Materi Teori Peluang

Peluang Bersyarat
Eni Sumarminingsih, SSi, MM

Definisi


Peluang bersyarat A bila B
diketahui dilambangkan dengan
P(A|B) dan didefinisikan sebagai
P( A  B)
P( A | B) 
P( B)

jika P(B) > 0

Contoh
Tidak
melanjutkan
ke perguruan
tinggi

Melanjutkan
ke perguruan
tinggi
Laki – laki

450

50

Perempuan

150

250

Perhatikan kejadian – kejadian berikut :
L : kejadian yang terpilih laki - laki
K: kejadian yang terpilih adalah orang
yang melanjutkan ke perguruan tinggi
Dengan menggunakan ruang contoh

yang dipersempit K, maka akan
didapatkan
P(L|K) = 450/600 = ¾



Misalkan n(A) melambangkan
banyaknya unsur dalam
himpunan A
n( K  L) n( K  L ) / n( S ) P ( K  L )
P( L | K ) 


,
n( K )
n( K ) / n( S )
P( K )

450 1
P( K  L) 


900 2
600 2
P( K ) 

900 3

1/ 2 3
P( L | K ) 

2/3 4

Contoh lain
Peluang Kereta Api Gajayana berangkat tepat
pada waktunya adalah P(B) = 0.85, peluang
Kereta Api Gajayana datang tepat pada
waktunya adalah P(D) = 0. 90 dan peluang
kereta api tersebut berangkat dan datang
tepat pada waktunya adalah P(BD) = 0.75.
Hitung peluang bahwa Kereta Api Gajayana

itu (a) datang tepat pada waktunya bila
diketahui kereta api tersebut berangkat tepat
pada waktunya, dan (B) berangkat tepat
pada waktunya bila diketahui kereta api
tersebut datang tepat pada waktunya.

Kaidah Bayes
A
B

Bc

A = (BA)  (BcA)
P(A) = P [(BA)  (BcA)]
= P(BA) + P(BcA)]
= P(B)P(A|B) + P(Bc)P(A|Bc)

Kaidah Total Peluang
Bila kejadian – kejadian Bi  untuk
i = 1, 2, …,k, maka untuk

sembarang kejadian A yang
merupakan himpunan bagian S
berlaku
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2)
+ … + P(Bk) P(A|Bk).

Contoh 1
Tiga wakil partai A, B dan C mencalonkan diri
sebagai presiden. Peluang wakil dari partai A
terpilih sebagai presiden adalah 0.4, peluang
wakil dari partai B terpilih adalah 0.3 dan
peluang wakil dari partai C terpilih adalah 0.3.
Seandainya wakil dari partai A terpilih sebagai
presiden, peluang terjadinya kenaikan harga BBM
adalah 0.7. Seandainya yang terpilih adalah wakil
dari partai B, peluang terjadinya kenaikan harga
BBM adalah 0.4. Bila yang terpilih adalah wakil
dari partai C maka peluang terjadinya kenaikan
harga BBM adalah 0.6. Berapa peluang terjadinya
kenaikan harga BBM ?

Contoh 2


Sebuah toko menjual bola lampu. Empat
puluh lima persen dari bola lampu yang
dijual toko tersebut diproduksi oleh
pabrik A dan sisanya diproduksi oleh
pabrik B.Bola lampu yang diproduksi
pabrik A mempunyai peluang cacat
sebesar 3 persen sedangkan yang
diproduksi pabrik B mempunyai peluang
cacat sebesar 5 persen. Bila seseorang
membeli bola lampu dari toko tersebut,
berapa peluang dia akan mendapatkan
bola lampu yang cacat?

Kaidah Bayes
Jika kejadian – kejadian B1, B2, …,
Bk merupakan sekatan dari ruang

contoh S dengan P(Bi)  0 untuk
I = 1, 2, …, k, maka untuk
sembarang kejadian A yang
bersifat P(A)  0,
P( Br ) P( A | Br )
P( Br | A) 
P( B1 ) P( A | B1 )  P( B2 ) P( A | B2 )  ...  P( Bk ) P( A | Bk )



Untuk masalah dalam Contoh 1
misalkan ada orang yang tidak
mengetahui siapa yang menjadi
presiden karena dia tinggal di
pelosok daerah. Bila beberapa waktu
kemudian ternyata harga BBM naik,
berapa peluang bahwa yang menjadi
presiden adalah wakil dari partai A?

Untuk masalah pada contoh 2,

misalkan ada seseorang yang
membeli bola lampu dari toko
tersebut. Setelah sampai rumah
dan dicoba, ternyata lampu
tersebut cacat. Berapa peluang
bahwa lampu tersebut diproduksi
oleh pabrik A?

Soal - soal
1. Proses produksi bola lampu dalam suatu
pabrik dibagi dalam empat shift. Pada
suatu hari, 1% dari bola lampu yang
diproduksi oleh shift pertama rusak, 3%
dari yang diproduksi shift kedua rusak,
2% dari yang diproduksi shift ketiga
rusak dan 1% dari yang diproduksi oleh
shift keempat rusak. Bila produktivitas
keempat shift tersebut sama, berapa
peluang bola lampu yang diproduksi
pada hari itu rusak?

2. Kantong A berisi 3 bola biru, 2 bola
merah dan 5 bola hijau. Kantong B
berisi 1 bola biru, 4 merah dan 3
hijau. Sebuah bola diambil dari
kantong A dan tanpa dilihat warnanya
kemudian dimasukkan ke kantong B.
Lalu dari kantong B diambil 1 bola.
Berapa peluang terambilnya bola
hijau.

3. Suatu produk yang dijual oleh toko A,
30% - nya diproduksi oleh pabrik X dan
sisanya diproduksi oleh pabrik Y.
Produk yang diproduksi oleh pabrik X
mempunyai peluang cacat sebesar 0.05
dan produk yang diproduksi pabrik Y
mempunyai peluang cacat sebesar
0.07. Bila Dion membeli produk
tersebut dari toko A dan ternyata

produk tersebut cacat, berapa peluang
bahwa produk tersebut adalah produk
yang diproduksi oleh pabrik X?

4. Suatu kuliah Pengantar Teori Peluang diikuti
oleh 50 mahasiswa tahun ke-2, 15 mahasiswa
tahun ke-3 dan 10 mahasiswa tahun ke-4.
Diketahui mahasiswa yang mendapat nilai A
adalah 10 orang dari mahasiswa tahun ke-2, 8
orang dari mahasiswa tahun ke-3 dan 5 orang
dari mahasiswa tahun ke-4. Bila seorang
mahasiswa dipilih secara acak, berapa peluang
dia :
– Mendapat nilai A, bila diketahui dia mahasiswa dari
tahun ke-3?
– Mendapat nilai A?
– Mahasiswa tahun ke-2, bila diketahui dia mendapat
nilai A?