB
3mg – 2T = 3m aB
aB =
Tinjau benda B
T – f = m A aA
T – 0,5 NB = m . aA
T – 0,5 m g = m aA
aA =
1. gaya tarik oleh tali
Substitusi
aA = 2 aB
= 2 ()
3 T m – 1,5 m2 g = 6 m2 g – 4 T m
:m
T=
1. percepatan B
aB =
=
==
aB = g
1.
1. Kesetimbangan Benda Tegar
Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya
sama dengan nol.
Kesetimbangan biasa terjadi pada :
1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lainlain.
2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa,
gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.
Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.
Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:
1. Kesetimbangan partikel
2. Kesetimbangan benda
1. Kesetimbangan Partikel
Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi
(tidak mengalami gerak rotasi).
Syarat kesetimbangan partikel F = 0 Fx = 0 (sumbu X)
Perbandingan dinamika translasi dan rotasi
Translasi
Rotasi
Momentum linier
p = mv
Momentum sudut*
L = I
Gaya
F = dp/dt
Torsi
= dL/dt
Benda massa
Konstan
F = m(dv/dt)
Benda momen
inersia konstan*
= I (d/dt)
Gaya tegak lurus
terhadap momentum
F=xp
Torsi tegak lurus
momentum sudut
=L
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Energi kinetik
Ek = ½ I2
Daya
P=F.v
Daya
P=.
Istilah elastisitas mungkin sudah tidak asing lagi di telinga teman – teman. Dalam pelajaran
ekonomi teman – teman juga mengenal elstisitas, tetapi elastisitas salam fisika tentu berbeda
dengan elastisitas dalam ekonomi.
Dalam fisika sifat benda dibedakan menjadi dua, yaitu sifat plastis dan sifat elastis. Sifat
plastis yaitu sifat benda yang tidak bisa kembali kebentuk semula setelah gaya luar yang
diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Sedangkan Elastisitas diartikan sebagai sifat
suatu bahan atau kemampuan suatu benda untuk kembali kebentuk semula setelah gaya luar
yang diberikan kepada benda itu dihilangkan.
Contoh elastisitas dalam kehidupan sehari – hari :
1. Anak-anak yang sedang bermain ketapel menaruh batu kecil pada karet ketapel dan
menarik karet tersebut sehingga bentuk karet berubah. Ketika anak tersebut melepaskan
tarikannya, karet melontarkan batu kedepan dan karet ketapel segera kembali kebentuk
awalnya.
2. Pegas yang ditarik kemudian dilepaskan maka pegas akan kembali ke bentuk semula.
Jika benda elastis diberi gaya dan gaya tersebut dihilangkan tetapi benda tidak dapat kembali
kebentuk semula, maka dikatakan benda tersebut telah melewati batas elastis. Batas elastis
diartikan sebagai jumlah maksimum tegangan yang dialami oleh suatu bahan untuk kembali
ke bentuk awalnya. Batas elastis bergantung pada jenis bahan yang
digunakan. Jika pada batas elastis benda terus menerus diberi gaya maka benda akan putus
atau patah. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di atas:
Tegangan, Regangan, dan Modulus Elastis
a. Tegangan
ketika sebuah benda diberi gaya pada salah satu ujungnya dan ujung yang lain ditahan. Maka
benda tersebut akan mengalami pertambahan panjang. Dalam fisika dikatakan benda
mengalami tegangan atau stress. Misalnya seutas kawat dengan luas penampang A dan
panjang awal Lo kemudian kawat ditarik dengan gaya sebesar F pada salah satu ujungnya dan
ujung yang lain ditahan maka kawat aka mengalami ertambahan panjang sebesar ΔL. Gaya
tarik ini menyebabkan, kawat mengalami tegangan tarik σ. tegangan didefinisikan sebagai
hasil bagi antara gaya tarik (F) yang dialamikawat dengan luas penampangnya (A).
Tegangan = gaya / luas
σ = F/ A
Tegangan merupakan besaran skalar dan sesuai persamaan di atas memiliki satuanm Nm-2
Atau pascal (Pa)
b. Regangan
jika gaya yang diberikan pada kawat dihilangkan maka kawat akan kembali ke bentuk
semula. Perbandingan antara pertambahan panjang kawat pertambahan panjang ΔL dengan
panjang awal Lo disebut regangan.
