Materi Teori Peluang Peubah Acak Kontinu

• _{Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu} bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang

terdefinisi pada semua bilangan nyata x  (-,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap himpunan bilangan nyata B,

P(XB) =

• _{Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang} peubah acak X dan f harus memenuhi

P{X  ( -,  )} = =1 

B

dx x

f ( )



  

dx x

• _{Semua statemen peluang tentang X dapat} dinyatakan dalam term f. Misalkan B =

[a,b]maka

P{a X  b}=

• _{Jika a = b maka}

P{X=a} = =0

• _{Untuk peubah acak kontinu} P{X < a} = P {X  a} =

_ab f (x)dx



a a

dx x f ( )



 

a

dx x

Contoh

1. Misalkan bahwa X adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

a. berapa nilai C ? b. Hitung P{X > 1}







_

_

_



selainnya

x

x

x

C

x

f

0

2

0

2

4

(

)

(

2. Banyaknya waktu, dalam jam, fungsi komputer sebelum rusak adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang

a. Berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi antara 50 sampai 150 jam sebelum rusak?

b. berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi kurang dari 100 jam

       0 0 0 ) ( 100 / x x e x f x 

Peubah Acak Kontinu Khusus

1. Peubah Acak Seragam (Uniform)

Peubah acak X dikatakan menyebar secara seragam pada interval (0,1) jika fungsi

kepekatan peluangnya adalah













selainnya

x

x

f

0

1

0

1

)

Sehingga, misalkan untuk 0<a<b<1

Secara umum, kita katakan bahwa X peubah acak seragam pada interval (,) jika fungsi kepekatan peluangnya adalah













b a

a

b

x

d

x

f

b

X

a

P

{

}

(

)

(

)

        selainnya x x f 0 1 ) ( _{ }  

Fungsi sebaran peubah acak seragam pada interval (,) adalah

            















a a a a a F 1 0 ) (

• _Contoh

• _{1. Jika X menyebar secara seragam pada} (0,10), hitung peluang

• _{a. X < 3} • _{b. X > 6}

2. Bus - bus datang di pemberhentian bus tertentu pada interval 15 menit dimulai dari pukul 7.00

pagi. Jadi bus – bus tersebut berhenti pada pukul 7, 7:15, 7:30, 7:45 dan seterusnya. Jika

penumpang datang pada pemberhentian pada suatu waktu yang menyebar seragam antara 7:00 dan 7:30, hitung peluang bahwa dia menunggu a. kurang dari 5 menit untuk sebuah bus

2. Peubah Acak Normal

Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal dengan parameter  dan 2 jika fungsi

kepekatan peluang X adalah

-( )2 / 2 2  < x < 

2 1 )

(  





 

 e x

x f

Fungsi kepekatan peluang adalah kurva berbentuk genta yang simetrik pada .

Nilai  dan 2 merepresentasikan nilai rata – rata

dan variasi atau keragaman yang mungkin dari X.

Beberapa contoh yang mengikuti sebaran normal antara lain tinggi manusia, kecapatan molekul pada gas, dan kesalahan yang dibuat dalam pengukuran kuantitas fisik

• _{Fakta penting dari pebah acak normal adalah}

jika X menyebar normal dengan parameter 

dan 2 maka Y = X +  menyebar normal

dengan parameter  +  dan 22.

• _{Implikasinya bila X menyebar normal dengan}

parameter  dan 2 maka Z = (X - )/

menyebar normal dengan parameter 0 dan 1.

• _{Peubah acak Z dinamakan peubah acak normal}

Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak normal baku dilambangkan dengan (x) dimana

(x) =

Nilai dari (x) telah ditabelkan

=

dy e

x

y



 

 2 / 2

2 1

Contoh :

1. Jika X adalah peubah acak normal dengan parameter  = 3 dan 2 = 9. Hitung

a. P{2<X<5} b. P{X>0}

2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan

peluang normal. Instruktur seringkali menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga parameter normal

 dan 2 kemudian memberi nilai A untuk nilai yang

lebih dari +, B untuk nilai antara  dan +, C

untuk nilai antara  -  dan , D untuk nilai antara  - 2 dan  - , dan E untuk nilai di bawah  - 2.

Berapa persen yang akan mendapat nilai A, B, C, D dan E.