Regangan = pertambahan panjang / panjang mula-mula
e = ΔL / Lo
Karena pertambahan panjang ΔL dan panjang awal L adalah besaran yang sama, maka sesuai
persamaan di atas regangan e tidak memiliki satuan atau dimensi.
c. Modulus Elastis
Modulus Elastisitas E Suatu bahan di definisikan sebagai perbandingan antara tegangan
dengan regangan yang dialami bahan.
Modulus Elastisitas : tegangan / regangan
E: σ/e
KESETIMBANGAN
Diposkan oleh Dhika
Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua benda yang dijumpai selalu bergerak. Sebelum bergerak,
benda pasti diam, demikian juga setelah bergerak, mungkin benda akan berhenti. Di samping itu, ada
juga benda yang selalu diam atau dirancang untuk tetap diam. Kalau bergerak dapat menyebabkan
malapetaka. Salah satu contoh sederhana adalah jembatan dkk. Jembatan yang tidak dirancang
dengan baik akan ikut bergerak alias roboh jika tidak mampu menahan beban kendaraan yang lewat
di atas jembatan tersebut. Gedung yang tidak dirancang dengan baik juga akan langsung roboh jika
diguncang gempa bumi berskala kecil atau besar.
Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan
mempunyai banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, khususnya bidang teknik arsitek, teknik
mesin atau teknik sipil.
Dalam pembahasan ini, kita tetap menganggap benda sebagai benda tegar. Benda tegar hanya
merupakan bentuk ideal yang kita pakai untuk menggambarkan suatu benda. Suatu benda disebut
sebagai benda tegar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda
bisa kita anggap tersusun dari partikel-partikel atau titik-titik, di mana jarak antara setiap titik yang
tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.
Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak tegar), jika pada benda itu
dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan untuk membangun jembatan bisa bengkok,
bahkan patah jika dikenai gaya berat yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya) .
Derek bisa patah jika beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk kalau gaya
berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu mengalami perubahan
bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja
berubah alias benda menjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu
mempelajari faktor-faktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.
Dalam merancang sesuatu, para ahli teknik biasanya memperhitungkan hal ini secara saksama. Para
ahli perteknikan biasanya menganggap bentuk benda tetap tegar jika benda itu dikenai gaya atau
torsi. Mereka juga memperhitungkan faktor elastisitas bahan (Ingat hukum hooke dan elastisitas) dan
memperkirakan secara saksama gaya dan torsi maksimum agar benda tetap tegar. Demikian juga
para ahli teknik pertubuhan (dokter). Pengetahuan dan pemahaman yang baik dan benar mengenai
gaya pada otot dan sendi sangat membantu pasiennya untuk merayakan ulang tahun lagi,
mempunyai gigi yang rapi walaupun harus dipagari dengan kawat dulu, dan lain sebagainya.
SYARAT-SYARAT KESEIMBANGAN STATIS
A). Pengertian Statika
Sebelum melangkah lebih jauh, alangkah baiknya jika kita bahas statika terlebih dahulu. Statika ialah
ilmu fisika yang mempelajari gaya yang bekerja pada sebuah benda yang diam (Benda berada dalam
kesetimbangan statis). Misalnya batu yang diam di atas permukaan tanah, mobil yang sedang parkir
di jalan atau garasi, kereta api di stasiun, pesawat di bandara dll.
Ketika sebuah benda diam, tidak berarti tidak ada gaya yang bekerja pada benda itu. Minimal ada
gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda tersebut (arah gaya gravitasi menuju pusat bumi alias
ke bawah). Hukum II Newton mengatakan bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah
benda maka benda itu akan mengalami percepatan alias bergerak lurus. Ketika sebuah benda diam,
gaya total = 0. Pasti ada gaya lain yang mengimbangi gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Gaya
apakah itu ? gaya itu adalah gaya normal.
Misalnya terdapat sebuah benda yang terletak di atas permukaan meja. Benda ini sedang diam. Pada
benda bekerja gaya berat (w) yang arahnya tegak lurus ke bawah alias menuju pusat bumi. Gaya
berat adalah gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya yang mengimbangi gaya gravitasi adalah
gaya Normal (N). Arah gaya normal tegak lurus ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Besar
gaya normal = besar gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Ingat ya, kedua gaya ini bukan aksi reaksi
karena gaya gravitasi dan gaya normal bekerja pada benda yang sama. Dua gaya disebut aksi reaksi
jika bekerja pada benda yang berbeda.
Benda dalam ilustrasi di atas dikatakan berada dalam keseimbangan statis. Pemahaman dan
perhitungan mengenai gaya-gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan seimbang
sangat penting, khususnya bagi para ahli perteknikan (arsitek dan insinyur). Dalam merancang
sesuatu, baik gedung, jembatan, kendaraan, dll, para arsitek dan insinyur juga memperhitungkan
secara saksama, apakah struktur suatu bangunan, kendaraan, dll, mampu menahan gaya-gaya
tersebut. Benda sekuat apapun bisa mengalami perubahan bentuk (bengkok) atau bahkan bisa patah
jika gaya yang bekerja pada benda terlalu besar.
B). Syarat-syarat keseimbangan
Sekarang mari kita melangkah lebih jauh. Kali ini kita mencoba melihat faktor-faktor apa saja yang
membuat benda tetap dalam keadaan diam.
1). Syarat pertama
Dalam hukum II Newton, kita belajar bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai partikel tunggal), maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan
benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka
gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda.
Secara matematis bisa kita tulis seperti ini :
Persamaan Hukum II Newton :
Ketika sebuah benda diam, benda tidak punya percepatan (a). Karena percepatan (a) = 0, maka
persamaan di atas berubah menjadi :
Contoh :
Amati gambar di bawah
Keterangan gambar :
F = gaya tarik
Fg = gaya gesek
N = gaya normal
w = gaya berat
m = massa
g = percepatan gravitasi
Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada-nya =
0. Sekarang coba kita tinjau setiap gaya yang bekerja pada benda.
Gaya yang bekerja pada komponen horisontal (sumbu x) :
Gaya tarik (F) dan gaya gesek (fg) mempunyai besar yang sama. Arah kedua gaya ini berlawanan. Arah
gaya tarik ke kanan atau menuju sumbu x positif (bernilai positif), sebaliknya arah gaya gesekan ke
kiri atau menuju sumbu x negatif (bernilai negatif). Karena besar kedua gaya sama (ditandai dengan
panjang panah) dan arahnya berlawanan, maka jumlah kedua gaya ini = 0.
Gaya yang bekerja pada komponen vertikal (sumbu y) :
Pada komponen vertikal (sumbu y), terdapat gaya berat (w) dan gaya normal (N). Arah gaya berat
tegak lurus menuju pusat bumi atau menuju sumbu y negatif (bernilai negatif), sedangkan arah gaya
normal berlawanan dengan arah gaya berat atau menuju sumbu y positif (bernilai positif) . Karena
besar kedua gaya ini sama sedangkan arahnya berlawanan maka kedua gaya saling melenyapkan.
Benda pada contoh di atas berada dalam keadaan seimbang alias diam, karena gaya total atau
jumlah semua gaya yang bekerja pada benda, baik pada sumbu horisontal maupun sumbu vertikal =
0.
Contoh 2 :
Amati gambar di bawah
Pada benda ini juga bekerja gaya berat dan gaya normal, seperti benda pada contoh 1 dan kedua
gaya itu saling melenyapkan. Pada kedua sisi benda dikerjakan gaya seperti yang tampak pada
gambar. Besar kedua gaya sama, tetapi berlawanan arah. Apakah benda akan tetap dalam keadaaan
seimbang alias diam ? tentu saja tidak… benda akan berotasi.
Untuk membantumu memahami hal ini, coba letakkan sebuah buku di atas meja. Selanjutnya,
berikan gaya pada kedua sisi buku itu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ketika kita memberikan
gaya pada kedua sisi buku, itu sama saja dengan kita memutar buku. Tentu saja buku akan berputar
alias berotasi. Dalam hal ini buku tidak berada dalam keadaan seimbang lagi.