3. Peubah Acak Eksponensial

Peubah acak kontinu yang memiliki fungsi

kepekatan peluang

dikatakan peubah acak eksponensial dengan parameter .

Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak eksponensial adalah :

       0 0 0 ) ( x x e x f x  





_

    a x_dx e a X P a F 0 ) ( _ 

Contoh :

• _{Misalkan bahwa lama panggilan telepon} dalam menit adalah peubah acak

eksponensial dengan parameter =1/10. Jika seseorang datang secara tiba – tiba pada

wartel, hitung peluang bahwa dia akan menunggu

a. lebih dari 10 menit

Soal -soal

1. X adalah peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang

a. berapa nilai c

b. bagaimana fungsi sebaran kumulatif dari X?

 

 _{   }



selainnya x

x c

x f

0

1 1

) 1

( )

(

2. Suatu sistem dengan satu unit yang original dan satu spare partnya dapat berfungsi selama X yang acak. Jika fungsi kepekatan X diberikan (dalam

bulan) oleh

berapa peluang bahwa sistem akan berfungsi paling tidak 5 bulan

       0 0 0 ) ( 2 / x x cxe x f x

3. Fungsi kepekatan peluang dari X, waktu hidup dari alat elektronik tertentu (dalam jam)

diberikan persamaan berikut

a. Hitung P{X>20}

b. Cari fungsi sebaran kumulatif dari X















10

0

10

10

)

(

2

x

x

x

x

f

4. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu adalah peubah acak normal dengan parameter  = 71 inchi dan 2=6,25. Berapa persen dari

laki – laki dalam kelas tersebut yang

mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi? Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?

5. Waktu (dalam jam ) yang diperlukan untuk memperbaiki mesin adalah peubah acak eksponensial dengan parameter =1/2.

a. Berapa peluang bahwa waktu perbaikan lebih dari 2 jam?

b. Berapa peluang bersyarat bahwa perbaikan membutuhkan waktu minimal 10 jam bila

diketahui bahwa durasi perbaikan melebihi 9 jam?

6. Misalkan X mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

a. Carilah c

b. Carilah F(x)

c. Gambarkan f(x) dan F(x)             selainnya x cx x x f 0 1 0 2 . 0 0 1 2 . 0 ) (

d. Gunakan F(x) dari (b) untuk mencari F(-1), F(0) dan F(1)

e. Hitung P(0 ≤ X ≤ 0.5

7. Bila Z adalah peubah acak normal baku, hitunglah

a. P(0 ≤ Z ≤ 1.2) b. P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1) c. P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66) d. P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3)

8. Carilah nilai z, bila

a. P(Z > z) = 0.5 c. P(Z > z) = 0.90 b. P(Z > z) = 0.8643 d. P(Z > z) = 0.99

3. Fungsi kepekatan peluang dari X, waktu hidup dari alat elektronik tertentu (dalam jam)

diberikan persamaan berikut

a. Hitung P{X>20}

b. Cari fungsi sebaran kumulatif dari X















10

0

10

10

)

(

2

x

x

x

x

f

4. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu adalah peubah acak normal dengan parameter

 = 71 inchi dan 2=6,25. Berapa persen dari

laki – laki dalam kelas tersebut yang

mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi? Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?

5. Waktu (dalam jam ) yang diperlukan untuk memperbaiki mesin adalah peubah acak eksponensial dengan parameter =1/2.

a. Berapa peluang bahwa waktu perbaikan lebih dari 2 jam?

b. Berapa peluang bersyarat bahwa perbaikan membutuhkan waktu minimal 10 jam bila

diketahui bahwa durasi perbaikan melebihi 9 jam?

6. Misalkan X mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

a. Carilah c

b. Carilah F(x)

c. Gambarkan f(x) dan F(x)             selainnya x cx x x f 0 1 0 2 . 0 0 1 2 . 0 ) (

d. Gunakan F(x) dari (b) untuk mencari F(-1), F(0) dan F(1)

e. Hitung P(0 ≤ X ≤ 0.5

7. Bila Z adalah peubah acak normal baku, hitunglah

a. P(0 ≤ Z ≤ 1.2) b. P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1) c. P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66) d. P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3)

8. Carilah nilai z, bila

a. P(Z > z) = 0.5 c. P(Z > z) = 0.90 b. P(Z > z) = 0.8643 d. P(Z > z) = 0.99