Berdasarkan contoh 2 ini, bisa dikatakan bahwa untuk membuat sebuah benda tetap diam, syarat 1
saja belum cukup. Kita masih membutuhkan syarat tambahan.
Catatan :
Pada contoh 2 di atas, sebenarnya pada benda itu dikerjakan torsi. Torsi = gaya (F) x lengan gaya (l).
Panjang lengan gaya (l) diukur dari sumbu rotasi benda tersebut. Dalam hal ini, yang membuat benda
berputar adalah torsi total. Jika kita menganggap tidak ada gaya gesekan pada benda di atas, maka
torsi total adalah jumlah torsi yang ditimbulkan oleh kedua gaya itu. Arah rotasi benda searah dengan
putaran jarum jam, sehingga kedua torsi bernilai negatif (tidak saling melenyapkan).
2). Syarat Kedua
Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda
(benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian,
agar benda tidak berotasi, maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja
pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :
Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :
Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan sudut (alfa). Karena
percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :
Jadi, dari uraian di atas dapatlah kita nyatakan syarat keseimbangan statis benda tegar dengan
kalimat berikut :
"Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis bila mula-mula benda dalam keadaan
diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap titik sembarang yang
dipilih sebagai poros sama dengan nol".
Kesetimbangan pada sebuah partikel dapat dianggap sebagai suatu kesetimbangan pada suatu
titik. Partikel dianggap sebagai suatu benda yang dapat diabaikan massanya, atau dianggap sebagai
titik materi. Semua gaya yang bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik tersebut. Syarat
kesetimbangan statiknya adalah jika resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan
nol. Secara matematis dituliskan sebagai :
= 0 dan = 0
Dengan = resultan gaya pada komponen sumbu X
= resultan gaya pada komponen sumbu Y
Tinjau tiga buah gaya masing-masing F1, F2, dan F3 yang berkerja pada suatu titik tangkap dapat di
ukur sebagaimana:
Jika F1, F2, dan F3 setimbang, maka berlaku persamaan berikut :
Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa hasil bagi setiap besarnya gaya dan sinus
diseberangnya selalu bernilai sama.
JENIS-JENIS KESEIMBANGAN
Seperti yang telah dijelaskan pada pokok bahasan syarat-syarat keseimbangan statis, sebuah benda
berada dalam keadaan diam jika tidak ada gaya total dan torsi total yang bekerja pada benda
tersebut. Dengan kata lain, jika gaya total dan torsi total = 0, maka benda berada dalam
keseimbangan translasi (statis). Keseimbangan translasi adalah keseimbangan yang dialami benda
ketika bergerak dengan kecepatan linear konstan (v konstan) atau tidak mengalami perubahan linear
(a = 0). Keseimbangan rotasi adalah keseimbangan yang dialami benda ketika bergerak dengan
kecepatan sudut konstan ( =konstan) atau tidak mengalami percepatan sudut (α = 0). Jika sebuah
benda yang berada dalam keadaan seimbang stabil dipengaruhi oleh gaya luar, maka benda tersebut
mengalami gerak translasi (menggeser) dan gerak rotasi (menggelinding). Gerak translasi
(menggeser) disebabkan oleh gaya, sedangkan gerak rotasi (mengguling) disebabkan oleh momen
gaya. Oleh karena itu, Anda dapat menyatakan syarat-syarat kapan suatu benda akan menggeser,
menggulung, atau menggelinding (menggeser dan menggelinding).
Jika sebuah benda yang sedang diam mengalami gangguan (maksudnya terdapat gaya total atau torsi
total yang bekerja pada benda tersebut), tentu saja benda akan bergerak (berpindah tempat).
Setelah bergerak, akan ada tiga kemungkinan, yakni : (1) benda akan kembali ke posisinya semula, (2)
benda berpindah lebih jauh lagi dari posisinya semula, (3) benda tetap berada pada posisinya yang
baru.
Apabila setelah bergerak benda kembali ke posisinya semula, benda tersebut dikatakan berada
dalam keseimbangan stabil (kemungkinan 1). Apabila setelah bergerak benda bergerak lebih jauh
lagi, maka benda dikatakan berada dalam keseimbangan labil alias tidak stabil (kemungkinan 2)
Sebaliknya, jika setelah bergerak, benda tetap berada pada posisinya yang baru, benda dikatakan
berada dalam keseimbangan netral (kemungkinan 3).
1. Keseimbangan Stabil
Keseimbangan stabil adalah keseimbangan yang dialami benda di mana apabila dipengaruhi oleh
gaya atau gangguan kecil benda tersebut akan segera ke posisi keseimbangan semula. Gambar 6.14
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan dalam bidang cekung. Ketika diberi gangguan kecil
dan kemudian dihilangkan, kelereng akan kembali ke posisi semula.
Keseimbangan stabil ditandai oleh adanya kenaikan titik benda jika
dipengaruhi suatu gaya.
2. Keseimbangan Labil
Keseimbangan labil adalah keseimbangan yang dialami benda yang apabila diberikan sedikit
gangguan benda tersebut tidak bisa kembali ke posisi keseimbangan semula. Pada Gambar 6.15
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas bidang cembung. Ketika diberi gangguan
kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng tidak akan pernah kembali ke posisi awalnya.
Keseimbangan labil ditandai oleh adanya penurunan titik berat benda jika dipengaruhi suatu gaya.
3. Keseimbangan Indeferen
Keseimbangan indeferen atau netral adalah keseimbangan yang dialami benda
yang apabila diberikan sedikit gangguan
benda tersebut tidak mengalami perubahan
titik berat benda. Pada Gambar 6.16
menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas sebuah bidang
datar. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng
akan kembali diam pada kedudukan yang berbeda. Keseimbangan netral
ditandai oleh tidak adanya perubahan pasti titik berat jika dipengaruhi suatu gaya.
http://ichwanromo.wordpress.com/2010/01/22/kesetimbangan-bendategar/
http://www.gurumuda.com/keseimbangan-benda-tegar
Ruwanto, Bambang. 2007. Fisika 2 SMA/MA kelas XI. Jakarta : Yudhistir
Sumardi. Gar, dkk., 1994. Materi Pokok Mekanika. Jambi:Universitas Jambi.
Sutrisno. 1986. Fisika Dasar Mekanika I.Bandung:ITB
Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar
Menentukan koordinat titik berat suatu benda.
1.
1. Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif
Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya
dengan gerak rotasi benda tersebut
Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi
Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar
menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar
dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja
pada benda itu.
Gambar:
Katrol
A. Momen Gaya
Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan.
Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada
katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.
Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu.
Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang (baca: tau).
Gambar:
Menarik beban menggunakan katrol
=F.d
Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.
Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya
positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut
momen gaya negatif.
Gambar:
Skema permainan jungkat jungkit
Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.
Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1
Momen gaya oleh F2 adalah 2 = – F2 . d2
Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga
dirumuskan:
∑=0
Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.
∑=0
- F2 . d2 + F1 . d1 = 0
F1 . d1 = F2 . d2
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga
dirumuskan:
∑F=0
Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat
dibandingkan simbol besarannya.
Perbandingan dinamika translasi dan rotasi
Translasi
Rotasi
Momentum linier
p = mv
Momentum sudut*
L = I
Gaya
F = dp/dt
Torsi
= dL/dt
Benda massa
Konstan
Gaya tegak lurus
terhadap momentum
Benda momen
F = m(dv/dt)
= I (d/dt)
inersia konstan*
Torsi tegak lurus
F=xp
=L
momentum sudut
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Energi kinetik
Ek = ½ I2
Daya
P=F.v
Daya
P=.
Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi
Konsep
Translasi
Rotasi
Catatan
Perubahan sudut
s
s = r.
Kecepatan
v = ds/dt
= d/dt
v = r.
Percepatan
a = dv/dt
= d/dt
a = r.
Gaya resultan, momen
F
= F.r
Keseimbangan
F=0
=0
v = v0 + at
=
s = v0t = ½ at2
= t + ½t
v2 = + 2as
Massa, momen kelembaman
m
I
Hukum kedua Newton
F = ma
= I
Usaha
W = F ds
W = d
Daya
P = F.v
P=I
Percepatan konstan
0
+ t
0
2
2
= + 2
I = miri2
Energi potensial
Ep = mgy
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Ek = ½ I2
Impuls
F dt
dt
Momentum
P = mv
L = I
Contoh
F2
30
o
OA
B 37
o
F
1
Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak
OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.
Jawab
Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,
Untuk gaya F1
r1 = OB = 8 m
Besar momen gaya
1 = F1 sin 1. r1
= 10 . sin 37. 8
= 10 . 0,6 . 8
= 48 N.m
Arah momen gaya 1 searah perputaran jarum jam
Untuk gaya F2
r2 = OA = 4 m
Besar momen gaya
2 = F2 sin 2. r2
= 6 . sin 30. 4
= 6 . 0,5 . 4
= 12 N.m
Arah momen gaya 2 berlawanan arah perputaran jarum jam
Momen gaya total adalah
= 2 + 2
= 48 + 12
= 60 Nm
Momen Kopel
Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang
bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi.
Momen kopel disimbolkan M
FFF
-
+
MFd
ddd
FF
F
(a) (b) (c)
Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk
gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah
dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran
jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).
Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah
M = M 1 + M2 + M 3 + … + M n
Contoh
F4
F
1
P
1m 2m 1m
Q
F3
F2
Jawab:
Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F = F = 5 N, dan F = F = 8
1
3
2
4
N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ
tersebut.
Gaya F dan F yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+)
dan besarnya:
M
= F x d = 5 x 3 = 15 N m
1
3
1
Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran
jarum jam (-) dan besarnya:
M
= F x d = 8 x 3 = 24 N m
2
Resultan momen kopel adalah:
M = M 1 + M2
= 15 + ( 24)
=9Nm
Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan
arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.
Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan
Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat
diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponenkomponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,…,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,…,yn .
Sedangkan komponen-
komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , …,Fny , yang jaraknya masing-
masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat
digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua
komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari
sumbu-Y.
Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.
xo = =
yo = =
Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)
Contoh
Y
F2=5N
F3=7N
X
Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.
-3 -1
02
3
F1=-3N
F =-2N
4
Jawab
Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:
Fy = F1 + F2 + F3 + F4
= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)
Letak titik tangkap gaya resultan adalah:
xo =
xo =
xo =
1. Momen Inersia Benda Tegar
Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam
dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut
memiliki percepatan sudut yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi didefinisikan
sebagai berikut.
”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar
(torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu
terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.
Dirumuskan sebagai berikut.
= Fi Ri Sin i atau = ( mi R2 i ) .
mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu
penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari
sumbu.
Dirumuskan:
I = mi . Ri2
Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap
percepatan sudut.
Dirumuskan:
I=
maka = I .
= I
Karena = F . R dan = I .
maka F . R = I .
Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.
a=.R
=
persamaan menjadi :
F.R=I.
Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk
menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.
Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.
Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal
I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2
Contoh:
1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku
ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap
proses:
1.
1. sumbu AA1,
2. s
AB
1 kg 2 kg 1 kg 3 kg
2m2m2m
A1 B1
umbu BB1!
Penyelesaian:
1. I = Σ mi . Ri2
= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62
= 0 + 8 + 16 + 108
I = 132 kg m2
1. I = Σ mi Ri2
= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22
= 16 + 8 + 0 + 12
I = 36 kg m2
1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar,
dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.
1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada
bidang kertas!
A
A’
1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu
percepatan terhadap poros ini ( = 4 )?
2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA 1!
Penyelesaian:
1. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42
= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22
= 12 + 8 + 4 + 8
= 32 kg m2
1. τ = I . = 32 . 4 = 128 N.m
2. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42
1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg
dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan
sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu
yang tegak lurus batang dan melalui
1.
1. pusat 0, O
2. salah satu bola!
L=1m
Penyelesaian:
1. I = Σ mi Ri2
I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2
I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12
I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6
I = 2,5 + 1/6
I = 5/2 + 1/6 = = 16/6
I = 8/3 kg m2
b. I = Σ mi Ri2
I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2
I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12
I = 5 + 2/3
I = 5 kg m2
Uji Kompetensi I
1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya
60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,
AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan
ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia
dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?
ABCD
1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan
4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah
gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti
tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.
1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0
O
-1/4 l +3/4 l
1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada
gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem
jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik
O.
M1
Y
2m
M3
O3m
M2
3m
1. Tentukan momen inersia bola pejal !
massa bola m
volume bola V = 4/3 R3
massa keping = dm
volume keping = dV = r2 dx
M4
1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F 1 = 100
N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. D
C
BF
2
A 30
o F1
1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan
4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :
a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.
b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C
c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.
1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah
gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.
Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.
1.
1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi
Indikator :
Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi
Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis
C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar
Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka
momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi.
Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat
dirumuskan :
L=I.
Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap
titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum
P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,
L=RP
atau L = R mV
L = mR V
Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R
dan v.
Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak
lurus.
V=R
Sehingga L = m R v
L = m R R
L = m R2
Arah L dam adalah sama, maka:
L = m R2
atau L = I
karena =
maka : L = m R2
L=I
Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara
vektor ditulis:
L = R P = m (R v)
Bila diturunkan, menjadi:
karena = F R
maka =
Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai
momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan
momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan
yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang
lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan
putaran yang cepat.
momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir
L = L’
L1 + L2 = L1’ + L2’
Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.
I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’
D. Energi Kinetik Rotasi
Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m 1 dan m2 dan rotasi
bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m 1v12. Oleh
karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah ½ m2v22 ) :
EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22
Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:
EK = ½ mi vi2
Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel
adalah vi = . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.
jadi EK = ½ mivi2
= ½ m i Ri2 2
= ½ ( mi Ri2) 2
EK = ½ I . 2
karena L = I .
maka EK = ½ L .
atau EK = ½
Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat
massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu,
energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.
EK = ½ mv2 + ½ I . 2
Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:
E = EK + EP = konstan
½ mv2 + ½ I 2 + mgh = konstan
Contoh Soal
Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring,
menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear
pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =
1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,
2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!
Penyelesaian
Jawab:
v1 = 0, 1 = 0
s
h
a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2
(½ m v12 + ½ I 12) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I 22) + mgh2
0 + 0 + mgh = ½ mv2 + ½ . ½ mR2 ( )2 + 0
gh = ½ v2 + ¼. R2 . v/r
gh = ¾ v2
v2 = gh
v = (terbukti)
1. Hukum II dinamika rotasi
ΣF=m.a
mg.–½m.a=m.a
=a
a=.
v2 = vo2 + 2 a s
v2 = 02 + 2. . s
v2 = gh
v = (terbukti)
E. Menggelinding
Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang
bentuk lingkaran).
F
F
ff
Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.
1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:
- gerak translasi berlaku : F – f = m . a
- gerak rotasi berlaku : f . R = I .
di mana ( = )
1. Bila gaya F berada di titik singgung :
- gerak translasi berlaku : F + f = m . a
- gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I . ( = )
Katrol
1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan
Massa = m
Jari-jari = R
Momen kelembaman = I
Gerak translasi beban :
F=m.a
+ T1 – m1g = m1a ………………….(i)
+ m2g – T2 = m2a ………………….(ii)
Gerak rotasi katrol :
=I.
(T2 – T1) R = I ……………….(iii)
1. Pada puncak bidang miring
Gerak translasi beban :
F=m.a
+ T1 – m1g sin – f = m1a …….(i)
+ m2g – T2 = m2a …………………..(ii)
Gerak rotasi katrol :
=I.
(T2 – T1) R = I ……………………(iii)
1. S
atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol
Gerak translasi beban :
F=m.a
mg – T = m . a ……………..(i)
Gerak rotasi katrol :
=I.
T . R = I . ……………..(ii)
Contoh Soal
1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg
(dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50
cm. Tentukan:
a. percepatan beban,
b. tegangan tali!
Penyelesaian:
a. Tinjau benda m1
Σ F = m1 . a
w1 – T1 = m 1 . a
5 . 10 – T1 =5 . a
T1 = 50 – 5a
Tinjau benda m2:
Σ F = m2 . a
T2 – W2 = m2 . a
T2 – 3.10 = 3 . a
T2 = 30 + 3a
Tinjau katrol
Στ=I.
T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/R
T1 – T2 = ½ . 4 . 2
50 – 5a – 30 – 3a = 2a
20 = 10 . a
a = 2 m/s2
1. T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N
T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N
2.
Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m 1 = 50
kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2
Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:
1. percepatan sistem,
2. gaya tegang tali!
Penyelesaian:
a.
Tinjau m1:
ΣF=m.a
T1 – f 1 = m . a
Ti – k . N = m1 . a
Ti – 0,1 . m1 . g = m1 . a
T1 – 0,1 50 . 10 = 50 . a
T1 = 50 + 50a
Tinjau m2:
ΣF=m.a
w2 – T 2 = m2 . a
m 2 . g – T2 = m 2 . a
200 . 10 – T2 =200 . a
T2 = 2000 – 200 . a
Tinjau katrol:
Στ=I.
T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 . a/R
T2 – T1 = ½ m . a
2000 – 200a – 50 – 50 a = ½ . 10 . a
1950 = 255 a
a = = 7,65 m/s2
b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N
T2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N
1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah
katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin.
Tentukan percepatan masing- masing benda bila:
1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol
2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali
3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!
Penyelesaian:
1. katrol licin (k = 0), T1 = T2 = T
Tinjau m1 : Σ F = m . a
T = m1 . a
T=3.a
Tinjau m2 : Σ F = m . a
w2 – T = m 2 . a
m2 . g – T = m 2 . a
5 . 10 – T = 5 . a
T = 50 – 5a
1.
o
3a = 50 – 5a
3a + 5a = 50
8a = 50
T=T
a = = 6,25 2
1. katrol kasar
Katrol :
Στ=I.
T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r
50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a
50 = ½ a + 8a = 8,5 a
a = 50/8,5 = 5,88 2
1.
1. Bidang miring dengan sudut kemiringan = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang
miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder
pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung
vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali
sistem tersebut!
Penyelesaian:
Tinjau m1 Σ F1 = m1 . a
T1 – fk – w1 sin 30 = m1 . a
T1 – k . N – m1 g sin 30 = m1 . a
T1 – k . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . a
T1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . a
T1 – 4 – 20 = 4a
T1 = 26,928 + 4a
Tinjau m2 Σ F = m . a
w2 – T 2 = m2 . a
w2 . g – T 2 = m2 . a
10 .10 – T2 = 10 .a
T2 = 100 – 10a
Tinjau katrol Σ τ = I .
T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 . a/R
100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a
100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a
73,072 = 14,3 a
a = 5,1 m/s2
1.
1.
T1 = 26,928 + 4 . 5,1
T1 = 47,328 N
T2 = 100 – 10 . 5,1
= 49 N
1.
1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan
antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan
katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.
Tentukan:
1. gaya tarik oleh tali
2. percepatan B
Penyelesaian:
Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti
sA = 2 sB atau aA = 2 aB
Tinjau benda A
wB – 2T = mB . aB
3mg – 2T = 3m aB
aB =
Tinjau benda B
T – f = m A aA
T – 0,5 NB = m . aA
T – 0,5 m g = m aA
aA =
1. gaya tarik oleh tali
Substitusi
aA = 2 aB
= 2 ()
3 T m – 1,5 m2 g = 6 m2 g – 4 T m
:m
T=
1. percepatan B
aB =
=
==
aB = g
1.
1. Kesetimbangan Benda Tegar
Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya
sama dengan nol.
Kesetimbangan biasa terjadi pada :
1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lainlain.
2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa,
gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.
Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.
Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:
1. Kesetimbangan partikel
2. Kesetimbangan benda
1. Kesetimbangan Partikel
Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi
(tidak mengalami gerak rotasi).
Syarat kesetimbangan partikel F = 0 Fx = 0 (sumbu X)
Perbandingan dinamika translasi dan rotasi
Translasi
Rotasi
Momentum linier
p = mv
Momentum sudut*
L = I
Gaya
F = dp/dt
Torsi
= dL/dt
Benda massa
Konstan
F = m(dv/dt)
Benda momen
inersia konstan*
= I (d/dt)
Gaya tegak lurus
terhadap momentum
F=xp
Torsi tegak lurus
momentum sudut
=L
Energi kinetik
Ek = ½ mv2
Energi kinetik
Ek = ½ I2
Daya
P=F.v
Daya
P=.